Sınırlı fonksiyon

Matematikte, görüntü kümesi sınırlı olan bir fonksiyonlara sınırlı fonksiyon denir.<ref>TÜBA Akademik Bilim Terimleri Sözlüğünde  sınırlı fonksiyon sayfası</ref> Sınırlılık özelliği, analiz başta olmak üzere matematiğin analizle irtibatı olan hemen hemen her alanında kullanılan temel bir özelliktir.

 Tanım 
Bir  fonksiyonu bir  kümesi üzerinde tanımlıysa ve  kümesi üzerinde gerçel ya da karmaşık değer alıp da pozitif bir  değeri için 

bütün  için sağlanıyorsa, o zaman  fonksiyonu sınırlı bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun verilen bir küme üzerindeki değerleri sıırlı bir kümede yer almıyorsa, fonksiyona sınırsız fonksiyon ya da sınırlı olmayan fonksiyon denilir.

 Alttan ve üstten sınırlılık 
Eğer fonksiyon gerçel değerliyse ve  her  için sağlanıyorsa, o zaman fonksiyona üstten sınırlı fonksiyon denir ve , bu fonksiyonun üst sınırı olur. Benzer bir şekilde, eğer fonksiyon gerçel değerliyse ve  her  için sağlanıyorsa, o zaman fonksiyona alttan sınırlı fonksiyon denir ve , bu fonksiyonun alt  sınırı olur.

 Sınırlı diziler 
 kümesi doğal sayılar kümesi  olduğunda, fonksiyon özel bir hâl alır ve  gerçel ya da karmaşık değerli bir dizi olur. Bu durumda, bu fonksiyonun görüntü kümesi ile gösterimi olur ve genelde  ya da  gibi gösterimler mevcuttur. Sonuç olarak,  kümesi doğal sayılar kümesi  olduğunda, sınırlı fonksiyona, sınırlı dizi''' denir ve her  için

eşitsizliğini sağlayan bir  sayısı vardır.

 Sınırlılığın genelleştirilmesi 
Sınırlılık görüntü kümesinin gerçel ya da karmaşık sayılar olmadığı durumlara da genelleştirilebilir. Bu tür genelleştirmelerede, bir değer kümesi 'nin daha genel olduğu durumlarda,  fonksiyonu için,  görüntü kümesinin  içinde sınırlı olması istenir. Örneğin, 
  kümesi  normuna sahip bir normlu uzay ise, 

 özelliği istenir.
  metrik uzaysa; yani, üzerinde  metriği tanımlıysa, o zaman,

 özelliği istenir.
Her ne kadar, bu genellemeler   tannım kümesinden bağımsız verilmiş olsa da,  'nin yukarıdaki gibi olduğu durumlarda,  de daha özel bir durumda olur ve  fonksiyonu genelde özel adlar alır. Örneğin, bir Banach uzayından karmaşık sayılara alınan doğrusal fonksiyonlara doğrusal fonksiyonel ya da kısaca fonksiyonel denir.

Bir  kümesinden bir  kümesine tanımlı bütün sınırlı fonksiyonların kümesi 
genelde sınrlı kelimesinin İngilizce bounded kelimesine karşılık gelmesine binâen   ile gösterilir. Eğer   ya da  ise ya da  kümesinin ne olduğu içerikten açık bir şekilde anlaşılıyorsa, sadece  de yazılır.

 Örnekler 
 Sinüs fonksiyonu  sınırlı bir fonksiyondur; çünkü, her  için  sağlanır.
  fonksiyonu −1 ve 1 haricindeki tüm  değerleri için tanımlıdır;  ancak, fonksiyon sınırlı bir fonksiyon değildir.  −1 ya da 1 değerine yaklaştığında, fonksiyonun değerleri kontrolsüzce büyür ve herhangi sabit bir sayıdan küçük olamaz. Yine de, bu tip fonksiyonları problemli uzak tutup daha dar tanım kümelerinde sınırlı yapmak mümkündür. Örneğin, fonksiyonu sadece  kümesi üzerinde kısıtlarsak, o zaman, fonksiyonun değerleri  ve  değerleri arasında olacaktır ve sonuç olarak fonksiyon sınırlı olacaktır.
  fonksiyonu tüm  değerleri için tanımlıdır ve her '' için  olduğundan fonksiyon sınırlıdır. Fonksiyonun her zaman 1'den küçük olduğu paydanın nerede en küçük değeri aldığı düşünülerek elde edilebilir.
  veya  olarak tanımlı ters tanjant fonksiyonu bütün gerçel  değerleri için tanımlıdır. Bu fonksiyon, geçel sayılar üzerinde kesin artan bir fonksiyondur ve  özelliği sağlanır. Bu yüzden, ters tanjant fonksiyonu sınırlı bir fonksiyondur.
 Uç değer teoremi sayesinde, iki tarafından kapalı bir aralık üzerinde tanımlı her sürekli fonksiyon sınırlıdır. Bu özelliğin tıkız uzaylara da genelleştirmesi vardır. Yâni, tıkız bir metrik uzaydan bir metrik uzaya tanımlı sürekli fonksiyonlar da yine sınırlıdır.
 Sabit olmayan tam fonksiyonlar Liouville teoremi sayesinde sınırlı olamazlar.

 Ayrıca bakınız 
 Sınırlı küme
 Tıkız destek
 Yerel sınırlılık
 Düzgün sınırlılık

 Kaynakça 

Kategori:Gerçel analiz
Kategori:Karmaşık analiz
Kategori:Fonksiyon türleri