Квадраттыг деңнелгелер

Квадраттыг деңнелге — ийиги чаданың алгебра деңнелгези, ооң ниити хевири болза

ында  — билдинмес, а ,  болгаш  коэффициенттилер — боттуг азы комплекстиг саннар.

 Квадраттыг деңнелгелер чижектери 
1.1 Ийиги кежигүннүң квадрадын ылгап тургаш квадраттыг деңнелгелерни бодаары.
 (1)
деп квадраттыг деңнелгени графиктиг арга-биле бодап болур.

 Ол деңнелгени графиктер тургуспайн бодап болур бе? 
  деп үш кежигүнден ийи кежигүннүң квадрадын ылгап алыр. Бир эвес  каттыныгны ийи кежигүннүң бирги кежигүннүң квадрады кылдыр, а  деп каттыныгны бирги кежигүннүң ийигизинге көвүдээшкинин ийи катап улгаттырганы кылдыр көөр болза,  деп тождестводан 3 деп сан ийи кежигүннүң ийиги кежигүнү болур.

Үш кежигүнге  болгаш аңаа удурланышкак –  деп саннарны кадыптар. Оон үнүп келири:
     (1)
деп деңнелге
 (2)
деп деңнелгеге дең күштүг.

деп деңнелгениң солагай талакы кезээн квадраттарнын ылгалы ышкаш кылдыр чарыптаалыңар:

(x+3-2)(x+3+2) = 0, 

тодаргайлаарга (х+1)(х+5) = 0(3)

деп деңнелгениң дөстериниң бөлүү -5; -1 аңаа дең күштүг (1) деп деңнелгениң дөстериниң бөлүү база болур.

Деңнелгениң солагай талакы кезээнде ийи кежигүннүң квадрадын ылгаарының аргазын ажыглап тургаш, а≠0 турда, ax^2 + bx + c = 0 хевирлиг элээн каш деңнелгелерден бодаалыңар.

Чижек 1.  х^2 - 5х + 8 = 0 деп деңнелгени бодаар.

х^2 - 5х + 8 деп үш кежигүнден ийи кежигүннүң квадрадын ылгап алыр.  Бир эвес х^2-ты ийи кежигүннүң бирги кежигүннүң квадрады кылдыр, а 5х-ти бирги кежигүннүң ийигизинге көвүдээшкинин ийи катап улгаттырганы (5х=2×х×5/2 ) кылдыр көөр болза, 5/2 деп сан ийи кежигүннүң ийиги кежигүнү болур. 

Үш кежигүнге (5/2)^2 болгаш - (5/2)^2 деп ийи удурланышкак саннарны кадыпкаш, ундуруп алыры:
х^2 - 5х + 8 = х^2 – 2 ×х× 5/2 + (5/2)^2 - (5/2)^2 + 8 = (х - 5/2)^2 - 25/4 + 8 = (х - 5/2)^2 + 7/4 .

Бердинген деңнелге 
(х - 5/2)^2 + 7/4 = 0

деп деңнелгеге дең күштүг. x кандыг-даа значениелиг турда, (x - 5/2)^2 + 7/4 деп көргүзүгнүң значениези кадар болганда, үнүп келген деңнелгениң дөстериниң бөлүү – куруг бөлүг – x^2 - 5x + 8 = 0 деп деңнелгениң дөстериниң бөлүү база болур.

Чижек 2.  х^2 - 18х + 81 = 0 деп деңнелгени бодаар.

Деңнелгениң солагай талакы кезээнде үш кежигүн х – 9 деп ийи кежигүннүң квадрадынга дең куштуг. ынчангаш, ол деңнелгени мындыг хевирлиг кылдыр бижип болур:
(х-9)^(2 )=0

Чүгле х=9 турда, деңнелгениң солагай талакы кезээ тикче шилчий бээр.
х^2 - 18х + 81 = 0 деп деңнелге 9-ка дең чүгле чаңгыс достүг.

 Чижек 3. 

