Delta-funksiya

Delta - funksiya yoki Dirak delta funksiyasi
325px|thumb|Delta-funksiyaning sxematik grafigi
 Fanga kiritilish tarixi va matematik isboti 
Birinchi marta 1926-yilda Dirak tomonidan kiritilgan -funksiya odatda quyidagicha ta'riflanadi:
 , agar 
 , agar 
 , agar 

Integrallash chegaralari  bo`lishi shart emas. Delta-funksiya cheksiz bo`lgan nuqtani o`z ichiga olgan har qanday soha integrallash sohasi bo`lishi mumkin. Delta-funksiyaning ma'nosi ham shundaki, integral uning argumenti bo`yicha olinadi.

Har qanday uzluksiz  funksiya uchun yozish mumkin:

, agar 

Haqiqatdan,  xususiyatiga muvofiq, yuqoridagi integralda faqat  nuqta atrofigina ahamiyatlidir. Cheksiz kichik sohada uzluksiz funksiyani o`zgarmas hisoblash mumkin. U vaqtda  funksiyaning  qiymatini integral belgisining oldiga chiqariladi. Qolgan integral esa 3-formulaga asosan birga tengdir.

Delta-funksiya uchun muhim bo`lgan yana bir formulani qarab ko`raylik:

,
agar 

Haqiqatdan ham, agar  ni  orqali belgilasak,

U vaqtda (1) va (2) formulalarga asosan,

 agar
 agar 

(5) da ifodalangan tenglik belgisining ma'nosi shundan iboratki, uning o`ng va chap tomonlari integral ostidagi ko`paytuvchilar sifatida olinib, bir xil natija beradi.

Tenglamaning chap tomonini ko`rib chiqaylik. Agar   bo`lsa,


bo`ladi. Ammo (6) ga muvofiq,

Endi (6)-(8) ifodalarni nazarda tutib, delta-funksiya ta'rifiga asosan yozishimiz mumkin

demak,

Agar  bo`lsa,


bo`ladi.

(5) ning o`ng tomonidan olingan integral esa


bo`ladi.

Shunday qilib, (5) ifoda isbotlandi. Xususiy hol  uchun

 Xossalari 
 Delta-funksiya - juft funksiya hisoblanadi.

 , bu yerda  -  funksiyaning nollari
 Bir o`lchamli Delta-funksiyadan olingan integral Heaviside funksiyasi beradi:

 Delta-funksiyaning filtrlash xossasi:

 Integral tasavvurlar 

Amaliyotda, ko`pincha, Delta-funksiyaning integral ko`rinishidan foydalanish qulay:

 Yana qarang 
 Green-funksiyasi
 Bessel-funksiyasi

 Adabiyotlar 
 Mallin R.X., Klassik elektrodinamika, O`qituvchi, - T. 1974
 Дирак П. А. М. Основы квантовой механики / Пер. с англ. — М., 1932 (есть много переизданий).

Turkum:Funksiyalar