Позицион исәпләү системасы

Позицион исәпләү системасы (позицион нумерация) — санның язылышында һәр санлы тамганың (цифрның) кыйммәте аның позициясенә (разрядына) бәйле булган исәпләү системасы.
 Тарихы 

Цифрларның урыны буенча кыйммәтенә нигезләнгән позицион нумерлавы шумерлар һәм  вавилонлылар уйлап тапкан дип исәпләнә. Азаккы периодта мондый нумерацияне индуслар үстерәләр һәм цивилизация  тарихында бәяләп бетергесез нәтиҗәләргә киләләр. Мондый системалар исәбенә унарлы исәпләү системасы керә, аның барлыкка килүе бармаклар белән исәпләүгә бәйле. Урта гасырлар Европасына ул итальян сәүдәгәрләре аша килеп керә, алар үз чиратында Урта Азия халкыннан үзләштергәннәр.
 Билгеләмәләр 
 Позицион исәпләү системасы, исәпләү системасының нигезе дип аталган бөтен  саны белән билгеләнә. Нигезе  булган исәпләү системасы шулай ук -арлы (аерым әйткәндә, икеле, өчәрле, унарлы һәм башка) исәпләү системасы дип атала.
Тамгасыз  бөтен саны -арлы исәпләү системасында  саны дәрәҗәләренең чикле сызыкча комбинациясе рәвешендә күрсәтелә :
 , монда  —    тигезсезлеген кәнәгатьләндергән, цифрлар дип аталган бөтен саннар.
Бу язылышта һәр  базис элементы разряд (позиция) дип атала, разрядларның һәм аларга ярашлы цифрларның олылыгы разрядның (позициянең) номеры  (дәрәҗә күрсәткеченең кыйммәте) белән билгеләнә.
-арлы исәпләү системасында  позициясе ярдәмендә -дән -гә кадәр  диапазондагы бөтен саннарны язарга мөмкин, ягъни бөтенесе төрле  сан.
 Саннарны язу 
Әгәр төрлечә уку мөмкинлеге тумаса (мәсәлән, бөтен цифрлар да уникаль язма тамгалар рәвешендә күрсәтелгән),  саны аның -арлы цифрлары дәвамлыгы рәвешендә, уңдан сулга карый разрядлары олылыгы кими бару тәртибендә тезеп языла:

Нульдән аермалы  санында баштагы нульләр гадәттә язылмый.

Нигезләре, 36-ны да кертеп, 36-га кадәр булган исәпләү системаларында саннарны язу өчен цифрлар (тамгалар) сыйфатында гарәп цифрлары кулланыла (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) һәм, азак, латин алфавиты хәрефләре (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). Шуның белән бергә, a = 10, b = 11 һәм башка шулай, кайсы бергә x = 10.
Бер үк вакытта бер ничә исәпләү системасы белән эшләгәндә, аларны аеру өчен гадәттә системаның нигезе астагы индекс рәвешендә күрсәтелә, нигез унарлы системада языла:
  — бу 123 саны унарлы исәпләү системасында;
  — шул ук сан сигезәрле исәпләү системасында;
  — шул ук сан, ләкин икеле исәпләү системасында;
  — шул ук сан, ләкин унарлы цифрлары икеле кодланган унарлы исәпләү системасында (BCD);
  — шул ук сан, ләкин симметрик булмаган өчәрле исәпләү системасында;
  — шул ук сан, ләкин симметрик өчәрле исәпләү системасында, «i», «7», «2» һәм «−» тамгалары «−1»-не аңлата, «1» һәм «+» тамгалары «+1»-не аңлата.
Кайсыбер махсус өлкәләрдә нигезне күрсәтүнең аерым кагыйдәләре кулланыла. Мәсәлән, программалауда алтмышарлы система шулай тамгалана:
 ассемблерда һәм конкрет телгә бәйләнмәгән гомуми төрдәге язуларда, h хәрефе белән (hexadecimal сүзенән) санның азагында (синтаксис Intel);
 Паскальдә «$» тамгасы белән санның алдында;
 Си һәм күп башка телләрдә 0x яки 0X комбинациясе белән (hexadecimal сүзеннән) башта.
Си теленең кайсыбер диалектларында  «0x»-ка охшашлык буенча икеле саннарны тамгалау өчен «0b» префиксы кулланыла («0b» тамгалавы ANSI C стандартына керми).
 Мисаллар 
 2 — икеле (дискретлы математикада, информатикада, программалауда)
 3 — өчәрле исәпләү системасы
 4 — дүртәрле исәпләү системасы
 8 — сигезәрле (программалауда)
 10 — унарлы исәпләү системасы
 12 — уникеле (борын киң кулланылган, кайсы бер аерым өлкәләрдә хәзер зә кулланыла)
 16 — уналтылы (күбрәк программалауда кулланыла, шулай ук шрифтларда)
 20 — егермеле (майя һәм ацтекларда кулланылган)
 40 — кырыгарлы исәпләү системасы (элек кулланылган: аерып әйткәндә, «кырык кырыкын» = 1600)
 60 — алтмышарлы (Борынгы Вавилонда кулланылган, ә азаграк борынгы грек астрономнары тарафыннан йолдызларның почмакча координаталарын (озынлыгын һәм киңлеген) һәм вакытны үлчәгәндә кулланганнар). Хәзерге көндә дә тәүлек вакытын үлчәүдә кулланыла.
 Үзенчәлекләре 
Позицион исәпләү системасы берничә үзенчәлеккә ия:

