Cauchy–Schwarz tengsizligi

Cauchy–Schwarz (o'qilishi: Koshi-Shvarz) tengsizligi (ba'zida Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz (o'qilishi: Koshi-Bunyakovskiy-Shvarz) tengsizligi) matematikadagi eng muhim va keng qo'llaniladigan tengsizliklardan biri sifatida qaraladi.

Yig'indilar uchun tengsizlik Augustin-Louis Cauchy tomonidan 1821-yilda nashr etilgan. Integrallar uchun mos keladigan tengsizlik Viktor Bunyakovsky tomonidan 1859-yilda va Hermann Schwarz tomonidan 1888-yilda nashr etilgan. Schwarz integral ko'rinishdagi tengsizlikning zamonaviy isbotini keltirgan.

 Tengsizlik bayoni 
Cauchy-Schwarz tengsizligi barcha ichki ko'paytma aniqlangan fazodagi barcha  va  vektorlar uchuntengsizlikning o'rinli ekanligini ta'kidlaydi, bu yerda  ichki ko'paytma hisoblanadi. Ichki ko'paytmalarga misollar haqiqiy va kompleks nuqtali ko'paytmalarni o'z ichiga oladi. Ichki ko'paytma mavzusidagi misollarga qarang. Har bir ichki ko'paytma kanonik yoki keltirilgan norma deb ataladigan normani keltirib chiqaradi, bu yerda  vektorning vektor normasi quyidagicha belgilanadi va aniqlanadi:Bu norma va ichki ko'paytma  aniqlovchi shart bilan o'zaro bog'langan bo'lib, bu yerda  har doim nomanfiy haqiqiy son bo'ladi (hattoki ichki ko'paytma kompleks qiymatli bo'lsa ham). Yuqoridagi tengsizlikning har ikki tomonining kvadrat ildizini olib, Cauchy-Schwarz tengsizligini uning koʻproq tanish bo'lgan koʻrinishida yozish mumkin:Bundan tashqari, tengsizlikning ikkala tomoni faqat va faqat   va  lar bir-biriga chiziqli bog'liq bo'lsagina bir-biriga teng bo'ladi.

 Maxsus holatlar 

 Sedrakyan lemmasi - musbat haqiqiy sonlar 

 R 2 - Tekislik 

 R n - n -o'lchovli Evklid fazosi 

 C n - n -o'lchovli Kompleks fazo 

 Qo'llanilishi 

 Tahlil 

 Geometriya 

 Ehtimollar nazariyasi 

 Dalillar 

 Haqiqiy ichki ko'paytmali fazolar uchun 

 Nuqtali ko'paytma uchun dalil 

 Ixtiyoriy vektor fazolar uchun 

 Isbot 1 

Let  and  so that  and  
Then

This expansion does not require  to be non-zero; however,  must be non-zero in order to divide both sides by  and to deduce the Cauchy-Schwarz inequality from it. 
Swapping  and  gives rise to:

and thus

 Isbot 2 

 Umumlashtirishlar 

 Yana qarang 

 Manbalar 

 Manbalar 







 .

 .




 Havolalar 

Turkum:Matematik tahlil
Turkum:Augustin-Louis Cauchy
Turkum:Tengsizliklar