Uchburchaklar yechimlari

Uchburchaklar yechimi () uchburchakning xarakteristikalarini (tomonlarining burchaklari va uzunliklari) topish trigonometriyaning asoaiy muammosi boʻlib, ulardan baʼzilari nomaʼlum. Uchburchaklar tekislikda yoki sharda joylashgan boʻlishi mumkin. Uchburchak yechimlarini talab qiladigan yoʻnalishlar geodeziya, astronomiya, qurilish va navigatsiyani oʻz ichiga oladi.

 Tekislikdagi uchburchaklarini yechish 
Umumiy shakldagi uchburchak oltita asosiy xususiyatga ega (rasmga qarang): uchta yon uzunliklari (yon uzunliklari ) va uchta burchaklari (). Klassik tekislik trigonometriyasi muammosi oltita xususiyatdan uchtasini belgilash va qolgan uchtasini aniqlashdir. Quyidagilardan biri berilganda uchburchak shu usulda aniqlanishi mumkin:

 Uch tomon (SSS)
 Ikki tomon va kiritilgan burchak (SAS)
 Ikki tomon va ular orasidagi burchak (SSA), agar burchakka yopishgan tomon uzunligi boshqa tomon uzunligidan qisqaroq boʻlsa.
 Yon va unga yopishgan ikki burchak (ASA)
 Bir tomon, unga qarama-qarshi burchak va unga qoʻshni boʻlgan burchak (AAS).

Uchburdagi barcha holatlar uchun kamida bitta tomon uzunligi koʻrsatilishi kerak. Agar faqat burchaklar berilgan boʻlsa ham, tomonlarning uzunliklarini aniqlab boʻlmaydi, chunki har qanday oʻxshash uchburchak yechimli hisoblanadi.

 Trigonomik munosabatlar 
Muammoni hal qilishning standart usuli — fundamental munosabatlardan foydalanish usulidir.

 Kosinuslar qonuni



 Sinuslar qonuni

 Burchaklar yigʻindisi


 Tangenslar qonuni


Boshqa (baʼzan amaliy jihatdan ha juda foydali) universal munosabatlar mavjud: kotangentlar qonuni va Molveyd formulasi .

 Eslatma 
Togʻning balandligini qanday oʻlchash mumkin

 Nomaʼlum burchakni topish uchun kosinuslar qonun va sinuslar qonunidan foydalanish qulayroq. Buning sababi shundaki, uchburchakning burchagi uchun sinusning qiymati bu burchakni yagona qiymatini aniqlamaydi. Misol uchun, agar  boʻlsa,  burchak 30 ° yoki 150 ° ga teng boʻlishi mumkin. Kosinuslar qonunidan foydalanish bu muammoning oldini oladi: 0 ° dan 180 ° gacha boʻlgan oraliqda kosinus qiymati uning burchagini aniq belgilaydi. Boshqa tomondan, agar burchak kichik (yoki 180 ° ga yaqin) boʻlsa, uni kosinusdan koʻra sinusdan aniqlash ishonchliroq boʻladi, chunki yoy-kosinus funktsiyasi 1 (yoki −1) da turlicha hosilaga ega boʻladi.
 Belgilangan xususiyatlarning nisbiy pozitsiyasi maʼlum deb faraz qilamiz. Agar shunday boʻlmasa, uchburchakning koʻzgudagi aksi ham yechim boʻladi. Misol uchun, uch tomonning uzunligi uchburchakni yoki uning aksini aniq belgilaydi.

 Uchta tomon berilgan (SSS) 
Uch tomon uzunligi  koʻrsatilsin.  burchaklarni topish uchun kosinuslar qonunidan foydalanish mumkin boʻladi:



Keyingi burchak: .

Baʼzi manbalar sinuslar qonunidan  burchakni topishni tavsiya qiladi, lekin (yuqoridagi 1-izohda aytilganidek) oʻtkir burchak qiymatini oʻtmas burchak qiymati bilan chalkashtirib yuborish xavfi mavjud.

Maʼlum tomonlardan burchaklarni hisoblashning yana bir usuli kotangenslar qonunini qoʻllashdir usulidir.

