Çarpımsal ters

Matematikte, bir x sayısının çarpımsal tersi veya çarpmaya göre tersi, x ile çarpıldığında çarpma etkisiz elemanı olan 1'i veren sayıdır ve 1/x veya x−1 ile gösterilir. Bir a/b kesrinin çarpımsal tersi b/a 'dır. 1 sayısının bir reel sayıya bölünmesi, o sayının çarpımsal tersini verir.

Örneğin, 5'in çarpımsal tersi beşte birdir (1/5 veya 0,2) ve 0,25'in çarpmaya göre tersi 1 bölü 0,25, yani 4'tür. x 'i 1/x 'e eşleyen f(x) fonksiyonu olan çarpmaya göre ters fonksiyonu, kendisinin tersi olan fonksiyonların (involüsyon) en basit örneklerinden biridir.

Bir sayıyla çarpmak, o sayının çarpımsal tersine bölmekle aynı şeydir; bunun tam tersi de geçerlidir. Örneğin, 4/5 (veya 0,8) ile çarpmak, 5/4 (veya 1,25) ile bölmekle aynı sonucu verecektir. Dolayısıyla, bir sayıyla çarpma işleminin ardından çarpmaya göre tersiyle çarpma işlemi orijinal sayıyı verir (çünkü sayının ve tersinin çarpımı 1'dir).

Çarpımsal ters ifadesinde, çarpımsal nitelemesi genellikle atlanır ve (toplamsal tersin aksine) zımnen anlaşılır. Çarpımsal tersler, sayıların yanı sıra birçok matematiksel alan üzerinde de tanımlanabilir. Bu durumlarda  olabilir; o zaman "ters", tipik olarak bir elemanın hem sol hem de sağ ters olduğu anlamına gelir.

f −1 gösterimi bazen f fonksiyonunun ters fonksiyonu için de kullanılır, ancak bu çoğu fonksiyon için çarpımsal terse eşit değildir. Örneğin, çarpımsal ters , x'in kosekantıdır ve  veya  ile gösterilen x 'in ters sinüsü değildir. Reciprocal (çarpımsal ters) ile inverse (ters) arasındaki terminoloji farkı bu ayrımı yapmak için yeterli değildir, çünkü birçok yazar muhtemelen tarihsel nedenlerden dolayı zıt adlandırma kurallarını tercih etmektedir (örneğin Fransızcada ters fonksiyon tercihen  olarak adlandırılır).

 Örnekler ve karşıtörnekler 
Reel sayılarda, sıfırın bir çarpmaya göre tersi yoktur (sıfıra bölme tanımsızdır), çünkü 0 ile çarpıldığında 1 sonucunu veren hiçbir reel sayı yoktur (herhangi bir sayının sıfır ile çarpımı sıfırdır). Sıfır hariç, her reel sayının çarpımsal tersi reeldir, her rasyonel sayınınki rasyoneldir ve her karmaşık sayınınki karmaşıktır. Sıfır dışındaki her elemanın bir çarpımsal terse sahip olması özelliği, tüm bunların birer örneği olduğu cisim tanımının bir parçasıdır. Öte yandan, 1 ve -1 dışındaki hiçbir tam sayının tam sayı olan bir tersi yoktur, bu nedenle tam sayılar bir cisim değildir.

Modüler aritmetikte, a 'nın modüler çarpımsal ters de tanımlanır: bu,  olacak şekilde bir x sayısıdır. Bu çarpımsal ters, ancak ve ancak a ve n aralarında asal ise mevcuttur. Örneğin, 3'ün mod 11'e göre tersi 4'tür çünkü . Bunu hesaplamak için genişletilmiş Öklid algoritması kullanılabilir.

Sedeniyonlar, sıfır olmayan her elemanın bir çarpımsal terse sahip olduğu, ancak yine de sıfır bölenlerine (yani xy = 0 olacak şekilde sıfır olmayan x, y elemanlarına) sahip bir cebirdir.

Bir kare matris, ancak ve ancak determinantının katsayı halkasında bir tersi varsa bir terse sahiptir. A−1 matrisine sahip olan doğrusal dönüşüm (belirli bir tabana göre), aynı tabanda A matrisine sahip olan dönüşümün ters fonksiyonudur. Dolayısıyla, bir fonksiyonun tersi ile ilgili iki farklı kavram bu durumda güçlü bir şekilde ilişkilidir, ancak yine de çakışmazlar; çünkü Ax 'in çarpımsal tersi A−1x değil, (Ax)−1 olurdu.

