Bernoulli eşitsizliği

Matematikte Bernoulli eşitsizliği  biçimindeki ifadelerin üslü hallerine yaklaşıklık sağlayan eşitsizliklerdir. Analizin birçok alanında ve özellikle gerçel analizde, sıkça kullanılan bir eşitsizliktir. Birçok değişik halini görmek mümkündür.

 Tarihçe 
Eşitsizlik, bu eşitsizliği 1689 yılında yayınlayan Jakob bernoulli'nin adını taşımaktadır."Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis" (Basel, 1689) Bernoulli, eserinde  bu eşitsizliği sıklıkla kullanmıştır.mathematics – First use of Bernoulli's inequality and its name – History of Science and Mathematics Stack Exchange Joseph Ehrenfried Hofmann'a göre eşitsizlik ilk defa René-François de Sluse tarafından 1668 yılında Mesolabum  adlı eserde yayınlanmıştır.

 Eşitsizliğin ifadesi 
Üssün tamsayı olduğu Bernoulli eşitsizlikleri 
  tamsayı,  gerçel sayı olmak üzere,  ve  için  eşitsizliği vardır.  ve  iken eşitsizlik kesindir.
  tamsayı,  gerçel sayı olmak üzere,  ve  için   eşitsizliği vardır. Burada, ya  ve  durumu hariç tutulmalıdır ya da  tanımı alınmalıdır.
  çift tamsayı,  gerçel sayı olmak üzere, her  ve  için   eşitsizliği vardır.

Üssün gerçel sayı olduğu Bernoulli eşitsizlikleri 
   gerçel sayılar olmak üzere,  ve  için  eşitsizliği vardır.  ve  iken eşitsizlik kesindir.
   gerçel sayılar olmak üzere,  ve  için  eşitsizliği vardır.

 İspat 
 Üssün tamsayı olduğu hâl için ispatlar 
Eşitsizliğin tamsayılı üslü için verilen ilk hali  üzerine kurulan tümevarımla ispatlanabilir. 
  durumu barizdir:  doğrudur. 
 Tümevarım varsayımı gereği, diyelim ki, bir  değeri için eşitsizlik doğru olsun. O zaman,

Böylece, tümevarım gereği, eşitsizlik bütün  doğal sayıları için geçerlidir. istenilen gösterilmiş olur.

Eşitsizliğin tamsayılı üslü için verilen ikinci hali için de tümevarım kullanılabilir. Bunun için ilk önce  ve daha sonra genel bir  k sayısı için eşitsizliğin doğruluğu kabul edilip, daha sonra buradan k+2 halinin doğruluğunun gösterilmesi lazımdır. Gerçekten, 
  iken, eşitsizlik  doğrudur.
  iken, eşitsizlik  doğrudur.

Diyelim ki bir  sayısı için eşitsizlik doğrudur. O zaman,

olur ve buradan

elde edilir. Sondan ikinci adımda  ve  olduğu kullanılmıştır. Böylelikle, eşitsizliğin ikinci hali kanıtlanmış olur.

Diğer taraftan,  ise o zaman  ifadesinin negatif olduğu gözlemlenip eşitsizliğin tamsayılı üslü için verilen üçüncü hali de ispatlanmış olur.

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 

 Bernoulli Inequality Chris Boucher tarafından Wolfram Demonstrations Project.


Kategori:Eşitsizlikler