Aralık (matematik)

küçük|Sayı doğrusunun pozitif ve negatif taraflarındaki sayısal aralıklar.

Matematikte, bir reel aralık, iki sabit uç noktası arasında kalan ve hiçbir "boşluk" içermeyen tüm reel sayıların kümesidir.

Her bir uç noktası ya bir reel sayıdır ya da aralığın bir sınır olmaksızın uzandığını gösteren pozitif veya negatif sonsuzdur.
Bir reel aralık; uç noktaların ikisini de içermeyebilir, birini içerebilir veya sonsuz olan uç noktalar hariç olmak üzere her iki uç noktasını da içerebilir.
Örneğin, ,  ve bunların arasındaki tüm sayılardan oluşan reel sayılar kümesi,  ile gösterilen bir aralıktır ve birim aralık olarak adlandırılır;
tüm pozitif reel sayıların kümesi,  ile gösterilen bir aralıktır;
tüm reel sayıların kümesi,  ile gösterilen bir aralıktır;
ve herhangi bir  reel sayısı,  ile gösterilen bir aralıktır.

Aralıklar, matematiksel analizde her yerde karşımıza çıkar.
Örneğin, sürekliliğin epsilon-delta tanımında örtük olarak yer alırlar;
ara değer teoremi, bir aralığın sürekli fonksiyon altındaki görüntüsünün yine bir aralık olduğunu belirtir;
reel fonksiyonların integralleri bir aralık üzerinde tanımlanır vb.

Aralık aritmetiği, girdi verisindeki belirsizlikler ve yuvarlama hataları varlığında bile sayısal bir hesaplama sonucunun garantili bir kapsamasını sağlamak için reel sayılar yerine aralıklarla hesaplama yapmaktan oluşur.
Aralıklar, tamsayılar veya rasyonel sayılar gibi keyfi bir tam sıralı küme üzerinde de benzer şekilde tanımlanır.
Tamsayı aralıklarının gösterimi, aşağıdaki özel bölümde ele alınmıştır.

 Tanımlar ve terminoloji 
 Aralık tanımı 
Bir aralık, bir kümenin herhangi iki sayısı arasında kalan tüm reel sayıları içeren, reel sayıların bir alt kümesidir.
Örnekler, bir ile iki arasındaki  sayıları () ve 10'dan büyük  sayılarıdır ().
Özellikle, boş küme  ve tüm reel sayılar kümesi  birer aralıktır.

Bir aralığın uç noktaları, reel sayı olarak mevcut iseler, o aralığın supremumu (en küçük üst sınır) ve infimumudur (en büyük alt sınır). Eğer infimum mevcut değilse ve aralık boş değilse, karşılık gelen uç noktanın negatif sonsuz olduğu söylenir ve  şeklinde yazılır. Benzer şekilde, boş olmayan bir aralığın supremumu mevcut değilse, karşılık gelen uç noktanın pozitif sonsuz olduğu söylenir ve  şeklinde yazılır.

Boş olmayan aralıklar, uç noktalarıyla ve her bir uç noktanın aralığa ait olup olmadığıyla tamamen belirlenir.
Bu, boş olmayan bir aralığın elemanlarının hepsi sonlu bir değerden küçükse aralığın bir supremumu olduğunu ima eden, reel sayıların en küçük üst sınır özelliğinin (least-upper-bound property) bir sonucudur.
Bu karakterizasyon, bir uç noktanın aralığa ait olup olmadığını belirtmek için köşeli veya yuvarlak parantezin kullanıldığı  aracılığıyla aralıkları belirtmek için kullanılır.

