Dışbükey fonksiyon

Matematikte, gerçel değerli bir fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki ayrı nokta arasındaki doğru parçası, grafiğin üstünde veya üzerinde yer alıyorsa, bu fonksiyona dışbükey fonksiyon ya da konveks fonksiyon denir. Eşdeğer bir ifâdeyle, bir fonksiyonun epigrafı (fonksiyonun grafiğinin üzerinde veya üstündeki noktaların kümesi) bir dışbükey küme ise fonksiyon dışbükeydir. Yine grafik üzerinden basitçe tarif etmek gerekirse, dışbükey bir fonksiyonun grafiği bir fincan  ya da veya doğrusal bir fonksiyonda olduğu gibi düz bir çizgi şeklindedir. İçbükey bir fonksiyonun grafiği ise bir şapka  gibi şekle sahiptir.

Tek değişkenli bir fonksiyon en az iki kez türevlenebilir ise, o zaman bu fonksiyonun dışbükeyliği ancak ve ancak ikinci türev (fonksiyonun tanım kümesinde) negatif değilse mümkündür. Tek değişkenli dışbükey fonksiyonların iyi bilinen örnekleri arasında  gerçel olmak üzere  biçimindeki doğrusal fonksiyonlar bulunur.  negatif olmayan bir gerçel sayı olmak üzere  biçimindeki kuadratik fonksiyonlar ve  biçimindeki üstel fonksiyonlar da örnek olarak alınabilir.

Dışbükey fonksiyonlar matematiğin birçok alanında önemli bir rol oynar. Özellikle, optimizasyon problemlerinde kullanışlı özellikleriyle önemlidirler. Örneğin, açık bir küme üzerindeki kesin dışbükey bir fonksiyonun birden fazla minimumu yoktur. Sonsuz boyutlu uzaylarda bile, uygun ek hipotezler altında, dışbükey fonksiyonlar bu tür özellikleri sağlamaya devam eder ve sonuç olarak, varyasyonlar hesabında en çok anlaşılmış fonksiyoneller dışbükey olanlardır. Olasılık teorisinde, bir rassal değişkenin beklenen değerine uygulanan bir dışbükey fonksiyon, her zaman rastgele değişkenin dışbükey fonksiyonunun beklenen değeri ile üstten sınırlıdır. Jensen eşitsizliği olarak bilinen bu sonuç, aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği ve Hölder eşitsizliği gibi eşitsizlikleri çıkarmak için kullanılabilir.

 Tanım 
 gerçel bir vektör uzayın dışbükey altkümesi olsun ve  bir fonksiyon olsun. Aşağıda verilen ve birbirine denk olanr koşullardan biri  tarafından sağlandığında, 'ye dışbükey fonksiyon denir.
Her  ve her  için
Eşitsizliğin sağındaki ifâde, nin grafiğinde  ve  arasındaki doğruyu nin fonksiyonu olarak belirtir. Soldaki ifâdede ise,  fonksiyonunun argümanı teki  ve  elemanları arasındaki doğruyu belirtir. Demek ki, bu koşul ile nin grafiğindeki iki noktayı bağlayan doğrunun ya grafiğin üzerinde ya da üstünde olması istenmektedir.
<li>Her  ve  sağlayan bütün  için

Bu ikinci tanım şartının birinci tanım şartından temel farkı alınan doğru ile grafiğin kesişmesini istememesidir. Birinci koşulda  alırsak, ,  alırsak  olacaktır ki bu ifâdeler zâten doğrudur. Yine, 
 alırsak her zaman doğru olan ifâdeler ortaya çıkar. O yüzden, bu koşulları tanımdan çıkarmanın bir zararı yoktur.

