Cousin problemleri

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde Cousin problemleri (Tr. okunuşu Kuzen problemleri), meromorf fonksiyonların yerel bilgilerinden (yani sıfırlarından ve kutuplarından) faydalanarak bu kutuplardan oluşan kümeler hariç her yerde meromorf olan fonksiyon oluşturma problemlerine verilen addır. Problemin toplamsal ve çarpımsal olarak iki türü mevcuttur. Bu problemler, Birinci Cousin Problemi ya da Cousin I problemi ve İkinci Cousin Problemi ya da Cousin II problemi olarak adlandırılırlar. Bu adlarla ilk defa Henri Cartan'ın 1934'teki makalesinde anılmışlardır ve problemleri özel hâllerde 1895 yılında tanımlayan Fransız matematikçi Pierre Cousin'in adını taşımaktadırlar.

Çok değişkenli karmaşık analizdeki bu problemler karmaşık analizdeki Weierstrass çarpım teoremi ve Mittag-Leffler teoreminin çözdüğü problemlerin yüksek boyutlara uyarlaması olarak görülebilirler. Her iki problemde bir karmaşık manifold , bu manifoldun açık örtüsü  ve ler üzerinde meromorf olan  fonksiyonları verilir.

 Birinci Cousin Problemi 
Birinci problemde,  fonksiyonlarının tanımlı oldukları bölgelerde, yâni  kümesinde, holomorf olduğu bilgisi verilir. Problem, o zaman,  üzerinde meromorf olan ve  fonksiyonlarının holomorf olduğu bir  fonksiyonunun var olup olmadığını sorar.
Problemde  üzerinde şartlar aslında gereklidir ve problem bu tür bir şartın yeterli olup olmadığını sormaktadır.

 Çözümü üzerine 
Probleme tek boyut özelinde bakıldığında, yani,  karmaşık düzlemde açık bir küme olduğunda, problemin çözümü Mittag-Leffler teoremi tarafından verilmektedir. Problemin ilk tam çözümü Kiyoshi Oka tarafından verilmiştir. PDF  TeX 

Riemann yüzeyi özelinde bakıldığında ise  üzerinde ilâve varsayımlar getirmek gerekebilir. Problemin çözümü en genel haliyle Stein manifoldları için verilmiştir. Bu çözümü veren Cartan B teoremidir.

 Düzgün fonksiyonlar için hâli 
Problemin holomorf değil de düzgün fonksiyonlar için değiştirilmiş halinin her zaman çözülebilir olduğu kolaylıkla gösterilebilir.Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992. Gerçekten,  üzerindeki  örtüsüyle uyumlu birimin ayrışımı  tarafından verilsin. Her  için,  üzerinde  tanımlanırsa, o zaman  kümesinde

olur. 
 Holomorfluk bölgelerinde çözüm 
Holomorfluk bölgelerinin üzerinde birinci Cousin probleminin çözümü her zaman vardır. Gerçekten de,  üzerindeki  örtüsüyle uyumlu birimin ayrışımı  tarafından verilsin.
Her  için,  üzerinde yine  tanımlansın. Elbette, bu şekilde tanımlanmış bir fonksiyon holomorf olmayacaktır. Ancak,  kümesinde

olur. Yani, her  için,  problemi iyi tanımlıdır. Ayrıca,  sonsuz türevlidir ve  gözlenir. Holomorfluk bölgelerinde, -problemi çözülebileceği için,  üzerinde   özelliğini sağlayan sonsuz türevli bir  vardır.  fonksiyonlarını daha önceden tanılanmış  fonksiyonları üzeride düzeltme olarak kullanıp, holomorf fonksiyonlar yaratabiliriz. Gerçekten de, eğer  üzerinde  tanımlarsak, o zaman,  kümesinde  olur. Aynı zamanda, her  için, 

olur. Yani, her  holomomorftur.