 Açık ve kapalı aralıklar 
Bir , hiçbir uç noktasını içermez ve parantezlerle kısaca belirtilebilir. Örneğin, , 'dan büyük ve 'den küçük tüm reel sayıların aralığıdır.
(Bu aralık  şeklinde de gösterilebilir, aşağıya bakınız).
Açık aralık , 'dan büyük reel sayılardan, yani pozitif reel sayılardan oluşur.
Dolayısıyla açık aralıklar şu formlardan birine sahiptir:

burada  ve ,  koşulunu sağlayan reel sayılardır. Son durumda, ortaya çıkan aralık boş kümedir ve 'ya bağlı değildir.
Açık aralıklar, reel sayılar üzerindeki olağan topolojiye göre açık küme olan aralıklardır ve açık kümelerin bir tabanını oluştururlar.

Bir , tüm sonlu uç noktalarını içeren bir aralıktır.
Her iki uç nokta da sonlu olduğunda, köşeli parantez içine alınırlar. Örneğin, [0, 1], 'a eşit veya büyük ve 'e eşit veya küçük olan sayıları içeren kapalı aralıktır.
Boş aralık dışındaki kapalı aralıklar,  ve 'nin  koşulunu sağlayan reel sayılar olduğu aşağıdaki formlardan birine sahiptir:

Kapalı aralıklar, reel sayılar üzerindeki olağan topolojiye göre kapalı küme olan aralıklardır.

 Yarı açık aralıklar 
Bir , iki farklı sonlu uç noktasına sahiptir ve bunlardan birini içerirken diğerini içermez.
Dışlanan uç noktanın solda mı yoksa sağda mı olduğuna bağlı olarak soldan açık veya sağdan açık olarak adlandırılır.
Bu aralıklar, açık ve kapalı aralık gösterimlerinin karıştırılmasıyla ifade edilir. Örneğin, (0, 1], 'dan büyük ve 'e eşit veya küçük anlamına gelirken; [0, 1), 'a eşit veya büyük ve 'den küçük anlamına gelir.
Yarı açık aralıklar şu forma sahiptir:

Özetle, reel sayıların bir kümesi ancak ve ancak bir açık aralık, bir kapalı aralık veya bir yarı açık aralık ise bir aralıktır.
Yukarıdaki sınıflandırmada iki kez görünen tek aralıklar, hem açık hem de kapalı olan  ve  kümeleridir. Tanım 9.1.1'e bakınız.

 Yozlaşmış aralıklar 
Bir , tek bir reel sayıdan oluşan herhangi bir kümedir (yani [a, a] formundaki bir aralıktır). Bazı yazarlar boş kümeyi de bu tanıma dahil ederler.
Ne boş ne de yozlaşmış olan bir reel aralığa has (İngilizce: proper) aralık denir ve sonsuz sayıda eleman içerir.

 Sınırlı aralıklar 
Bir aralık, sırasıyla tüm elemanlarından daha küçük veya daha büyük bir reel sayı varsa, soldan sınırlı veya sağdan sınırlı olarak adlandırılır.
Bir aralık hem soldan hem de sağdan sınırlıysa sınırlı olarak adlandırılır;
aksi takdirde sınırsız olarak adlandırılır. Yalnızca bir ucunda sınırlı olan aralıklara yarı sınırlı denir.
Boş küme sınırlıdır ve tüm reel sayılar kümesi her iki uçta da sınırsız olan tek aralıktır.
Sınırlı aralıklar yaygın olarak sonlu aralıklar olarak da bilinir.

Sınırlı aralıklar, çaplarının (uç noktalar arasındaki mutlak farka eşittir) sonlu olması anlamında sınırlı kümelerdir.
Çap; aralığın uzunluğu, genişliği, ölçümü, aralığı (range) veya boyutu olarak adlandırılabilir.
Sınırsız aralıkların boyutu genellikle  olarak tanımlanır ve boş aralığın boyutu  olarak tanımlanabilir (veya tanımsız bırakılır).

Uç noktaları  ve  olan sınırlı bir aralığın merkezi (orta nokta), 'dir ve yarıçapı ise yarı uzunluk olan 'dir.
Bu kavramlar boş veya sınırsız aralıklar için tanımsızdır.

