Euler-Lagrange denklemi

Euler-Lagrange denklemleri, varyasyonlar hesabı ve klasik mekanikte, verilen bir eylem fonksiyonelinin durağan noktaları olan çözümlerinin oluşturduğu ikinci mertebeden bir adi diferansiyel denklemler sistemidir. Bu denklemler, 1750'li yıllarda İsviçreli matematikçi Leonhard Euler ve İtalyan matematikçi Joseph-Louis Lagrange tarafından keşfedilmiştir.

Bir türevlenebilir fonksiyonel yerel ekstremum noktalarında durağan olduğundan, Euler-Lagrange denklemi, belirli bir fonksiyonelin minimize veya maksimize edilmesi gereken optimizasyon problemlerini çözmek için kullanışlıdır. Bu, kalkülüste bir türevlenebilir fonksiyonun yerel ekstremum noktasında türevinin sıfır olması gerektiğini belirten Fermat teoremi'ne benzer.

Lagrange mekaniğinde, Hamilton prensibine göre, bir fiziksel sistemin evrimi, sistemin eylem fonksiyoneli için Euler denklemlerinin çözümleri ile tanımlanır. Bu bağlamda, Euler denklemleri genellikle Lagrange denklemleri olarak adlandırılır. Klasik mekanikte, bu denklemler Newton'un hareket yasaları ile eşdeğerdir; aslında, Euler-Lagrange denklemleri Newton yasaları ile aynı denklemleri üretir. Bu özellikle kuvvet vektörlerinin oldukça karmaşık olduğu sistemleri analiz ederken yararlıdır. Bu yöntem, herhangi bir genelleştirilmiş koordinat sisteminde aynı formu alması avantajını taşır ve genelleştirmelere daha uygun bir yapıya sahiptir.

Klasik alan teorisinde, bir alanın dinamiklerini hesaplamak için benzer bir denklem kullanılır.

Tarihçe
küçükresim|Euler-Lagrange denklemi, aynı zamanlılık problemini araştırırken geliştirilmiştir.
Euler-Lagrange denklemi, 1750'li yıllarda Euler ve Lagrange tarafından eşzamanlı eğri (tautokron) problemi üzerine çalışmaları sırasında geliştirilmiştir. Bu problem, ağırlıklı bir parçacığın belirli bir noktaya sabit bir süre içinde, başlangıç noktasından bağımsız olarak düşeceği eğrinin belirlenmesi problemidir.

Lagrange, bu problemi 1755 yılında çözdü ve çözümü Euler'e gönderdi. Her iki matematikçi de Lagrange'ın yöntemini daha da geliştirdi ve bunu mekanik alanında uyguladı. Bu çalışmalar, Lagrange mekaniğinin formülasyonuna yol açtı. Aralarındaki yazışmalar, Euler'in 1766'da isimlendirdiği varyasyonlar hesabının ortaya çıkmasına neden oldu.Lagrange'ın kısa biyografisi 

 İfade 
 bir gerçel dinamik sistem olsun ve  serbestlik derecesine sahip olsun. Burada , konfigürasyon uzayı ve  ise Lagrange fonksiyonudur, yani sürekli ve gerçel değerli fonksiyondur. Bu durumda,  ve  ise -boyutlu bir "hız vektörü"dür. (Diferansiyel geometriye aşina olanlar için,  bir düzgün manifolddur ve  fonksiyonudur, burada , 'in teğet demetidir).

 ifadesi,  olan düzgün yolaklar kümesi olsun. O zaman,  ve  olur.

Eylem fonksiyoneli , aşağıdaki şekilde tanımlanır:

Bir yolak , ancak ve ancak aşağıdaki durumda 'nin bir durağan noktasıdır:

Burada , 'nin zaman türevidir. Durağan nokta ifadesiyle, 'nin  üzerindeki küçük bir pertürbasyona karşı durağan olduğu anlamı kastedilir.

 Örnek 
Klasik bir örnek, [a, b] aralığında tanımlı, gerçel değerli y(x) fonksiyonunu bulmaktır. Bu fonksiyonun y(a) = c ve y(b) = d olması gerekmektedir. Bu durumda, y tarafından izlenen eğri boyunca olan yol yay uzunluğu en kısa olmalıdır.

Buradaki tümlevlenen (integrand) fonksiyon şu şekildedir:

L fonksiyonunun kısmi türevleri:

olur. Bu türevleri Euler-Lagrange denkleminde yerine koyarak

elde edilir.

Bu sonuç, fonksiyonun sabit bir birinci türeve sahip olması gerektiği anlamına gelir ve bu nedenle fonksiyonun grafiği bir doğrudur.

 Genelleştirmeler 

 Tek değişkenli ve yüksek mertebeden türevli bir fonksiyon 
Aşağıdaki fonksiyonelin durağan değerleri:

Euler–Lagrange denkleminden elde edilebilir:

Bu ifade, fonksiyonun kendisi ve ilk  türevleri için sabit sınır koşulları altında geçerlidir. En yüksek mertebeden  türev olan  için uç değerler esnektir.

