Sıfırın paritesi

Matematikte, sıfır bir çift sayıdır.
Başka bir deyişle, paritesi—bir tam sayının çift veya tek olma niteliği—çifttir.

Bu durum, "çift" tanımına dayanılarak kolayca doğrulanabilir: sıfır, 2'nin bir tam sayı katıdır, özellikle 'dir.
Sonuç olarak sıfır, çift sayıları karakterize eden tüm özellikleri paylaşır: örneğin, 0'ın her iki yanında tek sayılar bulunur, herhangi bir ondalık tam sayı son basamağıyla aynı pariteye sahiptir—yani, 10 çift olduğu için 0 da çift olacaktır ve eğer  çift ise ,  ile aynı pariteye sahiptir—gerçekten de  ve  her zaman aynı pariteye sahiptir.

Sıfır ayrıca diğer çift sayıların oluşturduğu desenlere de uyar.
 gibi aritmetiğin parite kuralları, 0'ın çift olmasını gerektirir.
Sıfır, çift tam sayılar grubunun toplamsal etkisiz elemanıdır ve diğer çift doğal sayıların özyinelemeli olarak tanımlandığı başlangıç durumudur.
Çizge teorisinden hesaplamalı geometriye kadar bu özyinelemenin uygulamaları, sıfırın çift olmasına dayanır.
0 sadece 2'ye bölünebilmekle kalmaz, aynı zamanda bilgisayarlar tarafından kullanılan ikili sayı sistemi ile ilgili olan her 2'nin kuvvetine de bölünebilir.
Bu anlamda, 0 tüm sayıların "en çift" olanıdır. "Aynı testle sıfır, 'çiftlik' bakımından tüm sayıları geride bırakır.";
 "Böylece,  tam sayısı en 'çift' olandır."

Genel halk arasında sıfırın paritesi bir kafa karışıklığı kaynağı olabilir. Tepki süresi deneylerinde, çoğu insan 0'ı çift olarak tanımlamada 2, 4, 6 veya 8'e kıyasla daha yavaştır. Bazı öğretmenler—ve matematik derslerindeki bazı çocuklar—sıfırın tek olduğunu, hem çift hem tek olduğunu veya hiçbiri olmadığını düşünürler. Matematik eğitimindeki araştırmacılar, bu kavram yanılgılarının öğrenme fırsatlarına dönüşebileceğini öne sürmektedir.  gibi eşitlikleri incelemek, öğrencilerin 0'ı bir sayı olarak adlandırma ve onu aritmetikte kullanma konusundaki şüphelerini giderebilir. Sınıf tartışmaları, öğrencilerin tanımların önemi gibi matematiksel muhakemenin temel ilkelerini takdir etmelerini sağlayabilir.
Bu istisnai sayının paritesini değerlendirmek, matematikteki yaygın bir temanın erken bir örneğidir: tanıdık bir kavramın tanıdık olmayan bir ortama soyutlanması.

Sıfır neden çifttir
"Çift sayı"nın standart tanımı, sıfırın çift olduğunu doğrudan kanıtlamak için kullanılabilir.
Bir sayı, 2'nin bir tam sayı katıysa "çift" olarak adlandırılır. Örnek olarak, 10'un çift olmasının nedeni 'ye eşit olmasıdır.
Aynı şekilde, sıfır da 2'nin bir tam sayı katıdır, yani  bu nedenle sıfır çifttir.: Lemma B.2.2, 0 tam sayısı çifttir ve tek değildir.
Penner, kanıtı belirtmek için matematiksel sembol ∃, varoluşsal niceleyiciyi kullanır: "0'ın çift olduğunu görmek için,  olduğunu kanıtlamalıyız ve bu  eşitliğinden kaynaklanır."

Resmi tanımlara başvurmadan da sıfırın neden çift olduğunu açıklamak mümkündür., matematiksel gerçekler için matematiksel nedenler sunmak isteyen, ancak öğrencileri aynı tanımı kullanmayan veya tanım sunulsa bile anlamayacak olan ilkokul öğretmenleri için bu zorluğu tartışır. Aşağıdaki açıklamalar, sıfırın çift olduğu fikrini temel sayı kavramları açısından anlamlı kılar.
Bu temelden yola çıkarak, tanımın kendisi—ve sıfıra uygulanabilirliği—için bir mantık sağlanabilir.

Temel açıklamalar
küçükresim|alt=Solda, çiftler halinde 0, 2 ve 4 beyaz nesne içeren kutular;
sağda, 1, 3 ve 5 nesne, eşleşmemiş nesne kırmızı renkte|0 nesneli kutuda artan kırmızı nesne yoktur. Şekil 1 ile karşılaştırın
Bir nesne kümesi verildiğinde, kümede kaç nesne olduğunu tanımlamak için bir sayı kullanılır.
Sıfır, hiç nesne olmamasının sayımıdır; daha resmi terimlerle, boş kümedeki nesnelerin sayısıdır.
Parite kavramı, iki nesneli gruplar oluşturmak için kullanılır.
Bir kümedeki nesneler, hiçbiri artmayacak şekilde ikişerli gruplara ayrılabiliyorsa, nesne sayısı çifttir.
Eğer bir nesne artarsa, nesne sayısı tektir.
Boş küme sıfır tane ikili grup içerir ve bu gruplamadan artan hiçbir nesne yoktur, bu nedenle sıfır çifttir. "...sayılar, nesneler kümesi için Kaç tane? sorusunu yanıtlar ... sıfır, boş kümenin sayı özelliğidir ... Eğer her bir kümenin elemanları ikişerli gruplara ayrılırsa ... o zaman o kümenin sayısı bir çift sayıdır."

