Kesişim (geometri)

Geometride, geometrik nesnelerin (nokta kümeleri olarak görülen) bir kesişimi, iki veya daha fazla nesneye (doğrular, eğriler, düzlemler ve yüzeyler gibi) ortak olan bir nokta, doğru veya eğridir.

Öklid geometrisindeki en basit durum, iki ayrı doğru arasındaki doğru-doğru kesişimidir; bu kesişim ya bir noktadır (bazen köşe olarak adlandırılır) ya da boş kümedir (eğer doğrular paralel ise).
Diğer geometrik kesişim türleri şunları içerir:
 Doğru-düzlem kesişimi
 Doğru-küre kesişimi
 Bir çokyüzlünün bir doğru ile kesişimi
 Doğru parçası kesişimi
 Kesişim eğrisi

Daha yüksek boyutlu bir uzaya gömülmüş doğrusal geometrik nesneler olan düzlemsel yapıların (İngilizce: flats) kesişiminin belirlenmesi, basit bir lineer cebir görevidir; yani bir doğrusal denklem sisteminin çözümüdür.

Genel olarak bir kesişimin belirlenmesi, örneğin Newton iterasyonu kullanılarak sayısal olarak çözülebilen doğrusal olmayan denklemlere yol açar.
Bir doğru ile bir konik kesiti (çember, elips, parabol vb.) veya bir kuadrik (küre, silindir, hiperboloid vb.) arasındaki kesişim problemleri, kolayca çözülebilen ikinci dereceden denklemlere yol açar.
Kuadrikler arasındaki kesişimler, cebirsel olarak çözülebilen dördüncü dereceden denklemlere yol açar.

Geometrideki kesişim kavramı, Giuseppe Peano'nun çalışmalarında kümelerle yapılan bir işlem olan küme kesişimi statüsüne genişletilmiştir.

 Düzlemde 

 İki doğru 

Paralel olmayan iki doğrunun kesişim noktasının belirlenmesi için

denkleminden, Cramer kuralı veya bir değişkenin yerine konulması (yok etme metodu) yoluyla kesişim noktasının  koordinatları elde edilir:

(Eğer  ise doğrular paraleldir ve 0'a bölme içerdiği için bu formüller kullanılamaz.)

 İki doğru parçası 

upright=1.36|küçükresim|İki doğru parçasının kesişimi
Paralel olmayan iki doğru parçası  ve  için mutlaka bir kesişim noktası olması gerekmez (diyagrama bakınız), çünkü karşılık gelen doğruların kesişim noktası , doğru parçalarının içinde yer almak zorunda değildir.
Durumu kontrol etmek için doğruların parametrik gösterimleri kullanılır:


Doğru parçaları, ancak karşılık gelen  parametreleri  koşulunu sağlıyorsa, ilgili doğruların ortak bir  noktasında kesişir.
Parametreler , aşağıdaki doğrusal sistemin çözümüdür:


Bu sistem, Cramer kuralı kullanılarak s ve t için çözülebilir (bkz. yukarısı).
Eğer  koşulu sağlanıyorsa,  veya  ilgili parametrik gösterime yerleştirilir ve kesişim noktası  elde edilir.
Örnek:  ve  doğru parçaları için şu doğrusal sistem elde edilir:

ve buradan  bulunur.
Bu şu anlama gelir: doğrular  noktasında kesişir.

Not: Nokta çiftleriyle belirlenen doğru parçaları yerine doğrular ele alındığında,  koşullarının her biri atlanabilir ve yöntem doğruların kesişim noktasını verir (bkz. yukarısı).

 Bir doğru ve bir çember 

küçükresim|Doğru-çember kesişimi

 doğrusu ile  çemberinin kesişimi için,
doğru denklemi  veya  için çözülür ve çember denkleminde yerine konulur. Çözüm için (ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak)  noktaları elde edilir:


eğer  Bu koşul kesin eşitsizlikle sağlanırsa, iki kesişim noktası vardır;
bu durumda doğruya çemberin kesen doğrusu denir ve kesişim noktalarını birleştiren doğru parçasına çemberin kirişi denir.
Eğer  ise, sadece bir kesişim noktası vardır ve doğru çembere teğettir.
Eğer zayıf eşitsizlik sağlanmazsa, doğru çemberi kesmez.