Gerçel sayı doğrusu de değer alan dışbükey fonksiyonları karakterize eden ikinci ifade ayrıca genişletilmiş gerçel sayı doğrusunda, yâni,  kümesinde, değer alan dışbükey fonksiyonları tanımlamak için de kullanılan ifadedir. Diğer deyişle, bir   fonksiyonu  değerleri alıyorsa, o zaman ikinci ifâdeyi kullanmak daha elverişlidir. Birinci ifâdenin kullanılmamasının ilk sebebi nin   veya  değeri almasına izin verilmesidir ki bu durumda sırasıyla  veya  olursa,  and  ifâdelerinin tanımsızlığından dolayı  ifâdesi de tanımsız olur. Yine,   ifâdesi de tanımsızdır. Bu yüzden, genişletilmiş gerçel sayı doğrusunda değer alan dışbükey fonksiyonların  ve  değerlerinden genelde sadece bir tanesini almasına izin verilir.

 Kesin dışbükeylik 
İkinci ifade, kesin dışbükeyliğin tanımını elde etmek için de değiştirilebilir ki burada eşitliğe de izin veren küçük eşittir gösterimi 
 yerini eşitliğe izin vermeyen küçüktür gösterimine  bırakır. Daha matematiksel bir ifâdeyle, her 
 ve  olan bütün  için 

özelliğini sağlayan fonksiyonlara kesin dışbükey denir.

Kesin dışbükey fonksiyonların grafiğindeki iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasının üç noktaları hariç geriye kalan bütün noktaları fonksiyonun grafiğinin üstünde kalır. Dışbükey olup da kesin dışbükey olmayan bir fonksiyona  örneği verilebilir.

Bir fonksiyonun negatifi dışbükeyse (ya da kesin dışbükeyse), o zaman fonksiyona içbükey fonksiyon (ya da kesin içbükey fonksiyon) denir.

 Dışbükeyimsi fonksiyon 

Bir aralıkta (veya daha genel olarak vektör uzayındaki bir dışbükey kümede) tanımlı ve gerçel değerli bir  fonksiyonu eğer her  için 

eşitsizliğini tanım kümesindeki her  ve  için sağlıyorsa, o zaman fonksiyona dışbükeyimsi fonksiyon denir.

 Özellikler 
Dışbükey fonksiyonların birçok özelliği, tek değişkenli fonksiyonlar için olduğu gibi çok değişkenli fonksiyonlar için de basitlikle ifâde edilebilir ve genelde de aynı formülasyona sahiptir. Bu yüzden, çok değişkenli fonksiyonlar için aşağıda verilen özelliklere de bakınız; bu özelliklerden bir değişkenli fonksiyonlar kısmında ayrıca bahsedilmemiştir.

 Bir değişkenli fonksiyonlar 
 Bir aralık üzerinde tanımlı ve gerçel değişkenli bir  fonksiyonunu ele alalım ve 

fonksiyonunu tanımlayalım.  fonksiyonunda  ve  nin yerleri değiştirildiğinde fonksiyonun değeri aynı kaldığı için,  fonksiyonu  değişkeninde bakışık (simetrik) olur. O zaman,  fonksiyonunun dışbükeyliği için gerekli ve yeterli şart  fonksiyonunun sabitlenmiş  değerleri için  değişkeninde kesin azalmayan olmasıdır.
 Bir  açık aralığı üzerinde tanımlı ve bir gerçel değişkenli bir fonksiyon dışbükeyse, o zaman bu aralık üzerinde süreklidir. Fonksiyonun aynı zamanda soldan ve sağdan türevleri de vardır ve türevler kesin azalmayandır. Ayrıca, sol türev soldan sürekli, sağ türev ise sağdan süreklidir. Sonuç olarak, fonksiyon en fazla sayılabilir bir küme haricinde türevlidir. Yine de, fonksiyonun türevli olmadığı noktalar yoğun olabilir. Eğer  kapalı aralıksa, nin başlangıç ve bitiş noktalarında fonksiyonun sürekliliği olmayabilir.
 Türevlenebilir bir fonksiyonun bir aralıkta dışbükey olması için gerekli ve yeterli şart türevinin aynı aralıkta kesin azalmayan olmasıdır. Bir fonksiyon hem dışbükey hem de türevlenebilirse, o zaman, sürekli türevlenebilirdir; yâni, türevi de süreklidir.
 Bir gerçel değişkenli ve türevlenebilir bir fonksiyonun dışbükey olması için gerekli ve yeterli şart fonksiyonun grafiğinin bütün teğet doğrularının üstünde yer almasıdır; yâni, her  ve  için

olmalıdır.
 Bir gerçel değişkenli ve iki kere türevlenebilir bir fonksiyonun dışbükey olması için gerekli ve yeterli şart ikinci türevinin negatif olmamasıdır. 
 Dışbükey bir  fonksiyonu için   varsa, o zaman, bütün pozitif  ve  için  sağlanır.
Kanıt:  dışbükey olduğu için, dışbükeylik tanımında  alarak bütün  için 

elde edilir.   olduğu için 

Böylece,  olur.