 Квадраттыг деңнелге дөстериниң формулазы 
Ийи кежигүннүң квадрадын ылгап тургаш, квадраттыг деңнелгелерни бодаар арга-биле танышкан бис. Ынчалза-даа ол арга шүүттүг чаартылгалар кылырын негээр. Ынчангаш квадраттыг деңнелгени ниити хевирге турда  бодааш, ооң дөстериниң формулазын үндүрүп алгаш, оон квадраттыг деңнелгелерни ол формула биле бодаарга эптиг.
а ≠ 0 турда,
(ax)^2 + bx + c = 0    (1)
деп деңнелгени бодаарда, ооң бүгү кежигүннерин а-га үлептер. Оон аңаа дең куштуг
х^2 + b/aх + c/a = 0    (2)
деп деңнелге үнуп келир.
х^2 + b/aх + c/a деп үш кежигүнден ийи кежигүннүң квадрадын ылгап алыр:
х^2 + b/aх + c/a = х^2 + 2х×b/2a + (b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c/a = (x+b/2a)^2 - (b^2-4ac)/(4a^2 ) .
(2) деп деңнелге
(x+b/2a)^2 - (b^2-4ac)/(4a^2 ) = 0    (3)
деп хевирлиг апаар.
(3) деп деңнелгениң ((1) деп деңнелгениң база) дөстериниң саны (b^2-4ac)/(4a^2 )  деп үүрмек санның демдээнден хамааржыр. а ≠ 0 болганда, үүрмек санның хемчекчизи а кандыг-даа турда кадар болур, ынчангаш үүрмек санның демдээ ооң санакчызының демдээ-биле тодараттынар. 
b^2-4ac деп көргүзүгнү D деп үжүк-биле демдеглеп алгаш, (3) деп деңнелгени мындыг хевирлиг кылдыр бижиир: 
(x+b/2a)^2 - D/(4a^2) = 0               
	D ˂ 0, ынчан D/(4a^2 ) деп үүрмек санның значениези казыыр болур, а (x+b/2a)^2 - D/(4a^2 ) деп көргүзүгнүң значениези х кандыг-даа турда кадар болур. Ынчангаш бо таварылгада (3) деп деңнелге (аңаа дең куштуг (1) деп деңнелге база) дөстер чок бооп турар. 
	D = 0, ынчан (3) деп деңнелге мындыг хевирлиг апаар:
(x+b/2a)^2 = 0.
Үнүп келген деңнелге (аңаа дең куштуг (1) деп деңнелге база) чүгле чаңгыс - b/2a –ге дең дөстүг бооп турар.
	 D ˃ 0, ынчан D/(4a^2 ) деп үүрмек санны квадраттыг хевирге бижип алыр: D/(4a^2 ) (√D/2a  )^2. Ынчан (1) деңнелге
(x+b/2a)^2 - √D/2a  )^2 = 0
деп деңнелге дең куштуг болур, тодаргайлаарга 
(x+ b/2a + √D/2a) (x+ b/2a - √D/2a) = 0.
Оортан: 
x+ b/2a + √D/2a = 0 азы x+ b/2a - √D/2a = 0, 
Тодаргайлаарга
x = (-b- √D)/2a  азы x =(-b+√D)/2a .
(1) деп деңнелге (-b- √D)/2a болгаш (-b+√D)/2a  деп ийи дөстуг бооп турар.
Квадраттыг деңнелгениң дөстериниң формулазы деп адаар көргүзүгнү кысказы-биле мынчаар бижиир:
D = b^2-4ac турда, x = (-b ± √D)/2a.
Квадраттыг деңнелгениң дөстериниң бар болурун болгаш оларнын саны D = b^2-4ac деп көргүзүгнүң значениезинден хамааржыр. Ол көргүзүгнү квадраттыг деңнелгениң дискриминантызы дээр (латиннеп «дискриминант» дээрге «ылгакчы» дээн).
D ˂ 0 турда деңнелге дөстер чок, D = 0 турда ол - b/2a деп чаңгыс дөстүг, D ˃ 0 турда, деңнелге (-b- √D)/2a болгаш (-b+√D)/2a  деп ийи дөстуг болур.

Квадраттыг деңнелгениң дөстериниң формулазын D=0 турар таварылгада база ажыглап болур.  
D = 0 турда, формула мындыг хевирлиг апаар:
x = (-b ± √0)/2a.
Оортан x = - b/2a болур.
Ынчангаш, ук формуланы дөстерлиг кандыг-даа квадраттыг деңнелгеге ажыглап болур. 
Үндүрүп алган формуланы ажыглап, квадраттыг деңнелгелерни бодаарын көргүскен.

Чижек 1. 12х^2 + 7х +1= 0 деп деңнелгени бодаар.
Бо деңнелгеде а=12, b=7, с=1.
Дискриминантызын тып алыр:
D = 7^2 – 4 × 12× 1 = 1
Дискриминант кадар болганда, деңнелге ийи дөстүг, оларны квадраттыг деңнелгениң дөстериниң формулазын ажыглап тургаш тывар:
x = (-7 ± √1)/24.
Оортан: 
x_1 = (-7- 1)/24 = - 1/3, x_2 = (-7+1)/24 = - 1/4
Деңнелгениң дөстериниң бөлүү: - 1/3; - 1/4.

Чижек 2.  х^2 - 12х + 36 = 0 деп деңнелгени бодаар.
а=1, b= - 12, с=36
D = (-12)^2– 4 × 1× 36 = 0
Деңнелге чүгле чаңгыс дөстүг: x = (12 ± √0)/2 = 6.
Чижек 3.  7х^2 - 25х + 23 = 0 деп деңнелгени бодаар.
Мында, а=7, b= - 25, с=23.