 Minimum ve maksimum elemanlara göre sınıflandırma 
Bir aralık, ancak ve ancak minimum (diğer tüm elemanlardan daha küçük bir eleman) içermiyorsa soldan açık;
maksimum içermiyorsa sağdan açık; ve hiçbirini içermiyorsa açık olarak adlandırılır. Örneğin,  aralığı, soldan kapalı ve sağdan açıktır.
Negatif olmayan reel sayılar kümesi, sağdan açık ama soldan açık olmayan (soldan kapalı) bir kapalı aralıktır (topolojik anlamda kapalıdır).
Bir aralık, bir minimum elemana sahipse veya soldan sınırsızsa soldan kapalı; bir maksimuma sahipse veya sağdan sınırsızsa sağdan kapalı;
hem soldan kapalı hem de sağdan kapalıysa basitçe kapalı olarak adlandırılır.

 Alt aralıklar ve ilgili yapılar 
Eğer  aralığı  aralığının bir alt kümesi ise,  aralığı 'nin bir alt aralığıdır.
Eğer  aralığı 'nin bir öz alt kümesi ise, , 'nin bir öz alt aralığıdır.
Bir  aralığının içi,  içinde kapsanan en büyük açık aralıktır;
bu aynı zamanda  kümesinin uç noktası olmayan noktalarının kümesidir.
'nın kapanışı, 'yı içeren en küçük kapalı aralıktır;
bu aynı zamanda  kümesinin sonlu uç noktalarıyla genişletilmiş halidir.
Herhangi bir reel sayı kümesi  için, 'in aralık örtüsü (veya aralık kapsamı), 'i içeren ve 'i içeren başka herhangi bir aralığı öz alt küme olarak içermeyen tek aralıktır.

 Segmentler ve aralıklar 
Literatürde segment (bölüt) ve aralık terimleri için, esasen zıt iki şekilde kullanımdan kaynaklanan çelişkili bir terminoloji vardır ve bu terimler kullanıldığında belirsizliğe yol açar.
Encyclopedia of Mathematics, aralığı (niteleyici olmadan) her iki uç noktayı dışlayacak şekilde (yani açık aralık) tanımlarken, segmenti her iki uç noktayı içerecek şekilde (yani kapalı aralık) tanımlar. Öte yandan Rudin'in Principles of Mathematical Analysis (Matematiksel Analizin İlkeleri) adlı eseri, [a, b] biçimindeki kümeleri aralık, (a, b) biçimindeki kümeleri ise segment olarak adlandırır.
Bu terimler daha eski çalışmalarda görülme eğilimindedir; modern metinler, uç noktaların dahil olup olmadığına bakılmaksızın (açık, kapalı veya yarı açık olarak nitelendirilen) aralık terimini giderek daha fazla tercih etmektedir.

 Aralık gösterimleri 
 ile  arasındaki sayıların aralığı,  ve  dahil olmak üzere, genellikle [a, b] şeklinde gösterilir.
Bu iki sayıya aralığın uç noktaları denir.
Sayıların ondalık virgül ile yazıldığı ülkelerde, belirsizliği önlemek için ayırıcı olarak noktalı virgül kullanılabilir.

 Uç noktaları dahil etme veya hariç tutma 
Uç noktalardan birinin kümeden hariç tutulacağını belirtmek için, ilgili köşeli parantez ya bir yay parantez (normal parantez) ile değiştirilebilir ya da ters çevrilebilir.
Her iki gösterim de ISO 31-11 uluslararası standardında tanımlanmıştır. Böylece, küme kurucusu gösteriminde:

(a, a), [a, a) ve (a, a] aralıklarının her biri boş kümeyi temsil ederken, [a, a] tekil küme 'yı belirtir.  olduğunda, dört gösterimin tümü genellikle boş kümeyi temsil eder.