 Bir  aralığında tanımlı  fonksiyonu her  için 

özelliğini sağlıyorsa bu fonksiyon orta nokta dışbükeyliğini sağlıyordur. Bu özellik, dışbükeylikten daha zayıf bir özelliktir ve elbette bütün dışbükey fonksiyonlar bu özelliği sağlar. Tersi yönde ise Sierpiński'nin bir teoremi geçerlidir: Orta nokta dışbükeyliğini sağlayan bütün Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlar aynı zamanda dışbükeydir. Daha da özelde, sürekli bir fonksiyon orta nokta dışbükeyliğini sağlıyorsa dışbükeydir.

 Çok değişkenli fonksiyonlar 
 Herbir değişkeninde ayrı ayrı dışbükey olan bir fonksiyon genel olarak dışbükey olmak zorunda değildir. Mesela, fonksiyonu her bir değişkende (diğeri sabit tutularak) doğrusallıktan dolayı dışbükeydir ancak fonksiyonda tüm değişkenler aynı anda hesaba katıldığında dışbükey değildir.
 Genişletilmiş gerçel sayılar doğrusu  kümesinde değerler alan bir  fonksiyonunun dışbükeyliği için  fonksiyonun  
biçiminde yazılabilen epigrafının dışbükey olması gerekli ve yeterlidir.
 Türevlenebilir bir  fonksiyonunun dışbükey olması için  eşitsizliğinin fonksiyonun tanım kümesindeki bütün  elemanları için sağlanması gerekli ve yeterlidir.
 İki kere türevlenebilen bir fonksiyonun bir dışbükey küme üzerinde dışbükey olması için Hesse matrisinin dışbükey kümenin içinde kesin pozitif matris olması gerekli ve yeterlidir.
 Bir  fonksiyonu dışbükeyse, o zaman  için  ve  altseviye kümeleri dışbükey kümedir. Bu tür özellikleri sağlayan fonksiyonlara dışbükeyimsi fonksiyon adı verilir ve her zaman dışbükey olmayabilirler.
 Bir dışbükey fonksiyonun yerel minimumu aynı zamanda mutlak minimumudur. Kesin dışbükey fonksiyonun en fazla bir tane mutlak minimumu olabilir.
 Jensen eşitsizliği bütün dışbükey fonksiyonlara uygulanabilir. Eğer  ile gösterilen bir rassal değişkenin değer kümesi, dışbükey bir  fonksiyonunun tanım kümesindeyse  olur. Burada,  beklenen değerdir. Gerçekten de, Jensen eşitsizliğinin hipotezini sağlayan fonksiyonlar dışbükey fonksiyonlardır.
  eşitliğini bütün  için sağlayan birinci mertebeden iki değişkenli homojen fonksiyonlar, bir değişkeninde dışbükey ise diğer değişkende de dışbükeydir.Altenberg, L., 2012. Resolvent positive linear operators exhibit the reduction phenomenon. Proceedings of the National Academy of Sciences, 109(10), pp.3705-3710.

