Yüksek-derece bileşik sayı

Yüksek-derece bileşik sayı (İngilizce: highly composite number), kendisinden küçük tüm pozitif tam sayılardan daha fazla bölene sahip olan bir pozitif tam sayıdır.

Eğer d(n) bir n pozitif tam sayısının bölen sayısını gösteriyorsa, bir N pozitif tam sayısı, tüm n < N değerleri için d(N) > d(n) koşulunu sağlıyorsa yüksek-derece bileşiktir. 
Örneğin, 6 yüksek-derece bileşik bir sayıdır çünkü d(6) = 4'tür ve n = 1,2,3,4,5 için d(n) = 1,2,2,3,2 değerleri elde edilir; bunların hepsi 4'ten küçüktür.
İlgili bir kavram da, kendisinden küçük tüm pozitif tam sayılar kadar veya onlardan daha fazla bölene sahip pozitif tam sayıları ifade eden büyük-ölçüde bileşik sayıdır (İngilizce: largely composite number).
İlk iki yüksek-derece bileşik sayı (1 ve 2) aslında bileşik sayı olmadığından isim biraz yanıltıcı olabilir; ancak sonraki tüm terimler bileşik sayıdır.

Srinivasa Ramanujan, 1915 yılında yüksek-derece bileşik sayılar üzerine bir makale yazmıştır. Matematikçi Jean-Pierre Kahane, Platon'un bir şehirdeki ideal vatandaş sayısı olarak kasıtlı biçimde böyle bir sayıyı, 5040 (= 7!) sayısını seçmesinden dolayı yüksek-derecede bileşik sayıları biliyor olması gerektiğini öne sürmüştür.. Kahane, Platon'un Yasalar (771c) adlı eserine atıfta bulunmaktadır. Ayrıca, Vardoulakis ve Pugh'un makalesi de 5040 sayısıyla ilgili benzer bir incelemeyi derinleştirmektedir..

 Örnekler 
İlk 41 yüksek-derecede bileşik sayı aşağıdaki tabloda listelenmiştir .
Bölenlerin sayısı d(n) etiketli sütunda verilmiştir. Yıldız işaretleri üstün yüksek-derece bileşik sayıları gösterir.

 Sıra HCNn Asal çarpanlara ayırma Asalüsler Asalçarpanlarınsayısı  Primöriyel çarpanlara ayırma 1 1  0 1 2 2* 1 1 2  3 4 2 2 3  4 6* 1,1 2 4  5 12* 2,1 3 6  6 24 3,1 4 8  7 36 2,2 4 9  8 48 4,1 5 10  9 60* 2,1,1 4 12  10 120* 3,1,1 5 16  11 180 2,2,1 5 18  12 240 4,1,1 6 20  13 360* 3,2,1 6 24  14 7204,2,1 7 30  15 840 3,1,1,1 6 32  16 1260 2,2,1,1 6 36  17 1680 4,1,1,1 7 40  18 2520* 3,2,1,1 7 48  19 5040* 4,2,1,1 8 60  20 7560 3,3,1,1 8 64  21 10080 5,2,1,1 9 72  22 15120 4,3,1,1 9 80  23 20160 6,2,1,1 10 84  24 25200 4,2,2,1 9 90  25 27720 3,2,1,1,1 8 96  26 45360 4,4,1,1 10 100  27 50400 5,2,2,1 10 108  28 55440* 4,2,1,1,1 9 120  29 83160 3,3,1,1,1 9 128  30 110880 5,2,1,1,1 10 144  31 166320 4,3,1,1,1 10 160  32 221760 6,2,1,1,1 11 168  33 277200 4,2,2,1,1 10 180  34 332640 5,3,1,1,1 11 192  35 498960 4,4,1,1,1 11 200  36 554400 5,2,2,1,1 11 216  37 665280 6,3,1,1,1 12 224  38 720720* 4,2,1,1,1,1 10 240  39 1081080 3,3,1,1,1,1 10 256  40 1441440*  5,2,1,1,1,1 11 288  41 2162160  4,3,1,1,1,1 11 320 

İlk 20 yüksek-derecede bileşik sayının bölenleri aşağıda gösterilmiştir.