 Tek değişkenli ve tek türevli birden fazla fonksiyon 
Eğer problem, tek bir bağımsız değişken () ile birden fazla fonksiyonun () bulunmasını içeriyorsa ve bu fonksiyonlar, aşağıdaki fonksiyonu eniyilemek amacıyla kullanılıyorsa:

Bu durumda, karşılık gelen Euler–Lagrange denklemleri şunlardır:

 Birden fazla değişkenli bir fonksiyon 
Birden fazla değişkene bağlı bir fonksiyonun kullanıldığı durumda,  bir yüzey olmak üzere

Bu durumda fonksiyonel, aşağıdaki kısmi diferansiyel denklemi sağlayan fonksiyonlar tarafından ekstremize edilir:

 olduğunda ve fonksiyonel  enerji fonksiyoneli olduğunda, bu denklem sabun filmi minimum yüzey problemine yol açar.

 Birden fazla değişkenli birden fazla fonksiyon 
Eğer birden fazla bilinmeyen fonksiyon ve birden fazla değişken varsa

Bu durumda, Euler-Lagrange denklemleri sistemi şu şekildedir:

Bu denklem sistemi, her fonksiyonun ayrı ayrı varyasyonel türevini içerir ve çok değişkenli fonksiyonel integraller için temel çözümü sağlar.

 İki değişkenli bir fonksiyon ve yüksek mertebeden türevler 
Eğer belirlenmesi gereken tek bir bilinmeyen fonksiyon f, iki değişken x1 ve x2'ye bağlıysa ve fonksiyonel, fin yüksek mertebeden türevlerine (n-inci türevine kadar) bağlıysa

Bu durumda Euler-Lagrange denklemi şu şekildedir:

Bu denklemi daha kısa bir biçimde şu şekilde gösterebiliriz:

Burada  indeksleri, değişken sayısını temsil eder; bu örnekte indeksler 1'den 2'ye kadar gider. Bu denklemde, aynı kısmi türevden (örneğin ) birden fazla kez saymamak için, indeksler yalnızca  koşulunu sağladığında toplanır.

 Birden fazla değişkene bağlı birden fazla fonksiyon ve yüksek mertebeden türevler 
Eğer belirlenmesi gereken p adet bilinmeyen fonksiyon fi, m değişkenine (x1, x2, ..., xm) bağlıysa ve fonksiyonel, bu fonksiyonların yüksek mertebeden türevlerine (n-inci türevine kadar) bağlıysa

Burada  indeksleri, değişken sayısını temsil eder ve 1'den m'''ye kadar gider. Bu durumda Euler-Lagrange denklemi şu şekildedir:

Bu denklemde, aynı türevden () birden fazla kez saymamak için indeksler yalnızca  koşulunu sağladığında toplanır.

Bu denklemi daha kısa bir biçimde şu şekilde gösterebiliriz:

Burada  indeksleri, değişken sayısını temsil eder; bu örnekte indeksler 1'den mye kadar gider. Bu denklemde, aynı kısmi türevden (örneğin ) birden fazla kez saymamak için, indeksler yalnızca  koşulunu sağladığında toplanır.

 Alan teorileri 

 Manifoldlara genelleme M bir düzgün manifold olsun ve C^\infty([a,b]) ifadesi, düzgün fonksiyonlar kümesini göstersin: :.

Bu durumda, S\colon C^\infty ([a,b])\to \mathbb{R} şeklindeki fonksiyoneller için: : burada L\colon TM\to\mathbb{R} Lagrangian'dır. İfade \mathrm{d} S_f=0 şeklindedir ve bu, tüm t\in [a,b] değerleri için şu ifadelere eşdeğerdir:

Her koordinat çerçeve trivializasyonu (x^i,X^i) için, \dot{f}(t)'nin bir komşuluğunda şu şekilde \dim M denklemleri elde edilir: :

Euler-Lagrange denklemleri, koordinat bağımsız bir biçimde de şu şekilde yazılabilir:

Burada \theta_L Lagrangian L'ye karşılık gelen kanonik momentum 1-formu'dur. Zaman çevirilerini üreten vektör alanı \Delta olarak gösterilir ve Lie türevi \mathcal{L} ile gösterilir.

Yerel grafikler kullanılarak: : ifadesinde: : ve: :

Lie türevinin koordinat ifadelerini kullanarak, Euler-Lagrange denklemlerinin koordinat ifadeleri ile eşdeğerliğini görmek mümkündür. Koordinat bağımsız form, Euler-Lagrange denklemlerinin geometrik yorumları için özellikle uygundur.
 Ayrıca bakınız  

Lagrange mekaniği 
Hamilton mekaniği 
Analitik mekanik 
Beltrami özdeşliği 
Fonksiyonel türev

 Kaynakça 

 Kaynakça 





 Roubicek, T.: Varyasyonlar Hesabı. Bölüm 17: Fizikçiler için Matematiksel Araçlar. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, , s. 551–588.

Kategori:Matematikte özel ad taşıyan denklemler
Kategori:Fizikte özel ad taşıyan denklemler
Kategori:Adi diferansiyel denklemler 
Kategori:Kısmi diferansiyel denklemler 
Kategori:Varyasyon hesabı 
Kategori:Kanıt içeren maddeler 
Kategori:Leonhard Euler