Ölçülebilir uzay

Matematikte, ölçülebilir uzay veya Borel uzayı, ölçü teorisinin temel tanımlarından biridir. Bir küme ve onun üzerinde tanımlı bir σ-cebirini içerir; bu σ-cebiri, ölçülecek alt kümeleri belirler.

Ölçü teorisindeki bu kavram, uzunluk, alan ve hacim gibi daha basit ve fiziksel olarak bilinen ölçü kavramlarını genelleştirir. Bir  kümesi, uzaydaki noktaları temsil ederken, uzaydaki bölgeler σ-cebirinin elemanlarıdır. Çünkü sezgisel olarak ölçüler genellikle tek tek noktalar için değil, bir σ-cebirine ait olan belirli bölgeler için tanımlıdır. σ-cebiri aynı zamanda uzaydaki bölgelerin sahip olması beklenen ilişkileri de sağlar: Bir bölge, diğer bölgelerin kesişimi, bileşimi veya belirli bir bölgenin tüm uzaydan çıkarılmasıyla tanımlanabilir.

 Tanım 
Bir  kümesi ve onun üzerinde tanımlı bir σ- cebiri 
 olsun. Bu durumda,   çifti bir ölçülebilir uzay olarak adlandırılır.
'nin elemanları, bu ölçülebilir uzay içerisindeki ölçülebilir kümeler olarak tanımlanır. Önemli bir nokta ve ölçü uzayından farklı olarak, ölçülebilir uzayın tanımında herhangi bir ölçü tanımı gerekmemektedir.

 Örnek 
 kümesini ele alalım. Bu küme üzerinde tanımlanabilecek σ-cebirlerinden iki örnek verelim:
 En küçük σ-cebiri yalnızca tüm  kümesini ve boş kümeyi içerir: 

Bu durumda,   bir ölçülebilir uzay oluşturur.
 En büyük σ-cebiri,  kümesinin kuvvet kümesi  olup, in tüm alt kümelerini içerir:

Bu durumda,  ikinci bir ölçülebilir uzaydır.
Bu iki farklı σ-cebiri, aynı küme üzerinde farklı ölçülebilir uzay yapıları oluşturulabileceğini göstermektedir.

 Yaygın ölçülebilir uzaylar   
Eğer  sonlu veya sayılabilir sonsuz bir küme ise, -cebir en yaygın olarak  kümesinin kuvvet kümesi olur; yani,

Bu durumda, ölçülebilir uzay

olur. Eğer  bir topolojik uzay ise, en yaygın kullanılan -cebir Borel -cebiri  olur. Yani,

Bu durumda, ölçülebilir uzay

şeklinde olur ve bu, gerçel sayılar kümesi  gibi tüm topolojik uzaylar için yaygın olarak kullanılır.

 Borel uzayları ile karışıklık   
Borel uzayı terimi, farklı türde ölçülebilir uzayları ifade etmek için kullanılır. Şu anlamlara gelebilir:

 Herhangi bir ölçülebilir uzay, yani yukarıda tanımlandığı gibi genel bir ölçülebilir uzayın eş anlamlısıdır. 
 Gerçel sayıların bir ölçülebilir alt kümesine Borel eşyapı dönüşümü ile eşlenebilen bir ölçülebilir uzay (yine Borel -cebiri ile).

 Kaynakça 

Kategori:Uzay (matematik)
Kategori:Ölçü teorisi