 n    n sayısının bölenleri 1  1  1 2  2  1, 2 4  3  1, 2, 4 6  4  1, 2, 3, 6 12  6  1, 2, 3, 4, 6, 12 24  8  1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 36  9  1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 48  10  1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 60  12  1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 120  16  1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 180  18  1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 240  20  1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240 360  24  1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360 720  30  1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720 840  32  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840 1260  36  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 28, 30, 35, 36, 42, 45, 60, 63, 70, 84, 90, 105, 126, 140, 180, 210, 252, 315, 420, 630, 1260 1680  40  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 48, 56, 60, 70, 80, 84, 105, 112, 120, 140, 168, 210, 240, 280, 336, 420, 560, 840, 1680 2520  48  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 56, 60, 63, 70, 72, 84, 90, 105, 120, 126, 140, 168, 180, 210, 252, 280, 315, 360, 420, 504, 630, 840, 1260, 2520 5040  60  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040 7560  64  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 24, 27, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 54, 56, 60, 63, 70, 72, 84, 90, 105, 108, 120, 126, 135, 140, 168, 180, 189, 210, 216, 252, 270, 280, 315, 360, 378, 420, 504, 540, 630, 756, 840, 945, 1080, 1260, 1512, 1890, 2520, 3780, 7560

Aşağıdaki tablo, 10080'i 36 farklı şekilde iki sayının çarpımı olarak yazarak tüm 72 bölenini göstermektedir.
 Yüksek-derece bileşik sayı: 10080  10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2)  ×  (3 × 3)  ×  5  ×  71 × 10080            2 ×  5040 3    ×     3360            4 ×  2520 5    ×     2016            6 ×  1680   7    ×     1440 8    ×  1260               9    ×     1120 10    ×     1008           12 ×   840 14    ×   720 15    ×      672 16    ×      630 18    ×      560 20    ×      504 21    ×      480 24 ×      420 28    ×   360 30    ×      336 32    ×      315 35    ×      288 36 ×      280 40    ×      252 42    ×   240 45    ×      224 48 ×      210              56    ×   180 60 ×      168 63    ×      160 70    ×      144 72    ×      140 80    ×      126 84    ×   120 90    ×      112 96    ×      105Not:  Kalın yazılmış sayılar da kendileri birer yüksek-derece bileşik sayıdır.  Sadece yirminci yüksek-derece bileşik sayı olan 7560 (= 3 × 2520) eksiktir.10080, bir 7-pürüzsüz sayıdır (7-smooth number) .

15.000'inci yüksek-derece bileşik sayı Achim Flammenkamp'ın web sitesinde bulunabilir. Bu sayı 230 asal sayının çarpımıdır:



Burada , 'inci ardışık asal sayıdır ve atlanan tüm terimler (a22'den a228'e kadar) üssü bire eşit olan çarpanlardır (yani sayı  şeklindedir). Daha kısa bir ifadeyle, yedi farklı primöriyelin çarpımıdır:



Burada , primöriyel  değeridir..

 Asal çarpanlara ayırma 
küçükresim|upright=1.14|1'den 1000'e kadar olan tam sayıların bölen sayılarının grafiği. Yüksek-derece bileşik sayılar kalın olarak etiketlenmiş ve üstün yüksek-derece bileşik sayılar yıldızla işaretlenmiştir. SVG dosyasında, istatistiklerini görmek için bir çubuğun üzerine gelin.

Kabaca söylemek gerekirse, bir sayının yüksek-derece bileşik olması için mümkün olduğunca küçük asal çarpanlara sahip olması, ancak aynı asal çarpanın çok fazla tekrar etmemesi gerekir.
Aritmetiğin temel teoremine göre, her n pozitif tam sayısının benzersiz bir asal çarpanlara ayırma biçimi vardır:

Burada  asal sayılardır ve  üsleri pozitif tam sayılardır.
n sayısının herhangi bir çarpanı, her bir asal sayı için aynı veya daha az katlılığa (multiplicity) sahip olmalıdır:

Böylece n sayısının bölen sayısı şöyledir:

Dolayısıyla, yüksek-derece bileşik bir n sayısı için şu koşullar geçerlidir:

 Verilen k adet asal sayı pi, tam olarak ilk k asal sayı (2, 3, 5, ...) olmalıdır; aksi takdirde, verilen asallardan birini daha küçük bir asalla değiştirebilir ve böylece nden daha küçük ama aynı sayıda bölene sahip bir sayı elde edebilirdik (örneğin 10 = 2 × 5, 6 = 2 × 3 ile değiştirilebilir; her ikisinin de dört böleni vardır);
 Üslerin dizisi artmayan (non-increasing) olmalıdır, yani ; aksi takdirde, iki üssün yerini değiştirerek yine n'''den daha küçük ve aynı sayıda bölene sahip bir sayı elde ederdik (örneğin 18 = 21 × 32 sayısı, 12 = 22 × 31 ile değiştirilebilir; her ikisinin de altı böleni vardır).

