Dokuzları atma (aritmetik)

Dokuzları atma (), aşağıdaki üç aritmetik prosedürden herhangi biridir:
 Bir pozitif tam sayının ondalık basamaklarındaki rakamları toplamak; bu sırada isteğe bağlı olarak 9'ları veya toplamı 9 ya da 9'un katı olan rakamları göz ardı etmek. Bu prosedürün sonucu, orijinal sayının birden fazla basamağı olduğu her durumda orijinalinden daha küçük olan, dokuza bölündüğünde orijinal sayı ile aynı kalanı veren ve orijinal sayıdan 9'un bir katı çıkarılarak elde edilebilen bir sayıdır. Prosedürün adı bu son özellikten gelmektedir.
 Tek basamaklı bir sayı elde edilene kadar bu prosedürün önceki uygulamalardan elde edilen sonuçlara tekrarlanarak uygulanması. Bu tek basamaklı sayıya orijinal sayının "rakamsal kökü" denir. Eğer bir sayı 9'a tam bölünüyorsa, rakamsal kökü 9'dur. Aksi takdirde, rakamsal kökü 9'a bölündükten sonra bıraktığı kalandır.
 Yukarıda bahsedilen prosedürler aritmetik hesaplamalardaki hataları kontrol etmek için kullanıldığı bir makullük kontrolüdür. Test, işlenenlere uygulanan aritmetik işlemler dizisinin aynısının işlenenlerin rakamsal köklerine de uygulanmasıyla gerçekleştirilir. Eğer hesaplamalarda hiçbir hata yapılmamışsa, iki sonucun rakamsal kökleri aynı olacaktır. Dolayısıyla, eğer farklılarsa, hesaplamalarda bir veya daha fazla hata yapılmış olmalıdır.

küçükresim|Dokuzları, dokuzun katlarını ve sıfırları atıp kalan rakamları art arda toplayarak bir sayının rakamsal kökünü bulma

Rakamlar toplamı


Tek bir sayıdan "dokuzları atmak" için, basitçe onun ondalık basamaklarındaki rakamlar toplanarak sözde rakamlar toplamı elde edilebilir. Örneğin 2946'nın rakamlar toplamı 2 + 9 + 4 + 6 = 21'dir. 21 = 2946 − 325 × 9 olduğundan, 2946'nın rakamlar toplamını almanın etkisi, içinden 325 tane 9'u "atmak"tır. Rakamlar toplanırken 9 rakamı göz ardı edilirse, bunun etkisi sonucu 12 yapmak için bir tane daha 9'u "atmak" olur.

Daha genel olarak, rakamları toplayarak dokuzları atarken, toplamı 9 veya 9'un bir katı olan herhangi bir rakam kümesi göz ardı edilebilir. Örneğin 3264 sayısında 3 ve 6 rakamlarının toplamı 9'dur. Bu nedenle bu iki rakamı göz ardı edip diğer ikisini topladığımızda 2 + 4 = 6 elde ederiz. 6 = 3264 − 362 × 9 olduğundan, bu hesaplama 3264'ten 362 tane 9'un atılmasıyla sonuçlanmıştır.

Normalde ondalık rakam dizisi  ile gösterilen keyfi bir  sayısı için, rakamlar toplamı 'dır. Orijinal sayı ile onun rakamları toplamı arasındaki fark şöyledir:



 formundaki sayılar her zaman 9'a bölünebildiğinden ( olduğu için), orijinal sayıyı rakamlar toplamıyla değiştirmek,



tane 9 atma etkisine sahiptir.

Rakamsal kökler


Önceki paragrafta açıklanan prosedür her bir önceki uygulamanın sonucuna tekrar tekrar uygulanırsa, nihai sonuç, olası bir istisna dışında tüm 9'ların "atıldığı" tek basamaklı bir sayı olacaktır. Ortaya çıkan tek basamaklı sayıya orijinal sayının rakamsal kökü denir. İstisna, orijinal sayının rakamsal kökü 9 olduğunda ortaya çıkar; bunun rakamları toplamı kendisidir ve bu nedenle daha fazla rakamlar toplamı alınarak atılamaz.

Örneğin 12.565 sayısının rakamlar toplamı 1 + 2 + 5 + 6 + 5 = 19'dur; bunun da rakamlar toplamı 1 + 9 = 10'dur ve onun da sırasıyla rakamlar toplamı tek basamaklı bir sayı olan 1 + 0 = 1'dir. Dolayısıyla 12.565'in rakamsal kökü 1'dir ve bu hesaplama, 12.565'ten (12.565 − 1) ÷ 9 = 1.396 tane 9'u atma etkisine sahiptir.

