Büyük-daire mesafesi

Büyük-daire mesafesi, ortodromik mesafe veya küresel mesafe, bir küre üzerindeki iki nokta arasındaki, aralarındaki büyük daire yayı boyunca ölçülen mesafedir. Bu yay, küre yüzeyindeki iki nokta arasındaki en kısa yoldur. (Karşılaştırmak gerekirse, kürenin içinden geçen en kısa yol, noktalar arasındaki kiriştir.)

Eğri bir yüzeyde , doğru çizgiler kavramının yerini, yüzeye göre yerel olarak düz olan eğriler olan daha genel bir jeodezikler kavramı alır. Küre üzerindeki jeodezikler, merkezleri kürenin merkeziyle çakışan daireler olan büyük dairelerdir. 

Bir küre üzerinde antipodal (çap olarak zıt) olmayan herhangi iki farklı nokta, bu noktaların iki yaya böldüğü benzersiz bir büyük daire üzerinde yer alır; kısa olan yayın uzunluğu, noktalar arasındaki büyük daire mesafesidir. Bu yay uzunluğu, noktalar arasındaki merkez açıyla orantılıdır ve bu açı radyan cinsinden ölçülürse, yay uzunluğunu elde etmek için kürenin yarıçapıyla çarpılarak büyütülebilir. İki antipodal noktanın her ikisi de, her birini yarıçapın  katı uzunluğunda iki yaya böldükleri sonsuz sayıda büyük daire üzerinde bulunur. 

Büyük daire mesafesinin belirlenmesi, uç noktalardaki ve ara yol noktalarındaki azimutları da hesaplayan daha genel büyük-daire navigasyonu probleminin bir parçasıdır. Dünya neredeyse küresel olduğundan, Dünya üzerindeki noktaların boylam ve jeodezik enlemine uygulanan büyük-daire mesafesi formülleri yaklaşık %0,5 oranında doğrudur.

 Formüller 
küçükresim|İki nokta P ve Q arasındaki Δσ merkez açısının bir illüstrasyonu. λ ve φ sırasıyla P'nin boylamsal ve enlamsel açılarıdır

1 ve 2 noktalarının coğrafi boylam ve enlemleri sırasıyla  ve  olsun ve  bunların mutlak farkları olsun; o halde aralarındaki merkez açı olan , kutuplardan biri küre üzerinde yardımcı bir üçüncü nokta olarak kullanılırsa küresel kosinüs teoremi (spherical law of cosines) ile verilir:

Problem genellikle  merkez açısını bulma cinsinden ifade edilir. Bu açının radyan cinsinden verilmesiyle, r yarıçaplı bir küre üzerindeki gerçek yay uzunluğu d basitçe şu şekilde hesaplanabilir:

 Merkez açı ve kiriş uzunluğu arasındaki ilişki 
 merkez açısı, birim kürenin  kiriş uzunluğu ile ilişkilidir:

Kısa-mesafe yaklaşıklaması için (),

 Hesaplama formülleri 
Düşük kayan nokta hassasiyetine sahip bilgisayar sistemlerinde, eğer mesafe küçükse (eğer iki nokta Dünya yüzeyinde birbirinden bir kilometre uzaktaysa, merkez açının kosinüsü 0.99999999 civarındadır) küresel kosinüs teoremi formülü büyük yuvarlama hatalarına sahip olabilir. Modern 64-bit kayan nokta sayıları için, yukarıda verilen küresel kosinüs teoremi formülü, Dünya yüzeyindeki birkaç metreden daha büyük mesafeler için ciddi yuvarlama hatalarına sahip değildir.

Aşağıdaki haversine formülü, yukarıdaki kiriş uzunluğu ilişkisine dayanarak küçük mesafeler için sayısal olarak daha iyi koşullandırılmıştır :

Tarihsel olarak, bu formülün kullanımı,  ve  ile tanımlanan haversine fonksiyonu için tabloların mevcut olmasıyla basitleştirilmişti. Aşağıdaki, kiriş uzunluğunu açıkça ifade eden eşdeğer formülü göstermektedir:

burada 'dir. 