Bu fikirler nesneleri çiftler halinde çizerek gösterilebilir.
Sıfır tane ikili grubu tasvir etmek veya artan bir nesnenin yokluğunu vurgulamak zordur, bu nedenle diğer gruplamaları çizmek ve bunları sıfır ile karşılaştırmak yardımcı olur.
Örneğin, beş nesneli grupta iki çift vardır.
Daha da önemlisi, artan bir nesne vardır, bu nedenle 5 tektir.
Dört nesneli grupta artan nesne yoktur, bu nedenle 4 çifttir.
Sadece bir nesneli grupta hiç çift yoktur ve artan bir nesne vardır, bu nedenle 1 tektir.
Sıfır nesneli grupta artan nesne yoktur, bu nedenle 0 çifttir. "Sıfır tane iki yıldızlı grup daire içine alınmıştır. Hiç yıldız kalmamıştır. Bu nedenle, sıfır bir çift sayıdır."

Çiftliğin başka bir somut tanımı daha vardır: Bir kümedeki nesneler eşit büyüklükte iki gruba ayrılabiliyorsa, nesne sayısı çifttir.
Bu tanım ilkiyle eşdeğerdir. Yine sıfır çifttir çünkü boş küme, her biri sıfır öğe içeren iki gruba bölünebilir.

Sayılar ayrıca bir sayı doğrusu üzerinde noktalar olarak görselleştirilebilir.
Çift ve tek sayılar birbirinden ayırt edildiğinde, özellikle negatif sayılar dahil edilirse desenleri belirginleşir:
merkez|alt=−4'ten 10'a kadar tam sayılar;
çift sayılar açık daireler; tek sayılar noktalardır|Çift ve tek sayıların sayı doğrusu üzerindeki gösterimi 
Çift ve tek sayılar birbirini takip eder.
Herhangi bir çift sayıdan başlayarak, ikişer ikişer yukarı veya aşağı saymak diğer çift sayılara ulaşmayı sağlar ve sıfırı atlamak için hiçbir neden yoktur.;
Şekil 3 ile karşılaştırın. "Eğer çift sayılar özel bir şekilde tanımlanırsa ... sıfırı desenden çıkarmak için hiçbir neden yoktur."

Çarpma işleminin dahil edilmesiyle, parite aritmetik ifadeler kullanılarak daha resmi bir şekilde ele alınabilir.
Her tam sayı ya  ya da  biçimindedir; ilk biçimdeki sayılar çift, ikinci biçimdekiler tektir.
Örneğin, 1 tektir çünkü  ve 0 çifttir çünkü  Bu gerçeklerin bir tablosunu yapmak, yukarıdaki sayı doğrusu resmini pekiştirir. "Daha ileri bir seviyede ...  olarak ifade edilen sayılar çift sayılardır ... sıfır bu desene güzelce uyar."

Paritenin tanımlanması
"Çift" kelimesinin "ikinin tam sayı katı" anlamına gelmesi gibi matematiksel bir terimin kesin tanımı, nihayetinde bir uzlaşımdır.
"Çift"in aksine, bazı matematiksel terimler trivial veya dejenere durumları dışlamak için kasıtlı olarak oluşturulmuştur.
Asal sayılar buna ünlü bir örnektir. 20. yüzyıldan önce asallık tanımları tutarsızdı ve Goldbach, Lambert, Legendre, Cayley ve Kronecker gibi önemli matematikçiler 1'in asal olduğunu yazmışlardı. "Asal sayı"nın modern tanımı "tam olarak 2 çarpanı olan pozitif tam sayı" şeklindedir, bu nedenle 1 asal değildir.
Bu tanım, asallarla ilgili matematiksel teoremlere daha doğal bir şekilde uyduğu gözlemlenerek rasyonelleştirilebilir.
Örneğin, aritmetiğin temel teoremi, 1 asal olarak kabul edilmediğinde daha kolay ifade edilir. "1'in asal tanımından görünüşte keyfi olarak dışlanması... sayılar hakkında derin bir gerçeği ifade etmez: sadece yararlı bir uzlaşımdır ve herhangi bir sayının asallara çarpanlarına ayrılmasının tek bir yolu olması için benimsenmiştir."
Daha ayrıntılı bir tartışma için bkz. .

"Çift" terimini benzer şekilde, sıfırı artık içermeyecek bir yolla yeniden tanımlamak mümkün olabilirdi.
Ancak bu durumda, yeni tanım çift sayılarla ilgili teoremleri ifade etmeyi daha zor hale getirirdi.
Bu etki çift ve tek sayıları yöneten cebirsel kurallarda zaten görülebilir. En ilgili kurallar toplama, çıkarma ve çarpma ile ilgilidir:
çift ± çift = çift
tek ± tek = çift
çift × tam sayı = çift
Bu kuralların sol taraflarına uygun değerler yerleştirerek, sağ taraflarda 0 elde edilebilir:
2 − 2 = 0
−3 + 3 = 0
4 × 0 = 0

Eğer sıfır çift olmasaydı, yukarıdaki kurallar yanlış olurdu. En iyi ihtimalle değiştirilmeleri gerekirdi.
Örneğin, bir test çalışma kılavuzu çift sayıların ikinin tam sayı katları olarak karakterize edildiğini, ancak sıfırın "ne çift ne de tek" olduğunu iddia eder. Buna göre, kılavuzun çift ve tek sayılarla ilgili kuralları istisnalar içerir:
çift ± çift = çift (veya sıfır)
tek ± tek = çift (veya sıfır)
çift × sıfır olmayan tam sayı = çift Bu kurallar verilmiştir, ancak kelimesi kelimesine alıntılanmamıştır.

