Тейлор рәте

Тейлор рәте - функцияне дәрәҗәле функцияләрнең чиксез суммасына таркату.

Тейлор үз эшен бастырганга кадәр шул рәтне 17 гасырда Ньютон һәм Герегори кулланганнар.

 ноктасында чиксез рәвештә дифференциалана торган   функциясенең Тейлор рәте болай бирелә:

 =  = 

биредә  - параметр
300px|мини|уңда|Экспоненциаль фунция ex - зәңгәр төстә, Тейлор рәтенең 0...n+1 әгъзалары (кызыл төстә) экспонентага омтыла
 булган очракта Маклорен рәте дип йөртелә

Әгәр  ноктасында  функциясе чиксез туры килүче дәрәҗәле функциональ рәт :  төрендә язылып булса, әлеге функция - аналитик функция дип атала.

Тейлор рәтенең җыелучанлык өлкәсе
Әгәр билгеләнгән өлкәдә аналитик функция үз Тейлор рәтенә тигез булса, ул өлкә - Тейлор рәтенең җыелучанлык өлкәсе дип атала.

Мәсәлән:  функциясе Тейлор рәтенә таркатылып була:  (билгеле геометрик прогрессия)

Ләкин бу функция  ноктада билгеләнмәгән, шуңа күрә Тейлор рәте тик  өлкәсендә җыела.

Тейлор рәтенең җыелучанлык радиусы Даламбер формуласында билгеләнә:

.

Тейлор тигезләмәсе

Әгәр  функциясе  һәм   арасындагы кисемтәдә  чыгарылмага ия булса, шунда  ноктасы янында функцияне болай таркатып була:

икенче әгъза - калдык әгъза дип атала

Калдык әгъза бирничә формада бирелеп була:
 Лагранж: 
Коши: 
интеграль формада: 

 Кайбер функцияләрнең Маклорен рәтләре 
Тейлор рәте  булган очракта Маклорен рәте дип йөртелә:
 Экспонента: 
 Натураль логарифм:  барлык  өчен
 Ньютон биномы:  для всех  һәм барлык комплекс   өчен , биредә 
 Квадрат тамыр:  бар  өчен
  барлык  өчен
 Чикле геометрик рәт:  бар  өчен
 Тригонометрик функцияләр:
 Синус: 
 Косинус: 
 Тангенс:  барлык   өчен,  —  Бернулли саннары
 Секанс:  барлык    өчен
 Арксинус:  барлык   өченПри значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой  где 
 Арккосинус:  барлык   өчен
 Арктангенс:  барлык   өчен
 Гиперболик функцияләр:


  барлык  өчен
  барлык   өчен
  барлык   өчен

Әдәбият
Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10-24.
Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, изд.: АЙРИС-пресс, 2002.
Төркем:Дифференциаль исәпләүТөркем:Математик анализТөркем:Рәтләр