 Исәпләү системасының нигезе аның үзендә һәр чак 10 дип языла; мәсәлән, икеле исәпләү системасында 10 2 санын аңлата. Бу раслау унар исәпләү системасына кулланыла алмый, анда бер генә цифр кулланыла.
 x санын b-арлы исәпләү системасында язу өчен  цифр таләп ителә, монда  санның бөтен өлешен алуны аңлата.
 Позицион исәпләү системасында язылган саннарны, алдан аларны башта торган нульләр белән бер үк озынлыкка кадәр тигезләгәндә,  разрядлары буенча  чагыштырырга мөмкин. Бу вакытта чагыштыру өлкәнрәк разрядтан бәләкәйрәгенә, бер сандагы цифр икенче сандагы ярашлы цифрдан зуррак булганга кадәр дәвам итә. Мәсәлән, унарлы исәпләү системасында язылган 321 һәм 312 саннарын чагыштыру өчен бер үк разрядлардагы цифрлар сулдан уңга чагыштырыла:
 3 = 3 — саннарны чагыштыру нәтиҗәсе әлегә билгесез;
 2 > 1 — беренче сан зуррак (калган цифрларга бәйсез рәвештә).
 Шулай итеп, саннарның позицион исәпләү системасында язылышында, бу язулар  башта торган нульләр белән бер үк озынлыкка кадәр тигезләнгәндә, саннардагы табигый тәртип лексикографик тәртипкә ярашлы. 
 Саннар өстендә арифметик гәмәлләр. Позицион исәпләү системасы, тик бер урынлы саннарны кушу таблицасын, ә калган өч гамәл өчен тагын да ярашлы системада кабатлау таблицасын (карагыз, мәсәлән, баганалап бүлү) белгән хәлдә, бер кыенлыксыз кушу, алу, тапкырлау, бүлү һәм калдыклы бүлү гамәлләрен башкарырга мөмкинлек бирә.
 Экономиялык 

Нигезе  булган исәпләү системасы цифрлы техникада, һәр берсе санның цифрларын кодлаучы   төрле торышта кабул итә алган триггерлар җыелмасыннан торган регистрлар белән тормышка ашырыла. Бу вакытта исәпләү системасының экономиялылыгы — мөмкин кадәр әз сандагы гомуми тамгалар ярдәмендә мөмкин кадәр күбрәк сандагы саннарны күрсәтү мөмкинлеге — бигрәк тә зур әһәмияткә ия. Әгәр триггерлар саны -га тигез булса, ул чакта гомуми тамгалар саны -га тигез, ә алар ярдәмендә язылырга мөмкин булган саннар саны ярашлы рәвештә — . -дан функция буларак. Бу аңлатма   e = 2,718281828… санына тигез булганда үзенең максимум кыйммәтен кабул итә , -ның бөтен кыйммәтләрендә  булганда максимумына ирешә. Шулай итеп, өчәрле исәпләү системасы (өчәрле ЭВМ-нарда кулланылган) иң экономиялесе була, аның артыннан икеле исәпләү системасы (гадәттә күпчелек киң таралган ЭВМ-нарда кулланылган) һәм дүртәрле исәпләү системасы килә.