Çiftlik tanımında sıfır için bir istisna yapmak, kişiyi çift sayı kurallarında da bu tür istisnalar yapmaya zorlar.
Başka bir perspektiften bakıldığında, pozitif çift sayıların uyduğu kuralları alıp bunların tam sayılar için de geçerli olmasını talep etmek, olağan tanımı ve sıfırın çiftliğini zorunlu kılar.

Matematiksel bağlamlar

Sayılar teorisindeki pek çok sonuç, aritmetiğin temel teoremi ile çift sayıların cebirsel özelliklerine dayanır; bu nedenle yukarıda yapılan tanımlamaların geniş kapsamlı etkileri vardır. Örneğin, pozitif tam sayıların biricik bir şekilde asal çarpanlarına ayrılabilmesi, bir sayının sahip olduğu farklı asal çarpan sayısının tek mi yoksa çift mi olduğunun belirlenmesine olanak tanır. 1 sayısı asal değildir ve asal çarpanı yoktur; bu durumda 1, 'sıfır' adet farklı asal sayının 'boş çarpımı' (empty product) olarak kabul edilir. 0 bir çift sayı olduğu için, 1'in çift sayıda farklı asal çarpana sahip olduğu varsayılır. Bu durum, Möbius fonksiyonunun  değerini almasını sağlar; bu değer hem fonksiyonun çarpımsallık özelliğinin korunması hem de Möbius ters dönüşüm formülünün tutarlı çalışması için gereklidir.

Tek olmama
Bir  sayısı,  olacak şekilde bir  tam sayısı varsa tektir.
Sıfırın tek olmadığını kanıtlamanın bir yolu çelişki yöntemidir: eğer  ise, o zaman  olur ki bu bir tam sayı değildir. Sıfır tek olmadığı için, bilinmeyen bir sayının tek olduğu kanıtlanırsa, o sayı sıfır olamaz.
Bu görünüşte önemsiz gözlem, tek bir sayının neden sıfırdan farklı olduğunu açıklayan uygun ve açıklayıcı bir kanıt sağlayabilir.

Çizge teorisinin klasik bir sonucu; tek mertebeli (yani köşe sayısı tek olan) bir çizgenin her zaman en az bir çift dereceli köşeye sahip olduğunu ifade eder. (Bu ifadenin geçerli olması, sıfırın çift sayı kabul edilmesini gerektirir: Örneğin boş çizge çift mertebelidir ve bir ayrık köşe sıfır derecesine sahip olduğu için çift dereceli sayılır.)  Ayrık köşeler için bkz. s. 149; gruplar için bkz. s. 311. Aslında bu durumu kanıtlamak için daha kapsamlı bir sonucu ispatlamak daha pratiktir: Tek mertebeli her çizge, 'tek sayıda' çift dereceli köşeye sahiptir. Bu tek sayıdaki köşe varlığı, tokalaşma lemması (handshaking lemma) olarak bilinen daha genel bir kural ile açıklanır: Herhangi bir çizge, her zaman çift sayıda tek dereceli köşeye sahiptir. Sonuç olarak, tek dereceli köşelerin toplamının çift olması, derece toplamı formülünün doğal bir sonucudur.

Sperner lemması, aynı stratejinin daha ileri bir uygulamasıdır. Bu lemma, bir simpleksin üçgenlemesi üzerindeki belirli bir tür renklendirmenin, her rengi içeren bir alt simplekse mutlaka sahip olduğunu belirtir. Böyle bir alt simpleksi doğrudan inşa etmeye çalışmak yerine, tümevarım yoluyla bu nitelikteki alt simplekslerin sayısının tek olduğunu kanıtlamak daha pratiktir. Lemmanın daha güçlü bir ifadesi, bu sayının neden tek olduğunu şöyle açıklar: Bir simpleksin iki olası yönlendirilmesi dikkate alındığında, bu sayı doğal olarak  şeklinde ayrışır.

Çift-tek ardışıklığı
sağ|küçükresim|alt=Değişen renklerde 0->1->2->3->4->5->6->...|Doğal sayı paritesinin özyinelemeli tanımı

Sıfırın çift olduğu gerçeği, çift ve tek sayıların ardışık olduğu gerçeğiyle birlikte, diğer her doğal sayının paritesini belirlemek için yeterlidir.
Bu fikir, çift doğal sayılar kümesinin özyinelemeli tanımına dönüştürülebilir:
0 çifttir.
(n + 1) çifttir ancak ve ancak n çift değilse.
Bu tanım, yalnızca doğal sayıların minimal temellerine dayanma gibi kavramsal bir avantaja sahiptir: 0'ın ve ardılların varlığı.
Bu özellik, mantık çerçevesi ve Isabelle teorem kanıtlayıcısı gibi bilgisayar tabanlı mantık sistemleri için oldukça kullanışlıdır.;;  Bu yaklaşıma göre sıfırın çift olması, ispatlanması gereken bir sonuç (teorem) değil, baştan doğru kabul edilen bir kuraldır (aksiyom). Gerçekten de 'sıfır bir çift sayıdır' ifadesi, çift doğal sayıların bir model oluşturduğu Peano aksiyomlarından biri olarak yorumlanabilir. Benzer bir mantık, teklik-çiftlik tanımını sonlu ötesi (sonsuz) ordinal sayılara genişletmek için de kullanılır: Bu tanıma göre, sıfır dahil olmak üzere her limit ordinal çift sayı kabul edilirken, çift ordinallerin ardılları (peşinden gelen sayılar) tek sayı olarak kabul edilir.

