Borel-Karatodori teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Borel-Karatodori teoremi holomorf bir fonksiyonun gerçel kısmıyla sınırlı olabileceğini gösteren bir sonuçtur. Teorem,  Émile Borel'in ve Konstantin Karatodori'nin adını taşımaktadır.

 Teoremin ifâdesi 
 olmak üzere, orijin merkezli ve  yarıçaplı kapalı bir disk üzerinde holomorf olan bir  fonksiyonu için aşağıdaki eşitsizlik sağlanır:

Burada, sol taraftaki norm, fonksiyonun kapalı disk üzerindeki maksimumu demektir. Maksimum modülüs teoremi ile bu maksimum değerinin kapalı diskin topolojik sınırında (yani çemberde) aldığı bilinmektedir. Diğer deyişle,

 Kanıt 
Fonksiyon bir  sabitine eşitse, o zaman  olacağı için teoremdeki eşitsizlik hemen gösterilmiş olur. Bu yüzden, fonksiyonun sabit olmadığını varsayabiliriz.

İlk önce, diyelim ki,  olsun. 'nin gerçel kısmı harmonik olacağı için, harmonik fonksiyonların ortalama değer teoremi gereği

olur.  holomorf olduğu ve sabit olmadığı için, 'nin gerçel kısmı da sabit değildir. Bu yüzden,  ise  olur. Sonuç olarak,  üzerindeki bazı noktalarda Re  olacaktır. Bu yüzden, 

olur. Bu da yarı-düzlemin  fonksiyonu altındaki görüntüsünün 'x=A doğrusunun solunda kalan yarı-düzlemin içinde olduğu anlamına gelir. O zaman, 
 gönderimi Pyi sol yarı düzleme gönderir. Sol yarı düzlem ise  gönderimi  orijin merkezli ve  yarıçaplı diske gönderilir. Bunların bileşkesi  hâlini alır ve 0 noktası 0a gönderilir.
Bu fonksiyonun   ile bileşkesini alıp Schwarz önsavı'nı uygularsak, 

elde ederiz.  |z| ≤ r alırsak, 

haline gelir ve böylece 

elde edilir. Genel durumda ise (yani,  olmazsa),  f(z)-f''(0) fonksiyonuna bakabiliriz. 

olur. Yeniden düzenlersek, sonuç elde edilir.

 Kaynakça 

Kategori:Karmaşık analiz teoremleri