Sıfıra bölme

sağdan sıfıra yaklaşırken,  artı sonsuza gider.
 soldan sıfıra yaklaşırken,  eksi sonsuza gider.

Matematikte sıfıra bölme, bölenin (paydanın) sıfır olduğu bir bölme işlemidir ve sorunlu bir özel durum teşkil eder. Kesir notasyonu kullanılarak, genel örnek  şeklinde yazılabilir; burada  bölünendir (pay).

Temel aritmetikte bölümün olağan tanımı, payda ile çarpıldığında bölüneni veren sayıdır.
Yani,  ifadesi  ifadesine eşdeğerdir.
Bu tanıma göre,  bölümü anlamsızdır, çünkü  çarpımı başka bir  sayısı yerine her zaman  sonucunu verir.
Sıfıra bölmeye izin verirken temel cebirin olağan kurallarını takip etmek, saçma sonuçlara yol açan ince bir hata olan matematiksel safsataya neden olabilir.
Bunu önlemek için, reel sayıların ve cisim adı verilen daha genel sayısal yapıların aritmetiğinde sıfıra bölme tanımsız bırakılır ve sıfıra bölmenin meydana gelebileceği durumlar dikkat ile ele alınmalıdır.
Sıfırla çarpılan herhangi bir sayı sıfır olduğundan,  ifadesi de tanımsızdır.

Matematiksel analiz, fonksiyonların girdileri belirli bir değere yaklaşırken limitteki davranışlarını inceler.
Bir reel fonksiyon, paydası sıfıra yaklaşan bir kesir olarak ifade edilebildiğinde, fonksiyonun çıktısı keyfi olarak büyür ve bir tür matematiksel tekillik olan "sonsuza gitme" durumunun gerçekleştiği söylenir.
Örneğin, çarpmaya göre ters fonksiyonu ,  değeri 'a yaklaşırken sonsuza gider.
Hem pay hem de payda aynı girdide sıfıra yaklaştığında, ifadenin bir belirsiz form aldığı söylenir; çünkü ortaya çıkan limit, kesri oluşturan belirli fonksiyonlara bağlıdır ve bunların ayrı ayrı limitlerinden belirlenemez.

Reel sayılar gibi cisimlerle çalışma ve sıfıra bölmeyi tanımsız bırakma yönündeki yaygın uzlaşıya bir alternatif olarak, sıfıra bölmenin sonucunu başka şekillerde tanımlamak mümkündür; bu da farklı sayı sistemlerinin ortaya çıkmasını sağlar.
Örneğin,  bölümü sıfıra eşit olarak tanımlanabilir;
bazen sonsuzluk simgesi  ile gösterilen yeni ve açık bir sonsuzdaki noktaya eşit olarak tanımlanabilir;
veya bölünenin işaretine bağlı olarak artı veya eksi işaretli sonsuzluk sonucu verecek şekilde tanımlanabilir.
Bu sayı sistemlerinde sıfıra bölme artık kendi başına özel bir istisna değildir, ancak sonsuzdaki nokta veya noktalar kendi yeni istisnai davranış türlerini içerir.

Bilgi işlemde, sıfıra bölme girişimi bir hataya neden olabilir.
Bağlama ve ilgili sayı tipine bağlı olarak, sıfıra bölme işlemi artı veya eksi sonsuz olarak değerlendirilebilir, özel bir sayı değil (NaN) değeri döndürebilir veya diğer olasılıkların yanı sıra programı çökertilebilir.

 Temel aritmetik 

 Bölmenin anlamı 

 bölme işlemi kavramsal olarak birkaç farklı şekilde yorumlanabilir.

