Teğet ve normal bileşenler

Matematikte, bir eğri üzerindeki bir noktada bulunan vektör; biri eğriye teğet olan (vektörün teğet bileşeni olarak adlandırılır) ve diğeri eğriye dik olan (vektörün normal bileşeni olarak adlandırılır) iki vektörün toplamı olarak tek bir biçimde ayrıştırılabilir.

Benzer şekilde, bir yüzey üzerindeki bir noktada bulunan vektör de aynı yöntemle bileşenlerine ayrılabilir.
Daha genel olarak, bir  manifoldunun bir  alt manifoldu ve 'nin bir noktasında 'ye ait teğet uzaydaki bir vektör verildiğinde; bu vektör, 'ye teğet olan bileşen ve 'ye normal olan bileşen şeklinde ayrıştırılabilir.

 Resmi tanım 

 Yüzey 
Daha resmi bir ifadeyle,  bir yüzey ve  bu yüzey üzerinde bir nokta olsun.
,  noktasındaki bir vektör olsun. O halde , benzersiz bir biçimde aşağıdaki gibi bir toplam olarak yazılabilir:

Burada toplamdaki ilk vektör teğet bileşen, ikinci vektör ise normal bileşendir.
Bu iki vektörün birbirine dik olduğu sonucuna doğrudan ulaşılır.

Teğet ve normal bileşenleri hesaplamak için, yüzeye ait bir birim normal ele alalım; yani  noktasında 'ye dik olan bir  birim vektörünü düşünelim. O halde,

ve dolayısıyla

olur; burada "", nokta çarpımını ifade eder.

Teğet bileşen için bir diğer formül ise şöyledir:

burada "", çapraz çarpımı ifade eder.
Bu formüller, kullanılan  birim normaline bağlı değildir (herhangi bir yüzeyde belirli bir noktada zıt yönlere bakan iki birim normal bulunur, dolayısıyla birim normallerden biri diğerinin negatifidir).

 Alt manifold 
Daha genel olarak, bir  manifoldunun bir  alt manifoldu ve bir  noktası verildiğinde, teğet uzayları içeren bir kısa tam dizi elde ederiz:

Buradaki  bölüm uzayı, genelleştirilmiş bir normal vektörler uzayıdır.
Eğer  bir Riemann manifoldu ise, yukarıdaki dizi ayrışır ve 'nin 'deki teğet uzayı, 'ye teğet bileşen ile 'ye normal bileşenin bir direkt toplamı olarak ayrışır:

Böylece her  teğet vektörü,  şeklinde ayrılır; burada  ve 'dir.

 Hesaplamalar 
'nin dejenere olmayan denklemlerle verildiğini varsayalım.

Eğer , parametrik denklemler (örneğin bir parametrik eğri) aracılığıyla açık bir şekilde verilmişse, türev işlemi teğet demeti için bir germe kümesi (spanning set) verir (bu küme, parametrizasyon bir daldırma (immersion) ise ve ancak ise bir taban oluşturur).

Eğer ; bir yüzeyin (veya daha genel olarak bir hiperyüzeyin) yukarıdaki tanımında olduğu gibi, bir  için seviye kümesi veya seviye yüzeylerinin kesişimi olarak örtük biçimde verilmişse, 'nin gradyanları normal uzayı gerer.

Her iki durumda da, yine nokta çarpımını kullanarak hesaplama yapabiliriz; ancak çapraz çarpım 3 boyuta özgü bir işlemdir.

 Uygulamalar 
 Lagrange çarpanı: Kısıtlanmış kritik noktalar, toplam türevin teğet bileşeninin yok olduğu yerlerdir.
 Yüzey normali

 Kaynakça 



Kategori:Diferansiyel geometri