Her iki gösterim de matematikte parantez ve köşeli parantezlerin diğer kullanımlarıyla çakışabilir. Örneğin,  gösterimi sıklıkla küme teorisinde sıralı ikiliyi, analitik geometri ve doğrusal cebirde bir noktanın veya vektörün koordinatlarını veya bazen cebirde bir karmaşık sayıyı belirtmek için kullanılır.
Bu nedenle Bourbaki, açık aralığı belirtmek için  gösterimini getirmiştir.  gösterimi de, özellikle bilgisayar biliminde, zaman zaman sıralı ikililer için kullanılır.
Yves Tillé gibi bazı yazarlar,  gösterimini (a, b) aralığının tümleyenini belirtmek için kullanırlar;
yani, 'ya eşit veya küçük ya da 'ye eşit veya büyük olan tüm reel sayıların kümesi.

 Sonsuz uç noktalar 
Bazı bağlamlarda bir aralık, genişletilmiş reel sayıların (tüm reel sayılar kümesinin  ve  ile genişletilmiş hali) bir alt kümesi olarak tanımlanabilir.
Bu yorumda, [−∞, b] , (−∞, b] , [a, +∞]  ve [a, +∞) gösterimlerinin hepsi anlamlı ve farklıdır.
Özellikle, (−∞, +∞) olağan reel sayılar kümesini belirtirken, [−∞, +∞] genişletilmiş reel sayıları belirtir.
Olağan reel sayılar bağlamında bile, o yönde bir sınır olmadığını belirtmek için sonsuz bir uç nokta kullanılabilir.
Örneğin, (0, +∞) pozitif reel sayılar kümesidir ve  olarak da yazılır. Bağlam, yukarıdaki tanımların ve terminolojinin bazılarını etkiler.
Örneğin, (−∞, +∞) =  aralığı, olağan reel sayılar alanında kapalıdır, ancak genişletilmiş reel sayılar alanında kapalı değildir.

 Tamsayı aralıkları 
 ve  tamsayı olduğunda; ⟦a, b⟧, [a .. b],  veya sadece  gösterimleri bazen  ve  dahil olmak üzere bunlar arasındaki tüm tamsayıların aralığını belirtmek için kullanılır.
[a .. b] gösterimi bazı programlama dillerinde kullanılır;
örneğin Pascal'da, bir alt aralık (subrange) tipini biçimsel olarak tanımlamak için kullanılır ve en sık bir dizinin geçerli indislerinin alt ve üst sınırlarını belirtmek için kullanılır.

Tamsayı aralıklarını yorumlamanın bir başka yolu da, üç nokta gösterimini kullanarak liste yöntemiyle tanımlanan kümeler şeklindedir.
Sonlu bir alt veya üst uç noktaya sahip bir tamsayı aralığı her zaman o uç noktayı içerir.
Bu nedenle, uç noktaların hariç tutulması  ,   veya  yazılarak açıkça belirtilebilir.
[a .. b) veya  gibi alternatif parantez gösterimleri tamsayı aralıkları için nadiren kullanılır.

 Özellikler 
Aralıklar, tam olarak 'nin bağlantılı alt kümeleridir. Buradan, herhangi bir sürekli fonksiyon altında bir aralığın 'den 'ye görüntüsünün de bir aralık olduğu sonucu çıkar.
Bu, ara değer teoreminin formülasyonlarından biridir.

Aralıklar aynı zamanda 'nin konveks alt kümeleridir. Bir  alt kümesinin aralık örtüsü, aynı zamanda 'in dışbükey zarfıdır.

Bir aralığın kapanışı, aralığın kendisi ile sonlu uç noktalarının birleşimidir ve dolayısıyla o da bir aralıktır.
(Bu durum aynı zamanda, bir topolojik uzayın her bağlantılı alt kümesinin kapanışının da bağlantılı bir alt küme olduğu gerçeğinden de kaynaklanır.) Başka bir deyişle, şuna sahibiz:

Herhangi bir aralık koleksiyonunun kesişimi her zaman bir aralıktır. İki aralığın birleşimi, ancak ve ancak kesişimleri boş değilse veya bir aralığın açık uç noktası diğerinin kapalı uç noktasıysa bir aralıktır; örneğin 