Kapsama bölmesinde (İngilizce: quotitive division), bölünen 'nin  (bölen) büyüklüğündeki parçalara ayrıldığı düşünülür ve bölüm , ortaya çıkan parçaların sayısıdır.
Örneğin, on dilim ekmeğin her biri iki dilim ekmek gerektiren sandviçlere dönüştürüleceğini hayal edin.
Toplam beş sandviç yapılabilir ().
Şimdi bunun yerine sandviç başına sıfır dilim ekmek gerektiğini hayal edin.
Ekmek ilgisiz olduğu için on dilim ekmekten keyfi olarak çok sayıda bu tür sandviç yapılabilir.

Kapsama bölmesi kavramı, tekrarlanan çıkarma yoluyla hesaplamaya elverişlidir: bölme, bölünen tükenene kadar bölenin kaç kez çıkarılabileceğini saymayı gerektirir.
Sıfırın sonlu sayıdaki hiçbir çıkarması, sıfır olmayan bir bölüneni asla tüketemeyeceğinden, sıfıra bölmeyi bu yolla hesaplamak asla sonlanmaz. Böyle bitmek bilmeyen bir sıfıra bölme algoritması, bazı mekanik hesap makineleri tarafından fiziksel olarak sergilenir.  Bir video gösterimi için bakınız: 

Paylaşma bölmesinde (İngilizce: partitive division), bölünen 'nin  parçaya bölündüğü düşünülür ve bölüm , her bir parçanın ortaya çıkan büyüklüğüdür.
Örneğin, on kurabiyenin iki arkadaş arasında bölüştürüleceğini hayal edin.
Her arkadaş beş kurabiye alacaktır ().
Şimdi bunun yerine on kurabiyenin sıfır arkadaş arasında bölüştürüleceğini hayal edin.
Her arkadaş kaç kurabiye alacaktır? Hiç arkadaş olmadığından, bu bir saçmalıktır., bir kralın mirasçılarının 12 elması eşit olarak bölüştüğü bir örnek verir ve kralın vasiyeti yerine getirilmeden önce tüm mirasçıların ölmesi durumunda ne olacağını sorar.

küçükresim|sağ|Düzlemdeki doğrunun eğimi, dikey ve yatay koordinat farklarının oranıdır.
Dikey bir doğru için bu, bir tür sıfıra bölme olan 'dır.

Başka bir yorumda, bölüm ,  oranını temsil eder.Çin, Tayvan ve Japonya'da okul ders kitapları genellikle  oranı ile  oran değeri arasında ayrım yapar.
Buna karşılık ABD ders kitapları genellikle bunları aynı şeyin iki farklı gösterimi olarak ele alır.
  Örneğin, bir kek tarifi on fincan un ve iki fincan şeker gerektirebilir; bu  veya orantısal olarak  oranıdır.
Bu tarifi daha büyük veya daha küçük kek miktarlarına ölçeklendirmek için,  ile orantılı bir un-şeker oranı korunabilir; örneğin bir fincan un ve beşte bir fincan şeker veya elli fincan un ve on fincan şeker. Şimdi şekersiz bir kek tarifinin on fincan un ve sıfır fincan şeker gerektirdiğini hayal edin.
 oranı veya orantısal olarak , gayet makuldür: bu sadece kekin şeker içermediği anlamına gelir.
Ancak, "Her bir birim şeker için kaç birim un?" sorusunun yine de anlamlı bir sayısal cevabı yoktur.

Bölme-oran yorumunun geometrik bir görünümü, Kartezyen düzlemde bir doğrunun eğimidir. Eğim, doğru boyunca "yükselişin" (dikey koordinattaki değişim) "ilerleyişe" (yatay koordinattaki değişim) bölünmesi olarak tanımlanır.
Bu simetrik oran notasyonu kullanılarak yazıldığında, yatay bir doğrunun eğimi  ve dikey bir doğrunun eğimi  olur.
Ancak, eğim tek bir reel sayı olarak alınırsa, yatay bir doğrunun eğimi  olurken, dikey bir doğrunun eğimi tanımsızdır, çünkü reel sayı aritmetiğinde  bölümü tanımsızdır. Orijinden geçen bir doğrunun reel değerli eğimi , doğrunun  yatay koordinatındaki dikey bir doğruyla (şekilde kesikli siyah) kesişiminin dikey koordinatıdır.
Dikey kırmızı ve kesikli siyah doğrular paraleldir, bu nedenle düzlemde kesişmezler.
Bazen bunların bir sonsuzdaki noktada kesiştikleri söylenir ve  oranı yeni bir  sayısı ile temsil edilir; aşağıdaki  bölümüne bakınız.
Dikey doğruların bazen "sonsuz dik" bir eğime sahip olduğu söylenir.