 Dışbükeyliği koruyan işlemler 
 Bir  fonksiyonun dışbükeyliği  fonksiyonunun içbükeyliğine denktir.
 Herhangi bir  gerçel sayısı için,  ancak ve ancak  dışbükeyse dışbükeydir.
  ise ve  fonksiyonlarının hepsi dışbükeyse, o zaman   de dışbükeydir. Özellikle, iki dışbükey fonksiyonun toplamı yine dışbükeydir. Bu özellik, tanımlı oldukları sürece sonsuz toplamlara, integrallere ve beklenen değerlere de genişletilebilir.
 Dışbükey fonksiyonların bir noktadaki supremumu üzerinden tanımlanan fonksiyon da dışbükeydir. Diğer deyişle,  bir endis kümesi ise ve  kümeleri de bu fonksiyonların bu endis kümesine göre dışbükey bir ailesi ise, o zaman  fonksiyonu da dışbükeydir. Bu özelliğin özel bir durumu olarak,
 Dışbükey fonksiyonların maksimumu yine dışbükeydir. Yâni,  dışbükey fonksiyonlar ise, o zaman  fonksiyonu da dışbükeydir.
Danskin teoremi:  fonksiyonu  değişkeninde dışbükey ise, o zaman  fonksiyonu da,  kümesi dışbükey olmasa bile, dışbükeydir.
  fonksiyonu  değişkeninde dışbükeyse, o zaman   fonksiyonu  değişkeninde  kümesi dışbükey ve  olduğu sürece dışbükeydir. 
  ve  fonksiyonları dışbükey fonksiyonlar ise ve  gerçel doğru üzerindeki bir kümede azalmıyor ise, o zaman  fonksiyonu da dışbükeydir. Örneğin,  dışbükeyse   de dışbükeydir çünkü  dışbükeydir ve kesin artandır. Benzer bir özellik ise şu durumda çıkar. Eğer  içbükeyse,  dışbükeyse ve  gerçel doğru üzerindeki bir kümede artmıyor ise, o zaman  de dışbükeydir. 
 Dışbükeylik afin gönderimler altında değişmez bir özelliğe sahiptir. Diğer deyişle,  fonksiyonu bir  kümesi üzerinde dışbükey ise, o zaman,  kümesi de dışbükeydir. Burada,  ve 'nin tanım kümesi  alınmıştır.
  dışbükeyse, tanım kümesi  olan  fonksiyonu da dışbükeydir.
  bir vektör uzayı olsun.  fonksiyonun dışbükey olması ve  eşitsizliğini sağlaması ancak ve ancak  ve  özelliğini sağlayan her  için 

özelliği sağlanıyorsa mümkündür.

 Güçlü dışbükey fonksiyonlar 
Kesin dışbükeylik kavramını bir paramatre aracılığıyla genelleştiren güçlü dışbükeylik kavramı da mevcuttur. Sezgisel olarak, güçlü dışbükey bir fonksiyon, en az ikinci dereceden bir fonksiyon kadar hızlı büyüyen bir fonksiyondur. Güçlü dışbükey bir fonksiyon kesin dışbükeydir; ancak, bu ifâdenin tersi her zaman doğru değildir. Tek gerçel değişkene bağlı ve tanım kümesi reel sayı doğrusu olan bir  fonksiyonu iki kez sürekli türevlenebilirse dışbükeyliği şu şekilde karakterize edebilir:
  nin dışbükeyliği ancak ve ancak her  için  ise mümkündür.
 Her  için   ise  kesin dışbükeydir; ancak, bu yeterli bir koşuldur ve gerekli değildir. 
 nin güçlü dışbükeyliği ancak ve ancak her  için  sağlayan pozitif gerçel bir  sayısı ile mümkündür.

Örneğin,   kesin dışbükey olsun ve diyelim ki  özelliğinin sağlandığı bir  noktalar dizisi olsun. olmasına rağmen fonksiyon yine de güçlü dışbükey değildir çünkü  keyfi olarak küçük olup sıfıra yaklaşacaktır.

Daha genel olarak, türevlenebilir bir  fonksiyonunun bir  parametresi aracılığıyla güçlü dışbükeyliği şu şekilde tanımlanabilir. Fonksiyonun tanım kümesindeki her  sayısı için

sağlanıyorsa fonksiyona güçlü dışbükey denilir.

Daha genel bir ifâdeyle,  herhangi bir iç çarpımı temsil etsin ve  ise bu iç çarpım tarafından doğurulan bir norm olsun.  fonksiyonunun tanım kümesindeki her  sayısı için

sağlanıyorsa fonksiyona güçlü dışbükey denilir. Bazı yazarlar, örneğin , bu eşitsizliği sağlayan fonksiyonlara eliptik fonksiyonlar olarak da adlandırırlar.

