AO-GO eşitsizliği

Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliği (veya daha sık kullanılan adıyla AGO eşitsizliği), cebirin eşitsizlikler alt dalında sıkça kullanılan bir eşitsizliktir.
küçükresim|AGO eşitsizliğinin n=2 için geometrik bir ispatı.

 Eşitsizliğin formu 

 Klasik Form 
AGO eşitsizliğinin en bilinen formu şudur:

 pozitif reel sayıları için  ............(1) olur.

 Ağırlıklı AGO 
Öte yandan bu eşitsizlikte i=1,2,...,n için  konulursa  (her şey pozitifliğini koruyor) eşitsizlik

 .........(2) formunu alır.

 İspatlar 

 Kuvvet Ortalaması 
i=1,2,....,n için  pozitif reel sayılar olsun. Bu reel sayılar için ise  fonksiyonu tanımlı olsun. Bu fonksiyonun p cinsinden türevinin pozitif olduğu temel düzey türev ile gösterilebilir. O halde  artandır, yani  için  için  olur ve eşitsizlik p=q durumunda veya dizideki tüm sayılar eşit olduğunda sağlanır.

p=1 için (1) eşitsizliğinin sol tarafı (yani aritmetik ortalama) elde edilir. Öte yandan q=0 için (1) denkleminin sağ tarafı (yani geometrik ortalama) elde edildiğini göstermek için ise ileri düzey kalkülüs teknikleri gerekir. Tüm bunlardan dolayı (1) eşitsizliği ispatlanmış olur ve eşitsizlik sadece  için sağlanır.

 Jensen eşitsizliği 

 Eşitsizliğin tanımı (sonlu biçim) 
f gerçel değerli konveks bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun tanım kümesindeki  noktaları ve toplamları bir olan pozitif  için

olur (ve konkav fonksiyonlar için işaret ters döner). Bu eşitsizlik Jensen eşitsizliğidir.

 Eşitsizliğin kullanımı 
 fonksiyonunu ele alalım. olduğu için f(x) konkavdır, yani işaret ters döner. alınırsa

eşitsizliği elde edilir. Bir takım manipülasyonla ise (1) eşitsizliği elde edilir.

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 
 https://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/161/articles/Riasat_BasicsOlympiadInequalities.pdf
 https://www.isinj.com/mt-usamo/Inequalities%20-%20Theorems,%20Techniques,%20and%20Selected%20Problems%20-%20Cvetkovski%20%20(Springer,%202011).pdf
 https://artofproblemsolving.com/articles/files/MildorfInequalities.pdf

Kategori:Eşitsizlikler
Kategori:Ortalama