Arg maks

Normalize edilmemiş sinc fonksiyonunun (kırmızı) arg min değeri yaklaşık olarak {−4,49, 4,49} kümesidir, çünkü x = ±4,49 noktalarında yaklaşık −0,217 olan 2 adet global minimum değerine sahiptir.
Ancak, normalize edilmiş sinc fonksiyonunun (mavi) arg min değeri yaklaşık olarak {−1,43, 1,43} kümesidir; çünkü minimum değer aynı olsa da global minimumları x = ±1,43 noktalarında gerçekleşir."The Unnormalized Sinc Function ", Sidney Üniversitesi

Matematikte, maksimumun argümanları (kısaca arg maks (arg max) veya argmaks (argmax)) ve minimumun argümanları (kısaca arg min veya argmin), bir fonksiyonun çıktı değerinin sırasıyla maksimize ve minimize edildiği girdi noktalarıdır.Netlik sağlamak adına, girdi (x) noktalar, çıktı (y) ise değerler olarak adlandırılır; karşılaştırınız: kritik nokta ve kritik değer. Argümanlar fonksiyonun tanım kümesi üzerinde tanımlanırken, çıktı fonksiyonun değer kümesinin bir parçasıdır.

 Tanım 

Keyfi bir küme  tam sıralı bir küme  ve bir  fonksiyonu verildiğinde; 'in bir  alt kümesi üzerindeki  şu şekilde tanımlanır:

Eğer  ise veya  bağlamdan açıkça anlaşılıyorsa,  genellikle yazılmaz; örneğin  

Diğer bir deyişle , 'in fonksiyonun en büyük değerine (eğer varsa) ulaştığı  noktalarının kümesidir.

 boş küme, tek elemanlı küme veya birden fazla eleman içeren bir küme olabilir.

Konveks analiz ve varyasyonel analiz alanlarında,  kümesinin genişletilmiş reel sayılar olduğu özel durumda biraz daha farklı bir tanım kullanılır. Bu durumda, eğer ,  üzerinde özdeş olarak 'a eşitse  (yani, ) olarak tanımlanır. Aksi takdirde  yukarıdaki gibi tanımlanır; bu durumda  şu şekilde de yazılabilir:


burada,  içeren bu eşitliğin  'nin  üzerinde özdeş olarak  olmadığı durumlarda geçerli olduğu vurgulanır.

 Arg min
Minimumun argümanı anlamına gelen  (veya ) kavramı da benzer şekilde tanımlanır.
Örneğin,

kümesi, 'in en küçük değerine ulaştığı  noktalarıdır.
Bu operatör,  operatörünün tümleyenidir.

 kümesinin genişletilmiş reel sayılar olduğu özel durumda; eğer ,  üzerinde özdeş olarak 'a eşitse  (yani, ) olarak tanımlanır. Aksi takdirde  yukarıdaki gibi tanımlanır ve dahası, bu durumda ('nin özdeş olarak 'a eşit olmadığı durumda) şu eşitliği de sağlar:

 Örnekler ve özellikler 

Örneğin, eğer  fonksiyonu  ise,  maksimum değeri olan 'e yalnızca  noktasında ulaşır. Dolayısıyla:

 operatörü,  operatöründen farklıdır.
 operatörü, aynı fonksiyon verildiğinde, fonksiyonun o değere ulaşmasını sağlayan  yerine fonksiyonun  döndürür;
diğer bir deyişle

,  kümesindeki elemandır.

 gibi,  da boş küme (maksimumun tanımsız olduğu durumda) veya tek elemanlı bir küme olabilir; ancak 'tan farklı olarak  birden fazla eleman içeremez: bağıntısının antisimetrik özelliği nedeniyle, bir fonksiyonun en fazla bir maksimal değeri olabilir. örneğin, eğer  fonksiyonu  ise,  olur, fakat  olur; çünkü fonksiyon  kümesinin her elemanında aynı değere ulaşır.

Eşdeğer olarak, eğer , 'nin maksimumu ise,  maksimumun düzey kümesidir (level set):

Bu ifadeyi şu basit özdeşliği verecek şekilde yeniden düzenleyebiliriz:Bu, kümeler arasındaki, daha spesifik olarak 'nin alt kümeleri arasındaki bir özdeşliktir.

Eğer maksimuma tek bir noktada ulaşılıyorsa, bu noktaya genellikle   denir ve  bir noktalar kümesi olarak değil, bir nokta olarak kabul edilir.
Örneğin,

(tek elemanlı  kümesi yerine) yazılır, çünkü 'in maksimum değeri 'tir ve bu değer  için gerçekleşir. olduğuna ve eşitliğin ancak ve ancak  durumunda sağlandığına dikkat ediniz. Ancak, maksimuma birçok noktada ulaşıldığı durumlarda  bir noktalar  olarak ele alınmalıdır.
Örneğin

çünkü 'in maksimum değeri 'dir ve bu aralıkta bu değer  veya  için gerçekleşir. Tüm reel sayı doğrusu üzerinde ise:

 yani sonsuz bir kümedir.

Fonksiyonlar genel olarak bir maksimum değere ulaşmak zorunda değildir, dolayısıyla  bazen boş küme olabilir;
örneğin,  çünkü  reel sayı doğrusunda sınırsızdır.
Başka bir örnek olarak,  verilebilir;  fonksiyonu  ile sınırlı olmasına rağmen bu böyledir. Ancak, uç değer teoremi (extreme value theorem) gereği, kapalı bir aralık üzerinde sürekli ve reel değerli bir fonksiyonun bir maksimumu ve dolayısıyla boş olmayan bir  kümesi vardır.

 Ayrıca bakınız 

 Bir fonksiyonun argümanı
 Maksimum ve minimum
 Mod
 Optimizasyon
 Kernel

 Notlar 

 Kaynakça 

 Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

 Dış bağlantılar 

Kategori:Temel matematik
Kategori:Ters fonksiyonlar