Lopital teoremasi

Lopital teoremasi (shuningdek, Bernulli — Lopital qoidasi) — bu  va  shaklining noaniqliklarini ochib beradigan funksiyalar chegaralarini topish usuli. Usulni asoslovchi teorema maʼlum sharoitlarda funksiyalar nisbati chegarasi ularning hosilalari nisbati chegarasiga teng ekanligini tasdiqlaydi.

 Aniq ifodalanishi 
Lopital teoremasi:

Agar:   nuqtaning  teshilgan atrofida differensiallanadigan haqiqatan qiymatli funksiyalardir, buyerda  haqiqiy son yoki  belgilaridan biri, buning ustiga

  yoki ;
 ,  ichida;
  mavjud;

bunday holda  mavjud.

Chegaralar ham bir tomonlama bo‘lishi mumkin.

 Tarix 
Ushbu turdagi noaniqlikni hal qilish usuli Giyom Lopital tomonidan 1696 yilda „Analyse des Infiniment Petits“ darsligida nashr etilgan. Usul Lopitalga uning kashfiyotchisi Iogan Bernulli tomonidan maktubda xabar qilingan Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of , p.216.
 Misollar 



 Bu yerda Lopital qoidasini 3 marta qo‘llash mumkin, ammo boshqacha qilish ham mumkin. Surat va maxrajni eng katta darajasida  ga bo‘lish kerak (bizning holatlarimizda ). Bu misol natijasi quyidagicha bo‘ladi:

  —  marta qoidani qo‘llash;
   da;
  .

 Natija 
Lopital qoidasining oddiy, ammo foydali natijasi, funksiyalarning differentsialligi mezoni quyidagicha:

 nuqtaning teshilgan atrofida  funksiyasi differensiallanuvchi bo‘lsin va aynan shu nuqtada u uzluksiz va hosilaviy  chegaraga ega. Bunda  funksiyasi  nuqtaning o‘zida ham farqlanadi va  (yaʼni,  hosilasi  nuqtada uzluksiz).

Buni isbotlash uchun Lopital qoidasini  nisbatiga qo‘llash kifoya.

 Manbalar 

Turkum:Nomlangan qonunlar va qoidalar
Turkum:Chegaralar
Turkum:Matematik tahlil teoremalari