İçler dışlar çarpımı

Matematikte, özellikle temel aritmetik ve temel cebirde, iki kesir veya rasyonel ifadeler arasındaki bir denklem verildiğinde, denklemi basitleştirmek veya bir değişkenin değerini belirlemek için içler dışlar çarpımı yapılabilir.

Şu şekilde bir denklem verildiğinde:



burada  ve  sıfır değildir, içler dışlar çarpımı yapılarak şu elde edilir:



Öklid geometrisinde aynı hesaplama, oranları benzer üçgenlerin oranları olarak düşünerek de elde edilebilir.

 Yöntem 
Uygulamada, içler dışlar çarpımı yöntemi, her bir (veya bir) tarafın payını diğer tarafın paydasıyla çarpmak, yani terimleri etkili bir şekilde çaprazlamak anlamına gelir:



Bu yöntemin matematiksel gerekçesi, aşağıdaki daha uzun matematiksel prosedüre dayanmaktadır.

Temel denklemle başlarsak:



her iki taraftaki terimleri aynı sayıyla çarpabiliriz ve terimler eşit kalır.

Bu nedenle, her iki taraftaki kesri her iki tarafın paydalarının çarpımıyla——çarparsak şunu elde ederiz:



Sol taraftaki iki  oluşumunun ve sağ taraftaki iki  oluşumunun birbirini götürdüğünü (sadeleştiğini) not ederek kesirleri en sade hale getirebiliriz:



ve denklemin her iki tarafını elemanlardan herhangi birine—bu durumda  kullanacağız—bölebiliriz:



İçler dışlar çarpımının bir başka gerekçesi de şöyledir:

Verilen denklemle başlayarak:



sol tarafı  = 1 ile ve sağ tarafı  = 1 ile çarparız:



ve böylece:



Ortak payda olan  =  sadeleştirildiğinde geriye şu kalır:



Bu prosedürlerdeki her adım, denklemlerin tek ve temel bir özelliğine dayanmaktadır.

İçler dışlar çarpımı, öğrencilere öğretilebilecek kolay anlaşılır bir prosedür ve bir kısayoldur.

 Kullanım 
Bu, matematikte kesirleri sadeleştirmek veya bir kesir içindeki belirli bir değişkenin değerini hesaplamak için kullanılan yaygın bir prosedürdür.

Eğer şöyle bir denklemimiz varsa:



burada  çözmek istediğimiz bir değişkendir, içler dışlar çarpımını kullanarak şuna ulaşabiliriz:



Örneğin, bir arabanın hızının sabit olduğunu ve son 3 saatte 90 mil yol aldığını biliyorsak, 7 saatte ne kadar yol gideceğini öğrenmek isteyelim.

Sözlü problemi oranlara dönüştürdüğümüzde şunu elde ederiz:



İçler dışlar çarpımı şunu verir:



ve böylece:



Şuna benzer basit denklemlerin bile:



içler dışlar çarpımı kullanılarak çözüldüğüne dikkat edin, çünkü eksik olan  terimi örtük olarak 1'e eşittir:



Kesirler veya rasyonel ifadeler içeren herhangi bir denklem, her iki taraf en küçük ortak payda ile çarpılarak basitleştirilebilir. Bu adıma kesirden kurtarma denir.

 Üçlü kuralı 
Üçlü kuralıBazen altın kural olarak da adlandırılırdı, ancak bu kullanım Altın Kural'ın diğer kullanımlarına kıyasla nadirdir. Bkz.  (Rule of three), öğrencilere ezbere öğretilebilen içler dışlar çarpımının özel bir biçimi için kullanılan tarihsel bir kısaltmaydı. Kolonyal matematik eğitiminin zirvesi olarak kabul edilirdi ve hala Fransa ortaöğretim ulusal müfredatında ve İspanya ilköğretim müfredatında yer almaktadır.

