Σ-cebiri

Matematiğin alt dalı olan analizde ve olasılık kuramında, bir σ-cebiri ("sigma cebiri"; ayrıca σ-cismi olarak da adlandırılır; burada σ harfi Almanca "Summe" kelimesinden gelirElstrodt, J. (2018). Maß- Und Integrationstheorie. Springer Spektrum Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-57939-8) bir X kümesi üzerinde, X in altkümelerinden oluşan ve boş olmayan, tümleyeni, sayılabilir birleşimler ve sayılabilir kesişimler altında kapalı bir Σ kümeler kümesidir.  sıralı ikilisi ölçülebilir uzay olarak adlandırılır.

Altkümelerden oluşan bir σ-cebiri, bir küme cebiridir; bu ikinci türdeki elemanların yalnızca sonlu sayıda altkümenin birleşimi veya kesişimi altında kapalı olması yeterlidir ki bu da daha zayıf bir koşuldur.

σ-cebirlerinin en temel kullanım alanı ölçülerin tanımlanmasındadır; özellikle, belirli bir ölçünün tanımlandığı altkümelerin kümesinin bir σ-cebiri olması gerekliliği vardır. Ölçü kavramı, Lebesgue integralinin temeli olarak analizde ve olasılık kuramında, olasılık atfedilebilen olayların kümesi olarak yorumlandığında önemlidir. Ayrıca olasılıkta, σ-cebirleri koşullu beklenti tanımında da kilit rol oynar.

İstatistikte, (alt) σ-cebirleri yeterli istatistiklerin biçimsel matematiksel tanımı için gereklidir. Bu gereklilik, bahsedilen istatistik, özellikle bir fonksiyon veya rasgele bir süreç olduğunda ve koşullu yoğunluk kavramı uygulanabilir olmadığında ortaya çıkar.

Örnek vermek gerekirse,  ise,  üzerinde tanımlı olabilecek σ-cebirlerinden biri 
 şeklindedir. Burada , boş kümeyi temsil eder. Genel olarak, sonlu bir cebir her zaman bir σ-cebiridir.

Eğer ,  kümesinin sayılabilir bir bölmelemesi ise, bu bölmelemedeki kümelerin tüm birleşimlerinden (boş küme dahil) oluşan küme de bir σ-cebiridir.

Daha anlamlı ve yaygın bir örnek, gerçel sayı doğrusu üzerindeki açık aralıklarla başlayan, sonra tüm sayılabilir birleşimler, sayılabilir kesişimler ve küme farkları eklenerek (bu işlem sayılabilir sayıdaki sıralama sayıları üzerinden yapılan sonlu ötesi sayıda yineleme ile devam ettirilir) ilgili kapalılık özellikleri sağlanana kadar genişletilen altkümeler kümesidir. Bu yapıya Borel hiyerarşisi denir.

Motivasyon
σ-cebirleri için en az üç temel motivasyon vardır: ölçülerin tanımlanması, kümelerin limitlerinin işlenmesi ve kümelerle karakterize edilen kısmi bilginin yönetilmesi.

Ölçü
Bir X kümesi üzerinde tanımlı bir ölçü, Xin altkümelerine sıfır ya da pozitif bir gerçel sayı atayan bir fonksiyondur. Ölçü kavramı kümeler için "büyüklük" ya da "hacim" kavramlarının matematiksel dil ve hassasiyet içinde tanımlanması olarak düşünülebilir. Ayrık kümelerin birleşimlerinin ölçüsünün, bu kümelerin ölçülerinin toplamı olmasını istenir ki bu durum ayrık kümeler için sonsuz dizilerde bile geçerli olmalıdır.

X kümesinin her altkümesine bir ölçü atamak istenebilir; ancak, birçok doğal durumda bu mümkün değildir. Örneğin, seçim aksiyomu, gerçel doğru üzerindeki uzunluk kavramı altında bazı kümelere ölçü atamanın mümkün olmadığını söyler. Bu duruma örnek olarak Vitali kümeleri verilebilir. Bu nedenle, bunun yerine Xin ayrıcalıklı bir altküme ailesi olan daha küçük bir küme ailesi dikkate alınır. Bu ailedeki altkümelere ölçülebilir kümeler denir. Ölçülebilir kümeler, doğal olarak şu işlemler altında kapalıdır: bir ölçülebilir kümenin tümleyeni yine ölçülebilir olmalıdır, ve ölçülebilir kümelerin sayılabilir birleşimi de ölçülebilir olmalıdır. Bu özelliklere sahip boş olmayan küme koleksiyonlarına σ-cebiri denir.