 Ikki tomon va ular orasidagi burchak (SAS) 
Bu yerda  tomonlarning uzunliklari va bu tomonlar orasidagi  burchak maʼlum. Uchinchi tomonni kosinuslar qonunidan aniqlash mumkin boʻladi:



Endi ikkinchi burchakni topish uchun ham kosinuslar qonunidan foydalansak boʻladi:



Nihoyat,  .

 Ikki tomon va ular orasida boʻmagan burchak berilgan (SSA) 
Bu ish hamma hollarda ham toʻgʻri boʻlmaydi; Agar burchakka ulashgan tomon uzunligi boshqa tomon uzunligidan qisqaroq boʻlsa, yechim yagona boʻladi. Faraz qilaylik, ikki tomon  va  burchak maʼlum.  burchak uchun tenglama sinuslar qonunidan nazarda tutilishi mumkin:



Keyingi  ni belgilaymiz(tenglamaning oʻng tomoni). Toʻrtta holat boʻlishi mumkin:

 Agar  boʻlsa, bunday uchburchak mavjud boʻlmaydi, chunki  tomoni  chizigʻiga yetib bormaydi. Xuddi shu sababga koʻra, agar burchak  va  boʻlsa ham yechim mavjud boʻlmaydi.
 Agar  boʻlsa, yagona yechim mavjud: , yaʼni toʻgʻri burchakli uchburchak boʻladi.
 Agar  boʻlsa, ikkita variant mumkin.
 Agar  boʻlsa, u holda  (katta tomon katta burchak qarshisida boʻladi). Hech bir uchburchakda ikkita oʻtmas burchak boʻlishi mumkin emasligi sababli,  oʻtkir burchak va yechim  yagona yechim hisoblanadi.
 Agar  boʻlsa,  burchak oʻtkir boʻlishi mumkin:  yoki oʻtmas:  . Oʻngdagi rasmda birinchi yechim sifatida  nuqta,  tomon va  burchak, ikkinchi yechim sifatida esa  nuqta,  tomon va  burchak koʻrsatilgan, uchinchi burchak  ga teng .

Uchinchi tomonni sinuslar qonunidan topish mumkin boʻladi:



yoki kosinuslar qonunidan ham topsa boʻladi:



 Birta tomon va ikkita qoʻshni burchak berilgan (ASA) 
Maʼlum uchburchakning  tomoni va  burchaklari berilgan. Uchinchi burchak esa  teng boʻladi.

Sinuslar qonunidan ikkita nomaʼlum tomonni topish mumkin:



yoki




 Bitta tomon, bitta qoʻshni burchak va qarama-qarshi burchak berilgan (AAS) 
AAS uchburchagini yechish tartibi ASA uchburchagi bilan bir xil: Birinchidan, uchburchakning burchak yigʻindisi xususiyatidan foydalanib uchinchi burchakni topiladi, soʻngra sinuslar qonunidan foydalanib qolgan ikki tomoni ham topiladi.

 Boshqa berilgan uzunliklar 
Koʻp hollarda uchburchaklar uchta maʼlumotni hisobga olgan holda echilishi mumkin, ulardan baʼzilari uchburchakning medianalari, balandliklari yoki burchak bissektrisalarining uzunligi bilan hisoblanadi. Posamentier va LemannAlfred S. Posamentier and Ingmar Lehmann, The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012: pp. 201-203. 95 ta alohida holatlarning har biri uchun kvadrat ildizlardan yuqori boʻlmagan (yaʼni, konstruktivlik) yordamida yechish qobiliyatiga oid savolning yechimlarini sanab oʻtadilar; Ulardan 63 tasidan uchburchak yasash mumkin.

 Sferik uchburchaklarni yechish 
Ikki tomon va kiritilmagan burchak berilgan. Umumiy sferik uchburchakning oltita xususiyatidan uchtasi (3 ta tomon va 3 ta burchak) bilan toʻliq aniqlanadi. Sferik uchburchakning  tomonlari uzunligi ularning markaziy burchaklari boʻlib, chiziqli birliklarga ega emas, balki burchaklari birliklarda oʻlchanadi. (Birlik sharda burchak (radianlarda) va shar atrofidagi uzunlik son jihatdan bir xil boʻladi. Boshqa sohalarda burchak (radianlarda) radiusga boʻlingan shar atrofidagi uzunlikka teng.)

