Bilineer form

Matematikte ve lineer cebirde bilineer form, bir vektör uzayından iki vektör alıp bir skaler veren bilineer fonksiyonlara denir. Başka bir değişle, bir  cismi üzerinde tanımlı olan (mesela ) bir  vektör uzayından iki eleman alıp 'dan bir eleman veren bir  fonksiyonunun bilineer bir form olabilmesi için, iki elemanında da doğrusallık özelliklerini göstermesi gerekir:

 Her  vektörleri ve her  skaleri için 'yı 'nin dışına çekebilmek gerekir, yani  olması gerekir.
 Her  vektör üçlüsü için 'nin bir nevi dağılma özelliği göstermesi gerekir:  ve 

 üzerinde tanımlı olan nokta çarpımı, bilineer formlara bir örnektir. Bunun dışında rölativitede kullanılan Minkowski çarpımı da bilineer formlara örnek verilebilir.

'nın  karmaşık sayılar cismi olması hâlinde çoğu durumda bilineer formlardansa seskilineer formlar, yani argümanların birinde lineer, birinde yarı lineer (eşlenikli lineer) olan fonksiyonlar ilgimizi çekmektedir.

 Tanımlar 
 bir  vektör uzayı olsun. Bir  fonksiyonuna, her  için hemeşlemesi, hem deeşlemesi bir lineer fonksiyon teşkil ediyorsa, 'ye bir bilineer form denir.

 eğer ayrıyeten başka birkaç özelliği de sağlıyorsa başına birtakım sıfatlar gelir:

 Eğer her  ikilisi için  ilişkisi geçerli oluyorsa, 'ye simetrik bir bilineer form denir.
 Eğer her  vektörü için  ise, 'ye alternatif bir bilineer form denir.
 Eğer her  ikilisi için  ilişkisi geçerli oluyorsa, 'ye antisimetrik bir bilineer form denir. Eğer  ise, yani  cisminde  denemiyorsa (mesela  veya  üzerinde), o zaman alternatif olmakla antisimetrik olmak eşdeğerdir.
 Eğer sıfır hariç bir  vektörü için her  vektörüyle  veya  oluyorsa 'ye dejenere denir.
Ayrıca sözkonusu  cismi  veya  gibi sıralı bir cisim ise,

 Her  vektörü için  ise 'ye pozitif yarı belirli denir.
 Eğer  iken  ise 'ye pozitif belirli denir.
 Her  vektörü için  ise 'ye negatif yarı belirli denir.
 Eğer  iken  ise 'ye negatif belirli denir.
 Bazı  vektörleri için  oluyorken bazı  vektörleri için de  oluyorsa 'ye belirsiz denir.

 Örnekler 

  üzerinde,  şeklinde tanımlanan nokta çarpımı, bir bilineer form teşkil eder.
 Özellikle kuantum fiziğinde çok kullanılan hilbert uzayında tanımlanan  şeklinde tanımlanan çarpım da bir bilineer form örneğidir. Burada söz konusu vektör uzayı sonsuz boyutludur.

 Kordinat temsili 

 Martis temsili 
Sonlu boyutlu vektör uzaylarında nasıl bir taban seçimiyle her lineer dönüşümün bir matris gösterimini elde etmek mümkünse aynı şey bilineer formlar için de mümkündür. , 'nin bir tabanı olsun. O zaman her  vektörünü  şeklinde yazmak mümkündür. Yani 'u hesaplamak istiyorsak, bunu şeklinde hesaplamamız mümkündür. Eğer  matrisini  şeklinde tanımlarsak, bu ifadeyiformuna getirebiliriz. Sağda kalan ifade, matris çarpımı ile  ifadesine eşit olduğundan, her bilineer formu bi taban seçimiyle birlikte şeklinde yazmak mümkündür.

 Taban değişkliği 
Lineer dönüşümlerde taban değişkliği formülü,  formülüyle veriliyordu. Ancak bilineer formlarda taban değişikliği formülü biraz farklılık gösterir.

Taban değişikliği altında yeni gösterimler,  şeklinde bulunduğundan,  olmasını istiyorsak  olmalıdır. Yani bilineer formlarda taban değişikliği için  formülü kullanılmaktadır. Aynı lineer dönüşümü temsil eden matrislere benzer dendiği gibi aynı bilineer formu temsil eden matrislere de eş denir.

 Özellikler 

 Refleksif (dönüşlü) bilineer formlar ve ortogonalite 
Daha güçlü bir şart gözetmeden her  ikilisi için eğer  ilişkisi, ancak ve ancak  olduğunda geçerli oluyorsa 'ye refleksif denir.  olan cisimlerde her refleksif bilineer form, ya simetrik ya da antisimetrik olmak zorundadır.

Refleksif bilineer formlar için bir ortogonalite (diklik) kavramı tanımlamak mümkündür. Öyle ki,  veren her  çiftine ortogonal veya dik denir, ve bu durum  şeklinde gösterilir. Eğer  nokta çarpımı ise bu kavram, öklid geometrisindeki diklik kavramıyla örtüşmektedir.

Benzer şekilde, herhangi bir altuzay  ve hatta herhangi bir altküme  için ortogonal tamlayanını  olarak, 'daki tüm vektörlere dik olan vektörler kümesi şeklinde tanımlamak mümkündür. Herhangi bir altkümenin ortogonal tamlayanı bir altuzay teşkil eder. Vektör uzayındaki her vektöre dik olan vektörlerin uzayına da 'nin radikali denir, ve bu altuzay da  ile gösterilir. Eğer  dejenere değilse  de trivial  uzayına eşit olur.  bir altuzaysa ve  dejenere değilse,  için boyut formülü geçerli olur: Refleksif olmayan bilineer formlar için soldan ve sağdan diklik arasında ayrım yapılması gerekmektedir.

 Simetrik ve antisimetrik bilineer formlar 
 özelliğini sağlayan bilineer formlara simetrik,  özelliğini sağlayanlara da antisimetrik denir. Simetrik veya antisimetrik olmayan bilineer formlar için, eğer  iseveşeklinde bir simetrik ve bir de antisimetrik bilineer form tanımlamak mümkündür. Bu durumda  olduğundan 'yi biri simetrik biri antisimetrik iki parçaya ayırmış oluruz.

Seçilen her taban için simetrik bilineer formları temsil eden matrisler simetrik, ve antisimetrik bilineer formları temsil eden matrisler de antisimetrik olur.

 Karesel form 
Bir  bilineer formu için  şeklinde tanımlanabilen fonksiyonlara karesel form denir.  ise, ve  simetrikse 'yi 'dan polarizasyon özelliği ile çıkarabiliriz:Simetrik olmayan bilineer formlar için bu formül, sadece simetrik kısmı verir. Antisimetrik bilineer formlar için  olur. Bu formülün başka bir sonucu ise, simetrik bir bilineer formu tanımlamak için sadece altında yatan karesel formu tanımlamanın yetmesidir.

 Ayrıca bakınız 

 Bilineer fonksiyon
 İç çarpım uzayı
 Seskilineer form
 Nokta çarpımı
 Karesel form

Kategori:Soyut cebir
Kategori:Lineer cebir
Kategori:Çokludoğrusal cebir