 Çarpımsal ters 
Bölme çarpma işleminin tersidir, yani sıfır olmayan aynı miktar ile çarpıp sonra bölmek (veya tam tersi) orijinal miktarı değiştirmeden bırakır;
örneğin . Bu nedenle, "6 bölü 3 kaçtır?" gibi bir bölme problemi,
onu çarpma içeren eşdeğer bir denkleme yeniden yazarak, "hangi sayının 3 katı 6'ya eşittir?" şeklinde ve ardından ifadenin doğru olduğu değeri bularak çözülebilir;
sembolik olarak bunlar  ve eşdeğer olarak  şeklinde yazılabilir, burada  her denklemde aynı bilinmeyen miktarı temsil eder;
bu durumda bilinmeyen miktar 'dir, çünkü , dolayısıyla .;

Sıfıra bölmeyi içeren benzer bir problem, ,  denklemini sağlayan bilinmeyen bir miktarın belirlenmesini gerektirir.
Ancak, sıfırla çarpılan herhangi bir sayı altı değil sıfırdır, bu nedenle  yerine geçip doğru bir ifade oluşturabilecek hiçbir sayı yoktur.

Problem  olarak değiştirildiğinde, eşdeğer çarpma ifadesi  olur;
bu durumda, bilinmeyen miktar yerine herhangi bir değer konulabilir ve doğru bir ifade elde edilir, bu nedenle  bölümü olarak atanabilecek tek bir sayı yoktur.
Bu zorluklar nedeniyle, bölenin sıfır olduğu bölümler geleneksel olarak tanımsız kabul edilir ve sıfıra bölmeye izin verilmez.

 Safsatalar 

Sıfıra bölmeye izin verilmemesinin zorlayıcı bir nedeni, buna izin vermenin safsatalara yol açmasıdır.
Sayılarla çalışırken, kural dışı bir sıfıra bölme işlemini tespit etmek kolaydır.
Örneğin:

Buradaki safsata, 'ı diğer herhangi bir sayı gibi sadeleştirmenin meşru olduğu varsayımından kaynaklanır; oysa aslında bunu yapmak 'a bölmenin bir biçimidir.

Temel cebir kullanarak, bir sıfıra bölme işlemini gizleyip geçersiz ispat elde etmek mümkündür.
Örneğin:

Bu, önceki sayısal versiyonla esasen aynı safsatalı hesaplamadır, ancak sıfıra bölme işlemi  yerine  yazıldığı için gizlenmiştir.

 Erken girişimler 
Brahmagupta'nın (yaklaşık 598-668) Brāhmasphuṭasiddhānta eseri, sıfırı kendi başına bir sayı olarak ele alan ve sıfır içeren işlemleri tanımlayan en eski metindir. Brahmagupta'ya göre:

Pozitif veya negatif bir sayı sıfıra bölündüğünde, paydası sıfır olan bir kesirdir.
Sıfır negatif veya pozitif bir sayıya bölündüğünde, ya sıfırdır ya da payı sıfır ve paydası sonlu miktar olan bir kesir olarak ifade edilir.
Sıfırın sıfıra bölümü sıfırdır.

830 yılında Mahāvīra, Ganita Sara Samgraha adlı kitabında Brahmagupta'nın hatasını düzeltmeye çalıştı ancak başarısız oldu: "Bir sayı sıfıra bölündüğünde değişmeden kalır."