Şu formdaki bir denklem için:



değeri bulunacak değişkenin sağ taraf paydasında olduğu durumda, üçlü kuralı şunu belirtir:



Bu bağlamda,  orantının dışı,  ve  ise içleri olarak adlandırılır.

Bu kural, MS 2. yüzyıldan önce Çinli matematikçiler tarafından zaten biliniyordu, ancak Avrupa'da çok daha sonrasına kadar kullanılmadı. 17. yüzyılın önde gelen ders kitabı Cocker's Arithmetick, üçlü kuralı tartışmasına şu problemle başlar: "Eğer 4 yarda kumaş 12 şilin tutuyorsa, 6 yarda kumaş bu oranda ne kadar tutar?"

Üçlü kuralı bu problemin cevabını doğrudan verir; oysa modern aritmetikte, 6 yarda kumaşın maliyetini temsil etmesi için bir  değişkeni tanımlayarak ve şu denklemi yazarak çözeriz:



ve ardından 'i hesaplamak için içler dışlar çarpımı kullanırız:



1570 tarihli anonim bir el yazmasındaConcise Oxford Dictionary of Quotations, 1964. şöyle denilmiştir:
"Çarpma eziyettir, / Bölme de o kadar kötü; / Üçlü Kuralı kafamı karıştırır, / Ve Alıştırmalar beni delirtir." (Orijinali: Multiplication is vexation, / Division is as bad; / The Rule of three doth puzzle me, / And Practice drives me mad.)

Charles Darwin, yeni ayırt edilen bir cinsteki türlerin sayısını tahmin ederken üçlü kuralını kullandığından bahseder. William Darwin Fox'a 1855'te yazdığı bir mektupta Charles Darwin, "Gerçek ölçüm ve Üçlü Kuralı dışında hiçbir şeye inancım yok." demiştir. Karl Pearson, bu beyanı yeni kurduğu Biometrika dergisinin sloganı olarak benimsemiştir.

 Çift üçlü kuralı 
Üçlü kuralının bir uzantısı, bilinen üç değer yerine bilinen beş değerden bilinmeyen bir değeri bulmayı içeren çift üçlü kuralı idi.

Böyle bir problemin örneği şu olabilir: Eğer 6 inşaatçı 8 evi 100 günde yapabiliyorsa, 10 inşaatçının 20 evi aynı hızda yapması kaç gün sürer? Bu durum şöyle kurgulanabilir:



iki kez içler dışlar çarpımı yapıldığında bu şunu verir:



Lewis Carroll'ın "The Mad Gardener's Song" (Çılgın Bahçıvanın Şarkısı) şiiri şu dizeleri içerir: "Bir Bahçe Kapısı gördüğünü sandı / Bir anahtarla açılan: / Tekrar baktı ve gördü ki o / Bir çift Üçlü Kuralı'ymış".Sylvie and Bruno, 12. Bölüm.

 Ayrıca bakınız 
 Çapraz oran
 Göreceli olasılıklar oranı
 Devir (birim)

 Kaynakça 

 Konuyla ilgili yayınlar 
 Brian Burell: Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. Merriam-Webster, 1998, ,  pp. 85-101
 'Dr Math', Rule of Three
 'Dr Math', Abraham Lincoln and the Rule of Three
  - ilgili bölümün tıpkıbasımı
 The Rule of Three as applied by Michael of Rhodes in the fifteenth century (On beşinci yüzyılda Rodoslu Michael tarafından uygulandığı şekliyle Üçlü Kuralı)
 The Rule Of Three in Mother Goose (Kaz Ana masallarında Üçlü Kuralı)
 Rudyard Kipling: You can work it out by Fractions or by simple Rule of Three, But the way of Tweedle-dum is not the way of Tweedle-dee. (Bunu Kesirlerle veya basit Üçlü Kuralı ile çözebilirsin, Ama Tweedle-dum'ın yolu Tweedle-dee'nin yolu değildir.)

Kategori:Kesirler
Kategori:Aritmetik