Kümelerin limitleri
Ölçü kavramının birçok kullanımında, örneğin olasılıktaki 1 olasılıkla yakınsama gibi durumlarda, kümelerin dizilerinin limitleri önemlidir. Bu tür limitler için, sayılabilir birleşimler ve kesişimler altında kapalı olma özelliği çok önemlidir. σ-cebirleri üzerinde küme limitleri şu şekilde tanımlanır:

 'teki  gibi altkümeler dizisi için en küçük üst limit ya da dış limit, 

Bu limit, bu kümelerin sonsuz tanesinde yer alan (ya da eşdeğer olarak, bunların hedefteş çokluğunda bulunan) tüm noktaları içerir. Yani, bir  noktası ancak ve ancak 
 olacak şekilde sonsuz bir  altdizisi içerisinde yer alıyorsa  olur.

 Aynı dizi için en büyük alt limit ya da iç limit, 

Bu limit, yalnızca sonlu sayıda küme haricindeki tüm kümelerde bulunan (veya eşdeğer şekilde, sonlu bir aşamadan itibaren''' tüm kümelerde yer alan) noktaları içerir. Yani  ancak ve ancak  olacak şekilde bir  bulunuyorsa geçerlidir.

Her zaman,
 olur.
Eğer bu iki limit eşitse, bu ortak kümeye  limiti denir ve

olur.

Alt σ-cebirler
Olasılığın birçok kısmında, özellikle koşullu beklenti söz konusu olduğunda, gözlemlenebilecek tüm bilgilerin yalnızca bir kısmını temsil eden kümeler dikkate alınır. Bu kısmi bilgi, asıl σ-cebirin bir altkümesi olan daha küçük bir σ-cebiri ile tanımlanabilir; bu alt σ-cebiri yalnızca kısmi bilgiye göre belirlenebilen kümelerden oluşur. Biçimsel olarak,  ve  kümesi X üzerinde tanımlı σ-cebirler olsun. Eğer  ise,  kümesi 'nin bir alt σ-cebiridir.

Bu fikri açıklamak basit örnekler yararlı olacaktır:

İki kişinin yazı-tura atarak oynadığı ve sonsuza dek sürebilecek bir oyun oynadığını hayal edelim. Her iki oyuncunun da sonsuz zengin olduğu varsayımı altında oyuna süresiz bir şekilde devam edilebilir. Bu durumda, örneklem uzayı Ω, sonsuz sayıda yazı-tura sonucunu temsil eden dizilerden oluşur:

İlk n atıştan sonra gözlemlenen bilgi, ilk n yazı-tura sonucunu açıklayan  olasılıktan biridir. Bu bilgi aşağıdaki alt σ-cebiriyle temsil edilir:

Bu yapı ilk n yazı-tura atışını sabitlemektedir ama kalan sonuçlara dair herhangi bir bilgi içermemektedir. Bu durumda, 

şeklinde bir artan σ-cebiri dizisi elde edilir; burada , diğerlerinin tümünü içeren en küçük σ-cebiridir.

Tanım ve özellikler
Tanım
Bir X kümesi verilsin ve  ifadesi Xin kuvvet kümesini, yani Xin tüm altkümelerinin kümesini göstersin. O hâlde,  alt kümesi ancak ve ancak aşağıdaki üç özelliği sağlıyorsa bir σ-cebiri olarak adlandırılır:

  olmalıdır.
 , tümleyene göre kapalıdır: Eğer  ise,  da  içindedir.
 , sayılabilir birleşimlere göre kapalıdır: Eğer  ise, o hâlde  da  içindedir.

Bu özelliklerden, σ-cebirinin aynı zamanda sayılabilir kesişimlere göre de kapalı olduğu sonucu çıkar ki bu durum De Morgan yasası yardımıyla gösterilebilir.

Ayrıca,  olduğu için ve (2) numaralı özelliğe göre tümleyeni olan boş küme  da  içindedir. Dahası,  kümesi bu üç koşulu da sağladığı için  kümesi üzerindeki en küçük σ-cebiridir. Öte yandan,  yani kuvvet kümesi, en büyük σ-cebiridir.