Eğer  bir metrik uzay olarak görülürse, açık yuvarları (c + r, c − r) şeklindeki açık sınırlı aralıklardır ve kapalı yuvarları [c + r, c − r] şeklindeki kapalı sınırlı aralıklardır. Özellikle, reel doğrusundaki metrik ve sıralama topolojileri çakışır; bu da reel doğrusunun standart topolojisidir.
Bir  aralığının herhangi bir  elemanı, 'yı üç ayrık aralığa (1, 2, 3) böler: sırasıyla, 'nın 'ten küçük elemanları, tekil küme  ve 'ten büyük elemanlar.
1 ve 3 parçalarının her ikisi de (içleri boş olmayacak şekilde) boştur ancak ve ancak , 'nın içinde yer alıyorsa.
Bu, üç hal kuralının (trichotomy principle) aralık versiyonudur.

 Uygulamalar 

 Diyadik aralıklar 
Bir diyadik aralık, uç noktaları  ve  olan sınırlı bir reel aralıktır; burada  ve  tamsayılardır.
Bağlama bağlı olarak, her iki uç nokta da aralığa dahil edilebilir veya edilmeyebilir.
Diyadik aralıklar şu özelliklere sahiptir:

 Bir diyadik aralığın uzunluğu her zaman ikinin bir tamsayı kuvvetidir.
 Her diyadik aralık, uzunluğunun iki katı olan tam olarak bir diyadik aralığın içinde yer alır.
 Her diyadik aralık, uzunluğunun yarısı olan iki diyadik aralık tarafından oluşturulur.
 İki açık diyadik aralık örtüşüyorsa, bunlardan biri diğerinin alt kümesidir.
Sonuç olarak diyadik aralıklar, sonsuz bir ikili ağaç yapısını yansıtan bir yapıya sahiptir.

Diyadik aralıklar, uyarlamalı ağ iyileştirme (adaptive mesh refinement), çok ızgaralı yöntemler (multigrid methods) ve dalgacık analizi gibi sayısal analizin çeşitli alanlarıyla ilgilidir.
Böyle bir yapıyı temsil etmenin bir başka yolu da p-adik analizdir ( için).

 Reel analiz 
Aralıklar, matematiksel analizde her yerde bulunur; burada fikirleri ifade etmek için kullanılırlar ve genellikle temel sonuçlarda yer alırlar.

Bir reel fonksiyonun integrali bir aralık üzerinden tanımlanır.
İlgili aralığın uç noktaları genellikle alt ve üst simge olarak görünür, böylece  integrali,  aralığına ait tüm  değerleri için geçerlidir.

Aralıklar, bir  fonksiyonunun sürekliliğinin epsilon-delta tanımında örtük olarak yer alır: aşağıdaki anlatım bunları açık hale getirir.
Bir  fonksiyonunun bir  noktasında sürekli olması için; verilen herhangi bir  (sıfırdan büyük epsilon) değeri için,  değeri  aralığından seçildiğinde 'in  açık aralığında kalmasını sağlayan bir  (sıfırdan büyük delta) değeri bulunmalıdır.
 ve 'nın olası değerleri sınırsız  aralığına aittir, ancak genellikle küçük pozitif artışları tanımlamak için kullanılırlar.
Fikir şudur:  noktası etrafında küçük bir simetrik aralık vardır; öyle ki  değeri,  etrafında merkezlenmiş  yarıçaplı bir açık aralık içinde kalır.

Ara değer teoremi, eğer , bir  aralığı üzerinde tanımlı reel değerli bir sürekli fonksiyon ise ve ,  ile  arasında herhangi bir değerse, o zaman  ile  arasında  olacak şekilde bir  değeri bulmayı bekleyebileceğimiz sezgisini yakalar.
Örneğin,  aralığında tanımlı  fonksiyonu için,  ile  arasındaki  değeri verildiğinde,  ile  arasında  olan bir  değeri vardır.
Teoremin eşdeğer bir formülasyonu, sürekli bir fonksiyon altında bir aralığın görüntüsünün de bir aralık olduğunu belirtir.

