Parseval ayniyati

Matematik tahlilda Mark-Antuan Parseval nomi bilan ataladigan Parseval ayniyati funksiyaning Furye qatorining yigʻilishi haqida muhim natijadir. Geometrik nuqtai nazardan, bu ayniyat skalyar koʻpaytma aniqlangan fazolar (sanoqsiz cheksiz bazis vektorga ega boʻlishi mumkin) uchun umumlashtirilgan Pifagor teoremasi hisoblanadi.

Norasmiy ravishda, ayniyat funksiyaning Furye koeffitsientlarining kvadratlarining yigʻindisi funksiya kvadratining integraliga teng ekanligini tasdiqlaydi,bu yerda  ning Furye koeffitsientlari  quyidagicha berilganRasmiy tilda aytganda, agar  kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya yoki umumiyroq qilib olganda, Lp fazo  dan boʻlsa, natija yuqorida keltirilganidek bajariladi. Shunga oʻxshash natija Plancherel teoremasi boʻlib, u funksiyaning Furye almashtirishining kvadratining integrali funksiyaning oʻzining kvadratining integraliga teng ekanligini tasdiqlaydi. Bir oʻlchovli fazodada,  uchunmunosabat oʻrinli.

 Umumlashgan Pifagor teoremasi 
Yuqorida keltirilgan ayniyat Pifagor teoremasi bilan separabel Gilbert fazosining umumiy holatida quyidagicha bogʻlangan. Faraz qilaylik,  fazo  skalyar koʻpaytmaga ega boʻlgan Gilbert fazosi boʻlsin.  ning ortonormal bazisi boʻlsin; yaʼni  ning chiziqli yoyilmasi da zich va  lar oʻzaro ortonormal boʻlsin:



U holda Parseval ayniyati barcha  lar uchunekanligini tasdiqlaydi.

Bu toʻgʻridan-toʻgʻri Pifagor teoremasiga oʻxshash boʻlib, Pifagor teoremasi ortonormal bazisdagi vektor komponentlari kvadratlarining yigʻindisi vektorning uzunligining kvadratiga teng ekanligini tasdiqlaydi.  ni  Gilbert fazosi deb hamda  lar uchun  deb olish orqali Furye qatorlari uchun Parseval ayniyatini tiklash mumkin.

Umuman olganda, Parseval ayniyati faqatgina separabel Gilbert fazolarida emas, balki har qanday skalyar koʻpaytma aniqlangan fazolarda bajariladi. Shunday ekan, faraz qilaylik,  skalyar koʻpaytma aniqlangan fazo boʻlsin.  ning ortonormal bazisi boʻlsin, bunda  toʻliq ortonormal toʻplam ( ning chiziqli yoyilmasi da zichligi maʼnosida). U holda, ning toʻliq boʻlishi ayniyatning bajarilishi uchun zaruriydir. Agar  toʻliq boʻlmasa, u holda Parseval ayniyatidagi tenglik belgisi  ga oʻzgartirilishi kerak boʻladi. Bu esa Bessel tengsizligiga olib keladi. Parseval tengsizligining ushbu umumlashgan koʻrinishi Riesz-Fischer teoremasi yordamida isbot qilinadi.

 Yana qarang 

 Parseval teoremasi

 Manbalar 

 „Parseval equality“ , Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
 .
 .
 .
 .