İdeal (halka teorisi)

Matematikte ve daha spesifik olarak halka teorisinde, bir halkanın ideali, elemanlarının özel bir alt kümesidir . İdealler, tam sayıların belirli alt kümelerini, örneğin çift sayıları veya 3'ün katlarını genelleştirir. Çift sayıların toplanması ve çıkarılması eşitliği korur ve çift bir sayının herhangi bir tam sayıyla (çift veya tek) çarpılması çift sayı ile sonuçlanır; bu kapanma ve soğurma özellikleri bir idealin tanımlayıcı özellikleridir. Bir ideal, grup teorisinde normal bir alt grubun bir bölüm grubu oluşturmak için kullanılabilmesine benzer şekilde bir bölüm halkası oluşturmak için kullanılabilir.

 Tanım(lar) 
Verilen bir  halkası için sol ideal, toplamsal  halkasının alt grubu olan ve şu koşulu sağlayan bir gruptur:Her  ve her  için





olur.

Benzer şekilde sağ ideal ,  koşulunun  ile değiştirilmesi ile tanımlanır. İki taraflı ideal ise aynı zamanda sağ ideal olan bir sol idealdir.Halka değişmeli ise, sol, sağ ve iki taraflı ideal tanımları örtüşür ve basitçe bir idealden bahsedilir. Değişmeli olmayan durumda ise genellikle "iki taraflı ideal" yerine "ideal" kullanılır.

İdeal  bir Abelyen alt grubu olduğundan,  ile  için  ile tanımlanan bağıntı  üzerinde bir eşdeğerlik bağıntısıdır ve bunun eşdeğerlik sınıfları kümesi 
 ile gösterilen bir Abel grubudur.  Eğer  bir sol veya sağ ideal ise,  bölümü sırasıyla sol veya sağ  -modülüdür.Eğer ideal  iki taraflıysa, 

 bölümü bir halkadır,  ve 'deki her bir elemanı kendi kalan grubuna gönderen  fonksiyonu, çekirdeği bir ideal olan bir surjektif halka homomorfizmidir . 

 Bazı örnekler 
 Her  için  halkası,  halkasının bir idealidir.
  için  bir idealdir.
  için  bir idealdir.Ek olarak,bunun bölüm halkası ,karmaşık sayılar halkası  ile izomorfiktir:

 Kaynakça 

Kategori:Cebirsel yapılar
Kategori:Değişmeli cebir
Kategori:Cebirsel sayı teorisi