Bu formül bir küre üzerindeki mesafelerin çoğu için doğru olsa da, antipodal noktaların özel (ve biraz sıradışı) durumu için yuvarlama hatalarından muzdariptir. Tüm mesafeler için doğru olan bir formül, eşit büyük ve küçük eksenlere sahip bir elipsoit için Vincenty formülünün aşağıdaki özel durumudur:

burada  iki bağımsız değişkenli arktanjanttır. Atan2 kullanmak, doğru çeyreğin seçilmesini sağlar.

 Vektör versiyonu 
Benzer formüllerin konumları tanımlamak için enlem ve boylam yerine normal vektörler kullanan başka bir temsili, nokta çarpımı, çapraz çarpım veya bir kombinasyonunu kullanarak 3-boyutlu vektör cebiri aracılığıyla bulunur:

burada  ve , 1 ve 2 konumlarındaki kürenin normalleridir. Enlem ve boylama dayalı yukarıdaki denklemlere benzer şekilde, arktanjanta dayalı ifade, tüm açılar için iyi koşullandırılmış tek ifadedir. Arktanjanta dayalı ifade, çapraz çarpımın büyüklüğünün nokta çarpımına bölünmesini gerektirir.

 Kiriş uzunluğundan 
İlgilenilen noktalar arasında üç boyutlu uzaydan geçen ve küresel Dünya üzerindeki bir çizgi, noktalar arasındaki büyük dairenin kirişidir. İki nokta arasındaki merkez açı, kiriş uzunluğundan belirlenebilir. Büyük daire mesafesi merkez açıyla orantılıdır. Büyük daire kiriş uzunluğu, , karşılık gelen birim küre için Kartezyen çıkarma yoluyla şu şekilde hesaplanabilir:

 ve  ifadeleri yerine konduğunda, bu formül cebirsel olarak yukarıda  bölümünde gösterilen forma dönüştürülebilir.

 Küresel Dünya için yarıçap 
küçükresim|1984 Dünya Jeodezik Sistemi (WGS84) revizyonunda tanımlandığı şekliyle ekvatoral (a), kutupsal (b) ve ortalama Dünya yarıçapları. (Ölçekli değildir.)

Dünyanın şekli, ekvator yarıçapı  6378.137 km olan basık bir küreye (bir sferoit) çok benzer; sferoitin merkezinden her bir kutba olan  mesafesi 6356.7523142 km'dir. 

Ekvatordaki kısa bir kuzey-güney çizgisinin uzunluğu hesaplanırken, o çizgiye en iyi yaklaşan daire  yarıçapına (bu meridyenin yarı latus rektumuna eşittir) veya 6335.439 km'ye sahipken, kutuplardaki sferoit en iyi  yarıçaplı bir küre ile, yani 6399.594 km ile yaklaşık olarak ifade edilir; bu %1'lik bir farktır. 

Küresel bir Dünya varsayıldığı sürece, Dünya üzerindeki mesafeyi hesaplayan herhangi bir tek formülün yalnızca %0.5 oranında doğru olması garanti edilir (yine de formülün yalnızca sınırlı bir alana uygulanması amaçlanıyorsa daha iyi bir doğruluk mümkündür). 

Ortalama Dünya yarıçapının kullanılması, (<WGS84 elipsoidi için) , küçük basıklık sınırında mesafe tahminlerindeki ortalama kare bağıl hatanın en aza indirildiği anlamına gelir.

Kutupların dışındaki ve 500 kilometreden küçük mesafeler için, elipsoidal bir Dünya'nın Öklidci yaklaşımı hem daha basit hem de daha doğrudur (%0.1'e kadar).

 Ayrıca bakınız 

 Açısal mesafe
 Dünyanın çevresini dolaşma
 Jeodezi
 Jeodezik sistem
 Kerte hattı

 Kaynakça ve notlar 

 Dış bağlantılar 
 MathWorld'de GreatCircle

Kategori:Metrik geometri
Kategori:Küresel trigonometri
Kategori:Mesafe
Kategori:Küresel eğriler