Luzin teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan analizde ve özellikle ölçü kuramında 
Luzin teoremi ya da Luzin ölçütü ölçülebilir fonksiyonların neredeyse sürekli olduğunu ifade eder.
Başka bir deyişle, neredeyse her yerde sonlu olan bir fonksiyonun ölçülebilir fonksiyon olması ile, tanım kümesinin neredeyse tamamında sürekli olması arasında bir eşdeğerlik olduğunu belirtir.
John Edensor Littlewood’un resmî olmayan biçimiyle bu şöyle ifade edilir: “Her ölçülebilir fonksiyon neredeyse süreklidir.” Teorem, Nikolai Luzin’in adını taşımaktadır.N. Lusin. Sur les propriétés des fonctions mesurables, Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 154 (1912), 1688–1690.

 Teoremin ifadesi 
Teorem şu şekilde ifade edilir:

 Lebesgue ölçüsü ve [a, b] aralığında tanımlı

ölçülebilir bir fonksiyon olsun. O hâlde, her  için,  aralığında 'nin kısıtlaması sürekli olan ve

eşitsizliğini sağlayan tıkız bir  kümesi vardır.

Burada ,  aralığının altuzay topolojisini alır; 'nin  üzerindeki sürekliliği bu topolojiye göre tanımlanır.

Ayrıca,  aralığında tanımlı ve hemen her yerde sonlu olan herhangi bir  fonksiyonu söz konusu olduğunda, her  için  üzerinde sürekli bir  fonksiyonu varsa ve

eşitsizliği sağlanıyorsa, o zaman  ölçülebilir olur.

Genel biçim

 bir Radon ölçüsü uzayı ve , ikinci sayılabilir bir topolojik uzay olsun. , Borel cebiri ile donatılmış olsun. Eğer  ölçülebilir bir fonksiyon ise, her sonlu ölçüye sahip  ve  için,  içinde 'nin sürekli olduğu kapalı bir  kümesi bulunabilir ve  olur.

Eğer  yerel olarak tıkız ve  ise,  kümesi tıkız seçilebilir ve ayrıca sürekli, tıkız destekli bir  fonksiyonu bulunabilir. Bu fonksiyon,  üzerinde  ile çakışır ve

eşitsizliği sağlanır.

Gayriresmî olarak, sayılabilir tabana sahip hedef uzaylara giden ölçülebilir fonksiyonlar, tanım kümelerinin istenildiği kadar büyük bir kısmı üzerinde sürekli fonksiyonlarla yaklaşık olarak temsil edilebilir.

İspat hakkında

Luzin teoreminin ispatı birçok klasik kaynakta bulunabilir. Kavramsal olarak bu teorem, Yegorov teoremi ve düzgün fonksiyonların yoğunluğu fikrine dayalıdır. Yegorov teoremi, noktasal yakınsamaların neredeyse düzgün olduğunu, ve düzgün yakınsamanın sürekliliği koruduğunu belirtir.

Örnek

Luzin teoreminin gücü hemen anlaşılmayabilir. Örneğin, Dirichlet fonksiyonu, yani  fonksiyonu düşünülsün. Bu fonksiyon,  üzerinde 1, diğer her yerde 0 değerini alır. Bu fonksiyonun sürekli olduğu bir aralık bulmak zor görünür çünkü rasyonel sayılar gerçel sayılar kümesinde yoğundur.

Ancak Luzin teoreminin koşulları aşağıdaki  kümesiyle sağlanabilir:

,   kümesinin bir numaralandırması olsun. Her  için:

ve

şeklinde tanımlansın. Bu  açık kümeleri rasyonel noktaları "temizleyerek" geriye içinde hiç rasyonel bulunmayan, kapalı ve tıkız bir  kümesi bırakır. Ayrıca 'nin ölçüsü 'den büyüktür.

Kaynakça

Diğer kaynaklar

 G. Folland. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed. Chapter 7
 W. Zygmunt. Scorza-Dragoni property (Lehçe), UMCS, Lublin, 1990
 M. B. Feldman, "A Proof of Lusin's Theorem", American Math. Monthly, 88 (1981), 191-2
 Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, "Measure Theory and Fine Properties of Functions", CRC Press Taylor & Francis Group, Textbooks in Mathematics, Teorem 1.14

Kategori:Gerçel analiz teoremleri
Kategori:Ölçü teorisi teoremleri
Kategori:Kanıt içeren maddeler