Sferik geometriya planar Evklid geometriyasidan farq qiladi, shuning uchun sferik uchburchaklar yechimi turli qoidalarga asoslanadi. Masalan,  uchta burchakning yigʻindisi uchburchakning kattaligiga bogʻliq boʻladi. Bundan tashqari, oʻxshash uchburchaklar teng boʻlishi mumkin emas, shuning uchun belgilangan uchta burchakli uchburchakni qurish oʻziga xos yechimga ega. Muammoni hal qilish uchun ishlatiladigan asosiy munosabatlar tekislik holatiga oʻxshaydi: qarang: Kosinuslarning sferik qonuni va Sinuslarning sferik qonuni berilgan.

Foydali boʻlishi mumkin boʻlgan munosabatlar orasida yarim tomon formulasi va Napierning oʻxshashligi ham borNapier’s Analogies at MathWorld:







 Uch tomon berilgan (sferik SSS) 
Maʼlum: tomonlar  (burchak birliklarida). Uchburchakning burchaklari kosinuslarning sferik qonuni yordamida hisoblash mumkin:






 Ikki tomon va burchak berilgan (sferik SAS) 
Bizga maʼlum:  tomonlari va ular orasidagi  burchak.  tomonini kosinuslarning sferik qonunidan topishimiz mumkin:



 burchaklarni yuqoridagi kabi yoki Napier analogiyalari yordamida hisoblash mumkin:




Bu muammo yerning kenglik va uzunliklari bilan belgilangan ikki nuqta orasidagi katta doirani topishning navigatsiya muammosini hal qilishda yordam beradi; ushbu ilovada yaxlitlash xatolariga moyil boʻlmagan formulalardan foydalanish muhimdir. Buning uchun quyidagi formulalardan (vektor algebrasi yordamida olinishi ham mumkin) foydalanish mumkin:



bu iboralardagi sanoq va maxrajlarning belgilaridan arktangensning kvadrantini aniqlash uchun foydalanish mumkin.

 Ikki tomon va kiritilmagan burchak berilgan (sferik SSA) 
Bu muammoni hamma hollarda ham hal qilib boʻlmaydi; Agar burchakka yopishgan tomon uzunligi boshqa tomon uzunligidan qisqaroq boʻlsa, yechim yagona boʻladi. Bizga maʼlum: tomonlar  va ular orasidagi boʻlmagan  burchak. Agar quyidagi shart bajarilsa, yechim mavjud boʻladi:



 burchakni sinuslarning sferik qonunidan topish mumkin boʻladi:



uchburchak holatiga kelsak, agar  boʻlsa, u holda ikkita yechim mavjud boʻladi:  va  .

Napier analogiyalaridan foydalanib, biz boshqa xususiyatlarni ham topishimiz mumkin:




 Bitta tomon va ikkita qoʻshni burchaklar berilgan (sferik ASA) 
Maʼlum:  tomoni va burchaklar  . Avval kosinuslarning sferik qonuni yordamida  burchakni topib olamiz:



Kosinuslarning sferik qonunidan ikkita nomaʼlum tomonni topishimiz mumkin (hisoblangan  burchak yordamida) boʻladi:




yoki Napierning analogiyalaridan foydalangan holda quyidagi tenglik hosil boʻladi:




 Bir tomon, bitta qoʻshni burchak va qarama-qarshi burchak berilgan (sferik AAS) 
Bizga maʼlum:  tomon va burchaklar  .  tomonini sinuslarning sferik qonunidan topish mumkin boʻladi:



Agar a tomon  burchak oʻtkir va  boʻlsa, boshqa yechim ham mavjud:



Napier analogiyalaridan foydalanib, biz boshqa xususiyatlarni ham topishimiz mumkin:




 Berilgan uchta burchak (sferik AAA) 
Bizga maʼlum: burchaklar  . Kosinuslarning sferik qonunidan quyidagi xulosaga kelamiz:





 Toʻgʻri burchakli sferik uchburchaklarni yechish 
Agar uchburchakning burchaklaridan biri (masalan,  burchagi) toʻgʻri burchak boʻlsa, yuqoridagi algoritmlar ancha soddalashadi. Bunday sferik uchburchak uning ikkita elementi bilan toʻliq aniqlanadi va qolgan uchtasini Nepierning Pentagoni yoki quyidagi munosabatlar yordamida hisoblash mumkin boʻladi.

