König teoremi (karmaşık analiz)

Matematiğin alt dalları olan karmaşık analiz ve sayısal analizde König teoremi, bir fonksiyonun basit kutuplarını veya basit köklerini tahmin etmeye yarayan bir sonuçtur.
Özellikle, Newton yöntemi ve bu yöntemin genelleştirilmiş hâli olan Householder yöntemi gibi kök bulma algoritmalarında çok sayıda uygulaması vardır.

Teorem, Macar matematikçi Gyula Kőnig'in adını taşımaktadır.

 Teoremin ifadesi 
 üzerinde tanımlı ve bu disk içindeki bir  noktasında (ve sadece bu noktada) bir tane tekilliği olan meromorf bir  fonksiyon ele alalım ve  

yazalım. Bu serinin sadece  noktasında basit bir kutbu vardır. O zaman, 
 koşulunu sağlayan bir  sayısı için

olur. Özellikle,  

olur.

 İspat
Fonksiyonun  noktasındaki rezidüsü  ise, 
 fonksiyonu  diskinde holomorf olur. O zaman, Cauchy-Hadamard teoremi ile 

elde edilir. Dahası,  koşulunu sağlayan her  sayısı için

sağlayacak bir  sabiti vardır.  olduğu için  koşulunu sağlayacak bir  sayısı bulunabilir. Bu sayede, 

yazarak  elde edilir. O zaman, bu eşitlik kullanılarak

yazılır. Paya bir üst kestirim bulmak için daha önceden bulunan kestirim kullanılabilir ve

yazabiliriz. Paydaya bir üst kestirim bulmak için ise

yazabiliriz. O zaman,  ve  alırsak 

yazabiliriz.  sayısının seçiminden dolayı  olduğunu biliyoruz. Böylelikle,  elde ederiz.

 Kaynakça 

Kategori:Karmaşık analiz teoremleri