Исәпләү системасының экономиялелеген эквивалентлы тасуирлауны, мәглүмати энтропия төшөнчәсен кулланып алырга була. Санның язылышында һәр цифрның күренүенең тигез ихтималлыгы шартларында, n-разрядлы санлы нигезе b булган исәпләү системасында язуның мәглүмати энтропиясе  кыйммәтен кабул итә (даими коэффициентка кадәр тәгаенлек белән). Шуңа күрә нигезе b булган исәпләү системасында саннарның язу тыгызлыгы (ягъни, бер разрядка мәгълүмат микъдары) -га тигез, ул шулай ук иң зур кыйммәтен b = e булганда, ә b-ның бөтен кыйммәтләре өчен b = 3 булганда кабул итә.
 Икенче нигезгә күчү 
 Унарлы исәпләү системасына күчерү 
Әгәр сан -арлы исәпләү системасында
  тигез булса,
ул чакта аны унарлы исәпләү системасына күчерү өчен шундый сумманы исәплибез:


яки, ачыграк күренештә:

яки, азак килеп, Горнер схемасы күренешендә:

Мәсәлән:
 1011002 =
 = 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 =
 = 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 =
 = 32 + 8 + 4 + 0 = 4410
 Унарлы исәпләү системасыннан күчерү 
 Бөтен өлеше
 Унарлы санның бөтен өлөшен, унарлы сан нульгә тигез булганга кадәр, дәвамлы итеп нигезгә бүлергә.
 Бүлгәндә табылган калдыклар кирәкле санның цифрлары булып торалар. Яңа системада санны соңгы калдыктан башлап язалар.
 Вакланма өлеше
 Унарлы санның вакланма өлешен күчерергә кирәк булган системаның нигезенә тапкырлыйбыз. Бөтен өлешен аерабыз. Вакланма өлешен яңа системаның нигезенә кабатлауны, ул нульгә тигез булганга кадәр дәвам итәбез.
 Яңа системада санны, кабатлау нәтиҗәсенең табу тәртибендә язылган бөтен өлешләре төзи.
 Мисал
 санын икеле системага күчерик:
 44-не 2-гә бүләбез. бүлендек 22, калдык 0
 22-не 2-гә бүләбез. бүлендек 11, калдык 0
 11-зе 2-гә бүләбез. бүлендек  5, калдык 1
  5-те 2-гә бүләбез. бүлендек  2, калдык 1
  2-не 2-гә бүләбез. бүлендек  1, калдык 0
  1-зе 2-гә бүләбез. бүлендек  0, калдык 1
Бүлендек нульгә тигез, бүлү тәмамлана. Хәзер бөтен калдыкларны астан өскә карый язып  санын табабыз.
 Икеле исәпләү системасынан сигезле һәм уналтылы исәпләү системасына күчү 
Бу типтагы операцияләр өчен гадиләштерелгән алгоритм бар.
Сигезле исәпләү системасы өчен — күчерелә торган санны 2-нең дәрәҗәсенә тигез булган цифрлар санына бүлгәлибез (2, санны күчерергә кирәк булган системаның нигезе килеп чыксын өчен күтәрергә кирәк булган дәрәҗәгә күтәрелә (2³=8), Бу очракта 3, ягъни триада). Триадаларны триадалар  таблицасы буенча үзгәртәбез:
 000 0 100 4
 001 1 101 5
 010 2 110 6
 011 3 111 7
Уналтылы исәпләү системасы өчен — күчерелә торган санны 2-нең дәрәҗәсенә тигез булган цифрлар санына бүлгәлибез (2, санны күчерергә кирәк булган системаның нигезе килеп чыксын өчен күтәрергә кирәк булган дәрәҗәгә күтәрелә (24=16), Бу очракта 4, ягъни тетрад). Тетрадларны тетрадлар таблицасы буенча үзгәртәбез:
 0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 
 0001 1 0101 5 1001 9 1101 D
 0010 2 0110 6 1010 A 1110 E
 0011 3 0111 7 1011 B 1111 F
Мисал:
 үзгәртәбез 1011002
 сигезле — 101 100 → 548
 уналтылы — 0010 1100 → 2C16
 Сигезле һәм уналтылы исәпләү системасыннан икеле исәпләү системасына күчерү 
Бу типтагы операцияләр өчен гадиләштерелгән алгоритм бар.
Сигезле система өчен — таблица буенча триплетларга үзгәртәбез
 0 000 4 100
 1 001 5 101
 2 010 6 110
 3 011 7 111