küçükresim|alt=Bir ok tarafından delinmiş dışbükey olmayan çokgen, dışarıda 0, içeride 1, dışarıda 2 vb. etiketlenmiş. |Çokgen içinde nokta testi
Hesaplamalı geometri alanında kullanılan klasik çokgen içinde nokta testi, bu mantığı temel alır. Bir noktanın belirli bir çokgenin içinde mi yoksa dışında mı olduğunu belirlemek için, dışarıdaki uzak bir noktadan (sonsuzdan) o noktaya doğru sanal bir ışın (çizgi) çekilir ve bu ışının çokgenin kenarlarını kaç kez kestiği sayılır. Kesişim sayısı çift ise nokta çokgenin dışındadır; tek ise içindedir. Bu algoritma şu prensibe dayanır: Eğer ışın çokgeni hiç kesmezse, kesişim sayısı sıfırdır. Sıfır bir çift sayı olduğu için nokta dışarıda kabul edilir. Işın, çokgenin bir kenarını her kestiğinde, noktanın konumu 'içeri' veya 'dışarı' olarak değişir; buna bağlı olarak kesişim sayısı da tek ve çift arasında gidip gelir.

sağ|küçükresim|alt=9 köşeli, değişen renklerde, soldaki köşeden uzaklığa göre etiketlenmiş bir çizge |Bir iki parçalı çizge inşası
Çizge teorisinde iki parçalı çizge; birbirine bağlı (komşu) noktaların asla aynı renkte olmayacağı şekilde, noktaların iki gruba (veya renge) ayrıldığı bir yapıdır. Eğer bağlantılı bir çizge, 'tek sayıda kenardan oluşan bir döngü' (örneğin bir üçgen) içermiyorsa, bu çizgeyi iki renge boyamak mümkündür. Bunu yapmak için bir başlangıç noktası (v) seçilir. Diğer noktalar, bu başlangıç noktasına olan uzaklıklarının (adım sayısının) çift veya tek sayı olmasına göre siyah ya da beyaza boyanır. Başlangıç noktası v'''nin kendisine olan uzaklığı 0'dır ve 0 bir çift sayıdır; hemen yanındaki komşuları ise 1 adım (tek sayı) uzaklıktadır. Bu nedenle, başlangıç noktası ile komşuları otomatik olarak farklı renklere sahip olur.; 

Cebirsel desenler
sol|küçükresim|alt=−4'ten +4'e kadar tam sayılar bir tirbuşon şeklinde düzenlenmiş, çiftlerin içinden düz bir çizgi geçiyor |Z nin alt grubu olarak 2Z (mavi)
Soyut cebirde çift tam sayılar, ancak sıfırın da sisteme dahil edilmesiyle anlamlı olan çeşitli cebirsel yapılar oluşturur. Bir sayı grubunun 'grup' oluşturabilmesi için bir 'sıfırlayıcıya' veya başlangıç noktasına (yani toplamsal etkisiz elemana) ihtiyacı vardır; çift sayılar için bu eleman sıfırdır. Toplama işleminin kuralları (birleşme özelliği) ve her çift sayının tersinin de (örneğin 4'ün tersi -4) çift olması, bu yapıyı tamamlar.

Ayrıca, çift sayılar grubu, tüm tam sayıların içinde yer alan daha küçük bir ekiptir, yani bir alt gruptur. 'Çift sayı eksi çift sayı eşittir çift sayı' kuralı, 0'ın neden çift olması gerektiğini kanıtlar: Bir sayıdan kendisini çıkarırsanız (örneğin 2 - 2) sonuç 0 olur; bu işlemin kurala uyması için 0'ın da çift olması zorunludur. Bu, genel bir kuralın parçasıdır: Çıkarma işlemi yapıldığında sistemin dışına çıkmayan (kapalı olan) her grup, mutlaka sıfırı (etkisiz elemanı) içermelidir.

Çift sayılar, tam sayıları iki ana kategoriye (yan sınıflara) ayırır: Çiftler ve tekler. Bu ayrım, şu kurala dayanır: Eğer iki sayının farkı (x - y) çift ise, bu iki sayı 'akraba' veya 'denk' kabul edilir. Sıfırın çift olması burada kritiktir; çünkü bir sayının kendisiyle farkı 0'dır ve bir sayının kendisine denk olabilmesi (yansıma bağıntısı) ancak 0'ın çift olmasıyla mümkündür.

Benzer bir mantık, nesnelerin sıralamasını değiştirmeyi inceleyen alterne gruplar için de geçerlidir. Nesnelerin yerini değiştirmeye 'transpozisyon' (takas) denir. Çift sayıda takas yapan işlemlere çift permütasyon denir. Hiçbir nesnenin yerini değiştirmemek (yani birim dönüşüm), 'sıfır' adet takas yapmak demektir. Sıfır çift olduğu için, 'hiçbir şey yapmamak' da çift bir hamle sayılır.; 

Son olarak, 'Çift sayı × Herhangi bir tam sayı = Çift sayı' kuralı, çift sayıların matematikte ideal adı verilen özel bir küme oluşturduğunu gösterir. Bu özellik, modüler aritmetikte (saat aritmetiği gibi döngüsel sistemlerde) kullanılır; bir sayının 'mod 2'de 0 olması', o sayının 2'ye tam bölündüğü ve kalanın 0 olduğu anlamına gelir. Bu tanım, matematiksel denklemlerin (polinomların) tam sayı çözümlerini bulmak için çok kullanışlıdır.

2-sel düzen
Matematikte bazı çift sayıların diğerlerinden 'daha çift' olduğu bir bakış açısı vardır. Örneğin 4'ün katlarına çifte çift (doubly even) denir, çünkü bu sayılar 2'ye art arda iki kez bölünebilirler (Örn: 8/2=4, 4/2=2). Ancak sıfır, 'çiftlik' konusunda tüm sayıları geride bırakır; çünkü sadece 4'e değil, 2'nin kuvveti olan her sayıya (2, 4, 8, 16...) bölünebilir.

