Teğet vektörü

Matematikte bir teğet vektör, eldeki bir noktada bir eğriye veya yüzeye teğet olan bir vektördür. 

Teğet vektörler, Rn içindeki eğriler bağlamında eğrilerin türevlenebilir geometrisinde tanımlanır.  Daha genel olarak, teğet vektörler bir türevlenebilir manifoldun bir teğet uzayının elemanlarıdır.  Teğet vektörler jermler (germ) cinsinden de tanımlanabilir.  Biçimsel olarak,  noktasındaki bir teğet vektör, 'teki jermler kümesi tarafından tanımlanan cebirin doğrusal bir türetmesidir. 

 Motivasyon 
Teğet vektörün genel tanımına geçmeden önce, onun kalkülüsteki kullanımını ve tensör özelliklerini ele alalım. 

 Kalkülüs 
 parametrik bir düzgün eğri olsun. Teğet vektör, mevcut olması ve  olması koşuluyla  ile verilir; burada  parametresine göre türevi belirtmek için alışılagelmiş nokta yerine üs işareti kullanılmıştır.J. Stewart (2001)  Birim teğet vektör şu şekilde ifade edilir:


 Örnek 
 içinde

eğrisi verildiğinde,  noktasındaki birim teğet vektör şöyle bulunur:

Burada teğet vektörün bileşenleri, eğrinin karşılık gelen her bir bileşeninin 'ye göre türevi alınarak bulunmuştur. 

 Kontravaryans 
Eğer , n-boyutlu koordinat sistemi|n-boyutlu koordinat sisteminde  (burada alışılagelmiş alt indis yerine üst indisler kullanılmıştır) parametrik olarak  veya

şeklinde verilmişse,  teğet vektör alanı şu şekilde verilir:

Bir koordinat değişimi altında

-koordinat sistemindeki  teğet vektörü

ile verilir; burada Einstein notasyonu kullanılmıştır. Bu nedenle, düzgün bir eğrinin teğet vektörü, koordinat değişimi altında birinci mertebeden bir kontravaryant tensör olarak dönüşür.D. Kay (1988) 

 Tanım 
 türevlenebilir bir fonksiyon ve ,  içinde bir vektör olsun.
Bir  noktasında  yönündeki yönlü türevi şöyle tanımlarız:

Bu durumda  noktasındaki teğet vektörA. Gray (1993) şu şekilde tanımlanabilir:

 Özellikler 
 türevlenebilir fonksiyonlar, ;  noktasında  içindeki teğet vektörler ve  olsun.
O halde:



 Manifoldlar üzerinde teğet vektör 
 türevlenebilir bir manifold ve ,  üzerindeki reel değerli türevlenebilir fonksiyonlar cebiri olsun.
Bu durumda, manifolddaki bir  noktasında 'ye teğet vektör, doğrusal olması gereken  türetmesi ile verilir.
Yani, herhangi bir  ve  için şu eşitliğe sahibiz:

Türetmenin, tanımı gereği Leibniz özelliğine sahip olacağına dikkat ediniz:

 Ayrıca bakınız 
 Türevlenebilir eğri 

 Kaynakça 

 Bibliyografya 
 .
 . [cite: 17]
 .

Kategori:Vektörler