Архимед спирале

Архиме́д спира́ле — спираль, яссы кыек, башлангычы O-да булып OV нуры буйлап бертөрле тигез чамалы итеп хәрәкәтләнүче M (1-енче рәсемне кара) ноктасының траекториясе. Башка сүзләр белән ρ = OM арасы OV нурының φ борылу почмагына пропорциональ.
OV нурының бер почмакка борылышына бер һәм шул ук ρ артуы тәңгәл килә.
Бу спиральнең хасиятләре борынгы грек галиме Архимед тарафыннан "Спиральләр турында" иншасында тасвирланган.
 Тасвирлама 
Поляр координаталар системасында Архимед спираленең тигезләмәсе шулай дип языла:

 (1)  

биредә k — M ноктасының r нуры буенча бер радианга тигез почмакка борылганда күчеше.

Турының -га борылышына  a = |BM|  = |MA| =  күчеше тәңгәл килә.
a саны «спираль адымы» дип атала. Архимед спираленең тигезләмәсен башкача шулай дип язарга мөмкин:



Нурны сәгать йөрешенә каршы борганда уң спираль (зәңгәр сызык) (2-енче рәсемне кара), сәгать йөреше буенча борганда — сул спираль (яшел сызык) барлыкка килә.


Спиральнең ике ботагы да (уң һәм сул) бер тигезләмә белән тасвирлана (1). Уңай кыйммәтләргә  уң спираль, тискәреләргә — сул спираль туры килә. Әгәр M ноктасы UV турысы буенча тискәре кыйммәтләрдән O әйләнү үзәге аша һәм дәвам итеп уңай кыйммәтләргә UV турысы буйлап хәрәкәтләнсә, M ноктасы спиральнең ике ботагын да сызачак.

Башлангыч O ноктасыннан сызылган OV нуры спиральне чиксез кат кисеп уза — B, M, A нокталары һ.б. B һәм M, M һәм A нокталары аралары спираль адымы -га тигез. Спираль сүтелгәндә O ноктасыннан M ноктасына кадәр ара чиксезлеккә омтыла һәм спиральнең адымы даими (чикле) булып кала, ягъни үзәктән ераграк булган саен, спиральнең чорнамнары әйләнәгә якынлаша.

 Сектор мәйданы 
OCM секторының мәйданы :

  ,

биредә , , .

, ,  булганда, формула (2) формула беренче спиральнең беренче чорнамы һәм CO кисемтәсе арасында фигураның мәйданын бирә:

 ,

биредә  — радиусы спиральнең адымы — -га тигез түгәрәкнең мәйданы .

Барча бу хасиятләр һәм тигезләмәләр Архимед тарафыннан ачылган булган.

 Архимед спирале дугасы озынлыгын исәпләү 
Дуганың чиксез кечкенә кисемтәсе  шуңа тигез (рәс.3 кара):


 ,

биредә  —  почмагының -га арттырганда радиусның артышы.
Чиксез кечкенә  почмак артышы өчен түбәндәге дөрес:

 .

Шуңа күрә:



 һәм

  булганга күрә

яки



 .

 дугасының озынлыгы -дан  буенча -дан -га кадәр интегралга тигез:



 .Weisstein, Eric W. Archimedes' Spiral Wolfram MathWorld сайтында.

 Өч үлчәмле гомумиләштерү 
Архимед спираленең өч үлчәмле гомумиләштерүе дип коник спиральнең конус күчәренә перпендикуляр яссылыкка проекциясен санарга була.

 Искәрмәләр 

 Сылтамалар 

Төркем:Геометрия