 Demet kohomolojisi 
Birinci Cousin problemine demet kohomolojisi açısından da bakmak mümkündür.  üzerindeki meromorf fonksiyonların demeti  olsun.  ise  üzerindeki holomorf fonksiyonların demeti olsun. Bir  global kesiti den bölüm demeti 'nun global kesiti e gider. Bunun tersi yöndeki soru birinci Cousin problemidir. Diğer deyişle, 
'nun global bir kesiti verilse, bunun görüntüsü de global bir kesit midir? O zaman, problem

gönderiminin görüntüsünü tanımlayabilmektir. Tam kohomoloji dizisinden 

olur ve birinci Cousin problemi, birinci kohomoloji grubu  sıfırlaşırsa, bir çözüme kavuşur. Özellikle, Cartan B teoremi sayesinde, Stein manifoldları üzerinde çözüm elde edilmiş olur.

 İkinci Cousin Problemi 
İkinci problemde,  fonksiyonlarının tanımlı oldukları bölgelerde, yâni  kümesinde,  holomorf olduğu bilgisi ve sıfır değeri almadığı bilgisi verilir. Problem, o zaman,  üzerinden meromorf olan ve   fonksiyonlarının holomorf olduğu ve sıfır değeri almadığı bir  fonksiyonunun var olup olmadığını sorar.

İkinci Cousin problemi, sıfır değeri aldığı kümesi belirlenmiş bir değişkenli holomorf bir fonksiyonunun varlığıyla  ilişkin Weierstrass teoreminin yüksek boyutlara genellemesidir.  Problemin topolojik varsayımlar altında çözümü Kiyoshi Oka tarafından verilmiştir.
Probleme logaritma alarak problemi toplamsal bir probleme dönüştürme yaklaşımında, birinci Chern sınıfı şekinde bir engelle karşılaşılır.

 Demet kohomolojisi 
Demet kuramı açısından yaklaşılacak olursa, hiçbir yerde sıfır değeri almayan holomomrf fonksiyonların demeti  olsun. Benzer bir şekilde,  sıfıra eşit olmayan meromorf fonksiyonlar demeti olsun. O zaman, bu her iki demet Abelyen grup olurlar ve böylece bölüm demeti   iyi tanımlı olur. Eğer  gönderimi örten ise, ikinci Cousin problemi çözülebilir:

Bu bölüme ilişkin uzun tam demet kohomolojisi ise şöyle olur:

O zaman,   olduğu sürece, ikinci Cousin problemi çözülebilir.  bölüm demeti  üzerindeki Cartier bölenlerinin ruşeymlerinden oluşan demettir. Bu nedenle, her global kesitin bir meromorf fonksiyon tarafından üretilip üretilmediği problemi  üzerindeki her doğru demetinin âşikar olup olmadığına karar vermeye eşdeğerdir.

 üzerindeki çarpımsal yapı için  kohomoloji grubu,  üzerindeki toplamsal yapıyla logaritma alarak karşılaştırılabilinir. Yani, 
en sol taraftaki demetin yerel olarak sabit olduğu ve lifinin  olduğu ve aşağıdaki gibi gösterilen bir tam demet dizisi vardır.

H1 seviyesinde logaritmayı tanımlaya engel 'in içinde çıkar. Uzun tam demet kohomolojisinden 

elde edilir.  Stein manifoldu ise, ortadaki ok izomorfizma olur çünkü   için  vardır. Böylece, ikinci Cousin probleminin çözülebilir olması için  olması gerekli ve yeterlidir.

 Örnekler 
 Her iki problemin de çözülebilir olduğu bir duruma, her bir nin () karmaşık düzlemde birer bölge olduğu ve bu bölgelerin en fazla bir tanesinin haricinde hepsinin basit bağlantılı olduğu  kümesi örnek olarak verilebilir.
 Birinci Cousin probleminin çözülemeyeceği duruma örnek olarak ,  (),  ve  verilebilir.
 Birinci problemin çözülebilir olduğu ama ikinci problemin çözülemediği duruma örnek olarak,  verilebililir. Tanımlanan karmaşık düzlemdeki kümelerin çarpımından oluştuğu için holomorfluk bölgesidir ve birinci problemin bu küme üzerinde çözümü vardır. Ancak, ikinci Cousin probleminin bu küme üzerinde çözümü yoktur.
 Kaynakça 

 Ayrıca bakınız 
 Cartan A ve B teoremleri

Kategori:Çok değişkenli karmaşık analiz
Kategori:Karmaşık analiz
Kategori:Demet teorisi