Kesişim noktalarını türetmenin bir başka hızlı yolu da  yaklaşımıdır. Önce doğru denklemi kullanılarak  için çözüm yapılır (bu  olarak sadeleşir), ardından çember denklemi kullanılarak  için çözüm yapılır (bu da  olarak sadeleşir).
Eğer çemberin merkezi orijin değilse, kaynaklara bakınız.Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN . Ders notları, Technische Universität Darmstadt, Ekim 2003, s. 17 Bir doğru ile bir parabol veya hiperbolün kesişimi de benzer şekilde ele alınabilir.

 İki çember 

İki çemberin kesişim noktalarının belirlenmesi

bir önceki durum olan bir doğru ile bir çemberin kesişimine indirgenebilir.
Verilen iki denklemin taraf tarafa çıkarılmasıyla şu doğru denklemi elde edilir:

Bu özel doğru, iki çemberin kuvvet eksenidir (radikal doğru).
küçükresim|dikey=1.2|Merkezleri x-ekseni üzerinde olan iki çemberin kesişimi, kuvvet eksenleri koyu kırmızıdır
Özel durum  : 
Bu durumda orijin, birinci çemberin merkezidir ve ikinci merkez x-ekseni üzerindedir (diyagrama bakınız).
Kuvvet ekseninin denklemi  olarak sadeleşir ve kesişim noktaları  şeklinde yazılabilir; burada:

 durumunda çemberlerin ortak noktası yoktur.

 durumunda çemberlerin bir ortak noktası vardır ve kuvvet ekseni ortak bir teğettir.
Yukarıda yazılan herhangi bir genel durum, bir öteleme ve bir döndürme ile bu özel duruma dönüştürülebilir.
İki dairenin (iki çemberin iç bölgeleri) kesişimi mercek adı verilen bir şekil oluşturur.
küçükresim|Çember–elips kesişimi

 İki konik kesiti 
Bir elips/hiperbol/parabolün başka bir konik kesiti ile kesişim problemi, özel durumlarda bir koordinatın yok edilmesiyle kolayca çözülebilen bir ikinci dereceden denklem sistemine yol açar.
Bir çözüm elde etmek için konik kesitlerinin özel özellikleri kullanılabilir.

Genel olarak kesişim noktaları, denklemin bir Newton iterasyonu ile çözülmesiyle belirlenebilir.
Eğer a) her iki konik de örtük (implicit) olarak (bir denklemle) verilmişse 2-boyutlu bir Newton iterasyonu, b) biri örtük diğeri parametrik olarak verilmişse 1-boyutlu bir Newton iterasyonu gereklidir.
Bir sonraki bölüme bakınız.

 İki pürüzsüz eğri 
upright=1.14|küçükresim|İki eğrinin enine-kesen (transversal) kesişimi
upright=1.59|küçükresim|Teğet kesişimi (sol), teğet geçme (sağ)
Sürekli türevlenebilir (yani keskin kıvrımları olmayan)  (iki boyutlu uzay) içindeki iki eğrinin, eğer düzlemde ortak bir noktaları varsa ve bu noktada (diyagrama bakınız): : a) farklı teğet doğruları varsa (transversal kesişim, transversalite kavramından) veya: b) teğet doğruları ortaksa ve birbirlerini çaprazlıyorlarsa (teğet kesişimi, teğetlik kavramından) bir kesişim noktaları vardır.

Eğer her iki eğri de bir  noktasına ve orada ortak bir teğet doğrusuna sahipse ancak birbirlerini çaprazlamıyorlarsa,  noktasında sadece teğettirler (dokunuyorlardır).
Teğet kesişimleri nadiren görüldüğü ve ele alınması zor olduğu için, aşağıdaki değerlendirmeler bu durumu göz ardı etmektedir.
Aşağıdaki her durumda, gerekli tüm diferansiyel koşulların önceden varsayıldığı kabul edilir.
Kesişim noktalarının belirlenmesi her zaman Newton iterasyonu ile çözülebilen bir veya iki doğrusal olmayan denkleme yol açar.
Ortaya çıkan durumların bir listesi şöyledir:

küçükresim|Parametrik bir eğri ile kapalı bir eğrinin kesişimi
küçükresim|İki örtük (implicit) eğrinin kesişimi
Eğer her iki eğri de açık (explicit) olarak verilmişse: , bunları eşitlemek şu denklemi verir

Eğer her iki eğri de parametrik olarak verilmişse: 
 Bunları eşitlemek iki değişkende iki denklem verir:

Eğer bir eğri parametrik, diğeri örtük (implicit) olarak verilmişse: 
Bu, açık durumun yanındaki en basit durumdur.
'in parametrik gösterimi  eğrisinin  denklemine yerleştirilir ve şu denklem elde edilir:

Eğer her iki eğri de örtük (implicit) olarak verilmişse: 
 Burada bir kesişim noktası şu sistemin bir çözümüdür:

Herhangi bir Newton iterasyonu, her iki eğrinin görselleştirilmesiyle türetilebilecek uygun başlangıç değerlerine ihtiyaç duyar.
Parametrik veya açık olarak verilen bir eğri kolayca görselleştirilebilir, çünkü herhangi bir  veya  parametresi için karşılık gelen noktayı hesaplamak kolaydır.
Örtük olarak verilen eğriler için bu görev o kadar kolay değildir.
Bu durumda, başlangıç değerleri ve bir iterasyon yardımıyla bir eğri noktası belirlenmelidir.
Bakınız.Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Ders notları, Technische Universität Darmstadt, Ekim 2003, s. 33

Örnekler:
1:  ve çember  (diyagrama bakınız). 
  fonksiyonu için Newton iterasyonu  yapılmalıdır. Başlangıç değerleri olarak -1 ve 1.5 seçilebilir.
Kesişim noktaları şunlardır: (−1.1073, −1.3578), (1.6011, 4.1046)
2:
  (diyagrama bakınız).
 Newton iterasyonu  uygulanmalıdır, burada ,  noktasındaki
 doğrusal sisteminin çözümüdür.
Başlangıç değerleri olarak (−0.5, 1) ve (1, −0.5) seçilebilir.
 Doğrusal sistem Cramer kuralı ile çözülebilir.
Kesişim noktaları (−0.3686, 0.9953) ve (0.9953, −0.3686)'dır.

 İki çokgen 
upright=1.36|küçükresim|İki çokgenin kesişimi: Pencere testi
Eğer iki çokgenin kesişim noktaları belirlenmek isteniyorsa, çokgenlerin herhangi bir doğru parçası çiftinin kesişimi kontrol edilebilir (bkz. yukarısı).

Çok sayıda parçaya sahip çokgenler için bu yöntem oldukça zaman alıcıdır.
Pratikte kesişim algoritması pencere testleri (window tests) kullanılarak hızlandırılır.
Bu durumda çokgenler küçük alt çokgenlere bölünür ve her alt çokgen için en küçük pencere (kenarları koordinat eksenlerine paralel olan dikdörtgen) belirlenir.

İki doğru parçasının kesişim noktasının zaman alıcı belirleme işlemine başlamadan önce, herhangi bir pencere çifti ortak noktalar açısından test edilir. Bakınız.Erich Hartmann: CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie . Ders notları, TU Darmstadt, 1997, s. 79 (PDF; 3,4 MB)

 Uzayda (üç boyutlu) 

3-boyutlu uzayda eğriler ve yüzeyler arasında kesişim noktaları (ortak noktalar) bulunur.
Aşağıdaki bölümlerde sadece transversal kesişimi ele alacağız.

 Bir doğru ve bir düzlem 

küçükresim|Doğru-düzlem kesişimi
Üç boyutta genel durumda bir doğru ve bir düzlemin kesişimi bir noktadır.
Yaygın olarak uzaydaki bir doğru parametrik olarak  şeklinde ve bir düzlem  denklemiyle temsil edilir.
Parametrik gösterimin denkleme yerleştirilmesi, kesişim noktası 'ın  parametresi için şu doğrusal denklemi verir:

Eğer doğrusal denklemin çözümü yoksa, doğru ya düzlem üzerindedir ya da ona paraleldir.

 Üç düzlem 
Eğer bir doğru ve kesişen iki düzlem  tarafından tanımlanmışsa ve üçüncü bir düzlem  ile kesiştirilecekse, üç düzlemin ortak kesişim noktası hesaplanmalıdır.

Doğrusal bağımsız normal vektörlere  sahip üç  düzleminin kesişim noktası şöyledir:

İspat için, skaler-üçlü çarpım kuralları kullanılarak  eşitliği kurulmalıdır.
Eğer skaler-üçlü çarpım 0'a eşitse, düzlemler ya üçlü kesişime sahip değildir ya da kesişim bir doğrudur (veya üç düzlem de aynıysa bir düzlemdir).