  (sinuslarning sferik qonunidan)

  (kosinuslarning sferik qonunidan)

  (kosinuslarning sferik qonunidan )


 Baʼzi ilovalar 
Agar qirgʻoqdan uzoq kemagacha boʻlgan masofani  triangulyatsiya orqali oʻlchamoqchi boʻlsangiz, qirgʻoqda ular orasidagi maʼlum masofa  boʻlgan ikkita nuqtani belgilaymiz (tayanch chiziq). Asosiy chiziq bilan kemaga yo‘nalish orasidagi burchaklar  bo‘lsin.

Yuqoridagi formulalardan (ASA holati, planar geometriyani nazarda tutgan holda) masofani uchburchak balandligi sifatida hisoblash mumkin boʻladi:



Sferik holat uchun birinchi navbatda ASA formulasi orqali  nuqtadan kemagacha boʻlgan tomonning uzunligini (yaʼni  ga qarama-qarshi tomon) hisoblash mumkin boʻladi.



va buni  burchak va  va  tomonlarini oʻz ichiga olgan toʻgʻri burchakli uchburchak uchun AAS formulasiga kiritamiz:



(Tezlik formulasi aslida  darajasida sharsimon sferaning  ning Teylor kengayishining birinchi hadidir.)

Bu usul kabotajda juda keng qoʻllanadi.  burchaklari kemadan tanish belgilarni kuzatish orqali aniqlanadi.
Yana bir misol sifatida, togʻning yoki baland binoning  balandligini oʻlchamoqchi boʻlsa, ikkita yer nuqtasidan tepagacha boʻlgan  burchaklari koʻrsatilgan boʻlsin. Bu nuqtalar orasidagi masofa  boʻlsin. Xuddi shu ASA holatlari formulalaridan biz quyidagi natijalarni olamiz:



 Yer sharidagi ikki nuqta orasidagi masofa 
Yer sharidagi ikki nuqta orasidagi masofani hisoblash uchun,

 A nuqta: kenglik , uzunlik  va
 B nuqtasi: kenglik , uzunlik 

 sferik uchburchakni koʻrib chiqamiz , bu yerda  — Shimoliy qutb. Baʼzi xususiyatlar quyidagilardir:





Agar ikki tomon va kiritilgan burchak berilgan boʻlsa, biz quyidagi formulalarni olamiz:



Bu yerda  — Yerning radiusi .

 Shunga oʻxshash 
 Muvofiqlik
 Hansen muammosi
 Menteşe teoremasi
 Lénárt shari
 Snellius-Pothenot muammosi

 Manbalar 

 Tashqi havolalar 

 Trigonometrik lazzatlar, Eli Maor tomonidan, Prinston universiteti nashriyoti, 1998 yil. Elektron kitob versiyasi, PDF formatida, toʻliq matn taqdim etilgan.
 Alfred Monro Kenyon va Lui Ingold tomonidan trigonometriya, Makmillan kompaniyasi, 1914 yil. Tasvirlarda toʻliq matn taqdim etilgan. Google kitob.
 Matematik olamida sferik trigonometriya .
 Sferik trigga kirish. Napier doirasi va Napier qoidalarini muhokama qilishni oʻz ichiga oladi
 Sferik trigonometriya — kollej va maktablarda foydalanish uchun I. Todhunter, MA, FRS tarixiy matematika monografiyasi Cornell universiteti kutubxonasi tomonidan chop etilgan.
 Triangulator – uchburchakni hal qiluvchi. Har qanday tekis uchburchak masalasini minimal kirish maʼlumotlari bilan hal qiling. Yechilgan uchburchakni chizish.
 TriSph – Sferik uchburchaklarni echish uchun bepul dastur, turli amaliy ilovalar uchun sozlanishi va gnomonic uchun sozlangan.
 Sferik uchburchak kalkulyatori – Sferik uchburchaklarni hal qiladi.
 TrianCal – Iso S. tomonidan uchburchaklarni hal qiluvchi.

Turkum:Matematik tahlil
Turkum:Geometriya
Turkum:Uchburchak turlari
Turkum:Uchburchak