Bu iki ters fonksiyon kavramı bazen çakışır; örneğin 'in karmaşık logaritmanın esas dalı olduğu ve  olduğu durumda  fonksiyonu için:
.

Trigonometrik fonksiyonlar çarpımsal ters özdeşliği ile ilişkilidir: kotanjant tanjantın tersidir; sekant kosinüsün tersidir; kosekant sinüsün tersidir.

Sıfır olmayan her elemanın bir çarpımsal terse sahip olduğu bir halka, bir bölümlü halkadır; benzer şekilde, bunun geçerli olduğu bir cebir bir bölümlü cebirdir.

 Karmaşık sayılar 
küçükresim|dik=1.0|P, Q, R ve S karmaşık sayılarının P', Q', R' ve S' tersleri, birim çemberde bir tersinme (inversiyon) ve ardından reel eksen üzerinden bir yansımanın bileşimi ile oluşturulur.
Yukarıda belirtildiği gibi, sıfır olmayan her  karmaşık sayısının tersi karmaşıktır. 1/z 'nin hem payını hem de paydasını karmaşık eşlenik  ile çarparak ve  (z 'nin mutlak değerinin karesi olan  reel sayısı) özelliğini kullanarak bulunabilir:

Buradaki sezgi şudur:

bize  değerine düşürülmüş bir büyüklüğe sahip karmaşık eşleniği verir, bu nedenle tekrar  'ye bölmek, büyüklüğün artık orijinal büyüklüğün tersine eşit olmasını sağlar, dolayısıyla:

Özellikle, eğer ||z||=1 ise (z birim büyüklüğe sahipse), o zaman  olur. Sonuç olarak, sanal birimler , çarpımsal terse eşit toplamsal terse sahiptir ve bu özelliğe sahip tek karmaşık sayılardır. Örneğin,  'nin toplamaya ve çarpmaya göre tersleri sırasıyla  ve  'dir.

Kutupsal formdaki bir karmaşık sayı  için tersi, basitçe büyüklüğün tersini ve açının negatifini alır:

küçükresim|1/x integralinin geometrik sezgisi. 1'den 2'ye, 2'den 4'e ve 4'ten 8'e kadar olan üç integral birbirine eşittir. Her bölge, bir önceki bölgenin dikey olarak yarıya indirilmiş ve yatay olarak iki katına çıkarılmış halidir. Bu genişletildiğinde, ln 2k = k ln 2 olduğu gibi, 1'den 2k 'ya kadar olan integral, 1'den 2'ye kadar olan integralin k katıdır.

Geometrik olarak karmaşık düzlemde bir karmaşık sayının tersi, birim çemberde bir tersinme (inversiyon) ve ardından reel eksen üzerinde bir yansıma yapılarak bulunabilir (çizime bakınız).

 Kalkülüs 
Reel kalkülüste,  'in türevi, -1 kuvveti ile güç kuralı tarafından verilir:

İntegraller için güç kuralı (Cavalieri kuralı), 1/x integralini hesaplamak için kullanılamaz, çünkü bu sıfıra bölmeyle sonuçlanır:

Bunun yerine integral şu şekilde verilir:

burada ln, doğal logaritmadır. Bunu göstermek için,  olduğuna dikkat edin, dolayısıyla  ve  ise, şuna sahibiz:

 Algoritmalar 
Çarpmaya göre ters, uzun bölme kullanılarak elle hesaplanabilir. Tersini hesaplamak birçok bölme algoritmasında önemlidir, çünkü a/b bölümü, önce 1/b hesaplanarak ve ardından a ile çarpılarak bulunabilir.

 'nin x = 1/b 'de bir sıfıra sahip olduğuna dikkat edilerek, Newton metodu,  tahminiyle başlayıp şu kuralı kullanarak yineleme yaparak o sıfırı bulabilir:

Bu işlem istenen hassasiyete ulaşılana kadar devam eder. Örneğin, 3 basamak hassasiyetle 1/17 ≈ 0,0588 hesaplamak istediğimizi varsayalım. x0 = 0,1 alarak, aşağıdaki dizi üretilir:
x1 = 0,1(2 − 17 × 0,1) = 0,03
x2 = 0,03(2 − 17 × 0,03) = 0,0447
x3 = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554
x4 = 0,0554(2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586
x5 = 0,0586(2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Tipik bir başlangıç tahmini, b 'yi 2'nin yakın bir kuvvetine yuvarlayıp, ardından tersini hesaplamak için bit kaydırma kullanılarak bulunabilir.

