Sferik koordinatalar

Sferik koordinatalar sistemasi — uch oʻlchamli koordinatalar sistemasi boʻlib, fazodagi nuqtaning vaziyati uchta kattalik bilan () bilan aniqlanadi. Bu yerda  — koordinatalar boshigacha boʻlgan masofa,  va — mos holda zenit va azimutal burchaklar.

Zenit va azimut tushunchalari astronomiyada keng qoʻllanadi. Zenit — ixtiyoriy tanlangan nuqta (kuzatish nuqtasi) dan vertikal yuqoriga yoʻnalgan boʻlib, fundamental tekislikda yotadi. Astronomiyada fundamental tekislik sifatida ekvator yotgan tekislik yoki ekliptika tekisligi olinadi. Azimut — fundamental tekislikdagi ixtiyoriy tanlangan nur bilan boshlangʻich kuzatish nuqtasi orasidagi burchak.


 Boshqa koordinata sistemalariga oʻtish 
 Dekart koordinatalar sistemasi 

Agar nuqtaning sferik koordinatalari  berilgan boʻlsa, dekart koordinatalariga oʻtish uchun quyidagi formulalardan foydalaniladi:



Dekart koordinatalaridan sferik koordinatalarga oʻtish uchun esa:



Sferik koordinatalarga oʻtish yakobiani:



Shunday qilib, dekart koordinatalaridan sferik koordinatalarga oʻtishdagi hajm elementi quyidagi koʻrinishga ega boʻladi:


 Silindrik koordinatalar sistemasi 
Agar nuqtaning silindrik koordinatalari berilgan boʻlsa, sferik koordinatalarga oʻtish uchun quyidagi formulalardan foydalaniladi:


Yoki aksincha, sferik koordinatalardan silindrik koordinatalarga oʻtish uchun quyidagi formulalardan foydalaniladi:


Silindrik koordinatalardan sferik koordinatalarga oʻtish yakobiani :


 Sferik koordinatalar sistemasida differensiallash va integrallash 
 nuqtadan  nuqtaga oʻtkazilgan vektor  ning uzunligi quyidagiga teng:


bu yerda



Sferik koordinatalar ortogonal hisoblanadi. Shu sababli ularning metrik tenzori diagonal koʻrinishda boʻladihttps://archive.org/details/mathematicsofphy0002marg:


 Yoy uzunligi differensialining kvadrati:

 Lame koeffitsiyentlari:


 Kristoffel belgilari :





 Sferik koordinatalar sistemasida masofa 
Fazodagi vaziyati sferik koordinatalar sistemasida berilgan ikki nuqtaning joylashuvi quyidagicha boʻlsin:

U holda ushbu nuqtalar orasidagi masofani quyidagi formula orqali hisoblash mumkin:


 Harakat tenglamasi 
Nuqtaning vaziyati sferik koordinatalarda quyidagi koʻrinishda berilgan boʻlsin:


U holda uning tezligi:

hamda tezlanishi:


ga teng boʻladi.

Burchak momenti:


 oʻzgarmas boʻlganda yoki  boʻlganda, moddiy nuqtaning harakat tenglamasi qutb koordinatalar sistemasiga oʻtadi.



 Yana qarang 
 Eyler burchaklari
 Gipersferik koordinatalar

 Manbalar 






 Python tilida yozilgan programma