 Bir eğri ve bir yüzey 
upright=1.14|küçükresim| eğrisinin  yüzeyi ile kesişimi
Düzlem durumuna benzer şekilde, aşağıdaki durumlar 1 veya 3 boyutlu Newton iterasyonu kullanılarak çözülebilen doğrusal olmayan sistemlere yol açar.Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN .
Ders notları, Technische Universität Darmstadt, Ekim 2003, s. 93
Parametrik eğri  ve 
Parametrik yüzey 
Parametrik eğri  ve 
Örtük yüzey 

Örnek:
Parametrik eğri  ve 
Örtük yüzey  (resme bakınız).
Kesişim noktaları şunlardır: (−0.8587, 0.7374, −0.6332), (0.8587, 0.7374, 0.6332).

Doğru-küre kesişimi basit bir özel durumdur.
Bir doğru ve bir düzlem durumunda olduğu gibi, genel durumda bir eğri ve bir yüzeyin kesişimi ayrık noktalardan oluşur, ancak bir eğri kısmen veya tamamen bir yüzeyin içinde de yer alabilir.

 Bir doğru ve bir çokyüzlü 

 İki yüzey 

Transversal olarak kesişen iki yüzey bir kesişim eğrisi verir.
En basit durum, paralel olmayan iki düzlemin kesişim doğrusudur.

 Bir küre ve bir düzlem 

Bir küre ve bir düzlemin kesişimi boş küme veya tek bir nokta değilse, bu bir çemberdir.
Bu şu şekilde görülebilir:

S, merkezi O olan bir küre ve P, S'''yi kesen bir düzlem olsun.Pye dik olan ve P ile E noktasında buluşan  doğrusunu çizin.A ve B, kesişimdeki herhangi iki farklı nokta olsun.
O zaman AOE ve BOE, ortak bir kenarı OE olan ve hipotenüsleri AO ve BO eşit olan dik üçgenlerdir.
Dolayısıyla, geri kalan kenarlar AE ve BE eşittir. Bu, kesişimdeki tüm noktaların düzlem P içindeki E noktasına aynı uzaklıkta olduğunu, başka bir deyişle kesişimdeki tüm noktaların merkezi E olan bir C çemberi üzerinde yattığını kanıtlar.İspat Hobbs, Öneri 304'ü takip eder Bu, P ve S kesişiminin C içinde kapsandığını kanıtlar.OEnin çemberin ekseni olduğuna dikkat edin.

Şimdi C çemberinden bir D noktası düşünün.
C, P içinde yattığından, D de oradadır. Öte yandan, AOE ve DOE üçgenleri, ortak bir kenarı OE olan ve dik kenarları EA ve ED eşit olan dik üçgenlerdir.
Dolayısıyla, hipotenüsler AO ve DO eşittir ve S'''nin yarıçapına eşittir, böylece D, S içinde yatar.
Bu, Cnin P ve S kesişimi içinde kapsandığını kanıtlar.
Bir sonuç olarak, bir küre üzerinde verilen üç noktadan geçebilecek tam olarak bir çember vardır.Hobbs, Öneri 308

İspat, bir çember üzerindeki noktaların kutuplarından birine ortak bir açısal uzaklıkta olduğunu gösterecek şekilde genişletilebilir.Hobbs, Öneri 310

Ayrıca ovaller oluşturabilen konik kesitlerini karşılaştırın.

 İki küre 
İki kürenin non-trivial kesişiminin bir çember olduğunu göstermek için, bir kürenin (yarıçapı ) merkezinin orijinde olduğunu varsayalım.
Bu küre üzerindeki noktalar şu denklemi sağlar:

Yine, yarıçapı  olan ikinci kürenin merkezinin pozitif x-ekseni üzerinde, orijinden  uzaklıkta olduğunu varsayalım.
Noktaları şu denklemi sağlar:

Kürelerin kesişimi, her iki denklemi de sağlayan noktalar kümesidir.
Denklemleri birbirinden çıkarmak şunu verir:

 tekil durumunda, küreler eşmerkezlidir.

İki olasılık vardır: eğer  ise, küreler çakışır ve kesişim tüm küredir;
eğer  ise, küreler ayrıktır ve kesişim boş kümedir.
a sıfırdan farklı olduğunda kesişim, bu x-koordinatına sahip dikey bir düzlemde yatar; bu düzlem her iki küreyi kesebilir, her iki küreye teğet olabilir veya her iki kürenin dışında kalabilir.
Sonuç, küre-düzlem kesişimleri için yapılan önceki ispattan çıkar.

 Ayrıca bakınız 

 Analitik geometri#Kesişimler
 Hesaplamalı geometri
 Doğru denklemi

 Notlar 

 Kaynakça 

 Konuyla ilgili yayınlar 

 Nicholas M. Patrikalakis ve Takashi Maekawa, Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing, Springer, 2002, , 9783540424543, s. 408. 

*