Уналтылы система өчен — таблица буенча квартетларга үзгәртәбез
 0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 
 1 0001 5 0101 9 1001 D 1101
 2 0010 6 0110 A 1010 E 1110
 3 0011 7 0111 B 1011 F 1111
Мисал:
 үзгәртәбез
 548 → 101 100
 2C16 → 0010 1100
 Икеле исәпләү системасыннан сигезле һәм уналтылы исәпләү системасына күчерү 
Вакланма өлешен икеле исәпләү системасыннан сигезле һәм уналтылы исәпләү системасына күчерү санның бөтен өлөшен күчергәндәге кебек тормышка ашырыла, бары тик шул аерма белән, октаваларга һәм тетрадларга бүлү унарлы өтердән уңга карый бара, тулмаган разрядлар уңнан нульләр белән тутырыла. Мәсәлән, югарыда каралган 1100,0112 саны 14,38 яки C,616 күренешендә булачак.
 Ирекле исәпләү системасынан унарлы исәпләү системасына күчерү 
Икеле 1100,0112 санын унарлы исәпләү системасына күчерү мисалын карыйк. Бу санның бөтен өлеше 12-гә тигез (югарыда карагыз), ә вакланма өлөшен күчерүне җентекләп карыйк:

Шулай итеп, 1100,0112 = 12,37510.
Теләсә нинди исәпләү системасыннан күчерү тап шулай ук тормышка ашырыла, бары тик «2» урынына системаның нигезе куела.
Күчерү уңайлы булсын өчен, санның бөтен һәм вакланма өлешләрен аерым күчерәләр, ә нәтиҗәне азак берләштерәләр.
 Унарлы исәпләү системасыннан ирекле системага күчү 
Санның вакланма өлешен башка исәпләү системаларына күчерү өчен аның бөтен өлөшен нульгә әйләндерергә һәм килеп чыккан санны күчерергә кирәк булган системаның нигезенә тапкырлый башларга кирәк. Әгәр кабатлау нәтиҗәсендә яңадан бөтен өлөш барлыкка килсә, килеп чыккан бөтен өлешнең кыйммәтен истә калдырып (язып куеп), аны янә нульгә әйләндерергә кирәк. Вакланма өлеше тулысынча нульгә әйләнгәч операция тәмамлана. Түбәндә 103,62510 санын икеле исәпләү системасына күчерү мисалы китерелә.

Бөтен өлешен югарыда тасвирланган кагыйдә буенча күчереп табабыз 10310 = 11001112.
 0,625-не 2-гә тапкырлыйбыз. Вакланма өлеше 0,250. Бөтен өлеше 1.
 0,250-не 2-гә тапкырлыйбыз. Вакланма өлеше 0,500. Бөтен өлеше 0.
 0,500-не 2-гә тапкырлыйбыз. Вакланма өлеше 0,000. Бөтен өлеше 1.
Шулай итеп, өстән аска 1012 санын алабыз. Шуңа күрә 103,62510 = 1100111,1012

Нәкъ шулай ук теләсә нинди нигезле исәпләү системасына күчерү башкарыла. 

Баштан әйтеп китергә кирәк, Бу мисал махсус сайланган, гомуми очракта санның вакланма өлешен унарлы исәпләү системасыннан башка исәпләү системаларына күчерүне бик сирәк очракта тәмамлауга ирешеп була, шуңа күрә, күпчелек очракта, күчерүне берни кадәр хата белән башкарырга мөмкин. Өтердән соң тамгалар ни кадәр күбрәк булса, шул кадәр күчерү нәтиҗәсенең якынча кыйммәте дөрескә якынырак була. Әгәр, мәсәлән, 0,626 санын икеле кодка күчереп караганда, бу сүзләрнең дөреслегенә җиңел ышанып була.
 Вариациялар һәм гомумиләштерүләр 
 Рациональ саннарның язылышы 
 рациональ саны -арлы исәпләү системасында  санының дәрәҗәләренең сызыкча комбинациясе (гомумән алганда, чиксез) рәвешендә күрсәтелә:

монда  — бөтен өлешнең цифрлары (аергычка кадәр),  — вакланма өлешенең цифрлары (аергычтан соң),  — бөтен өлөшенең разрядлары саны.
-арлы исәпләү системасында бары тик , монда  һәм  — бөтен саннар, күренешендә күрсәтергә мөмкин булган рациональ саннарның гына ахыргы язуы бар:

монда  һәм   -ны -нә бүлгәндә ярашлы рәвештә бүлендекнең һәм калдыкның -арлы язылышы булып торалар.

