Hilbert eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Hilbert eşitsizliği pozitif gerçel sayıların ikili toplamlarına üst kestirim verir.  Eşitsizlik David Hilbert'in adını taşımaktadır ve geçmişi Hilbert'in 1888 tarihli bir çalışmasına kadar uzanır. Eşitsizliğin iyileştirilmiş ve genelleştirilmiş birkaç hâli bulunmaktadır.

 Eşitsizliğin ifadesi 
Hilbert eşitsizliği şu şekilde ifade edilebilir:
 bir doğal sayı olsun ve  pozitif sayılarından oluşan -çokuzlusu verilsin. O zaman,

eşitsizliği vardır.
 Karmaşık sayılı hali 
 dizisi karmaşık sayılardan oluşsun ve eğer bu dizi sonlu sayıda değilse 

olduğu varsayılsın. O zaman, 

olur.

 İyileştirmeleri 
Hilbert eşitsizliğindeki  sabiti yerine daha iyi bir kestirim verilebilir:

Bu eşitsizlik ise David Widder tarafından şu şekilde daha güçlü hâle getirilmiştir:

 İlişkin eşitsizlikler 
Fu Cheng Hsiang eşitsizliği şu şekilde genelleştirilmiştir:
 bir doğal sayı olsun.  ve   negatif olmayan gerçel sayılardan oluşan -çokuzluları olsun. O zaman,

eşitsizliği vardır.

 Eşitsizliğin uzantıları 
Yukarıdaki eşitsizliklerin genişletilmesiyle, çift seriler ve integraller aracılığıyla yazılan eşitsizlikler de vardır. Bu eşitsizlikler sırasıyla Hardy-Hilbert eşitsizliği ve Hardy-Hilbert integral eşitsizliği olarak bilinirler ve  sabiti her iki eşitsizlik için de en iyi kestirim sabitidir.

 Hardy-Hilbert eşitsizliği 
 ve  negatif olmayan gerçel sayılardan oluşan ve hepsi birden sıfıra eşit olmayan sayı dizileri olsun.  ise Hölder eşlenik sayılar olsunlar: . O zaman, 

olur. 
 Hardy-Hilbert integral eşitsizliği 
Hardy-Hilbert eşitsizliğinin integralli hali de şöyle yazılabilir:
 fonksiyonları sıfıra özdeş olmasın ve  ise Hölder eşlenik sayılar olsun. O zaman,

olur.

 Kaynakça 

Kategori:Eşitsizlikler
Kategori:Analiz (matematik)
Kategori:Karmaşık analiz
Kategori:David Hilbert