Bir σ-cebirin elemanları ölçülebilir kümeler olarak adlandırılır.  bir küme ve  onun üzerinde bir σ-cebiri olmak üzere, sıralı ikili  bir ölçülebilir uzay olarak adlandırılır. İki ölçülebilir uzay arasında tanımlı bir fonksiyon alındığında, eğer görüntü kümesindeki her ölçülebilir kümenin ters görüntüsü de ölçülebilir ise, bu fonksiyon, ölçülebilir fonksiyon olarak adlandırılır. Ölçülebilir uzayların oluşturduğu aile, bir kategori oluşturur; burada ölçülebilir fonksiyonlar morfizmalardır. Ölçüler ise bir σ-cebirinden  aralığına tanımlanan belirli türde fonksiyonlardır.

Bir σ-cebiri hem bir π-sistemi hem de bir Dynkin sistemidir (veya λ-sistemi). Tersi de yine Dynkin teoremi'ne göre doğrudur.

Dynkin π-λ teoremi

Bu teorem (ya da ilişkili olan monoton sınıf teoremi) belirli σ-cebirlerinin özelliklerine dair birçok sonucun ispatında kullanılan temel bir araçtır. Bu teorem, iki daha basit küme sınıfının doğasını kullanır:

 Bir π-sistemi , sonlu sayıda kümenin kesişimi altında kapalı olan altkümeler kümesidir.
 Bir Dynkin sistemi (ya da λ-sistemi) ,  kümesini içeren ve tümleyene göre ve ayrık altkümelerin sayılabilir birleşimleri altında kapalı olan altkümeler kümesidir.

Dynkin π-λ teoremi ise şunu ifade eder: eğer  bir π-sistemi ve  bir Dynkin sistemi olup  ise,  tarafından oluşturulan σ-cebiri ,  kümesinin alt kümesidir: 

Bazı π-sistemleri oldukça basit küme sınıflarından oluştuğu için,  içindeki tüm kümelerin istenilen özelliğe sahip olduğunu göstermek zor olmayabilir. Öte yandan, bu özelliğe sahip tüm kümelerden oluşan  kümesinin bir Dynkin sistemi olduğunu göstermek de nispeten kolay olabilir. Bu durumda, Dynkin π-λ teoremi,  içindeki tüm kümelerin de bu özelliğe sahip olduğunu garanti eder ve böylece  içindeki tüm kümeleri ayrı ayrı kontrol etme gereğini ortadan kaldırır.

Bu teoremin en temel kullanım alanlarından biri, ayrı ayrı tanımlanmış ölçülerin veya integrallerin eşdeğerliğini göstermektir. Örneğin, bu teorem rasgele bir değişken  için tanımlanan bir olasılığın, Lebesgue–Stieltjes integrali ile ifade edilen karşılığına eşitliğini göstermek için kullanılır:
 gerçek sayı doğrusu  üzerindeki Borel σ-cebirine ait olmak üzere, her  için

Burada ,  için tanımlanmış kümülatif dağılım fonksiyonudur ve  bir olasılık ölçüsü olup,  örneklem uzayının alt kümelerinden oluşan bir σ-cebiri  üzerinde tanımlıdır.

σ-cebirlerinin birleştirilmesi
Varsayalım ki , bir  uzayı üzerinde tanımlı σ-cebirlerinden oluşan bir aile olsun.

Kesişim
Bir σ-cebiri ailesinin kesişimi yine bir σ-cebiridir. Bu özellik vurgulanmak istendiğinde, şu şekilde gösterilir:İspat taslağı:  ile bu kesişimi gösterelim. Her  σ-cebiri olduğu için  olur; yani  boş değildir. Her  tümleyene ve sayılabilir birleşimlere göre kapalı olduğu için, bu özellikler  için de geçerlidir. Dolayısıyla  bir σ-cebiridir.

Birleşim
σ-cebirlerinin birleşimi genel olarak ne bir σ-cebiridir ne de bir cebirdir; ancak bu birleşim, bir σ-cebiri üretir. Bu σ-cebire birleştirme (join)  denir ve genellikle şöyle gösterilir:

Bu birleştirmeyi üreten bir π-sistemi şu şekilde ifade edilir:İspat taslağı'':  durumu için her  olur, dolayısıyla:

Bu durumdan:

sonucu elde edilir, çünkü  ifadesi bir altküme ailesi tarafından oluşturulan en küçük σ-cebirini ifade eder.