Hesaplamaları dokuzları atarak kontrol etme

Aritmetik bir hesaplamanın sonucunu dokuzları atarak kontrol etmek için, hesaplamadaki her bir sayı rakamsal köküyle değiştirilir ve aynı hesaplamalar bu rakamsal köklere uygulanır. Daha sonra bu hesaplamanın sonucunun rakamsal kökü, orijinal hesaplamanın sonucunun rakamsal kökü ile karşılaştırılır. Eğer hesaplamalarda hiçbir hata yapılmamışsa, bu iki rakamsal kök aynı olmalıdır. Dokuzları atma yönteminin toplama , çıkarma , çarpma ve bölme işlemlerini kontrol etmek için kullanıldığı örnekler aşağıda verilmiştir.

Örnekler

Toplama
Her bir toplananda , tüm 9'ların ve toplamı 9 olan rakam çiftlerinin üzerini çizin, ardından geriye kalanları toplayın. Bu yeni değerlere fazlalıklar denir. Tek bir rakama ulaşılana kadar her bir toplanan için arta kalan rakamları toplayın. Şimdi nihai bir fazlalık elde etmek için toplamı ve aynı zamanda fazlalıkları işleyin.
 2 ve 4'ün toplamı 6 eder. 8+1=9 ve 4+5=9; geriye hiç rakam kalmadı. 2, 4 ve 6'nın toplamı 12 eder; 1 ve 2'nin toplamı 3 eder. 2 ve 0'ın toplamı 2'dir. 6, 0, 3 ve 2'nin toplamı 11 eder; 1 ve 1'in toplamı 2 eder. Toplamdan gelen fazlalık, toplananlardan elde edilen nihai fazlalığa eşit olmalıdır.

Çıkarma
  İlk olarak, hem eksilendeki hem de çıkandaki tüm 9'ların ve toplamı 9 olan rakamların üzerini çizin.Tek bir rakama ulaşılana kadar her bir değer için arta kalan rakamları toplayın. Şimdi fark değeriyle aynı prosedürü izleyerek tek bir rakama ulaşın.Sıfırdan 2 çıkarmak negatif bir sayı vereceği için, eksilenden bir 9 ödünç alın. Eksilen ve çıkan fazlalıkları arasındaki fark, fark fazlalığına eşit olmalıdır.

Çarpma
 İlk olarak, her bir çarpanda tüm 9'ların ve toplamı 9 olan rakamların üzerini çizin.Tek bir rakama ulaşılana kadar her bir çarpılan sayı için arta kalan rakamları toplayın.  İki fazlalığı çarpın ve ardından tek bir rakama ulaşılana kadar toplayın.Aynısını çarpım için de yapın; 9'ların üzerini çizin ve tek bir rakam elde edin.*Çarpımdan elde edilen fazlalık, çarpanlardan elde edilen nihai fazlalığa eşit olmalıdır.

*8 kere 8 64'tür; 6 ve 4 10 eder; 1 ve 0 1 eder.

Bölme
Bölendeki , bölümdeki ve kalandaki tüm 9'ların ve toplamı 9 olan rakamların üzerini çizin.Her bir değer için tek bir rakama ulaşılana kadar her bir değerdeki üzeri çizilmemiş tüm rakamları toplayın. Bölünen fazlalığı, diğer değerlerden elde edilen nihai fazlalığa eşit olmalıdır. Başka bir deyişle, çarpmadaki prosedürün aynısını, sadece tersten uygulayın. 8x4=32 yani 5'tir, 5+3 = 8'dir. Ve 8=8'dir.

Çalışma prensibi

Yöntem işe yarar çünkü orijinal sayılar 'ondalıktır' (10 tabanında), modül 1 farklı olacak şekilde seçilmiştir ve dışarı atmak bir rakamlar toplamı almaya eşdeğerdir. Genel olarak, herhangi daha küçük bir modülde x ve y'  (örneğin, modülo 7) olarak ifade edilen herhangi 'büyük' iki tam sayı, x ve y, orijinalleriyle her zaman aynı toplama, farka veya çarpıma sahip olacaktır. Bu özellik, taban ve modülün 1 farklı olduğu 'rakamlar toplamı' için de korunur.

Eğer bir hesaplama dokuzları atmadan önce doğruysa, her iki tarafta da dokuzları atmak doğruluğu koruyacaktır. Ancak, önceden eşit olmayan iki tam sayının modülo 9'da özdeş olması mümkündür (ortalama olarak on dokuzda bir ihtimalle). Verilen bir kesirli sayının benzersiz bir gösterimi olmadığı için bu işlem kesirlerde işe yaramaz.

 Açıklama üzerine bir varyasyon 

Dokuzlarla toplamayı öğrenmenin bir püf noktası, rakama on ekleyip bir geriye saymaktır. Onlar basamağına 1 ekleyip birler basamağından bir çıkardığımız için, rakamların toplamı aynı kalmalıdır. Örneğin, 1 + 1 = 2 ile 9 + 2 = 11'dir. 9'u kendisine eklerken, rakamların toplamının şu şekilde 9 olmasını bekleriz: 9 + 9 = 18, (1 + 8 = 9) ve 9 + 9 + 9 = 27, (2 + 7 = 9).

