Tüm atlar aynı renktedir

Tüm atlar aynı renktedir, matematiksel tümevarım yönteminin hatalı uygulanmasından kaynaklanan bir sahte paradokstur. Gerçekte ortada bir çelişki yoktur; zira ispatın mantık örgüsü, onu geçersiz kılan temel bir hata barındırır. Bu örnek ilk kez 1954'te George Pólya tarafından bir matematiksel tümevarım alıştırması olarak; "Herhangi n sayı eşit midir?" ve "Herhangi n kızın gözleri aynı renk midir?" sorularıyla ortaya konmuştur. Benzer bir yaklaşım "Tüm inekler aynı renktedir" şeklinde de ifade edilmiştir.Thomas VanDrunen, Discrete Mathematics and Functional Programming, Franklin, Beedle and Associates, 2012, Section "Induction Gone Awry"

Paradoksun "atlar" versiyonu, 1961'de Joel E. Cohen tarafından kaleme alınan hicivli bir makalede sunulmuştur. Bu örnek, yazarın Büyük İskender'in hiç var olmadığını ve sonsuz sayıda uzvu bulunduğunu "ispatlamasına" olanak tanıyan bir lemma olarak kullanılmıştır.

 Argüman 
küçükresim|Tümevarım adımının  için başarısız olduğu durum

Argüman, tümevarımla ispat yöntemine dayanır. Önce tek bir at için () temel durumun doğruluğu gösterilir. Ardından, eğer  at aynı renkteyse,  atın da aynı renkte olacağı iddia edilir.

 Temel durum: Bir at 
Sadece bir atın bulunduğu bir grupta, tüm atların aynı renkte olduğu aşikardır. Renk karşılaştırması yapılabilecek ikinci bir at bulunmadığından, "tüm atlar aynı renktedir" önermesi  için doğru kabul edilir.

 Tümevarım adımı 
Herhangi bir  sayıda atın aynı renkte olduğunu varsayalım. Şimdi  attan oluşan bir küme ele alalım.

Bu kümeden bir atı dışarı çıkaralım; geriye kalan  at, varsayımımız gereği aynı renktedir. Daha sonra, çıkarılan bu atı geri koyup kümeden başka bir at çıkaralım. Geriye kalan  at yine varsayım gereği kendi içinde aynı renktedir. 

Mantığa göre birinci durumda kalan atlar ile ikinci durumda kalan atlar renk özelliğini koruduğuna ve birbirleriyle kesiştiğine göre, çıkarılan ilk at ile son atın da rengi aynı olmalıdır. Sonuç olarak:
Eğer  at aynı renkteyse,  at da aynı renktedir.

Temel durumda önermenin  için doğru olduğu görülmüştü. Tümevarım adımı ise bu kuralın ,  ve dolayısıyla tüm doğal sayılar için geçerli olduğunu ima eder. Böylece tüm atların aynı renkte olduğu sonucu çıkarılır.

 Açıklama 
Yukarıdaki akıl yürütme,  at kümesinin en az üç elemanlı olduğunu ve dolayısıyla oluşturulan iki alt kümenin ortak bir eleman paylaşacağını örtük olarak varsayar. Ancak bu varsayım, tümevarımın ilk adımı olan 'den 'ye geçişte çöker.

küçükresim|Farklı renkte iki at, genel teoreme bir karşı örnek sağlar.

İki atın bulunduğu bir kümede atlara A ve B diyelim. A çıkarıldığında geriye B kalır ve "kalan atlar aynı renktedir" önermesi (tek eleman olduğu için) doğrudur. B çıkarıldığında da kalan A için aynısı geçerlidir. Ancak, A'nın rengini B'ye (veya tam tersi) taşıyacak ortak bir at (kesişim kümesi) yoktur. 

Tümevarım zinciri, 'den 'ye geçişte koptuğu için ispat geçersizdir. Akıl yürütme ilk bakışta tutarlı görünse de bu istisnai durumu göz ardı ettiği için bir sahte paradoks örneğidir.

 Ayrıca bakınız 
 Paradokslar listesi

 Kaynakça 

Kategori:Tümevarımsal safsatalar
Kategori:Popüler kültürde atlar
Kategori:Renk
Kategori:Matematik ve kültür
Kategori:1961 tanıtımları