Yukarıda verilen şartlara eşdeğer bir şart da şöyle tanımlanabilir:

Bir fonksiyonun güçlü dışbükey olması için türevlenebilir olması gerekli değildir. Bir fonksiyonun  parametreli güçlü dışbükeyliliği için üçüncü bir tanım şöyle verilebilir: tanım kümesindeki her  ve her  için

sağlanıyorsa fonksiyon  parametreli güçlü dışbükeydir. Gerçekten de,  iken tanım güçlü dışbükeylilik tanımına yaklaşmaktadır ve  olduğuğunda da dışbükeylik tanımına özdeştir. Yine de, herhangi bir  sayısı için kesin dışbükey olup da güçlü dışbükey olmayan fonksiyonlar da vardır.

Bir  fonksiyonu iki kez türevlenebilirse, o zaman bir  parametresine bağlı güçlü dışbükeyliliği ancak ve ancak tanım kümesindeki her  için  ise mümkündür. Burada,  birim matristir,  ise Hesse matrisidir;  ile kastedilen ise  matrisinin kesin pozitif matris olmasıdır ki bu da her  için  matrisinin en küçük özdeğerinin en az   olması demektir. Eğer tanım kümesi gerçel sayı doğrusu ise   ifadesi ikinci türeve denk gelir. Böylece, güçlü dışbükeylilik için gerekli ve yeterli şart   olmasıdır.  olursa, o zaman bu durumda Hesse matrisi yarı-kesin pozitif matris olur (ya da tanım kümesi gerçel doğru ise  olur) ki bu durumda da fonksiyon dışbükey olur. Aynı durumda, fonksiyon kesin dışbükey olabilir ama güçlü dışbükey değildir.

Fonksiyonun iki kez sürekli olarak türevlenebilir olduğunu varsayarak  ifadesinin alt sınırının güçlü dışbükeyliliği verdiğini şu şekilde gösterilebiliriz: Taylor teoremi kullanarak

eşitliğini sağlayan bir  bulunabilir. Özdeğer varsayımından hareketle 

elde edilir. Yukarıdaki eşitlik kullanılarak yukarıdaki ikinci güçlü dışbükeylik koşulunun sağlandığı gösterilmiş olur.

Yine, bir  fonksiyonunun  parametresine bağlı güçlü dışbükeyliliği

gönderiminin dışbükeyliliği aracılığıyla da tanımlanabilir.

Tanım kümesi tıkız bir   olan ve iki kez sürekli türevlenebilen bir  fonksiyonu için   ifadesi her  için sağlanıyorsa, o zaman  fonksiyonu güçlü dışbükeydir. Bu sonucun ispâtı tıkız bir küme üzerinde sürekli bir fonksiyonun bir maksimum ve bir minimuma sahip olduğunu belirten uç değer teoremi kullanılarak verilebilir.

Güçlü dışbükey fonksiyonlar sınıfı daha küçük olduğu için bu tür fonksiyonlarla çalışılması dışbükey veya kesin dışbükey fonksiyonlara göre genellikle daha kolaydır. Kesin dışbükey fonksiyonlar gibi, güçlü dışbükey fonksiyonların da tıkız kümelerde biricik minimumu vardır.

 Güçlü-dışbükey fonksiyonların özellikleri 
Bir  parametresine bağlı güçlü dışbükey olan bir   fonksiyonunu ele alalım. O zaman,

 Tüm gerçel  sayıları için   seviye kümeleri tıkızdır. 
  fonksiyonun  üzerinde bir mutlak ve biricik minimumu vardır.

 Düzgün dışbükey fonksiyonlar 
 negatif olmayan ve  olan bir fonksiyon olsun. Bir  fonksiyonu tanım kümesindeki her   ve her  için

özelliğini sağlıyorsa, 'ye modülü  olan düzgün dışbükey fonksiyon denir..  alarak güçlü dışbükeylik tanımı buradan elde edilebildiği için bu tanım güçlü dışbükeyliğin daha genel bir tanımı olmaktadır. 
Literatürde bazı yazarlar,  fonksiyonunun artan olmasını da koşul olarak koyarlar; ancak, yine de bu koşul her yazar tarafından benimsenmemiştir.

