Lipschitz bölgesi

Matematikte bir Lipschitz bölgesi ya da Lipschitz sınırlı bir bölge, Öklid uzayında yer alan ve sınırının yeteri kadar düzgünlüğe sahip olduğu bir bölgedir. Burada ifâde edilen yeteri kadar düzgünlükten, bu bölgenin sınırının, yerel olarak, Lipschitz sürekli bir fonksiyonun grafiği olarak temsil edilebildiği anlaşılır. Bu özel bölgeler, Alman matematikçi Rudolf Lipschitz'in adını taşımaktadır.

Sobolev gömme teoremlerinin birçoğunun varsayımı üzerinde çalışılan bölgenin bir Lipschitz bölgesi olmasını gerektirir. Sonuç olarak, birçok kısmi diferansiyel denklem ve varyasyon problemi Lipschitz bölgelerinde çalışılıp tanımlanır.

 Tanım 
 olmak üzere, , de bir bölge ve  ise bu bölgenin sınırı olsun. Her  için aşağıdaki koşullar sağlanırsa, ya Lipschitz bölgesi adı verilir.
 noktasından geçen  boyutlu bir  hiperdüzlemi ve Lipschitz sürekli bir  fonksiyonu vardır öyle ki en az bir  ve  gerçel sayısı için
, ye dik olan birim vektör (normal vektör),
 yarıçapı  olan açık yuvar

olmak üzere


yazılabilir.

Başka bir deyişle, sınırının her noktasında, , yerel olarak, bir Lipschitz sürekli fonksiyonun grafiğinin üstünde yer alan noktaların kümesidir.

 Genelleştirmeler 
Lipschitz bölgelerinin bir genelleştirmesi, zayıf Lipschitz bölgeleridir. Bu bağlamda, şu açık ve yarı yuvarlar tanımlansın:
, diğer deyişle, deki başnoktadaki birim açık yuvar

Daha önce verildiği gibi,  olmak üzere, , de bir bölge ve  ise bu bölgenin sınırı olsun. Her  için aşağıdaki koşulların sağlandığı bir  sayısı ve  gönderimi varsa ya zayıf Lipschitz bölgesi adı verilir:
  bire bir eşlemedir; yani, birebir ve örtendir.
  ve  gönderimlerinin her ikisi de Lipschitz süreklidir.



Daha önce tanımı verilen Lipschitz bölgelerine, yukarıdaki tanıma bağlı olarak, bazen güçlü Lipschitz bölgesi denilir. Güçlü Lipschitz bölgeleri her zaman zayıf Lipschitz bölgesidir ama bunun tersi doğru değildir. Örneğin, 

olarak verilsin. Bu bölge çapraz tuğla bölgesi olarak bilinen özel bir bölgedir ve Lipschitz bölgesi değildir. Ancak, bu bölge zayıf Lipschitz bölgesidir.Werner Licht, M. "Smoothed Projections over Weakly Lipschitz Domains" , arXiv, 2016.

 Kaynakça 

Kategori:Geometri
Kategori:Lipschitz gönderimleri
Kategori:Sobolev uzayları