Kayıp kare bulmacası

Kayıp kare bulmacası, matematik derslerinde öğrencilerin geometrik şekiller üzerine akıl yürütmelerine yardımcı olmak için kullanılan bir optik illüzyondur; ya da daha doğrusu, onlara şekilleri kullanarak değil, yalnızca metinsel tanımları ve geometri aksiyomlarını kullanarak akıl yürütmeyi öğretmek için kullanılır. Benzer şekillerden oluşan, ancak konfigürasyonları biraz farklı olan iki düzenlemeyi tasvir eder. Her biri görünüşte 13×5'lik bir dik üçgen oluşturur, ancak birinde 1×1'lik bir boşluk vardır.

 Çözüm 
küçükresim|sağ|Kayıp kare bulmacasının animasyonu; parçaların iki farklı düzenini ve "kayıp" kareyi gösteriyor
küçükresim|"Sihirbaz sunumunun" göstermediği şey. Hipotenüslerin açıları aynı değildir: bunlar benzer üçgenler değildir. Bulmacanın bu formunun düzlemde çalışması için üçgenlerin benzer olmaması gerektiğini kanıtlamak oldukça basittir.
küçükresim|İnce paralelkenar alanının (sarı) küçük parçalara ayrılması ve bunlarla tek bir birim karenin oluşturulması

Bulmacanın anahtarı, 13×5'lik "üçgenlerin" hiçbirinin gerçekte bir üçgen olmaması ve olsalardı bile 13x5 ölçülerinde olamayacakları gerçeğidir; çünkü hipotenüs gibi görünen kısım bükülmüştür. Başka bir deyişle, insan gözüne öyle görünse de "hipotenüs" sabit bir eğim korumaz.

merkez|520px|Bütün üçgen için birbirinden farklı iki "sahte hipotenüs" vardır.

Verilen bileşen parçalarından gerçek bir 13×5 üçgen oluşturulamaz. Dört şekil (sarı, kırmızı, mavi ve yeşil şekiller) toplam 32 birimkarelik alana sahiptir. Şekillerden oluşturulan görünürdeki üçgenler 13 birim genişliğinde ve 5 birim yüksekliğindedir, bu nedenle alanın S =  = 32,5 birim olması gerektiği görülür. Ancak, mavi üçgen 5:2 (=2,5) oranına sahipken, kırmızı üçgen 8:3 (≈2,667) oranına sahiptir; dolayısıyla her şekildeki görünür birleşik hipotenüs aslında büküktür.

Bükülmüş hipotenüs ile ilk şekil aslında toplam 32 birim yer kaplarken, ikinci şekil "kayıp" kare de dahil olmak üzere 33 birim yer kaplar. Bükülme miktarı yaklaşık  birimdir (1,245364267°); bu, bulmacanın diyagramında görülmesi zor bir miktardır ve grafikte gösterilmiştir.

Alttaki resimde kırmızı ve mavi üçgenlerin birleştiği ızgara noktasına dikkat edin (birleşik şeklin sol alt köşesinden 5 kare sağa ve iki birim yukarı) ve bunu diğer şekildeki aynı noktayla karşılaştırın; kenar üstteki resimde işaretin biraz altındayken, alttaki resimde işaretin içinden geçer. Her iki şeklin "hipotenüsleri" üst üste bindirildiğinde, alanı tam olarak bir ızgara karesi olan çok ince bir paralelkenar (yukarıdaki resimde dört kırmızı nokta ile temsil edilmiştir) ortaya çıkar. Pick teoremine göre bu alan (0iç kafes noktalarının sayısı +  − 1 = 1) "kayıp" alana karşılık gelir.

 Prensip 
küçükresim|upright=0.45|Fibonacci oranları (1:2 ve 2:3) kullanıldığında daha belirgin
Martin Gardner'a göre, bu özel bulmaca 1953 yılında New Yorklu amatör bir sihirbaz olan Paul Curry tarafından icat edilmiştir. Ancak, bir parçalanma paradoksu ilkesi 16. yüzyılın başından beri bilinmektedir. Bulmacanın parçalarının tam sayı boyutları (2, 3, 5, 8, 13) ardışık Fibonacci sayılarıdır ve bu da ince paralelkenardaki tam birim alanı ortaya çıkarır. Diğer birçok geometrik parçalanma bulmacası, Fibonacci dizisinin birkaç basit özelliğine dayanmaktadır.

 Benzer bulmacalar 
küçükresim|sol|upright=0.68|Mitsunobu Matsuyama'nın "paradoksunun" bir varyasyonu
küçükresim|sağ|upright=0.91|Sam Loyd'un paradoksal parçalanması
Sam Loyd'un satranç tahtası paradoksu, 8×8'lik bir karenin iki farklı yeniden düzenlenmesini gösterir. "Daha büyük" olan düzenlemede (sağdaki resimde 5×13'lük dikdörtgen), şekiller arasındaki boşluklar, kare boşluklu muadillerine göre toplamda bir birim kare daha fazla alana sahiptir; bu da oradaki şekillerin orijinal kare şeklindeki şekillerden daha fazla yer kapladığı illüzyonunu yaratır. "Daha küçük" düzenlemede (5×13 dikdörtgenin altındaki şekil), her dörtgenin üst/alt kenarının bir ızgara çizgisiyle hizalanması için üçgenle yarım birimlik bir alan kadar örtüşmesi gerekir, bu da genel olarak bir birim karelik alan kaybına neden olur.

Mitsunobu Matsuyama'nın paradoksu, dört eş dörtgen ve küçük bir kare kullanır; bunlar daha büyük bir kare oluşturur. Dörtgenler merkezleri etrafında döndürüldüğünde küçük karenin alanını doldururlar, ancak şeklin toplam alanı değişmemiş gibi görünür. Görünürdeki paradoks, yeni büyük karenin kenarının orijinalinden biraz daha küçük olması gerçeğiyle açıklanır. Her dörtgendeki karşılıklı iki kenar arasındaki açı θ ise, iki alanın oranı sec2 θ ile verilir. θ = 5° için bu yaklaşık 1,00765'tir ve bu da yaklaşık %0,8'lik bir farka karşılık gelir.

küçükresim|dikey|link=|Kaybolan Bisikletçinin etkileşimli SVG'si – [ SVG dosyasında,] diski döndürmek için imleci hareket ettirin
Bir kaybolma bulmacası, bulmacanın parçaları hareket ettirildiğinde belirli bir nesnenin farklı sayılarda göründüğü mekanik bir optik illüzyondur.The Guardian, Vanishing Leprechaun, Disappearing Dwarf and Swinging Sixties Pin-up Girls – puzzles in pictures

 Ayrıca bakınız 



 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 

 Video gösterimi ile yazdırılabilir bir Kayıp Kare varyasyonu.
 cut-the-knot'ta Curry'nin Paradoksu: Nasıl Mümkün Olabilir?
Yapboz (Jigsaw) Paradoksu
On Bir Delik Bulmacası
"Sonsuz Çikolata Barı Numarası", 4×6'lık bir çikolata kullanılarak yapılan kayıp kare bulmacasının bir gösterimi.

Kategori:Optik illüzyonlar
Kategori:Fibonacci dizisi
Kategori:Temel matematik
Kategori:Matematiksel paradokslar
Kategori:Eğlenceli matematik