Basit bir çarpmaya bakalım: 5 × 7 = 35, (3 + 5 = 8). Şimdi şunu düşünün: (7 + 9) × 5 = 16 × 5 = 80, (8 + 0 = 8) veya 7 × (9 + 5) = 7 × 14 = 98, (9 + 8 = 17), (1 + 7 = 8).

Herhangi bir negatif olmayan tam sayı 9×n + a şeklinde yazılabilir; burada 'a' 0'dan 8'e kadar tek bir rakamdır ve 'n' negatif olmayan herhangi bir tam sayıdır. Böylece, dağılma kuralını kullanarak, (9×n + a)×(9×m + b)= 9×9×n×m + 9(am + bn) + ab olur. İlk iki çarpan 9 ile çarpıldığından, toplamları sonuçta 9 veya 0 olacak ve geriye 'ab' kalacaktır. Örneğimizde 'a' 7 ve 'b' 5 idi. Herhangi bir taban sisteminde, o tabandan önceki sayının tıpkı dokuz gibi davranmasını beklerdik.

 Dokuzları atmanın sınırlaması 

Dokuzları atmak son derece yararlı olsa da, hesaplamalar sırasında yapılan tüm hataları yakalamaz. Örneğin dokuzları atma yöntemi, 5 × 7'lik bir hesaplamada 8, 17, 26 vb. (yani modülo 9'a göre 8'e denk olan herhangi bir sonuç) hatalı sonuçlardan herhangi birini üreten bir hatayı fark etmeyecektir. Özellikle, dokuzları atmak 1234 yerine 1324 yazmak gibi yer değiştirme hatalarını yakalamaz. Başka bir deyişle yöntem yalnızca rakamsal kökü doğru sonucun rakamsal kökünden farklı olan 8 rakamdan biri olan hatalı sonuçları yakalar.

Tarihçe
Antik Yunan matematikçileri tarafından bilinen bir tür dokuzları atma yöntemi, Romalı piskopos Hipolit (170–235) tarafından Tüm Sapkınlıkların Çürütülmesi (Refutation of All Heresies) adlı eserde ve daha kısaca Suriyeli Yeni Platoncu filozof İamblikhos (yak. 245–yak. 325) tarafından Gerasalı Nikomakhos'un Aritmetiğe Giriş eseri üzerine yazdığı yorumda tanımlanmıştır., . Ancak hem Hippolytus'un hem de İamblikhos'un tanımlamaları, Yunan rakamlarının tekrarlanan rakamsal toplamlarının 1 ile 9 arasında benzersiz bir "kök"Hippolytus tarafından kullanılan Yunanca terim "πυθμήν" ("pythmen") idi. hesaplamak için nasıl kullanıldığının açıklamasıyla sınırlıydı. Her ikisi de prosedürün aritmetik hesaplamaların sonuçlarını kontrol etmek için nasıl kullanılabileceğine dair herhangi bir farkındalık göstermemiştir.

Dokuzları atma yönteminin aritmetik hesaplamaların sonuçlarını kontrol etmek için nasıl kullanılabileceğini açıklayan günümüze ulaşmış bilinen en eski eser, Hintli matematikçi ve astronom II. Aryabhata (yak. 920–yak. 1000) tarafından 950 civarında yazılan Mahâsiddhântadır.
1020 civarında yazan Fars hezârfen İbn-i Sina (İbn-i Sina) (yak. 980–1037) da, dokuzları atarak aritmetik hesaplamaları kontrol etmenin kendi deyimiyle "Hindu yöntemi"nin tüm ayrıntılarını vermiştir.

Prosedür Fibonacci tarafından Liber Abaci adlı eserinde açıklanmıştır.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, s. 74, 1986.

Genelleme
Bu yöntem, belirli asal sayılarla bölme işleminden kalanları belirlemek için genelleştirilebilir.
3·3 = 9 olduğundan,

Böylece üçe bölme işleminden kalanı elde etmek için dokuzları atmadan elde edilen kalanı kullanabiliriz.

Doksan dokuzları atmak, sadece tek bir rakam yerine iki basamaklı grupları toplayarak yapılır.
11·9 = 99 olduğundan,

Böylece on bire bölme işleminden kalanı elde etmek için doksan dokuzları atmadan elde edilen kalanı kullanabiliriz.
Buna on birleri atma' denir. Aynı sonuç, 'yi oluşturan rakamları dönüşümlü olarak toplayıp çıkararak da doğrudan hesaplanabilir. On bir, 'yi ancak ve ancak on bir bu toplamı bölüyorsa böler.

Dokuz yüz doksan dokuzları atmak üç basamaklı grupları toplayarak yapılır.
37·27 = 999 olduğundan,

Böylece otuz yediye bölme işleminden kalanı elde etmek için dokuz yüz doksan dokuzları atmadan elde edilen kalanı kullanabiliriz.

Notlar

Kaynakça

Dış bağlantılar

"Numeroloji", R. Buckminster Fuller
"Paranormal Sayılar", Paul Niquette

Kategori:Aritmetik
Kategori:Hata tanılama ve düzeltme