Bu özellik, Cooley–Tukey gibi bazı karmaşık bilgisayar algoritmalarının veri sıralama yöntemlerinde (bit tersine çevrilmiş sıra; bit-reversal permutation) işe yarar. Bu yöntemde sayılar, 2'ye ne kadar çok bölünebiliyorlarsa listede o kadar önce yer alırlar. Sıfır, 2'ye sonsuz kez bölünebildiği için bu sıralamada her zaman en baştadır.

Sıfırın 2'ye kaç kez bölünebildiğini saymak teknik olarak zordur. Normal sayılar için '2-sel düzen' adı verilen bir kavramla, bir sayının kaç kez 2'ye bölünebildiği hesaplanır. Ancak 0'ı ne kadar bölerseniz bölün sonuç hep 0 olur ve tekrar bölünebilir. Bu sorunu çözmek için matematikçiler, 0'ın 2-sel düzenini (bölünme derecesini) özel bir kural olarak sonsuz kabul ederler. Bu kural, yüksek cebirde değerleme adı verilen sistemlerin temel taşlarından biridir.

İkinin kuvvetleri (1, 2, 4, 8...) 2'ye bölünme kapasitesi giderek artan bir dizi oluşturur. 2-sel sayılar adı verilen özel bir sayı sisteminde, bir sayı 2'ye ne kadar çok bölünüyorsa o kadar 'küçük' sayılır; bu mantıkla 2'nin kuvvetleri giderek sıfıra yakınsar.

Eğitim
küçükresim|dikey=1.8|alt=Sütun grafiği;
gövde metnindeki açıklamaya bakın|Zaman içindeki yanıt yüzdeleri [cite: 104]Sıfırın paritesi konusu, genellikle ilköğretimin ilk iki veya üç yılında, çift ve tek sayı kavramı tanıtılıp geliştirilirken ele alınır.Bu zaman dilimi Amerika Birleşik Devletleri, Kanada, Büyük Britanya, Avustralya ve İsrail'de geçerlidir;
bkz. . [cite: 105]

Öğrencilerin bilgisi
Sağdaki grafik, İngiliz eğitim sisteminin 1. yılından (5-6 yaş) 6. yılına (10-11 yaş) kadar ilerleyen çocukların sıfırın paritesi hakkındaki inançlarını göstermektedir.
Veriler, İngiliz okul çocukları üzerinde bir dizi anket yürüten Len Frobisher'dan alınmıştır.
Frobisher, tek basamaklı parite bilgisinin çok basamaklı parite bilgisine nasıl dönüştüğüyle ilgileniyordu ve sıfır, sonuçlarda belirgin bir şekilde yer alıyordu.

Yaklaşık 400 yedi yaşındaki çocukla yapılan bir ön ankette, sıfırın paritesi sorulduğunda %45'i tek yerine çifti seçti.;
sonuçlar 1992 yaz döneminin ortasında yapılan anketten alınmıştır. [cite: 109] Bir takip araştırması daha fazla seçenek sundu: hiçbiri, her ikisi ve bilmiyorum.
Bu sefer aynı yaş aralığındaki çocukların sıfırı çift olarak tanımlama oranı %32'ye düştü. "2. yıl çocuklarının sıfırın çift sayı olduğuna karar verme yüzdesi önceki çalışmaya göre çok daha düşüktür, yüzde 45'e kıyasla yüzde 32" Sıfırın çift olduğuna karar vermedeki başarı başlangıçta yukarı fırlar ve ardından 3. ila 6. Yıllarda yaklaşık %50'de dengelenir. "Sıfırın çift sayı olduğuna karar vermedeki başarı yaşla birlikte artmaya devam etmedi, 2. ila 6. yılların her birindeki çocukların yaklaşık ikide biri 'çiftler' kutusuna bir tik koydu ..." Karşılaştırma gerekirse, en kolay görev olan tek bir basamağın paritesini belirleme başarısı yaklaşık %85'te dengelenir.; bu sonuçlar, çeşitli başarı seviyelerindeki üç okuldan 481 çocuğu içeren Şubat 1999 çalışmasından alınmıştır.

Görüşmelerde, Frobisher öğrencilerin muhakemesini ortaya çıkardı.
Bir beşinci sınıf öğrencisi, 2'nin çarpım tablosunda bulunduğu için 0'ın çift olduğuna karar verdi.
Birkaç dördüncü sınıf öğrencisi, sıfırın eşit parçalara bölünebileceğini fark etti.
Başka bir dördüncü sınıf öğrencisi "1 tektir ve aşağı inersem çifttir" şeklinde mantık yürüttü., "Jonathan"a atfedilmiştir Görüşmeler ayrıca yanlış yanıtların arkasındaki kavram yanılgılarını da ortaya çıkardı.
Bir ikinci sınıf öğrencisi, "saydığınız ilk sayı olduğu" gerekçesiyle sıfırın tek olduğuna "oldukça ikna olmuştu"., "Joseph"e atfedilmiştir Bir dördüncü sınıf öğrencisi 0'ı "yok" olarak adlandırdı ve "bir sayı olmadığı" için ne tek ne de çift olduğunu düşündü., "Richard"a atfedilmiştir Başka bir çalışmada Annie Keith, çift-tek ardışıklığına ve sıfır şeyden oluşan bir grubu iki eşit gruba ayırma olasılığına dayanarak birbirlerini sıfırın çift sayı olduğuna ikna eden 15 ikinci sınıf öğrencisinden oluşan bir sınıfı gözlemledi. "Sıfırın çift sayı olması fikri üzerinde çok az anlaşmazlık vardı.
Öğrenciler emin olmayan birkaç kişiyi iki argümanla ikna ettiler. Birinci argüman sayıların bir desen içinde gittiğiydi ...tek, çift, tek, çift, tek, çift... ve iki çift ve bir tek olduğuna göre, birden önce gelen ve kesir olmayan sayı sıfırdır. Yani sıfır çift olmalıdır. İkinci argüman, eğer bir kişinin sıfır şeyi varsa ve bunları iki eşit gruba koyarsa, her grupta sıfır tane olacağıydı.
İki grup aynı miktara, sıfıra sahip olurdu"

