Stokes sınır tabakası

Akışkanlar dinamiğinde, Stokes problemi, Stokes ikinci problemi veya bazen Stokes sınır tabakası ya da Salınımlı sınır tabakası olarak da bilinen problem, adını Sir George Stokes'tan alan ve salınım yapan katı bir yüzeyin yarattığı akışın belirlenmesini konu alan bir problemdir.

Bu problem, Navier-Stokes denklemleri için tam çözüme sahip olan en basit zamana bağlı problemlerden biri olarak kabul edilir.Landau & Lifshitz (1987), s. 83–85. Türbülanslı akışta da bu durum Stokes sınır tabakası olarak adlandırılır, ancak bu durumda akış hakkında yararlı bilgiler elde etmek için deneylere, sayısal simülasyonlara veya yaklaşıklama yöntemlerine güvenmek gerekir.

 Akış tanımı 
Sonsuz bir akışkan alanında  konumunda bulunan ve  yönünde  hızıyla salınım yapan sonsuz uzunlukta bir levha düşünün; burada , salınımların frekansıdır.
Sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemleri şu hale indirgenir:Batchelor, George Keith. An introduction to fluid dynamics. Cambridge university press, 2000.Lagerstrom, Paco Axel. Laminar flow theory. Princeton University Press, 1996.

burada , kinematik viskozitedir.
Basınç gradyanı probleme dahil olmaz. Duvardaki başlangıç ve kaymazlık koşulu şöyledir:

ve ikinci sınır koşulu, 'daki hareketin sonsuzda hissedilmemesi gerçeğinden kaynaklanır.
Akış sadece levhanın hareketinden kaynaklanmaktadır, uygulanan herhangi bir basınç gradyanı yoktur.

 Çözüm 
Periyodiklik nedeniyle başlangıç koşuluna gerek yoktur. Hem denklem hem de sınır koşulları doğrusal (lineer) olduğundan, hız bir karmaşık fonksiyonun reel kısmı olarak yazılabilir:Acheson, David J. Elementary fluid dynamics. Oxford University Press, 1990.Landau, Lev Davidovich, and Evgenii Mikhailovich Lifshitz. "Fluid mechanics." (1987).

çünkü 'tir.
Bunu kısmi diferansiyel denklemde yerine koymak, denklemi adi diferansiyel denkleme indirger:

sınır koşulları ile birlikte:

Yukarıdaki problemin çözümü şöyledir:

Salınım yapan levha tarafından oluşturulan bozulma, akışkan boyunca enine bir dalga olarak ilerler, ancak üstel faktör nedeniyle büyük ölçüde sönümlenir.

Bu dalganın nüfuz derinliği (penetration depth) , salınım frekansı ile azalır, ancak akışkanın kinematik viskozitesi ile artar.
Akışkan tarafından levhaya uygulanan birim alan başına kuvvet şöyledir:

Levhanın salınımı ile oluşturulan kuvvet arasında bir faz farkı vardır.

 Sınır yakınında girdaplık salınımları 

Stokes'un salınımlı Stokes akışı çözümüyle ilgili önemli bir gözlem, girdaplık (vorticity) salınımlarının ince bir sınır tabakasıyla sınırlı olması ve duvardan uzaklaştıkça üstel olarak sönümlenmesidir.Phillips (1977), s. 46. Bu gözlem, türbülanslı sınır tabakası durumu için de geçerlidir.

Genellikle akışkan hacminin büyük kısmını oluşturan Stokes sınır tabakasının dışında, girdaplık salınımları ihmal edilebilir.
İyi bir yaklaşıklama ile, akış hızı salınımları sınır tabakası dışında girdapsızdır (irrotational) ve hareketin salınımlı kısmına potansiyel akış teorisi uygulanabilir.
Bu durum, söz konusu akış problemlerinin çözümünü önemli ölçüde basitleştirir ve genellikle ses dalgaları ve su dalgalarının girdapsız akış bölgelerinde uygulanır.