 Güven aralıkları 
Güven aralıkları, istatistiksel çıkarımda önemlidir ve popülasyon ortalaması gibi bilinmeyen bir istatistiksel parametre için bir tahmini değerler aralığı sağlar.
Diğer aralık türlerinden farklı olarak, bir güven aralığı bir rastgele örneklemden değerlendirilir ve aralık uç noktaları reel değerli rastgele değişkenlerdir.
Farklı bir örneklem muhtemelen farklı bir sonuç verecektir.

Örnekleme tekrarlandığında, karşılık gelen bir aralığın bilinmeyen parametrenin gerçek değerini içermesi olasılığına güven düzeyi denir ve bu önceden belirlenmiş bir olasılıktır.
Örneğin, seçilen güven düzeyi 0,95 ise ve aynı örnekleme prosedürü birçok kez tekrarlanırsa, uzun vadede ortaya çıkan aralıkların yaklaşık %95'inin gerçek değeri içermesi beklenir.
Normal dağılım basitleştirilmiş bir örnek sağlar. Grafiği tanıdık çan eğrisi olan bir olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.
Tepe noktası ortalamasında (, Yunan harfi mü) oluşur ve genişliği standart sapmasıyla (, sigma) tanımlanabilir.
Bu iki parametre bir çan eğrisini diğerinden ayırır, ancak her durumda ortalamanın her iki yanındaki iki standart sapma içindeki bölge yaklaşık 0,95'lik bir olasılığı temsil eder.
Bu, normal dağılım gösteren bir rastgele değişken  için şu şekilde yazılabilir:

Sabit bir örneklem büyüklüğü için örneklem ortalamasını  olarak alalım; bu  için bir tahmin edicidir.
Bu da kendi standart sapması  ile normal bir dağılıma sahiptir.
Önceki eşitsizlikler daha sonra  cinsinden yazılarak şunu verir:

Eğer standart sapma 'in değeri biliniyorsa,  aralığı, yaklaşık 0,95 güven düzeyiyle  için bir güven aralığı olacaktır.
Uç noktaları, gerçek değerleri alınan örnekleme bağlı olan  ve  rastgele değişkenleridir.

 Genel topolojide 
Her Tychonoff uzayı, kapalı birim aralıklar 'in bir çarpım uzayına gömülebilir. Aslında, kardinalitesi  olan bir tabana sahip her Tychonoff uzayı, aralıkların  kopyasının çarpımı olan 'ya gömülebilir.

Konveks kümeler ve konveks bileşenler kavramları, sıralama topolojisi ile donatılmış her tam sıralı kümenin tamamen normal veya dahası monotonik normal olduğunun ispatında kullanılır.

 Genellemeler 
 Yuvarlar 

Açık bir sonlu aralık , merkezi  ve yarıçapı  olan 1-boyutlu bir açık yuvardır. Kapalı sonlu aralık  buna karşılık gelen kapalı yuvardır ve aralığın iki uç noktası  0-boyutlu bir küre oluşturur.
-boyutlu Öklid uzayına genellendiğinde, bir yuvar, merkeze olan uzaklığı yarıçaptan küçük olan noktalar kümesidir.
2-boyutlu durumda, bir yuvara disk denir.
Eğer bir yarı uzay, (iyi tanımlanmış bir merkezi veya yarıçapı olmayan) bir tür yozlaşmış yuvar olarak alınırsa, bir yarı uzay, sınır düzlemi sonlu uç noktaya karşılık gelen (yozlaşmış) küre olmak üzere, yarı sınırlı bir aralığa benzer olarak kabul edilebilir.

