Jackson eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan yaklaşıklama kuramında Jackson eşitsizliği ya da Jackson teoremi bir fonksiyonun cebirsel ya da trigonometrik polinomlarla yapılan en iyi yaklaşıklama hatasına bir kestirim veren eşitsizliktir. Eşitsizliğin değişik sürümlerinde bu hatanın kestirimi bir sabit ya da sözkonusu fonksiyonun süreklilik modülü ya da pürüzsüzlük modülü aracılığıyla ifade edilir. Bu eşitsizlik aracılığıyla bir fonksiyonun pürüzsüzlüğü arttıkça polinomlar tarafından yaklaşıklamasının daha iyi olduğu anlaşılır.

Eşitsizlik, sonucu 1911'de tezinde kanıtlayan Dunham Jackson'ın adını taşımaktadır.D. Jackson, "Über die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung" , Göttingen (1911) (Tez) Teoremin ya da eşitsizliğin genellemeleri ve uzantıları Jackson tipi teoremler olarak adlandırılır. Jackson eşitsizliğinin tersi Bernşteyn teoremi aracılığıyla verilmektedir.

 Eşitsizliğin ifadesi 
Eşitsizliğin Jackson tarafından kanıtlanmış hâli şunu ifade eder: Bir  fonksiyonu  kere türevlenebilen ve 

özelliğini sağlayan bir periyodik fonksiyon ise, o zaman, 
her  pozitif tam sayısı için derecesi en fazla  olan bir  trigonometrik polinomu vardır ve

eşitsizliği  sadece ye bağlı olan bir  sayısı tarafından sağlanır.

 Jackson'ın genelleştirmesi 
Jackson, tezinde bu eşitsizliği şöyle genelleştirmiştir:
Bir  fonksiyonu  kere türevlenebilen ve 

özelliğini sağlayan bir periyodik fonksiyon ise, o zaman, 
 bir  fonksiyonunun  adımlı süreklilik modülü olmak üzere, her  pozitif tam sayısı için derecesi en fazla  olan bir  trigonometrik polinomu aracılığıyla

eşitsizliği  sadece ye bağlı olan bir  sayısı tarafından sağlanır.


 Jackson'ın sonuçlarının daha genel hali 
Daha önce ifade edilen sonuçların şöyle bir genelleştirmesi vardır:  fonksiyonu -periyotlu sürekli bir fonksiyonsa,   mertebeli pürüzsüzlük modülü olmak üzere, her  doğal sayısı için 
, 
eşitsizliği sağlayan derecesi en fazla  olan bir  trigonometrik polinomu ve sadece 'ye bağlı  sabiti tarafından sağlanır.

 durumu, Dunham Jackson tarafından ispatlanmıştır. Antoni Zygmund 1945te  iken bir ispat vermiştir. Naum Akhiezer  durumun 1956'da ispatlamıştır.  durumu  Sergey Steçkin tarafından 1967'de ispatlanmıştır.

 Ahiezer-Krein-Favard sabiti 
Jackson eşitsizliğindeki  sayısının en iyi ne olabileceği Akhiezer–Krein–Favard teoremi aracılığıyla verilir:

Buradaki,  sayısına  ya da Akhiezer–Krein–Favard sabiti de denilir. Bu sabit adını  Jean Favard, Naum Ahiezer ve Mark Krein'dan almaktadır. Favard sabiti  olarak da gösterilir.

Landau-Kolmogorov eşitsizliğindeki en iyi kestirim sabitleri Favard sabitleri ile ifade edilir. Yine, periyodik mükemmel eklemli polinomların normlarını da ifade eder. Sabitin başlangıç değerleri , , , ,  ve  olarak verilir.

 Kaynakça 

Kategori:Eşitsizlikler
Kategori:Yaklaşıklama kuramı
Kategori:Yaklaşıklama kuramı teoremleri