D = (-25)^2– 4 × 7× 23 = 625 – 644 = - 19

Дискриминант казыыр болганда, деңнелгениң дөстери чок.

Квадраттыг деңнелгениң дөстериниң формулазы биле а ≠ 0 турда, ах^2 + + bx + c = 0 хевирлиг деңнелгелерниң b азы c деп коэффициентилериниң кайы-бирээзи тикке дең турда, ындыг тускай хевирлерин бодап болур. Ындыг квадраттыг деңнелгелерни долу эвес деп адаар.  
Чижээ, 3х^2 + 17х = 0, х^2 – 1,21 = 0, 7х^2= 0 – долу эвес квадраттыг деңнелгелер. Бирги деңнелгеде а=3, b=17, с=0, ийигизинде а=1, b=0, с= - 1,21, үшкүзүнде а=7, b=0, с=0.
Үндүрүп алган формуланы х^2 – 1,21= 0 деп долу эвес квадраттыг деңнелгени бодаарынга ажыглаар:
D = (0)^2 - 4 × 1× (-1,21) = 4,84,

x = (0 ± √4,84)/2, x = - 1,1 азы x = 1,1.

aх^2 + bх = 0 болгаш aх^2 + с = 0 хевирлиг долу эвес квадраттыг деңнелгелерни мурнунда кылып турганы ышкаш кылдыр, солагай талакы кезээн көвүдедикчилерге чарып тургаш бодаарга эптиг. 

Чижээ, х^2 – 1,21= 0 деп деңнелгеге үндүрүп алыр болза:
(x + 1,1) (x-1,1)=0,
x = - 1,1 азы x = 1,1.

7х^2= 0 деп деңнелге 0 деп санга дең чүгле чаңгыс дөстүг.

 Виеттиң теоремазы 

деп деңнелге  биле  деп дөстерлиг.

Дөстериниң түңү -ге, а көвүдээшкини -ге дең.

Көрүп турар деңнелгевистиң дөстериниң түңү ийиги коэффициентиниң бирги коэффициентиге хамаарылгазын удурланышкак демдектиг кылдыр алганынга дең, а дөстериниң көвүдээшкини хостуг кежигүннүң бирги коэффициентиге хамаарылгазынга дең дээрзин эскерери берге эвес.

Ийи дөстүг квадраттыг кандыг-даа деңнелгениң дөстериниң түңү биле көвүдээшкини ындыг бот-шынарларлыг бооп турар бе?

D˃0 турда ax^2 + bx + c = 0 деп квадраттыг деңнелге ийи дөстүг болур дээрзи билдингир. Оларны  болгаш  деп демдеглеп алыр:

 ,
 .

Дөстериниң түңү биле көвүдээшкинин тывар:
 ,



Ынчангаш,
 .
  турда  деп квадраттыг деңнелге чүгле чаңгыс дөстүг болур, ону
 ,
 деп формула-биле тып ап болур.

Бир эвес  турда квадраттыг деңнелге ийи дең дөстүг деп санаар кылдыр дугуржуп алыр болза, үндүрүп алган түңнелдиң ынчан дөстери бар квадраттыг кандыг-даа деңнелгеге хамааржыр апаар.

Ынчангаш, мындыг теорема чөптүг болур:
  деп квадраттыг деңнелгениң дөстериниң түңү -ге дең, а дөстериниң көвүдээшкини -ге дең.

Бо теореманы алдарлыг француз математик Франсуа Виеттиң (1540-1603) ады-биле Виеттиң теоремазы деп адаар. 

Квадраттыг бөдүүнчүткен деңнелгениң таварылгазында ооң дөстери биле коэффициентилериниң аразында хамааржылгалары элээн бөдүүн хевирлиг апаар. 
Бир эвес дөстери бар  деп деңнелгеде  деп коэффициент 1-ге дең болза, ынчан дөстериниң түңү -ге дең, а дөстериниң көвүдээшкини -ге дең, тодаргайлаарга квадраттыг бөдүүнчүткен деңнелгениң дөстериниң түңү удурланышкак демдектиг кылдыр алган ийиги коэффициентизинге дең, а дөстериниң көвүдээшкини ооң хостуг кежигүнүнге дең.

Чижелээрге, 

деп деңнелгеде дискриминант кадар болганда , деңнелге ийи дөстүг болур.  биле  - деңнелгениң дөстери. Виеттиң теоремазын ёзугаар ,  болур. 

Виеттиң теоремазынга дедир теорема база чөптүг бооп турар: Бир эвес  биле  деп саннарның түңү -ге дең, а көвүдээшкини -ге дең болза, ынчан ол саннар  деп квадраттыг деңнелгениң дөстери болур.

Шынзытканы:
 (1)
 деп деңнелгеге

 деп деңнелгеге дең күштүг.