Sard teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan analiz ve diferansiyel geometride Sard teoremi (bazen Sard önsavı) ya da Morse-Sard teoremi, bir Öklid uzayı veya manifolddan yine başka bir Öklid uzayı ya da manifolda tanımlanan pürüzsüz bir fonksiyonun kritik değerler kümesinin (yani, kritik noktaların görüntü kümesinin) sıfır Lebesgue ölçüsüne sahip olduğunu ifade eder. Teorem, Anthony Morse ve Arthur Sard'ın adlarını taşımaktadır.

 İfadesi 
 Öklid uzayı 
 pozitif tam sayı ve  olmak üzere, 

fonksiyonu  olsun; yani, ,  kere sürekli türevlenebilen bir fonksiyon olsun. 
, fonksiyonun kritik noktalarının kümesi olsun; yani, fonksiyonun Jacobi matrisinin kertesinin (rankının) 'den küçük olduğu noktaların kümesini  ile gösterelim. 
O zaman, 
 kümesinin de Lebesgue ölçüsü sıfırdır.

Sezgisel olarak tarif edilirse,  kümesi tanım kümesinin içinde büyük olabilir. Ancak, bu kümenin görüntüsü Lebesgue ölçüsü anlamında küçüktür. Diğer deyişle,  içinde kritik noktalar çok olabilir ama  içinde kritik değerler azdır.

 Manifoldlar için tanım 
 ve  boyutları  ve  olan türevlenebilir manifold olsun ve u manifoltlar arasında 

 fonksiyonu verilmiş olsun. Bu fonksiyonun kritik noktaları, nin diferansiyelinin, yani,

gönderiminin bir doğrusal dönüşüm olarak kertesinin (rankının) 'den küçük olduğu noktalardır. Eğer  olursa, Sard teoremine göre,  kümesinin  manifoldunun altkümesi olarak ölçüsü sıfırdır.

Teoremin bu hâli, sayılabilir bir koordinat yamaları kümesi aldıktan sonra teoremin Öklid uzayları için olan halini kullanarak elde edilebilir. Teoremin sonucu yerel bir ifadedir; çünkü, ölçüsü sıfır kümelerin sayılabilir birleşiminin ölçüsü yine sıfırdır. Sıfır ölçüye sahip bir koordinat yamasının bir alt kümesinin özelliği difeomorfizma altında değişmez bir özelliktir.

 Değişik hâlleri 
Teoremin öncü hâlleri  iken Anthony P. Morse tarafından 1939'da daha genel hâli ise Arthur Sard tarafından 1942'de kanıtlanmıştır
Teoremin tekillik teorisi başta olmak üzere birçok alanda, uyarlanmış, değişik hâlleri de vardır. 
Sonsuz boyutlu Banach manifoldları için olan bir hâli Stephen Smale tarafından kanıtlanmıştır. Teoremin buradaki ifadesi oldukça güçlüdür ve kanıtı analiz içerir. Topolojide, Brouwer sabit nokta teoreminde ve Morse teorisindeki bazı uygulamalarda olduğu gibi, "sabit olmayan pürüzsüz bir gönderimin en az bir tane regüler değeri vardır" şeklindeki daha zayıf sonucu kanıtlamak için sıklıkla alıntılanır.

Sard, 1965 yılında, teoremini daha da genelleştirerek şunu elde etti: 
 olmak üzere,  gönderimi  ise ve  kümesi 'in kertesinin 'den kesinlikle küçük olduğu   noktalarından oluşan küme ise, o zaman,  kümesinin r-boyutlu Hausdorff ölçüsü sıfırdır. Ayrıca,  kümesinin Hausdorff boyutu en fazla r olur; ancak,  kümesinin Hausdorff boyutu r 'ye keyfi derecede yakın olabilir.

 Kaynakça

Kategori:Analiz önsavları
Kategori:Analiz teoremleri
Kategori:Diferansiyel geometri teoremleri
Kategori:Ölçü teorisi teoremleri
Kategori:Düzgün fonksiyonlar
Kategori:Çok değişkenli hesap
Kategori:Tekillik teorisi