Esther Levenson, Pessia Tsamir ve Dina Tirosh tarafından daha derinlemesine araştırmalar yapıldı; matematik derslerinde yüksek performans gösteren ABD'deki bir çift altıncı sınıf öğrencisiyle görüştüler. Bir öğrenci matematiksel iddiaların tümdengelimli açıklamalarını tercih ederken, diğeri pratik örnekleri tercih ediyordu. Her iki öğrenci de başlangıçta farklı nedenlerle 0'ın ne çift ne de tek olduğunu düşündüler. Levenson ve arkadaşları, öğrencilerin muhakemelerinin sıfır ve bölme kavramlarını nasıl yansıttığını gösterdi.
Öğrenciler tarafından yapılan iddialar"Sıfır çift veya tek değildir.""Sıfır çift olabilir.""Sıfır tek değildir.""Sıfır bir çift sayı olmak zorundadır.""Sıfır bir çift sayı değildir.""Sıfır her zaman bir çift sayı olacaktır.""Sıfır her zaman bir çift sayı olmayacaktır.""Sıfır çifttir.""Sıfır özeldir."

Deborah Loewenberg Ball, bir grup dördüncü sınıf öğrencisiyle tartışmış oldukları çift ve tek sayılar ve sıfır hakkındaki ABD üçüncü sınıf öğrencilerinin fikirlerini analiz etti. Öğrenciler sıfırın paritesini, çift sayıların kurallarını ve matematiğin nasıl yapıldığını tartıştılar. Sıfır hakkındaki iddialar, 
sağdaki listede görüldüğü gibi birçok biçim aldı., Şekil 1.5 "Sıfır hakkındaki matematiksel iddialar." Ball ve ortak yazarları, bu bölümün disiplinin alıştırmaların mekanik çözümüne indirgenmesinin aksine, öğrencilerin "okulda matematik yapabileceğini" nasıl gösterdiğini savundu.

Araştırma literatüründeki temalardan biri, öğrencilerin pariteye ilişkin kavram imgeleri ile kavram tanımları arasındaki gerilimdir.; Levenson ve arkadaşlarının altıncı sınıf öğrencilerinin ikisi de çift sayıları 2'nin katları veya 2'ye bölünebilen sayılar olarak tanımladılar, ancak başlangıçta bu tanımı sıfıra uygulayamadılar çünkü sıfırı 2 ile nasıl çarpacaklarından veya böleceklerinden emin değildiler. Görüşmeci sonunda onları sıfırın çift olduğu sonucuna yönlendirdi;
öğrenciler bu sonuca imgelerin, tanımların, pratik açıklamaların ve soyut açıklamaların bir kombinasyonundan yararlanarak farklı yollardan ulaştılar.
Başka bir çalışmada, David Dickerson ve Damien Pitman, beş ileri düzey lisans matematik öğrencisinin tanımları kullanımını inceledi.
Lisans öğrencilerinin "çift" tanımını sıfıra büyük ölçüde uygulayabildiklerini, ancak kavram imgeleriyle çeliştiği için bu muhakeme ile hala ikna olmadıklarını buldular.

Öğretmenlerin bilgisi
Michigan Üniversitesi'ndeki matematik eğitimi araştırmacıları, öğretmenlerin içerik bilgisini ölçmek için tasarlanmış 250'den fazla sorudan oluşan bir veri tabanına "0 bir çift sayıdır" doğru-yanlış sorusunu dahil ettiler.
Onlar için soru, "herhangi bir iyi eğitimli yetişkinin sahip olması gereken ortak bilgiyi" örneklemektedir ve cevabın geleneksel matematik ile reform matematiği arasında değişmemesi bakımından "ideolojik olarak tarafsızdır".
Amerika Birleşik Devletleri'ndeki 700 ilkokul öğretmeniyle 2000–2004 yılları arasında yapılan bir çalışmada, bu sorulardaki genel performans, öğretmenlerin derslerini aldıktan sonra öğrencilerin standart test puanlarındaki iyileşmeleri anlamlı bir şekilde öngördü. 2008 yılındaki daha derinlemesine bir çalışmada, araştırmacılar, diğer tüm ölçütlere göre örnek teşkil eden bir öğretmen de dahil olmak üzere, tüm öğretmenlerin sıfırın ne tek ne de çift olduğunu düşündüğü bir okul buldular.
Kavram yanılgısı, binalarındaki bir matematik koçu tarafından yayılmıştı.

Kaç öğretmenin sıfır hakkında kavram yanılgılarına sahip olduğu belirsizdir.
Michigan çalışmaları bireysel sorular için veri yayınlamadı.
Güney Florida Üniversitesi'nde matematik eğitimi doçenti olan Betty Lichtenberg, 1972 tarihli bir çalışmada, bir grup aday ilkokul öğretmenine "Sıfır çift sayıdır" maddesini içeren bir doğru-yanlış testi verildiğinde, bunu "şaşırtmalı bir soru" olarak bulduklarını ve yaklaşık üçte ikisinin "Yanlış" cevabını verdiğini bildirdi.