II. Bhāskara'nın Līlāvatī (12. yüzyıl) adlı eseri, sıfıra bölmenin sonsuz bir miktar ile sonuçlandığını öne sürdü:

Sıfıra bölünen bir miktar, paydası sıfır olan bir kesir olur.
Bu kesir sonsuz miktar olarak adlandırılır. Böleni sıfır olan bu miktarda, içine çok şey eklense veya çıkarılsa bile hiçbir değişiklik olmaz;
tıpkı dünyalar yaratıldığında veya yok edildiğinde, sayısız varlık düzeni emilip veya ortaya çıkarılsa da, sonsuz ve değişmez Tanrı'da hiçbir değişiklik olmaması gibi.

Tarihsel olarak,  ifadesine bir değer atamanın matematiksel imkansızlığına dair kaydedilen en eski referanslardan biri, Anglo-İrlandalı filozof George Berkeley'in 1734'te The Analyst adlı eserinde sonsuz küçükler hesabına (kalkülüse) yönelik eleştirisinde ("ayrılmış niceliklerin hayaletleri"; ghosts of departed quantities) yer almaktadır..

 Matematiksel analiz 

Matematiksel analiz, limit kavramını kullanarak fonksiyonların davranışını inceler; limit, girdisi belirli bir değere yaklaşırken fonksiyonun çıktısının yöneldiği değerdir.
 notasyonu,  fonksiyonunun değerinin, 'in 'ye yeterince yakın seçilmesiyle 'ye keyfi olarak yakınlaştırılabileceği anlamına gelir.

Reel fonksiyon 'nin limitinin, , 'ye yaklaşırken sınırsızca arttığı durumda, fonksiyon 'de tanımlı değildir ve bu bir tür matematiksel tekilliktir.
Bunun yerine, fonksiyonun "sonsuza gittiği" söylenir ve  şeklinde gösterilir; fonksiyonun grafiği  doğrusuna dikey asimptot olarak sahiptir.
Böyle bir fonksiyon  için resmen tanımlı olmasa ve bu durumdaki sonsuzluk simgesi  belirli bir reel sayıyı temsil etmese de, bu tür limitlerin gayriresmî olarak "sonsuza eşit olduğu" söylenir.

Eğer fonksiyonun değeri sınırsızca azalıyorsa, fonksiyonun "eksi sonsuza gittiği" söylenir, .
Bazı durumlarda, , 'ye yukarıdan () ve aşağıdan () yaklaşırken fonksiyon iki farklı değere yönelir;
böyle bir fonksiyonun iki farklı tek taraflı limiti vardır.

Sonsuz tekilliğin temel bir örneği, , 'a yaklaşırken artı veya eksi sonsuza giden çarpmaya göre ters fonksiyonu 'tir:

Çoğu durumda, fonksiyonların bölümünün limiti, her bir fonksiyonun limitlerinin bölümüne eşittir:

Ancak, ayrı ayrı limitlerinin ikisi de 'a eşit olan iki fonksiyonun bölünmesiyle bir fonksiyon oluşturulduğunda, sonucun limiti ayrı limitlerden belirlenemez ve bu nedenle gayriresmî olarak  şeklinde yazılan bir belirsiz form aldığı söylenir.
(Başka bir belirsiz form olan , limitlerinin ikisi de sonsuza giden iki fonksiyonun bölünmesinden kaynaklanır.) Böyle bir limit, ilgili fonksiyonlara bağlı olarak herhangi bir reel değere eşit olabilir, sonsuza gidebilir veya hiç yakınsamayabilir.