 Üst duvarla sınırlandırılmış akışkan 
Akışkan alanı,  yüksekliğinde bulunan sabit bir üst duvarla sınırlandırılmışsa, akış hızı şu şekilde verilir:

burada 'dir.

 Serbest yüzeyle sınırlandırılmış akışkan 
Akışkan alanı aralığının  olduğunu ve 'nin bir serbest yüzeyi (free surface) temsil ettiğini varsayalım.
Bu durumda, 1968'de Chia-Shun Yih tarafından gösterildiği gibi çözümYih, C. S. (1968). Instability of unsteady flows or configurations Part 1. Instability of a horizontal liquid layer on an oscillating plane. Journal of Fluid Mechanics, 31(4), 737-751. şöyledir:

burada  ve , 'nin karmaşık eşleniğidir.

 Düz rijit bir levha yakınında salınımlı basınç gradyanı kaynaklı akış 
çerçeveli|sağ|Uzak alan akış hızının sinüzoidal salınımına bağlı Stokes sınır tabakası. Yatay hız mavi çizgidir ve karşılık gelen yatay parçacık yer değiştirmeleri kırmızı noktalardır.

Levhanın sabit tutulduğu salınımlı bir uzak alan akışı durumu, çözümlerin doğrusal süperpozisyonu kullanılarak salınımlı levha için önceki çözümden kolayca oluşturulabilir.

Levhadan çok uzakta düzgün bir hız salınımı  ve levhada sıfır hız  olduğunu düşünün.
Orijinal problemdeki durgun akışkanın aksine, burada sonsuzdaki basınç gradyanı zamanın harmonik bir fonksiyonu olmalıdır.
Çözüm o zaman şu şekilde verilir:

bu ifade, hareketsiz bir duvar için kaymazlık koşuluna uygun olarak y = 0 duvarında sıfırdır.

Bu durumla genellikle katı bir duvarın yakınındaki ses dalgalarında veya su dalgalarında deniz tabanına yakın akışkan hareketinde karşılaşılır.
Hareketsiz bir duvar yakınındaki salınımlı akış için girdaplık, salınımlı levha durumundaki girdaplığa eşit ancak zıt işaretlidir.

 Silindirik geometride Stokes problemi 

 Burulma salınımı 

Yarıçapı  olan ve  açısal hızıyla burulma salınımı yapan sonsuz uzunlukta bir silindir düşünün; burada  frekanstır.
Bu durumda hız, başlangıçtaki geçici fazdan sonra şu değere yaklaşır:Drazin, Philip G., and Norman Riley. The Navier–Stokes equations: a classification of flows and exact solutions. No. 334. Cambridge University Press, 2006.

burada , ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonudur.
Bu çözüm reel argümanla şu şekilde ifade edilebilir:

burada

 ve  Kelvin fonksiyonlarıdır ve ,  olarak tanımlanan boyutsuz salınımlı Reynolds sayısıdır; burada  kinematik viskozitedir.

 Eksenel salınım 

Eğer silindir  hızıyla eksenel yönde salınım yaparsa, hız alanı şöyledir:

burada , ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonudur.

 Stokes–Couette akışı 
Couette akışında, plakalarından birinin öteleme hareketi yerine, bir düzlemin salınımı gerçekleştirilir.
'da hareketsiz bir alt duvarımız varsa ve 'deki üst duvar  hızıyla salınım hareketi yapıyorsa, hız alanı şu şekilde verilir:Landau, L. D., & Sykes, J. B. (1987). Fluid Mechanics: Vol 6. pp. 88

Hareketli düzlem üzerindeki birim alan başına sürtünme kuvveti  ve sabit düzlem üzerindeki ise 'tir.

 Ayrıca bakınız 

Rayleigh problemi

 Kaynakça 

Kategori:Sınır tabakalar
Kategori:Akışkanlar dinamiği