Ayrıca, iki özel durum olan n = 4 ve n = 36 haricinde, son üs ck 1'e eşit olmalıdır.
Bu, 1, 4 ve 36'nın tam kare olan tek yüksek-derece bileşik sayılar olduğu anlamına gelir.
Üsler dizisinin artmayan olduğunu söylemek, yüksek-derece bileşik bir sayının primöriyellerin bir çarpımı olması veya alternatif olarak, kendi asal imzası (prime signature) için en küçük sayı olması ile eşdeğerdir.
Yukarıda açıklanan koşullar gerekli olsa da, bir sayının yüksek-derece bileşik olması için yeterli değildir.
Örneğin, 96 = 25 × 3 sayısı yukarıdaki koşulları sağlar ve 12 böleni vardır, ancak kendisinden daha küçük bir sayı (60) aynı sayıda bölene sahip olduğundan yüksek-derece bileşik değildir.

 Asimptotik büyüme ve yoğunluk 
Eğer Q(x), xe eşit veya ondan küçük yüksek-derece bileşik sayıların sayısını ifade ediyorsa, her ikisi de 1'den büyük olan öyle a ve b sabitleri vardır ki şu eşitsizlik sağlanır:

Eşitsizliğin ilk kısmı 1944'te Paul Erdős tarafından, ikinci kısmı ise 1988'de Jean-Louis Nicolas tarafından kanıtlanmıştır. Şu sonuçlar elde edilmiştir:

ve

Sándor ve diğerleri (2006) s. 45

 İlgili diziler 
6'dan büyük yüksek-derece bileşik sayılar aynı zamanda zengin sayılardır (abundant numbers).
Bu gerçeği doğrulamak için, belirli bir yüksek-derece bileşik sayının en büyük üç öz bölenine bakmak yeterlidir.
Tüm yüksek-derece bileşik sayıların 10 tabanında aynı zamanda Harshad sayıları olduğu ifadesi yanlıştır. Harshad sayısı olmayan ilk aşırı bileşik sayı 245.044.800'dür; bu sayının rakamları toplamı 27'dir ve bu değer 245.044.800'ü tam olarak bölmez.
İlk 38 yüksek-derece bileşik sayıdan 10'u üstün yüksek-derece bileşik sayıdır.
Yüksek-derece bileşik sayılar dizisi , tam olarak n bölene sahip en küçük k sayıları dizisinin  bir alt kümesidir.
Bölenlerinin sayısı da yüksek-derece bileşik sayı olan aşırı bileşik sayılar şunlardır:
 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 .
Bu dizinin tam (complete) olduğu bilinmektedir.

Pozitif bir n tam sayısı, tüm m ≤ n değerleri için d(n) ≥ d(m) şartını sağlıyorsa büyük-ölçüde bileşik sayıdır (largely composite number).
Büyük-ölçüde bileşik sayıların sayma fonksiyonu QL(x) şu eşitsizliği sağlar:

Burada c ve d,  aralığında pozitif değerlerdir.Sándor ve diğerleri (2006) s. 46

Yüksek-derece bileşik bir sayının asal çarpanlara ayrılışı ilk k asal sayının tamamını kullandığından, her yüksek-derece bileşik sayı aynı zamanda bir pratik sayıdır (practical number'').. Kesirler içeren hesaplamalardaki kullanım kolaylıkları nedeniyle, bu sayıların birçoğu geleneksel ölçüm sistemlerinde ve mühendislik tasarımlarında kullanılmaktadır.

 Ayrıca bakınız 

 Bölenler tablosu 
 Euler totient fonksiyonu

 Notlar 

 Kaynakça 



  Jean-Louis Nicolas ve Guy Robin tarafından eklenmiş notlar ve önsöz ile.

 Dış bağlantılar 

 Aşırı Bileşik Sayıları hesaplamak için algoritma
 Çarpanlarına ayrılmış olarak İlk 10000 Aşırı Bileşik Sayı
 Achim Flammenkamp, İlk 779674 Aşırı Bileşik Sayı; sigma, tau ve çarpanları ile birlikte
 Çevrimiçi Aşırı Bileşik Sayılar Hesaplayıcısı
 Numberphile için Dr. James Grime tarafından hazırlanan 5040 ve diğer Anti-Asal Sayılar - Dr. James Grime

Kategori:Tamsayı dizileri
Kategori:Matematik listeleri