Örneğin, 

ifadesinde pay ve paydanın ayrı limitleri 'dır, dolayısıyla  belirsiz formuna sahibiz, ancak bölümü sadeleştirmek limitin var olduğunu gösterir:

 Alternatif sayı sistemleri 

 Genişletilmiş reel sayı doğrusu 
Afin genişletilmiş reel sayılar, reel sayılar  kümesine, sırasıyla "artı sonsuz" ve "eksi sonsuz" olarak okunan ve sonsuzdaki noktaları temsil eden iki yeni  ve  sayısının eklenmesiyle elde edilir.
 eklenmesiyle, "sonsuzda limit" kavramı sonlu bir limit gibi çalışacak şekilde düzenlenebilir.
Hem pozitif hem de negatif genişletilmiş reel sayılarla uğraşırken,  ifadesi genellikle tanımsız bırakılır.
Ancak, yalnızca negatif olmayan değerlerin dikkate alındığı bağlamlarda,  tanımını yapmak genellikle uygundur.

 İzdüşümsel genişletilmiş reel sayı doğrusu 
 kümesi, reel sayı doğrusunun bir tek nokta kompaktlaştırması (one-point compactification) olan izdüşümsel genişletilmiş reel sayı doğrusudur.
Burada , işaretsiz bir sonsuzluk veya ne pozitif ne de negatif olan sonsuz bir miktar olan sonsuzdaki nokta anlamına gelir.
Bu miktar, bu bağlamda gerekli olan  eşitliğini sağlar.
Bu yapıda, sıfır olmayan  için  ve ,  olmadığında  tanımlanabilir.

Bu, tanjant fonksiyonunun ve trigonometrideki kotanjant fonksiyonlarının görüntü kümesini incelemenin doğal yoludur:  her iki yönden  veya  değerlerine yaklaşırken  sonsuzdaki tek noktaya yaklaşır.
Bu tanım birçok ilginç sonuca yol açar. Ancak ortaya çıkan cebirsel yapı bir cisim değildir ve bir cisim gibi davranması beklenmemelidir.
Örneğin, reel sayı doğrusunun bu genişlemesinde  tanımsızdır.

 Riemann küresi 
Karmaşık analiz konusu, analiz kavramlarını karmaşık sayılara uygular.
Bu konuda büyük önem taşıyan genişletilmiş karmaşık sayılar , genellikle sonsuzluk simgesi  ile gösterilen ve her dış bölgenin içinde bulunduğu varsayılarak bu bölgeleri kendi topolojik komşulukları yapan tek bir ek sayının eklendiği karmaşık sayılar kümesidir.

Bu, sezgisel olarak, karmaşık düzlemin sonsuz kenarlarını sarıp tek bir  noktasında birleştirmek, yani bir tek nokta kompaktlaştırması olarak düşünülebilir; bu da genişletilmiş karmaşık sayıları topolojik olarak bir küreye eşdeğer kılar.

Bu eşdeğerlik, her karmaşık sayıyı ters stereografik izdüşüm yoluyla küre üzerindeki bir noktaya eşleyerek metrik bir eşdeğerliğe genişletilebilir; ortaya çıkan küresel mesafe (great-circle distance), karmaşık sayılar arasındaki mesafenin yeni tanımı olarak uygulanır;
ve genel olarak kürenin geometrisi karmaşık aritmetik kullanılarak incelenebilir veya tersine karmaşık aritmetik küresel geometri açısından yorumlanabilir.

Sonuç olarak, genişletilmiş karmaşık sayılar kümesi genellikle Riemann küresi olarak adlandırılır.
Küme genellikle yıldız, üst çizgi veya şapka ile süslenmiş karmaşık sayılar sembolü ile gösterilir, örneğin .

Genişletilmiş karmaşık sayılarda, sıfır olmayan herhangi bir  karmaşık sayısı için, olağan karmaşık aritmetik şu ek kurallarla genişletilir: , , , , .
Ancak, ,  ve  tanımsız bırakılır.

 İleri matematik 
Temel aritmetikte doğal sayılara (pozitif tam sayılar) uygulanan dört temel işlem – toplama, çıkarma, çarpma ve bölme – sayı alanının genişletilmesini desteklemek için bir çerçeve olarak kullanılır.
Örneğin, herhangi bir doğal sayıyı diğerinden çıkarmayı mümkün kılmak için, sayı alanı negatif tam sayıları da kapsayacak şekilde tüm tam sayılar kümesine genişletilmelidir.