 Çok boyutlu aralıklar 

Sonlu bir aralık, 1-boyutlu bir hiperdikdörtgendir (veya içidir).
reel koordinat uzayı 'ye genellendiğinde, eksenlere hizalı bir hiperdikdörtgen (veya kutu),  adet sonlu aralığın Kartezyen çarpımıdır.
 için bu bir dikdörtgen;  için bu bir dikdörtgenler prizmasıdır (veya "kutu").
Açık, kapalı ve sonsuz uç noktaların bir karışımına izin vererek, herhangi  aralığın Kartezyen çarpımı , bazen -boyutlu aralık olarak adlandırılır.

Böyle bir  aralığının bir faseti, herhangi bir yozlaşmamış  aralık çarpanının, 'nın sonlu bir uç noktasından oluşan yozlaşmış bir aralıkla değiştirilmesi sonucunda elde edilir. 'nın yüzleri, 'nın kendisini ve fasetlerinin tüm yüzlerini kapsar.
'nın köşeleri, 'nin tek bir noktasından oluşan yüzlerdir.

 Konveks politoplar 

Herhangi bir sonlu aralık, yarı sınırlı aralıkların kesişimi olarak oluşturulabilir (boş bir kesişim tüm reel doğru anlamına gelir) ve herhangi bir sayıdaki yarı sınırlı aralığın kesişimi (muhtemelen boş) bir aralıktır.
-boyutlu afin uzaya genellendiğinde, (keyfi yönelimli) yarı uzayların kesişimi bir konveks politoptur (veya içidir), ya da 2-boyutlu durumda bir konveks çokgendir.

 Bölgeler 

Açık bir aralık, reel sayıların bağlantılı bir açık kümesidir.
Genel olarak topolojik uzaylara genellendiğinde, boş olmayan bağlantılı bir açık kümeye bölge (domain) denir.

 Karmaşık aralıklar 
Karmaşık sayı aralıkları, karmaşık düzlemin dikdörtgen veya dairesel bölgeleri olarak tanımlanabilir.Complex interval arithmetic and its applications, Miodrag Petković, Ljiljana Petković, Wiley-VCH, 1998, 

 Kısmi sıralı ve ön sıralı kümelerdeki aralıklar 

 Tanımlar 
Aralık kavramı, keyfi kısmi sıralı kümelerde veya daha genel olarak keyfi ön sıralı kümelerde tanımlanabilir.
Bir ön sıralı küme  ve iki eleman  için, aralıklar benzer şekilde tanımlanır:

burada ,  anlamına gelir. Aslında, tek veya hiç uç noktası olmayan aralıklar, daha büyük ön sıralı kümedeki iki uç noktalı aralıklarla aynıdır:

bu küme, yeni en küçük ve en büyük elemanların (zaten var olsalar bile) eklenmesiyle tanımlanır ve 'in alt kümeleridir.  durumunda , genişletilmiş reel sayı doğrusu olarak alınabilir.

 Sıralama teorisinde konveks kümeler ve konveks bileşenler 

 ön sıralı kümesinin bir  alt kümesi, eğer her  ve her  için  oluyorsa, (sıralama-)konvekstir. reel doğru durumunun aksine, bir ön sıralı kümenin konveks kümesi bir aralık olmak zorunda değildir.
Örneğin, rasyonel sayıların tam sıralı kümesi  içinde,

kümesi konvekstir, ancak 'da ikinin karekökü olmadığı için 'nun bir aralığı değildir.

 bir ön sıralı küme ve  olsun. 'in  içinde kapsanan konveks kümeleri, kapsama (inclusion) altında bir kısmi sıralı küme (KSK) oluşturur.
Bu KSK'nin bir maksimal elemanına 'nin bir konveks bileşeni denir. Zorn lemması gereği, 'in  içinde kapsanan herhangi bir konveks kümesi, 'nin bir konveks bileşeni içinde kapsanır, ancak bu bileşenlerin tek (unique) olması gerekmez.
Bir tam sıralı kümede, böyle bir bileşen her zaman tektir.
Yani, tam sıralı bir kümenin bir alt kümesinin konveks bileşenleri bir parçalanış oluşturur.

