Euler çarpımı

Euler çarpımı, matematiksel özellikle sayılar teorisinden olmak üzere analiz dalından da bir terimdir. Bu çarpım,asal sayılar kümesi üzerinde indekslenmiş sonsuz bir çarpım kullanılarak bir Dirichlet serisinin gösterimidir. Euler çarpımı, Riemann zeta fonksiyonunun Dirichlet serisine göre sonsuz çarpımı araştıran Leonhard Euler'in adını almıştır.

 Tanım 
,pozitif tam sayılarda tanımlı olmak üzere aralarında asal  ve  için  bir fonksiyon ve  bir Dirichlet serisi olsun. Bu seri,karmaşık bir sayı  için mutlak yakınsak ise, o zaman  olur.Tüm asal sayılar üzerindeki bu sonsuz çarpımlara Euler çarpımı denir. Bu çarpımların değeri,  halinde limit olarak tanımlanır ki burada , yalnızca N sınırının altındaki asal sayılara çarpım genişletilerek elde edilir.

 İspat 
Euler çarpımının geçerliliğini destekleyen çeşitli kanıtlar vardır.

Öncelikle, serisinin mutlak yakınsaması ile, ayrıca her faktör  kesinlikle yakınsar. Bundan, her  için kısmi çarpım  olur.Bu , Cauchy çarpım formülü ve asal sayıların artan dizisiyle hemen şunu gösterir: Eğer  ise:İkinci adımda, fonksiyonunun çarpımsallığı kullanılmış. Bu durumda şu denklem doğrudur:İkinci toplamdaki çizgi, sadece tüm asal çarpanları  olan  sayılarının sayılacağını gösterir.Bu yüzden her  için  olan bir  vardır.Böylece kısmi çarpımların dizisi , her bir  mutlak yakınsama alanındaki  için yakınsar ve teorem gösterilir.

 Riemann zeta fonksiyonunun Euler çarpımı 

 Formül 
Her  için  durumunda  bariz bir şekilde tamamen çarpımsaldır. Bu nedenle her  için şu denklem doğrudur:Bu  fonksiyonu Riemann zeta fonksiyonu olarak da bilinir.

 Kaynakça 

Kategori:Leonhard Euler