Benzer şekilde, herhangi bir tam sayının diğerine bölünmesini desteklemek için sayı alanı rasyonel sayılara genişletilmelidir.
Sayı sisteminin bu kademeli genişlemesi sırasında, "genişletilmiş işlemlerin" eski sayılara uygulandığında farklı sonuçlar üretmemesine özen gösterilir.
Kabaca konuşursak, doğal sayı ortamında sıfıra bölmenin bir anlamı olmadığından (tanımsız olduğundan), ortam gerçel veya karmaşık sayılara genişletildiğinde de bu durum geçerliliğini korur.

İşlemlerin uygulanabildiği sayı alanı genişledikçe, işlemlerin algılanışında da değişiklikler olur.
Örneğin, tam sayılar alanında çıkarma artık temel bir işlem olarak kabul edilmez, çünkü yerini işaretli sayıların toplanması alabilir. Benzer şekilde, sayı alanı rasyonel sayıları içerecek şekilde genişlediğinde, bölmenin yerini belirli rasyonel sayılarla çarpma alır.
Bu bakış açısı değişikliğine uygun olarak, "Neden sıfıra bölemeyiz?" sorusu, "Neden bir rasyonel sayının paydası sıfır olamaz?" sorusuna dönüşür. Bu revize edilmiş soruyu kesin olarak cevaplamak, rasyonel sayıların tanımının yakından incelenmesini gerektirir.

Reel sayılar cismini inşa etmeye yönelik modern yaklaşımda, rasyonel sayılar küme teorisine dayanan gelişimin bir ara adımı olarak görünür.
İlk olarak, doğal sayılar (sıfır dahil) Peano aksiyom sistemi gibi aksiyomatik bir temelde kurulur ve ardından bu, tam sayı halkasına genişletilir.
Bir sonraki adım, rasyonel sayıları tanımlamaktır; bunun yalnızca önceden kurulmuş kümeler ve işlemler (yani toplama, çarpma ve tam sayılar) kullanılarak yapılması gerektiği unutulmamalıdır.
Tam sayılardan oluşan sıralı ikililer kümesi  (burada ) ile başlayarak, bu küme üzerinde ancak ve ancak  ise  olacak şekilde bir ikili bağıntı tanımlanır.
Bu bağıntının bir denklik bağıntısı olduğu gösterilir ve ardından denklik sınıfları rasyonel sayılar olarak tanımlanır.
Bu bağıntının bir denklik bağıntısı olduğunun resmi ispatında, ikinci koordinatın sıfır olmaması gerekliliği (geçişliliği doğrulamak için) lazımdır.

Sıfıra bölme, reel sayılar ve tam sayılarla mantıklı bir şekilde tanımlanamasa da, diğer matematiksel yapılarda bunu veya benzer işlemleri tutarlı bir şekilde tanımlamak mümkündür.

 Standart olmayan analiz 
Hiperreel sayılarda sıfıra bölme hala imkansızdır, ancak sıfır olmayan sonsuz küçüklere bölme mümkündür. Aynı durum sürreel sayılar için de geçerlidir.

 Dağılım teorisi 
Dağılım teorisinde,  fonksiyonu tüm gerçel sayılar uzayında bir dağılıma genişletilebilir (esasen Cauchy esas değeri Cauchy principal values kullanılarak).
Ancak, bu dağılımın  noktasındaki bir "değerini" sormak anlamlı değildir;
karmaşık bir cevap, dağılımın tekil desteğine (singular support) atıfta bulunur.

 Lineer cebir 
Matris cebirinde, sayıların kare veya dikdörtgen blokları sanki sayıymış gibi işlenir: matrisler toplanabilir ve çarpılabilir, ayrıca bazı durumlarda bölmenin bir versiyonu da mevcuttur.
Bir matrise bölmek, daha doğrusu, onun tersi ile çarpmak anlamına gelir.
Tüm matrislerin tersi yoktur. Örneğin, yalnızca sıfırları içeren bir matris tersinir değildir.