 күренешендә күрсәтеп булмаган рациональ саннар периодлы вакланмалар рәвешендә язылалар.
 Симметрик исәпләү системалары 
Симметрик (тигезләшкән, тамга разрядлы) исәпләү системасы шуның белән аерыла, цифрларны  күплегеннән түгел, ә  күплегеннән алып кулланалар. Цифрлар бөтен булсын өчен,  так булырга тиеш. Симметрик исәпләү системаларында санның тамгасы өчен өстәлмә тамгалаулар кирәкми. Моннан тыш, симметрик системаларда исәпләүләр шуның белән уңайлы, түгәрәкләү өчен аерым кагыйдәләр кирәкми — ул артык разрядларны гади алып ташлауга кайтып кала. Бу исәпләүләрнең систематик хаталарын катгый киметә.
Ешрак симметрик өчәрле исәпләү системасы  цифрлары белән кулланыла. Ул өчәрле логикада кулланыла һәм «Сетунь» исәпләү  машинасында техник тормышка ашырыла.
 Тискәре нигезләр 

Нега-позицион дип аталган, нигезләре тискәре позицион системалар була:
 -2 — нега-икеле исәпләү системасы
 -3 — нега-өчәрле исәпләү системасы
 -10 — нега-унарлы исәпләү системасы
 Бөтен сан булмаган нигезләр 
Кайсыбердә шулай ук нигезләре бөтен сан булмаган позицион исәпләү системалары карыйлар: рациональ, иррациональ, трансцендентлы.
Мондый исәпләү системаларының мисаллары булып торалар:
 b = ⅓  булганда— рациональ вакланма нигезле исәпләү системасы, күчешнең өчәрле реверсивлы регистрларында бөтен саннарга тапкырлау һәм бүлү гәмәлләрен башкарырга мөмкинлек бирә ,
 b = ½ булганда — рациональ вакланма нигезле исәпләү системасы,
 b = φ = 1,61… булганда — «алтын киселешкә» тигез булган иррациональ нигезле Бергман исәпләү системасы.А. В. Никитин Система Бергмана.

 Комплекслы нигезләр 
Позицион исәпләү системасының нигезе шулай ук комплекслы сан булырга мөмкин. Бу вакытта аларда цифрлар, турыдан-туры бу исәпләү системаларында күрсәтелгән саннар белән арифметик гәмәлләр башкарырга мөмкинлек бирү шартын кәнәгатьләндерүче ниндидер чикле күплектән кыйммәтләр алалар.
Атап әйткәндә, комплекслы нигезле позицион исәпләү системалары арасында бары тик ике генә цифр 0 һәм 1 кулланылган икеле системаларны аерып карарга була.
 Мисаллар
Арлга таба позицион исәпләү системасын шундый күренештә язырбыз , монда  — исәпләү системасының нигезе, ә A — цифрлар күплеге. Атап әйткәндә, A күплеге шундый күренештә булырга мөмкин:

  монда  һәм .  булганда  күплеге  күплегенә әйләнә.
Комплекслы нигезле позицион исәпләү системаларына мисал булып торалар (алга таба j — уйланма берәмлек):

 Мисал: 

 Мисал: 

  монда ,  — бирелгән R өчен берничә кыйммәт кабул итә алган бөтен уңай сан;
  монда  күплеге  күренешендәге комплекслы саннардан тора, ә  Мәсәлән: 
  монда  .
 Икеле комплекслы исәпләү системалары
Түбәндә икеле позицион исәпләү системаларының нигезләре санап кителгән һәм аларда 2, −2 һәм −1 саннарының язылышлары бирелгән:
 :  (натураль нигезле исәпләү системасы);
 : , ,  (нега-позицион исәпләү системасы);
 : , ,  (комплекслы нигезле исәпләү системасы);
 : , ,  (комплекслы нигезле исәпләү системасы);
 : , ,  (комплекслы нигезле исәпләү системасы);
 : , ,  (комплекслы нигезле исәпләү системасы).
 Күрсәткечле булмаган исәпләү системалары 
Күрсәткечле исәпләү системалары күрсәткечле бәйләнешле позицион исәпләү системаларының аерым очраклары булып торалар. Күрсәткечле бәйләнеш урынына башка бәйләнешләр булырга мөмкин. Мәсәлән, гипероператорлы позицион исәпләү системасы

шул ук сандагы тамгалар белән саннарның зур диапазонын язарга мөмкинлек бирә.
 Искәрмәләр 

 Сылтамалар 



Төркем:Математика
Төркем:Саннар
Төркем:Исәпләү системалары