Öte yandan,

olduğundan, Dynkin π-λ teoremi uyarınca şu sonuç elde edilir:

Alt uzaylar için σ-cebirleri
 bir ölçülebilir uzay ve ,  kümesinin bir altkümesi olsun.

  ailesi,  kümesinin altkümelerinden oluşan bir σ-cebiridir.
  ölçülebilir bir uzay olmak üzere,  ailesi,  kümesinin altkümelerinden oluşan bir σ-cebiridir.

σ-halka ile ilişkisi
Bir σ-cebiri , evrensel küme olan  kümesini içeren bir σ-halkadır.

Her σ-cebiri aynı zamanda bir σ-halkadır; ancak her σ-halka bir σ-cebiri olmak zorunda değildir. Örneğin, gerçel doğru üzerindeki sıfır Lebesgue ölçüsüne sahip tüm ölçülebilir kümeler bir σ-halka oluşturur, fakat bu kümeler gerçel doğrunun tamamını kapsayamayacağı için bir σ-cebiri oluşturmazlar; çünkü, gerçel doğrunun ölçüsü sonsuzdur ve bu kümelerin sayılabilir birleşimiyle elde edilemez.

Buna karşılık, sonlu ölçüye sahip Lebesgue ölçülebilir kümelerin oluşturduğu aile bir halkadır, fakat bir σ-halka değildir; çünkü, bu kümelerin sayılabilir birleşimi gerçel doğruyu verebilir. Ancak, toplam ölçü sonlu olmayabilir.

Tipografik not
σ-cebirleri, bazen kaligrafik büyük harflerle veya Fraktur yazı tipiyle gösterilir. Bu nedenle  ifadesi  ya da  biçimlerinde de yazılabilir.

 Önemli durumlar ve örnekler 
Ayrılabilir σ-cebirler
Bir ayrılabilir σ-cebiri (ya da ayrılabilir σ-cismi),  ayrılabilir uzay özelliği taşıyan ve sonlu bir  ölçüsü ile birlikte, her  için   özelliğini sağlayan bir  metriğine sahip bir metrik uzay olarak düşünüldüğünde elde edilen bir σ-cebiridir.

Sayılabilir bir küme ailesi tarafından oluşturulan her σ-cebiri ayrılabilirdir; ancak bunun tersi doğru olmayabilir. Örneğin, Lebesgue σ-cebiri ayrılabilirdir (çünkü her Lebesgue ölçülebilir küme bir Borel kümesi ile ölçü bakımından eşdeğerdir), fakat sayılabilir olarak üretilemez (çünkü kardinalitesi süreyden büyüktür).

Ayrılabilir bir ölçü uzayı, onu ayrılabilir uzay yapan doğal bir sözde metrik uzay yapısına sahiptir. Bu durumda iki küme arasındaki uzaklık, bu kümelerin simetrik farkının ölçüsüne eşittir. Ancak simetrik farkın ölçüsü sıfır olan farklı kümeler olabileceğinden, bu uzaklık bir gerçek metrik oluşturmaz. Bununla birlikte, ölçüsü sıfır olan farklara sahip kümeleri bir eşdeğerlik sınıfı olarak tanımlarsak, oluşan bölüm kümesi üzerinde gerçek bir metrik tanımlanabilir. Eğer ölçü uzayı ayrılabilirse, elde edilen metrik uzayın da ayrılabilir olduğu gösterilebilir.

Basit küme temelli örnekler
Herhangi bir  kümesi için aşağıdaki σ-cebiri örnekleri verilebilir:

 Yalnızca boş küme ve  kümesini içeren aile,  üzerindeki en küçük (aşikar) σ-cebiridir: .
  kümesinin kuvvet kümesi, yani tüm altkümelerinin kümesi, ayrık σ-cebiri (ya da tam σ-cebiri) olarak adlandırılır.
  ailesi,  altkümesinin oluşturduğu basit bir σ-cebiridir.
  kümesinin sayılamaz olduğu varsayılırsa, ’in sayılabilir olan (ya da tümleyeni sayılabilir olan) tüm altkümelerinden oluşan küme bir σ-cebiridir. Bu σ-cebiri, ’in tekil elemanlarının oluşturduğu σ-cebiridir. "Sayılabilir" kavramı burada sonlu ya da boş kümeleri de içermektedir.
 ’in sayılabilir bir küme bölmesi verilmişse, bu bölmeyi oluşturan kümelerin tüm birleşimlerinden (boş küme dahil) oluşan küme bir σ-cebiridir.