, 'nin sözde-tersini (pseudoinverse) temsil etmek üzere,  şeklinde bir sözde-bölme (pseudo-division) tanımlanabilir.
Eğer  mevcutsa, o zaman  olduğu kanıtlanabilir.
Eğer  ise, o zaman  olur.

 Soyut cebir 
Soyut cebirde tam sayılar, rasyonel sayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar; toplama, çıkarma ve çarpmanın daha tanıdık sayı sistemlerinde olduğu gibi davrandığı ancak bölmenin tanımlanmayabildiği değişmeli halka gibi daha genel cebirsel yapılara soyutlanabilir.
Değişmeli bir halkaya çarpmaya göre terslerin eklenmesine yerelleştirme denir.
Ancak, her değişmeli halkanın sıfırdaki yerelleştirmesi trivial halkadır (burada ), dolayısıyla trivial olmayan değişmeli halkaların sıfırda tersleri yoktur ve bu nedenle trivial olmayan değişmeli halkalar için sıfıra bölme tanımsızdır.

Yine de, değişmeli halka oluşturan herhangi bir sayı sistemi, sıfıra bölmenin her zaman mümkün olduğu tekerlek (wheel theory) adı verilen bir yapıya genişletilebilir. Ancak, çarpma işlemi artık toplama üzerine dağılmadığından, ortaya çıkan matematiksel yapı artık değişmeli bir halka değildir.
Ayrıca, bir tekerlekte, bir elemanın kendisine bölünmesi artık çarpmaya göre birim eleman olan  ile sonuçlanmaz ve eğer orijinal sistem bir tamlık bölgesi ise, tekerlekteki çarpma işlemi artık bir kısaltmalı yarıgrup (cancellative semigroup) oluşturmaz.
Standart aritmetiğe uygulanan kavramlar, halkalar ve cisimler gibi daha genel cebirsel yapılardakilere benzerdir.
Bir cisimde, sıfır olmayan her eleman çarpma işlemine göre tersinirdir;
yukarıda olduğu gibi, bölme yalnızca sıfıra bölmeye çalışıldığında sorun teşkil eder.
Bu durum bir aykırı cisim (skew field) için de geçerlidir (bu nedenle buna bölme halkası (division ring) denir).
Ancak diğer halkalarda, sıfır olmayan elemanlara bölme de sorun yaratabilir.
Örneğin, 6 modülo tam sayılar halkası .  ifadesinin anlamı,  denkleminin  çözümü olmalıdır.
Ancak  halkasında  bir sıfır bölenidir.
Bu denklemin  ve  olmak üzere iki farklı çözümü vardır, bu nedenle  ifadesi tanımsızdır.

Cisim teorisinde,  ifadesi sadece  biçimsel ifadesi için bir kısaltmadır; burada , 'nin çarpımsal tersidir.
Cisim aksiyomları yalnızca sıfır olmayan elemanlar için bu tür terslerin varlığını garanti ettiğinden,  sıfır olduğunda bu ifadenin bir anlamı yoktur.
Cisimleri özel bir halka türü olarak tanımlayan modern metinler, sıfır halkasının (zero ring) bir cisim olmasını engellemek için cisimler için  aksiyomunu (veya eşdeğerini) içerir.
Sıfır halkasında sıfıra bölme mümkündür, bu da diğer cisim aksiyomlarının tek başına bir cismi tanımlarken sıfıra bölmeyi dışlamak için yeterli olmadığını gösterir.