Öğretim için çıkarımlar
Matematiksel olarak, sıfırın çift olduğunu kanıtlamak basit bir tanım uygulama meselesidir, ancak eğitim bağlamında daha fazla açıklama gereklidir.
Bir sorun kanıtın temelleriyle ilgilidir; "çift"in "2'nin tam sayı katı" olarak tanımı her zaman uygun değildir.
İlköğretimin ilk yıllarındaki bir öğrenci henüz "tam sayı" veya "kat"ın ne anlama geldiğini, 0 ile nasıl çarpılacağını daha az öğrenmiş olabilir..
Uygun tanımlar hakkında daha fazla tartışma için Ball'un açılış konuşmasına da bakın. [cite: 132] Ek olarak, şimdiye kadar incelenen tek çift sayılar pozitifse, tüm tam sayılar için bir parite tanımı belirtmek keyfi bir kavramsal kısayol gibi görünebilir.
Sayı kavramı pozitif tam sayılardan sıfır ve negatif tam sayıları içerecek şekilde genişletildiğinde, parite gibi sayı özelliklerinin de önemsiz olmayan bir şekilde genişletildiğini kabul etmek yardımcı olabilir. referans alınarak  tarafından sonucuna varıldığı gibi

Sayısal biliş
küçükresim|alt=Sayılar 0–8, iki kez tekrarlanmış, karmaşık bir düzenlemede;
0'lar üstte, noktalı bir çizgiyle ayrılmış|Deneysel verilerin istatistiksel analizi, 0'ın ayrışmasını gösteriyor. Bu en küçük uzay analizinde, yalnızca verilerin kümelenmesi anlamlıdır;
eksenler keyfidir.: "Sıfırın, sol veya sağ el ile yanıt verilip verilmediğine bakılmaksızın diğer tüm sayılardan güçlü bir şekilde farklı olduğu da görülebilir. (Sıfırı diğer sayılardan ayıran çizgiye bakın.)"

Sıfırın çift olduğuna inanan yetişkinler bile, bir tepki süresi deneyinde ölçülebilir şekilde yavaşlayacak kadar onu çift olarak düşünmeye aşina olmayabilirler.
Sayısal biliş alanında öncü olan Stanislas Dehaene, 1990'ların başında bir dizi böyle deney yönetti.
Deneğe bir monitörde bir rakam gösterilir ve bir bilgisayar, deneğin sayıyı tek veya çift olarak tanımlamak için iki düğmeden birine basmasının ne kadar sürdüğünü kaydeder.
Sonuçlar, 0'ın işlenmesinin diğer çift sayılara göre daha yavaş olduğunu gösterdi.
Deneyin bazı varyasyonları, 60 milisaniye veya ortalama tepki süresinin yaklaşık %10'u kadar uzun gecikmeler buldu—küçük ama anlamlı bir fark. boyunca verilere ve  özetine bakın.

Dehaene'in deneyleri özellikle 0'ı araştırmak için değil, parite bilgisinin nasıl işlendiğine ve çıkarıldığına dair rakip modelleri karşılaştırmak için tasarlanmıştı.
En spesifik model olan zihinsel hesaplama hipotezi, 0'a verilen tepkilerin hızlı olması gerektiğini öne sürer;
0 küçük bir sayıdır ve  hesaplaması kolaydır.
(Deneklerin,  gibi önerilen sonuçları doğrulamada daha yavaş olsalar da, sıfırla çarpmanın sonucunu sıfır olmayan sayıların çarpımından daha hızlı hesaplayıp isimlendirdikleri bilinmektedir.) Deneylerin sonuçları, oldukça farklı bir şeyin gerçekleştiğini öne sürdü: parite bilgisi görünüşe göre asal olma veya ikinin kuvveti olma gibi ilişkili özellikler kümesiyle birlikte hafızadan çağrılıyordu.
Hem ikinin kuvvetleri dizisi hem de pozitif çift sayılar dizisi 2, 4, 6, 8, ... üyeleri prototipik olarak çift olan iyi ayırt edilmiş zihinsel kategorilerdir.
Sıfır hiçbir listeye ait değildir, bu nedenle tepkiler daha yavaştır.

Tekrarlanan deneyler, rakam formunda, yazıyla ve ayna görüntüsüyle yazılmış sayı isimleriyle karşılaşan çeşitli yaş, ulusal ve dilsel geçmişe sahip denekler için sıfırda bir gecikme olduğunu göstermiştir.
Dehaene'in grubu ayırt edici bir faktör buldu: matematiksel uzmanlık. Deneylerinden birinde, École Normale Supérieure öğrencileri iki gruba ayrıldı: edebi çalışmalardakiler ve matematik, fizik veya biyoloji okuyanlar.
0'daki yavaşlama "esasen [edebi] grupta bulundu" ve aslında, "deneyden önce, bazı L denekleri 0'ın tek mi yoksa çift mi olduğundan emin değildi ve matematiksel tanımın hatırlatılması gerekiyordu".

Aşinalığa olan bu güçlü bağımlılık, zihinsel hesaplama hipotezini bir kez daha zayıflatır. "Sezgisel bir anlamda, parite kavramı yalnızca 2'den büyük sayılar için tanıdıktır. Gerçekten de, deneyden önce, bazı L denekleri 0'ın tek mi yoksa çift mi olduğundan emin değildi ve matematiksel tanımın hatırlatılması gerekiyordu. Kısacası kanıtlar, 2'ye bölünebilirlik kriteri kullanılarak anında hesaplanmak yerine,
parite bilgisinin bir dizi diğer anlamsal özellik ile birlikte hafızadan alındığını göstermektedir ... Eğer parite yargılarında anlamsal bir hafızaya erişiliyorsa, o zaman deneklerin sayı kavramlarına aşinalığına bağlı olarak bireyler arası farklar bulunmalıdır." Etki ayrıca, çift ve tek sayıların bir grup olarak karşılaştırıldığı deneylere sıfırı dahil etmenin uygunsuz olduğunu göstermektedir.
Bir çalışmanın ifade ettiği gibi, "Çoğu araştırmacı, sıfırın tipik bir çift sayı olmadığı ve zihinsel sayı doğrusunun bir parçası olarak araştırılmaması gerektiği konusunda hemfikir görünmektedir."