Oluşturmacı matematikte, bir x reel sayısının bir tersinin olması için x ≠ 0 olması yeterli değildir. Bunun yerine 0 < r < |x| olacak şekilde bir rasyonel r sayısı verilmelidir. Yukarıda açıklanan yaklaşım algoritması açısından bu, y 'deki değişimin sonunda keyfi olarak küçük olacağını kanıtlamak için gereklidir.

küçükresim|f(x) = xx grafiği, (1/e, e−1/e) noktasındaki minimumu gösteriyor.

Bu yineleme daha geniş bir ters türüne de genelleştirilebilir; örneğin, matris tersleri.

 İrrasyonel sayıların tersleri 
Sıfır hariç her reel veya karmaşık sayının bir tersi vardır ve belirli irrasyonel sayıların tersleri önemli özel niteliklere sahip olabilir. Örnekler arasında e sayısının tersi (≈ 0,367879) ve altın oranın tersi (≈ 0,618034) bulunur. İlk ters özeldir çünkü başka hiçbir pozitif sayı, kendisinin kuvveti alındığında daha düşük bir sayı üretemez; ,  fonksiyonunun global minimumudur. İkinci sayı, tersi artı bire eşit olan tek pozitif sayıdır: . Toplamsal tersi, tersi eksi bire eşit olan tek negatif sayıdır: .

 fonksiyonu, tersinden bir  tam sayısı kadar farklı olan irrasyonel sayıyı bulmak için kullanılabilir, çünkü genel olarak . Örneğin, ,  irrasyonel sayısıdır. Tersi  tam olarak  daha azdır. Bu tür irrasyonel sayılar belirgin bir özelliği paylaşır: tersleriyle aynı kesirli kısma sahiptirler, çünkü bu sayılar bir tam sayı kadar farklıdır.

Çarpımsal ters fonksiyonu, (hem rasyonel hem de) irrasyonel sayıların gösterimiyle ilgili bir dizi dikkate değer özelliğe sahip olan sürekli kesirlerde önemli bir rol oynar.

 Diğer notlar 
Çarpma işlemi birleşmeli ise, çarpımsal tersi olan bir x elemanı sıfır böleni olamaz (bazı sıfır olmayan y elemanları için  ise x bir sıfır bölenidir). Bunu görmek için,  denklemini (soldan) x 'in tersi ile çarpmak ve ardından birleşme özelliğini kullanarak sadeleştirmek yeterlidir. Birleşme özelliğinin yokluğunda, sedeniyonlar bir karşı örnek sağlar.

Bunun tersi geçerli değildir: bir sıfır böleni olmayan bir elemanın çarpımsal bir terse sahip olması garanti edilmez. Z içinde, -1, 0, 1 dışındaki tüm tam sayılar buna örnek teşkil eder; bunlar ne sıfır bölenidir ne de Z içinde tersleri vardır. Ancak, halka veya cebir sonlu ise, o zaman sıfır böleni olmayan tüm a elemanlarının (sol ve sağ) bir tersi vardır. Şöyle ki, öncelikle  dönüşümünün birebir olması gerektiğini gözlemleyin:  durumu  olmasını gerektirir:

Farklı elemanlar farklı elemanlara eşlenir, bu nedenle görüntü kümesi aynı sonlu sayıda elemandan oluşur ve dönüşüm zorunlu olarak örtendir. Özellikle, ƒ (yani a ile çarpma), bir x elemanını 1'e eşlemelidir, , böylece x, a için bir terstir.

 Uygulamalar 
Herhangi bir tabanda 1/q tersinin açılımı, eğer q "uygun" bir güvenli asal ise (p 'nin de asal olduğu 2p + 1 formundaki bir asal), bir sözde rastgele sayı kaynağı olarak da hareket edebilir.Mitchell, Douglas W., "A nonlinear random number generator with known, long cycle length", Cryptologia 17, Ocak 1993, 55–62. Açılım tarafından q − 1 uzunluğunda bir sözde rastgele sayılar dizisi üretilecektir.

 Ayrıca bakınız 
 Bölme
 Üstel azalma
 Kesir
 Grup (matematik)
 Hiperbol
 Birim kesir

 Notlar 

 Kaynakça 
 Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications cilt 28 ss 147–148 1992

Kategori:Temel özel fonksiyonlar
Kategori:Soyut cebir
Kategori:Temel cebir
Kategori:Çarpma
Kategori:Tekli işlemler