Koebe dörtte bir teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Koebe dörtte bir teoremi, yalınkat fonksiyonların görüntü kümelerinin boyutuyla ilgili bir sonuçtur. Teorem, 1907'de sonucu hipotez olarak öne süren Paul Koebe'nin adını taşımaktadır. İspât, 1916 yılında Ludwig Bieberbach tarafından verilmiştir.

Buna benzer başka sonuç Schwarz önsavıdır. Her ikisiyle alâkalı bir kavram ise açıkorururluk yarıçapıdır.

 Teoremin ifadesi 
, karmaşık düzlemde birim disk,  ise yalınkat bir fonksiyon olsun. O zaman,  merkezli ve  yarıçaplı disk,  görüntü kümesinin içinde yer alır.

Teoremdeki  sabiti Koebe fonksiyonu tarafından verildiği için en iyi kestirimdir.

 Koebe fonksiyonu 
Koebe fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır:

Serinin yakınsaklık bölgesi  noktasındaki tekillikten dolayı birim disktir. 
Ayrıca, basit bir hesapla,  ve  olduğu elde edilebilir. 
Diğer taraftan, fonksiyonun holomorf olduğu açıktır ve türevi üzerinden fonksiyonun birebirliği de hemen elde edilir. Diğer deyişle, Koebe fonksiyonu yalınkat fonksiyondur.

Ayrıca,  eşitliğinin tek çözüm kümesi den oluşur. Bu yüzden,   kümesi merkezi orijin olan ve yarıçapı ten büyük olan bir diski içeremez.

Döndürülmüş Koebe fonksiyonu ise 

tarafından verilir. Koebe fonksiyonu ve tüm döndürülmüş fonksiyonları schlichttir; yani, bu fonksiyonlar, birebir holomorf fonksiyonlardır ve ,  özelliklerine sahiplerdir.

 Bieberbach eşitsizliği 
Birim diskte yalınkat olan

fonksiyonunu ele alalım. O zaman, Bieberbach eşitsizliğine göre 

olmalıdır.

Eşitsizliğin ispatı Grönwall alan teoreminin  

fonksiyonuna uygulanmasından geçer. Burada eşitlik ancak ve ancak  döndürülmüş bir Koebe fonksiyonuysa elde edilir. Bu sonuç, Bieberbach tarafından 1916 yılında kanıtlanmıştır. 
Sadece  için değil de bütün ler için

olduğunu iddia eden ünlü Bieberbach hipotezinin kaynağı bu sonuca dayanmaktadır. 
Bieberbach hipotezi,  1985 yılında Louis de Branges tarafından kanıtlanmıştır ve sonuç artık De Branges teoremi olarak bilinmektedir.

 Kanıt 
Fonksiyonu öteleyerek ya da berileyerek ve gerekirse döndürerek ve ölçekleyerek

olduğunu varsayabiliriz. O zaman, 

yazılabilir. Bu halde, Bieberbach eşitsizliğinden,  olacaktır. 
Eğer  sayısı,  kümesinin içinde değilse, 

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon, birim disk içinde yalınkat olacaktır. 
Bieberbach eşitsizliğinden elde edilen sonucu kullanarak 

elde edilir. Böylelikle, 

olur.

 Koebe büyüme ve bozulma teoremi 
Yalınkat fonksiyonların nasıl büyüyebileceğini ve birim diskteki basit eğri ve doğruların, hatta açıların,  yalınkat fonksiyonların gönderimi altında nasıl çabukça bozulabileceğini kontrol eden sonuçlar yine Koebe ismi altında incelenir. Bu sonuçlar, doğrudan Bieberbach eşitsizliği ve Koebe dörtte bir teoremi kullanılarak elde edilebilir.

 fonksiyonu  üzerinde yalınkat olsun. Ayrıca,  ve  özellikleri sağlansın ve  olsun. O zaman, 






eşitsizlikleri vardır. Dahası, eşitlik durumları ancak ve ancak  fonksiyonu döndürülmüş bir Koebe fonksiyonuysa sağlanır; yani, 

olursa eşitlikler elde edilir.

 Kaynakça 

 Ayrıca bakınız 
 Grönwall alan teoremi

Kategori:Karmaşık analiz teoremleri