 Örnekler 
 Bir değişkenli fonksiyonlar 
  fonksiyonu için  elde edilir. Bu yüzden,  dışbükey fonksiyondur. Aynı zamanda güçlü dışbükeydir (ki bu yüzden kesin dışbükeydir); güçlü dışbükeylik parametresi de 2 olur.
   fonksiyonu için  olur. Bu yüzden,  dışbükey fonksiyondur. İkinci türevi bir noktada sıfır değeri alsa da, fonksiyon, yine de kesin dışbükeydir. Ancak, fonksiyon güçlü dışbükey değildir.
 Mutlak değer fonksiyonu dışbükeydir ki gösterimi üçgen eşitsizliğinden kolaylıkla elde edilir. Fonksiyonun grafiğinde  noktasınde görülen sivri uç türevin varlığına engeldir. Ayrıca, fonksiyon, kesin dışbükey değildir.
  fonksiyonu  için dışbükeydir.
 Üstel fonksiyon  dışbükeydir.  olduğu için kesin dışbükeydir. Ancak, ikinci türev sıfıra keyfi derecede yakın olduğu için güçlü dışbükey değildir. Daha genel olarak,  fonksiyonu dışbükey olduğunda  fonksiyonu logaritmik dışbükey fonksiyon olur.
  aralığında  olarak tanımlı fonksiyon  aralığında  dışbükeydir.  açık aralığında süreklidir ama 0 and 1 noktalarında süreklilik yoktur.
  fonksiyonunun ikinci türevi   olur. Bu yüzden,  olan noktalarda dışbükeydir,  olan noktalarda ise içbükeydir.
 Kesin artan ve dışbükey olmayan fonksiyonlara  ve  fonksiyonları örnek olarak verilebilir.
  fonksiyonun ikinci türevi  olur.  iken ikinci türev pozitif olur; böylece,  aralığında  dışbükeydir.  aralığında ise fonksiyon içbükeydir.
  fonksiyonu  olarak tanımlansın. O zaman, fonksiyon  ve  aralıklarında dışbükeydir. Ancak,  aralığında fonksiyonun dışbükeyliğinden bahsedilemez; çünkü,  nokasındaki tekillik bu dışbükeylik özelliğine izin vermez.

 Çok değişkenli fonksiyonlar 
 LogSumExp fonksiyonu dışbükeydir.
 Kesin pozitif bir matris olan  için  fonksiyonu dışbükeydir.
 Gerçel değerli her doğrusal dönüşüm dışbükeydir ama kesin dışbükey değildir. Gerçekten,  doğrusalsa, o zaman  olur. Aynı ifâde, dışbükeyliği içbükeylikle değiştirdiğimizde de doğrudur.
 Gerçel değerli her afin fonksiyon, yâni  biçimindeki fonksiyonlar, hem dışbükey hem de içbükeydir.
 Norm, üçgen eşitsizliği ve mutlak homojenlik özelliği sayesinde dışbükeydir. 
 Negatif olmayan bir matrisin spektral yarıçapı köşegen elemanlarının dışbükey fonksiyonudur.

 Ayrıca bakınız 

 İçbükey fonksiyon
 Dışbükey analiz
 Dışbükey conjugate
 Dışbükey curve
 Dışbükey optimization
 Jeodezik dışbükeylik
 Hahn-Banach teoremi
 Hermite-Hadamard eşitsizliği
 Inveks fonksiyon
 Jensen eşitsizliği
 K-dışbükey fonksiyon
 Kaçurovskiy teoremi
 Karamata eşitsizliği
 Logaritmik dışbükey fonksiyon
 Sözde dışbükey fonksiyon
 Dışbükeyimsi fonksiyon
 Alttürev

 Kaynakça 

Kategori:Dışbükey analiz
Kategori:Genelleştirilmiş dışbükeylik
Kategori:Fonksiyon türleri