Geometrik o'rtacha teorema

Toʻgʻri burchakli uchburchak balandlik teoremasi yoki oʻrtacha geometrik teorema toʻgʻri burchakli uchburchakdagi gipotenuzaning balandligi va u gipotenuzada yaratgan ikkita chiziq segmenti oʻrtasidagi munosabatni tavsiflovchi elementar geometriya natijasi boʻladi. Unda aytilishicha, ikkita segmentning geometrik oʻrtacha qiymati balandlikka teng boʻladi.

 Teorema va ilovalar 
Agar h toʻgʻri burchakli uchburchakdagi balandlikni va p va q gipotenuzadagi segmentlarni bildirsa, teorema quyidagicha ifodalanishi mumkinHartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, , pp. 76-77 (German, ):



yoki kvadratlari boʻyicha:



Toʻrtburchakni oʻlchagich va sirkul yordamida kvadratga oshirish usulini beradi, yaʼni berilgan toʻrtburchakning maydoniga teng kvadratiga teng boʻladi. Tomonlari p va q boʻlgan bunday toʻrtburchak uchun uning yuqori chap uchini D bilan belgilaymiz. Endi biz q segmentini chap tomonga p ga choʻzamiz (markazi D ga yoʻnaltirilgan AE yoyi yordamida) va uning diametri sifatida yangi p+q segmenti bilan A va B soʻnggi nuqtalari boʻlgan yarim doira chizamiz. Keyin D dagi diametrga perpendikulyar chiziqni C dagi yarim doira kesib oʻtamiz. Thales teoremasi tufayli C va diametri toʻgʻri burchakli uchburchakni tashkil qiladi, uning balandligi DC chiziq segmenti bilan, shuning uchun DC toʻrtburchakning maydoni boʻlgan kvadratning tomoni boʻladi. Usul shuningdek, kvadrat ildizlarni qurishga imkon beradi (konstruksiya qilinadigan raqamga qarang), chunki kengligi 1 ga teng boʻlgan toʻrtburchakdan boshlanadi, qurilgan kvadrat toʻrtburchak uzunligining kvadrat ildiziga teng boʻlgan tomon uzunligiga teng boʻladiHartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, , pp. 76-77 (German, ).

Boshqa ilovasi ikkita raqam holatida AM-GM tengsizligining geometrik isbotini beradi. P va q raqamlari uchun diametri p+q boʻlgan yarim doira quriladi. Endi balandlik geometrik oʻrtachani va radius ikki raqamning oʻrtacha arifmetik qiymatini ifodalaydi. Balandlik har doim radiusdan kichikroq yoki teng boʻlgani sababli, bu tengsizlikni keltirib chiqaradiClaudi Alsina, Roger B. Nelsen: Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. MAA 2011, , pp. 31-32 () .
Teoremani aylana uchun kesishuvchi akkordlar teoremasining maxsus holati sifatida ham koʻrib chiqish mumkin, chunki Thales teoremasining teskarisi toʻgʻri burchakli uchburchakning gipotenuzasi uning aylana diametriga teng boʻladiHartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, , pp. 76-77 (German, ).

Qarama-qarshi teorema ham haqiqatdir. Balandligi u tomonidan yaratilgan ikkita chiziq segmentining geometrik oʻrtachasiga teng boʻlgan har qanday uchburchak toʻgʻri burchakli uchburchak hisoblanadi.

 Tarixi 
Teorema odatda Evklidga (taxminan miloddan avvalgi 360-280-yillar) tegishli boʻlib, u buni oʻzining " Elementlar " ning VI kitobidagi 8-mulohazaning natijasi sifatida bayon qilgan. II kitobning 14-taklifida Evklid toʻrtburchakni kvadratga solish usulini beradi, bu asosan bu yerda keltirilgan usulga mos keladi. Biroq, Evklid oʻrtacha geometrik teoremaga tayanishdan koʻra, qurilishning toʻgʻriligi uchun biroz murakkabroq isbotni ham taqdim etadiHartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, , pp. 76-77 (German, )Euclid: Elements, book II — prop. 14, book VI — pro6767800hshockedmake, me uoppppp. 8, (online copy) .

 Isbot 

 Oʻxshashlik asosida 
Teoremaning isboti :

Uchburchaklar  va  oʻxshash, chunki:

 uchburchaklarni koʻrib chiqing , bizda bor  va , shuning uchun AA postulati bilan 
 Bundan tashqari, uchburchaklarni koʻrib chiqamiz, bizda bor  va , shuning uchun AA postulati bilan 

Shunday qilib, ikkala uchburchak ham  va  ga oʻxshaydi  va ular, yaʼni  .

Oʻxshashlik tufayli biz quyidagi nisbatlar tengligini olamiz va uning algebraik qayta tashkil etilish teoremasini beradiHartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, , pp. 76-77 (German, ):



Suhbatning isboti:

Teskari uchun bizda uchburchak bor  qaysi ichida  tutadi va C dagi burchak toʻgʻri burchak ekanligini koʻrsatishi kerak. Shu tufayli  bizda bor  . Bilan birga  uchburchaklar  va  teng oʻlchamdagi burchakka ega va bir xil nisbatda mos keladigan juft oyoqlarga ega. Bu shuni anglatadiki, uchburchaklar oʻxshash boʻlib, natija beradi:



 Pifagor teoremasi asosida 
Geometrik oʻrtacha teoremani oʻrnatishda uchta toʻgʻri burchakli uchburchak mavjud ,  va , bunda Pifagor teoremasi quyidagicha natijalarni beradi:

 ,  va 

Birinchi ikkita tenglamani qoʻshib, uchinchisini qoʻllash quyidagilarga olib keladi:

  .

Ikkiga boʻlinish natijasida geometrik oʻrtacha teorema formulasi paydo boʻladi:

 Dissektsiya va qayta tartibga solishga asoslangan 
Fayl:Geometrischer_Höhensatzbeweis.svg

Toʻgʻri burchakli uchburchakni h balandligi boʻylab kesib tashlasak, ikkita oʻxshash uchburchak hosil boʻladi, ularni ikki muqobil usulda kattalashtirish va tomonlari p+h va q+h uzunliklariga perpendikulyar boʻlgan kattaroq toʻgʻri burchakli uchburchak shaklida joylashtirish mumkin boʻladi. Bunday tartiblardan biri uni bajarish uchun h 2 maydonning kvadratini, ikkinchisi pq maydonining toʻrtburchaklarini talab qiladi. Ikkala tartib ham bir xil uchburchakni berganligi sababli, kvadrat va toʻrtburchakning maydonlari bir xil boʻlishi kerak.

 Kesish xaritalariga asoslangan 
Balandlik kvadratini uchta qirqim xaritasi yordamida p va q tomonlari boʻlgan teng maydonli toʻrtburchakka aylantirish mumkin (qirqish xaritalari maydonni saqlaydi) boʻladi:

 Manbalar 

 Havolalar 

 Kesilgan tugundagi geometrik oʻrtacha

Turkum:Geometriya
Turkum:Teoremalar
Turkum:Uchburchak