 Özellikler 
Reel aralıkların karakterizasyonlarının bir genellemesi şöyledir:
Bir  lineer sürekliliğinin (linear continuum) boş olmayan bir  alt kümesi için, aşağıdaki koşullar eşdeğerdir.
  kümesi bir aralıktır.
  kümesi sıralama-konvekstir.
 , sıralama topolojisi ile donatıldığında  kümesi bağlantılı bir alt kümedir.

Bir  kafesinin bir  alt kümesi için, aşağıdaki koşullar eşdeğerdir.
  kümesi bir alt kafestir ve bir (sıralama-)konveks kümedir.
 Öyle bir  ideali ve  filtresi vardır ki  olur.

 Topolojik cebir 

Aralıklar düzlemin noktalarıyla ve dolayısıyla aralık bölgeleri düzlemin bölgeleriyle ilişkilendirilebilir.
Genel olarak, matematikte bir aralık, reel sayıların kendisiyle olan doğrudan çarpımı 'den alınan sıralı bir  ikilisine karşılık gelir; burada genellikle  olduğu varsayılır.
Matematiksel yapı amaçları doğrultusunda bu kısıtlama kaldırılırKaj Madsen (1979), Review of "Interval analysis in the extended interval space" by Edgar Kaucher,  ve  olan "ters aralıklara" izin verilir. O halde, tüm  aralıklarının koleksiyonu, toplama ve çarpmanın bileşen bazında tanımlandığı 'nin kendisiyle olan direkt toplamıyla oluşturulan topolojik halka ile özdeşleştirilebilir.

Direkt toplam cebiri 'in iki ideali vardır: { [x,0] : x ∈ R } ve { [0,y] : y ∈ R }.
Bu cebirin birim elemanı, yoğunlaştırılmış aralık 'dir.
Eğer  aralığı bu ideallerden birinde değilse,  çarpımsal tersine sahiptir.
Olağan topoloji ile donatıldığında, aralıklar cebiri bir topolojik halka oluşturur.
Bu halkanın birimsel grubu (group of units), eksenler veya bu durumda idealler tarafından belirlenen dört çeyrekten oluşur.
Bu grubun birim bileşeni (identity component) I. çeyrektir.

Her aralık, orta noktası etrafında simetrik bir aralık olarak düşünülebilir.
M. Warmus tarafından 1956'da yayınlanan bir yeniden yapılandırmada, "dengeli aralıklar"  ekseni, bir noktaya indirgenen  aralıkları ekseni ile birlikte kullanılır.
Aralıklar halkası,  direkt toplamı yerine, M. Warmus ve D. H. Lehmer tarafından

özdeşliği (burada ) aracılığıyla hiperbolik sayılarla özdeşleştirilmiştir.D. H. Lehmer (1956) Review of "Calculus of Approximations", 

Düzlemin bir halka izomorfizması anlamına gelen bu doğrusal dönüşümü, düzleme kutupsal ayrışım gibi sıradan karmaşık aritmetiğe bazı benzerlikleri olan çarpımsal bir yapı sağlar.

 Ayrıca bakınız 
 Birim aralık
 Yay (geometri)
 Eşitsizlik
 Aralık tahmini
 Doğru parçası

 Kaynakça 

 Bibliyografya 
 T. Sunaga, "Theory of interval algebra and its application to numerical analysis" , In: Research Association of Applied Geometry (RAAG) Memoirs, Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Tokyo, Japan, 1958, Vol. 2, pp. 29–46 (547-564); reprinted in Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, Vol. 26, No. 2-3, pp. 126–143.

 Dış bağlantılar 
 A Lucid Interval, Brian Hayes: Bir American Scientist makalesi giriş niteliğinde bilgi sağlar.
 Interval computations website 
 Interval computations research centers 
 Interval Notation, George Beck, Wolfram Demonstrations Project.


Kategori:Sıra teorisi
Kategori:Topoloji