Durdurma zamanı σ-cebirleri
Bir   durdurma zamanı, durdurma zamanı σ-cebiri olan 'yı tanımlamak için kullanılabilir.

Bu σ-cebiri, bir süzgeç yapısına sahip olasılık uzayında, rasgele bir zaman 'ya kadar elde edilebilecek bilgiyi ifade eder. Yani, bu yapı şöyle yorumlanabilir: Eğer süzgeçli olasılık uzayı bir rasgele deneme olarak düşünülürse, bu deneme  zamanına kadar sınırsız sayıda tekrarlandığında öğrenilebilecek maksimum bilgi  ile temsil edilir.

 Küme aileleri tarafından oluşturulan σ-cebirleri 
Herhangi bir küme ailesi tarafından oluşturulan σ-cebiri

 herhangi bir altküme ailesi (bir küme ailesi) olsun, yani . O hâlde, 'yi içeren tüm σ-cebirlerinin kesişimi, 'yi içeren en küçük σ-cebirini verir. Bu σ-cebire  denir ve  tarafından oluşturulan σ-cebiri olarak adlandırılır.

Eğer  boş küme ise,  olur. Boş olmayan durumlarda,  ’deki kümelerden başlayarak, sayılabilir sayıda tümleyen, birleşim ve kesişim işlemleriyle elde edilebilen tüm kümeleri içerir.

Basit bir örnek olarak,  kümesi üzerinde yalnızca  kümesini içeren bir aile ele alalım. Bu durumda:

 olur.

Yazım kolaylığı açısından, yalnızca bir kümeden oluşan  için  ifadesi,  yerine kullanılabilir. Aynı şekilde,  yazımı da  anlamında sıkça kullanılır.

Kullanışlı birçok σ-cebiri, farklı kümeler ailelerinden oluşturulur. Bazı yaygın örnekler aşağıda verilmiştir.

Bir fonksiyon tarafından oluşturulan σ-cebiri
Eğer ,  kümesinden  kümesine tanımlı bir fonksiyon ve ,  kümesi üzerinde tanımlı bir σ-cebiri ise, o zaman  fonksiyonu tarafından oluşturulan σ-cebiri şöyle tanımlanır:

Yani , ’deki tüm kümelerin ters görüntülerinden olşan kümedir. Bu yapı,  kümesi üzerinde bir σ-cebiridir.

Bir  fonksiyonu,  ile  arasında tanımlanmışsa ve  ise, o zaman  fonksiyonu ölçülebilir fonksiyon olarak adlandırılır.

En sık karşılaşılan durum,  kümesinin bir metrik uzay veya topolojik uzay olduğu ve ’nin  üzerindeki Borel σ-cebiri olduğu durumlardır.

Özellikle  fonksiyonu  biçimindeyse,  genellikle  içindeki aralık ya da kutuların ters görüntülerinden türetilen σ-cebiridir:

Yararlı bir özellik ise şöyledir: Varsayalım , ’den ’ye ölçülebilir bir fonksiyon ve  de ’den ’ye ölçülebilir bir fonksiyon olsun.  
Eğer  olacak şekilde,  adında  biçiminde bir ölçülebilir fonksiyon varsa, o zaman,  olur. Ayrıca,  kümesi sonlu ya da sayılabilir ise veya daha genel olarak bir standart Borel uzayı ise (örneğin, ayrılabilir ve tam bir metrik uzay), bu durumda tersi ifade de geçerlidir.

Standart örnekler arasında şunlar vardır:
  üzerindeki Borel σ-cebiri
  üzerindeki silindir σ-cebiri (aşağıda tanımlanmıştır)

Borel ve Lebesgue σ-cebirleri
Önemli bir örnek, herhangi bir topolojik uzay üzerindeki Borel cebiridir: Bu, açık kümeler (ya da eşdeğer biçimde kapalı kümeler) tarafından oluşturulan σ-cebiridir. Bu σ-cebir, genellikle topolojik uzayın kuvvet kümesi değildir. Aşikar olmayan kümelere örnek olarak Vitali kümesi veya Borel olmayan kümeler verilebilir.

 gibi bir Öklid uzayı üzerinde, bir diğer önemli σ-cebiri, tüm Lebesgue ölçülebilir kümelerin oluşturduğu σ-cebiridir. Bu σ-cebir,  üzerindeki Borel σ-cebirinden daha fazla küme içerir ve integral kuramı açısından daha uygundur çünkü tam ölçülü bir ölçü uzayı sağlar.

