Stein manifoldu

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde ve karmaşık manifoldlar teorisinde Stein manifoldu karmaşık koordinat uzayındaki holomorfluk bölgesi kavramını manifoldlara genelleştiren bir kavramdır. Stein manifoldları, bu tür manifoldları ilk defa tanımlayan Karl Stein'ın adını taşımaktadır.

Diğer taraftan, Stein uzayı Stein manifolduna benzer ancak bu uzayların tekilliklere sahip olmasına izin verilir. Stein manifoldları bir başka bakış açısıyla Riemann yüzeylerini yüksek boyutlara genelleştirirken, Stein uzayları, cebirsel geometrideki afin varyete veya afin şemalara karşılık gelmektedir.

 Tanım 
 karmaşık boyutu  olan bir karmaşık manifold olsun.  ise  üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonların halkası olsun. Aşağıdaki koşullar sağlandığında 'e Stein manifoldu denir.
  holomorf dışbükeydir. Bir başka deyişle, in altkümesi olan her tıkız  için, nin holomorf dışbükey kaplamı

in yine tıkız bir altkümesidir.
  holomorf ayrılabilirliğe sahiptir. Yâni, in birbirindenn farklı herhangi iki noktası  ve  için  özelliğini sağlayacak bir  vardır.

 Tıkız olmayan Riemann yüzeyleri 
  bağlantılı ve tıkız olmayan bir Riemann yüzeyi olsun. Behnke ve Stein tarafından bir teorem vesilesiyle X Stein manifoldudur.

Hans Grauert ve Helmut Röhrl'e ve 1956 yılına atfedilen başka bir sonuç ise  üzerindeki her holomorf vektör demetinin aşikar olduğunu belirtir. Özellikle, her doğru demeti aşikârdır ve böylece  olur. Üstel demet dizisi de aşağıdaki tam diziyi verir:


O zaman, Cartan B teoremi ile  elde edilir. Böylelikle,  olur ki bu gösterilenler de İkinci Cousin probleminin çözümüyle alâkalıdır.

 Örnekler 
 Karmaşık koordinat uzayı  Stein manifoldudur.
 Stein manifoldlarının tanımı holomorfluk bölgesi tanımını daha da karmaşık manifoldlara doğru genellediği için doğal olarak  karmaşık koordinat uzayındaki her bir holomorfluk bölgesi Stein manifoldu olacaktır. 
 Tıkız karmaşık manifoldlar Stein olamaz çünkü bu tür karmaşık manifoldlar üzerinde holomorf fonksiyonlar yoktur. Ancak, diğer taraftan, her tıkız karmaşık manifold holomorf dışbükeyliğe sahiptir. Bu yüzden, bağlantılı bir Riemann yüzeyinin Stein manifoldu olabilmesi için açık olması gerekli ve yeterlidir.
 Her Stein manifoldunun kapalı karmaşık bir altmanifoldu yine Stein manifoldudur.
 Hans Grauert'in ispatladığı derin bir teorem sayesinde kesin çoklualtharmonik tüketme fonksiyonlarına sahip olan karmaşık manifoldlar Stein manifoldudur.

 Özellikler 
 Stein manifoldunun tanımı gereği tıkız olmaması gereklidir.
 Reinhold Remmert, Errett Bishop ve Raghavan Narasimhan tarafından ayrı ayrı ispatlanan sonuçlar sayesinde karmaşık boyutu  olan bir  karmaşık manifoldunun Stein manifoldu olabilmesi için uygun, regüler ve birebir olan holomorf bir  gömme fonksiyonu bulunması gerekli ve yeterlidir.Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

 Sonsuz türevli manifoldlarla ilişkisi 
Boyutu  olan ve kulp indislerinin boyutunun 'den küçük olduğu tıkız ve sonsuz türevli manifoldların  olduğu sürece Stein yapısı vardır.  olduğunda ise yine aynı sonuç 2-kulplar belli çerçevelemelerle tutturulmuşsa geçerlidir.Yakov Eliashberg, Topological characterization of Stein manifolds of dimension > 2, International Journal of Mathematics vol. 1, no 1 (1990) 29–46.Robert Gompf, Handlebody construction of Stein surfaces, Annals of Mathematics 148, (1998) 619–693. Kapalı ve sonsuz türevli her 4-manifold, birbirlerine sınırlarından yapıştırılmış iki tane Stein 4-manifoldun birleşimidir.Selman Akbulut and Rostislav Matveyev, A convex decomposition for four-manifolds, International Mathematics Research Notices   (1998), no.7, 371–381. 

 Kaynakça 

Kategori:Çok değişkenli karmaşık analiz
Kategori:Karmaşık manifoldlar