 Bilgisayar aritmetiği 

 Kayan nokta aritmetiği 
Bilgi işlemde, çoğu sayısal hesaplama, 1980'lerden beri IEEE 754 spesifikasyonuyla standartlaştırılan kayan nokta aritmetiği ile yapılır.
IEEE kayan nokta aritmetiğinde, sayılar bir işaret (pozitif veya negatif), sabit kesinlikli bir anlamlı kısım (significand) ve bir tam sayı üs kullanılarak temsil edilir.
Üssü temsil edilemeyecek kadar büyük olan sayılar bunun yerine artı veya eksi sonsuza (+∞ veya −∞) "taşarken" (overflow), üssü temsil edilemeyecek kadar küçük olan sayılar bunun yerine artı veya eksi sıfıra (+0 veya −0) "alt akış" (underflow).
Bir NaN (sayı değil) değeri, tanımsız sonuçları temsil eder.

IEEE aritmetiğinde, 0/0 veya ∞/∞ bölme işlemi NaN ile sonuçlanır, ancak bunun dışında bölme her zaman iyi tanımlanmış bir sonuç üretir.
Sıfır olmayan herhangi bir sayının artı sıfıra (+0) bölünmesi, bölünenle aynı işarette bir sonsuzlukla sonuçlanır.
Sıfır olmayan herhangi bir sayının negatif sıfıra (−0) bölünmesi, bölünenin zıt işaretinde bir sonsuzlukla sonuçlanır.
Bu tanım, alt akış durumunda sonucun işaretini korur.

Örneğin, tek duyarlıklı IEEE aritmetiği kullanıldığında, eğer  ise,  işlemi 'a alt taşar ve 'in bu sonuca bölünmesi  sonucunu üretir.
Kesin sonuç , tek duyarlıklı (single precision) bir sayı olarak temsil edilemeyecek kadar büyüktür, bu nedenle taşmayı (overflow) belirtmek için aynı işaretli bir sonsuzluk kullanılır.

 Tam sayı aritmetiği 
küçükresim|TI-86 gibi el hesap makineleri, sıfıra bölme girişiminden sonra genellikle durur ve bir hata mesajı görüntüler.

Sıfıra tam sayı bölümü, sonuç için bir tam sayı gösterimi olmadığından genellikle kayan noktadan farklı şekilde ele alınır.
CPU'lar davranış açısından farklılık gösterir: örneğin x86 işlemciler bir donanım istisnası tetiklerken, PowerPC işlemciler bölme işlemi için sessizce hatalı bir sonuç üretir ve devam eder; ARM işlemciler ise bir donanım istisnasına neden olabilir veya sıfır döndürebilir. Platformlar arasındaki bu tutarsızlık nedeniyle, C ve C++ programlama dilleri sıfıra bölmenin sonucunu tanımsız davranış olarak kabul eder. Python gibi tipik yüksek seviyeli programlama dillerinde, sıfıra bölme girişimi için bir istisna oluşturulur ve bu, programın başka bir bölümünde ele alınabilir.

 İspat yardımcılarında 

Rocq ve Lean gibi birçok ispat yardımcısı, 1/0 = 0 tanımını yapar. Bu, tüm fonksiyonların total olması gerekliliğinden kaynaklanmaktadır.
Böyle bir tanım çelişkiler yaratmaz, çünkü daha sonraki işlemler (örneğin sadeleştirme (cancelling out)) hala bölenin sıfır olmamasını gerektirir.

 Tarihsel kazalar 
 21 Eylül 1997'de, USS Yorktown (CG-48) gemisindeki "Uzaktan Veri Tabanı Yöneticisi"ndeki ("Remote Data Base Manager") bir sıfıra bölme hatası, ağdaki tüm makineleri devre dışı bırakarak geminin tahrik sisteminin arızalanmasına neden oldu.

 Ayrıca bakınız 
 Sıfır böleni
 Sıfırın sıfırıncı kuvveti
 L'Hôpital kuralı

 Notlar 

 Kaynaklar 
  (Dover reprint 1997)







 Konuyla ilgili yayınlar 


  (Dover reprint, 1999)


Kategori:Sıfır
Kategori:Bilgisayar aritmetiği
Sıfır
Kategori:Bilgisayar hataları
Kategori:Kesirler
Kategori:Sonsuzluk
Kategori:Analiz (matematik)