Çarpım σ-cebiri
 ve  iki ölçülebilir uzay olsun. Bu durumda, çarpım uzayı  üzerindeki σ-cebire çarpım σ-cebiri ya da σ-cebir çarpımı denir ve şu şekilde tanımlanır:

Buradaki  koleksiyonu bir π-sistemidir, dolayısıyla bu kümelerden oluşturulan σ-cebir en küçük σ-cebiri olur.

 üzerindeki Borel σ-cebiri aşağıdaki şekillerde üretilebilir:

Her iki durumda da, kullanılan üreteç kümeler ailesi bir π-sistemidir.

Silindir kümeleri tarafından oluşturulan σ-cebiri
Varsayalım ki 
şeklinde, gerçel değerli fonksiyonlardan oluşan bir küme olsun.  ise gerçel sayılar üzerindeki Borel σ-cebirini göstersin. X'in bir silindir kümesi, yalnızca sonlu sayıda zaman noktasında kısıtlanan kümeler olarak tanımlanır:

Her

küme ailesi,  noktaları sabitlenmiş olmak üzere bir π-sistemi oluşturur ve bunun ürettiği σ-cebir şöyle gösterilir:

Daha sonra, bu π-sistemlerinin tüm zaman indeksleri  üzerinden alınarak oluşturduğu 

ailesi bir küme cebiri oluşturur ve bu cebirin oluşturduğu σ-cebir,  kümesi üzerindeki silindir σ-cebiri olarak adlandırılır.

Bu σ-cebir,  üzerindeki çarpım topolojisi tarafından belirlenen Borel σ-cebirinin bir altcebiridir.

Önemli bir özel durum,  (doğal sayılar) olduğunda, yani  gerçel değerli diziler kümesi olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda, silindir kümeleri aşağıdaki biçimi alır:

Bunların oluşturduğu σ-cebir ise 

şeklindedir ve bu σ-cebirler azalmayan bir dizi oluşturur.

Yuvar σ-cebiri
Yuvar σ-cebiri, bir metrik uzayda tüm açık (veya kapalı) yuvarları içeren en küçük σ-cebiridir. Bu σ-cebir, hiçbir zaman Borel σ-cebirinden daha büyük değildir.

Not edilmelidir ki ayrılabilir uzaylar için Borel σ-cebiri ile yuvar σ-cebiri aynıdır. Ancak, bazı ayrılabilir olmayan uzaylarda, bazı fonksiyonlar Borel ölçülebilir değildir ama yuvar σ-cebirine göre ölçülebilirdir. Bu durum, özellikle böyle uzaylarda tanımlı fonksiyonların analizi için yuvar σ-cebirinin kullanılmasını değerli kılar.van der Vaart, A. W., & Wellner, J. A. (1996). Weak Convergence and Empirical Processes. In Springer Series in Statistics. Springer New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2545-2

Bir rasgele değişken veya vektör tarafından oluşturulan σ-cebiri
Varsayalım ki  bir olasılık uzayı olsun.

Eğer  fonksiyonu,  üzerindeki Borel σ-cebirine göre ölçülebilir bir fonksiyon ise,  bir rasgele değişken (n = 1 için) ya da rasgele vektör (n > 1 için) olarak adlandırılır.

Bu durumda,  tarafından oluşturulan σ-cebiri şudur:

Bir rasgele süreç tarafından oluşturulan σ-cebiri
Varsayalım ki  bir olasılık uzayı ve  gerçel değerli fonksiyonların oluşturduğu küme olsun.

Eğer  fonksiyonu,  kümesi üzerindeki silindir σ-cebiri ’ye göre ölçülebilir ise, o zaman  bir rasgele süreç ya da stokastik süreç olarak adlandırılır.

Bu durumda,  tarafından oluşturulan σ-cebiri şu şekilde tanımlanır:

Ayrıca bakınız






 Kaynakça 

Dış bağlantılar


 Sigma Cebiri – PlanetMath sitesinden.

Kategori:Boole cebiri
Kategori:Deneme (olasılık kuramı)
Kategori:Kümeler ailesi
Kategori:Ölçü teorisi