Gündelik bağlamlar
Sıfırın paritesinin ortaya çıktığı bazı bağlamlar tamamen retoriktir.
Dilbilimci Joseph Grimes, evli çiftlere "Sıfır çift sayı mıdır?" diye sormanın
onların anlaşmazlığa düşmesini sağlamanın iyi bir yolu olduğunu düşünür. "...tanıdığı evli çiftlere şu soruları sorabilir: (1) Sıfır çift sayı mıdır? ... Birçok çift aynı fikirde değildir..." Sıfırın ne çift ne de tek olduğunu düşünen insanlar, sıfırın paritesini her kuralın bir karşıtörneki olduğunun kanıtı olarak veya bir şaşırtmalı soru örneği olarak kullanabilirler.;

2000 yılı civarında, medya kuruluşları bir çift olağandışı dönüm noktasına dikkat çekti: "1999/11/19", çok uzun bir süre boyunca gerçekleşecek olan tamamı tek basamaklardan oluşan son takvim tarihiydi ve "2000/02/02", çok uzun bir süre sonra gerçekleşen ilk tamamı çift tarihli gündü.;
;  Bu sonuçlar 0'ın çift olmasını kullandığından, bazı okuyucular bu fikre katılmadı. "Sıfırın çift olduğu ve 20/2/2000'in bulmacayı güzelce çözdüğü sonucu çıkar. Yine de insanların sıfıra çift denmesinden ne kadar rahatsız olduğu her zaman şaşırtıcıdır...";
 "'...matematikçilere göre sıfır sayısı, negatif sayılar ve kesirlerle birlikte ne çift ne de tektir,' diye yazıyor Etan...";
 "'Sıfırın çift olduğuna katılıyorum, ama Profesör Bunder'in bunu 0 = 2 x 0 olduğunu belirterek 'kanıtlaması' akıllıca mı? Bu mantıkla (matematiksel mantıkta doktora derecesine sahip birinden, daha azı değil), 0 = 1 x 0 olduğundan, aynı zamanda tektir!'
Prof buna itiraz edecektir ve mantıksal olarak bunu yapmak için sağlam bir temeli vardır, ancak bu konuyu biraz fazla uzatıyor olabiliriz ..."

Standart testlerde, bir soru çift sayıların davranışı hakkında soruluyorsa, sıfırın çift olduğunu akılda tutmak gerekebilir. GMAT ve GRE testleriyle ilgili resmi yayınların her ikisi de 0'ın çift olduğunu belirtir.;

Sıfırın paritesi, arabaların plakalarındaki son rakamın paritesine göre alternatif günlerde araç kullanabildiği veya benzin satın alabildiği tek-çift kısıtlaması (odd–even rationing) ile ilgilidir.
Belirli bir aralıktaki sayıların yarısı 0, 2, 4, 6, 8 ile ve diğer yarısı 1, 3, 5, 7, 9 ile biter, bu nedenle 0'ı diğer çift sayılarla dahil etmek mantıklıdır.
Ancak, 1977'de Paris'teki bir kısıtlama sistemi karışıklığa yol açtı;
sadece tek günlerinde, polis 0'ın çift olup olmadığını bilmiyordu, bu yüzden plakaları 0 ile biten sürücülere ceza kesmekten kaçındılar.;
Alıntı 1 Ekim 1977 tarihli heute yayınından alınmıştır. Arsham'ın anlatımı  tarafından tekrarlanmıştır. Bu tür karışıklıkları önlemek için, ilgili mevzuat bazen sıfırın çift olduğunu şart koşar;
bu tür yasalar Yeni Güney Galler "Penn State matematikçisi George Andrews, Avustralya'da benzin kısıtlaması olduğu bir zamanı hatırlıyor ... Sonra Yeni Güney Galler parlamentosundan biri, bunun sıfırla biten plakaların asla benzin alamayacağı anlamına geldiğini iddia etti, çünkü 'sıfır ne tek ne de çifttir'. Böylece Yeni Güney Galler parlamentosu, benzin kısıtlaması amacıyla sıfırın bir çift sayı olduğuna karar verdi!" ve Maryland'de geçirilmiştir.1980 Maryland yasası şunları belirtir: "(a) Çift sayılı takvim tarihlerinde benzin, yalnızca rakam içermeyen kişiselleştirilmiş kayıt plakaları ve
son basamağı çift sayı ile biten kayıt plakaları taşıyan araç operatörleri tarafından satın alınabilir. Bu, amatör telsiz operatörü plakalarını kapsamaz. Sıfır bir çift sayıdır; (b) Tek sayılı takvim tarihlerinde ..." 'den alınan kısmi alıntı.

ABD
Donanması gemilerinde, çift numaralı bölmeler iskele tarafında bulunur, ancak sıfır, merkez hattını kesen bölmeler için ayrılmıştır.
Yani, numaralar iskeleden sancağa doğru 6-4-2-0-1-3-5 şeklinde okunur.

Rulet oyununda, 0 sayısı çift veya tek olarak sayılmaz, bu da kumarhaneye bu tür bahislerde bir avantaj sağlar. Benzer şekilde, sıfırın paritesi, sonucun rastgele bir sayının tek veya çift olup olmamasına bağlı olduğu ve sıfır geldiği prop bahislerindeki (proposition bet'') ödemeleri etkileyebilir.;
; 

Kaynakça

Bibliyografya































































 Konuyla ilgili yayınlar 



 Dış bağlantılar 


  Is Zero Even? - Numberphile, James Grime ile video, Nottingham Üniversitesi

Kategori:Temel aritmetik
Kategori:Parite
Kategori:Sıfır