İndirgenemez kesir

Bir indirgenemez kesir (veya en sade haldeki kesir, en basit biçim veya sadeleştirilmiş kesir), pay ve paydası 1 (ve negatif sayılar düşünüldüğünde -1) dışında başka ortak böleni olmayan tam sayılardan oluşan bir kesirdir. 

Başka bir deyişle, bir  kesri, ancak ve ancak a ve b aralarında asal ise, yani  ve 'nin en büyük ortak böleni 1 ise indirgenemezdir. Daha ileri matematikte, "indirgenemez kesir", pay ve paydanın aralarında asal polinomlar olduğu rasyonel kesirleri ifade etmek için de kullanılabilir.Örn., bkz.  Her rasyonel sayı, pozitif paydalı indirgenemez bir kesir olarak tam olarak tek bir şekilde gösterilebilir..

Eşdeğer bir tanım bazen yararlıdır: eğer a ve b tam sayılarsa,  kesri ancak ve ancak  veya  olacak şekilde başka bir eşit  kesri yoksa indirgenemezdir; burada , anın mutlak değeri anlamına gelir. (İki kesir  ve , ancak ve ancak ad = bc ise eşit veya denktir.)

Örneğin, ,  ve  kesirlerinin hepsi indirgenemez kesirlerdir. Diğer yandan,  sadeleştirilebilir (indirgenebilir) bir kesirdir çünkü 'ye eşittir ve 'nin payı 'ün payından küçüktür.

Sadeleştirilebilir bir kesir, hem pay hem de payda ortak bir çarpana bölünerek sadeleştirilebilir. Eğer her ikisi de en büyük ortak bölenlerine bölünürse, kesir en sade haline (en küçük terimlere) tamamen indirgenmiş olur.. En büyük ortak böleni bulmak için Öklid algoritması veya asal çarpanlara ayırma kullanılabilir. Öklid algoritması genellikle tercih edilir çünkü kolayca çarpanlarına ayrılamayacak kadar büyük pay ve paydaya sahip kesirlerin sadeleştirilmesine olanak tanır..

Örnekler

İlk adımda her iki sayı da 120 ve 90'ın ortak bir çarpanı olan 10'a bölündü. İkinci adımda ise 3'e bölündüler. Sonuç olan , indirgenemez bir kesirdir çünkü 4 ve 3'ün 1'den başka ortak çarpanı yoktur.

Orijinal kesir, 90 ve 120'nin en büyük ortak böleni olan 30 kullanılarak tek bir adımda da sadeleştirilebilirdi.  ve  olduğundan, şu elde edilir:

Hangi yöntemin "elle" daha hızlı olduğu, kesre ve ortak çarpanların ne kadar kolay fark edilebildiğine bağlıdır. Gözlem yoluyla aralarında asal olduklarından emin olunamayacak kadar büyük bir pay ve paydanın kaldığı durumlarda, kesrin gerçekten indirgenemez olduğundan emin olmak için her halükarda bir en büyük ortak bölen hesaplamasına ihtiyaç duyulur.

Teklik

Her rasyonel sayının, pozitif paydalı indirgenemez bir kesir olarak biricik bir gösterimi vardır (bununla birlikte her ikisi de indirgenemez olsa da  = 'tür). Biriciklik, tam sayıların tek türlü asal çarpanlara ayrılmasının bir sonucudur; çünkü  eşitliği ad = bc anlamına gelir ve bu nedenle eşitliğin her iki tarafı da aynı asal çarpanlara sahip olmalıdır. Ancak a ve b hiçbir ortak asal çarpana sahip değildir, bu nedenle 'nın asal çarpanlar kümesi (katlılıklarıyla birlikte) c'''ninkilerin bir alt kümesidir ve bunun tersi de geçerlidir; bu da a = c olduğu ve aynı argümanla b = d olduğu anlamına gelir.

Uygulamalar

Her rasyonel sayının indirgenemez bir kesir olarak tek bir gösterime sahip olduğu gerçeği, 2'nin karekökünün irrasyonelliğinin ispatlarında ve diğer irrasyonel sayıların ispatlarında kullanılır. Örneğin, bir ispatta, eğer  tam sayıların bir oranı olarak gösterilebilseydi, o zaman özellikle a ve bnin mümkün olan en küçük değerler olduğu tam sadeleştirilmiş  gösterimine sahip olacağı belirtilir; ancak  'ye eşit olduğundan,  de ona eşittir (bunu  ile içler dışlar çarpımı yapmak eşit olduklarını gösterir). a > b'' olduğundan ( 1'den büyük olduğu için), ikincisi daha küçük iki tam sayının oranıdır. Bu bir çelişkidir, dolayısıyla 2'nin karekökünün iki tam sayının oranı olarak bir gösterime sahip olduğu önermesi yanlıştır.

Genelleştirme

İndirgenemez kesir kavramı, herhangi bir çarpanlara tek türlü ayırma bölgesinin kesir cismine genelleştirilebilir: böyle bir cismin herhangi bir elemanı, hem pay hem de payda en büyük ortak bölenlerine bölünerek, aralarında asal olan bir pay ve payda ile bir kesir olarak yazılabilir.. Bu, özellikle bir cisim üzerindeki rasyonel ifadeler için geçerlidir. Belirli bir eleman için indirgenemez kesir, pay ve paydanın aynı tersinir elemanla çarpılmasına kadar tektir. Rasyonel sayılar durumunda bu, herhangi bir sayının, hem pay hem de paydanın işaretinin değiştirilmesiyle ilişkili iki indirgenemez kesre sahip olduğu anlamına gelir; bu belirsizlik, paydanın pozitif olmasını şart koşarak giderilebilir. Rasyonel fonksiyonlar durumunda, paydanın benzer şekilde bir monik polinom olması istenebilir..

Kaynakça

Dış bağlantılar

Kategori:Kesirler
Kategori:Temel aritmetik