Aradeğerleme eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde, aradeğerleme eşitsizliği ya da içkestirim eşitsizliği (ya da enterpolasyon eşitsizliği), bir vektör uzayının elemanlarının normunun, verilmiş iki ya da daha fazla vektör uzayı ve bu uzayda yer alan elemanların normları üzerinden kestirildiği eşitsizliklere denilir.

Daha matematiksel bir ifadeyle,  için,
  bir vektör uzayı
 ,  uzayı üzerinde tanımlanmış bir norm
 , 'nin bir elemanı
  gerçel sayı
  sabiti  sayılarından bağımsız olmak üzere
bu tür eşitsizlikler şu biçimde ortaya çıkar:

Bu tür eşitsizliklerin konusu olan vektör uzayları genelde fonksiyon uzaylarıdır ve çoğu aradeğerleme eşitsizliği  varsaymaktadır. Böylelikle, bir fonksiyonun bir uzaydaki normunun diğer iki ya da daha fazla uzaydaki normların bileşimiyle kestirimi elde edilir. Bu tür aradeğerleme eşitsizliklerine örnek olarak Ladıjenskaya eşitsizliği ve Gagliardo-Nirenberg aradeğerleme eşitsizliği verilebilir. Yine de, birbirinden farklı olan  elemanları aracılığıyla ifade edilen aradeğerleme eşitsizlikleri de yaygındır. Bunlara örnek olarak, Hölder eşitsizliği ve Young evrişim eşitsizliği verilebilir.

 Uygulamaları 
Aradeğerleme eşitsizliğinin başlıca uygulamaları fonksiyon uzaylarının çeşitli örneklerinin kullanıldığı kısmi diferansiyel denklemler gibi çalışma alanlarında yer alır. Önemli bir örnek, bir  sayısı için, bazı tam sayı ya da kesirli mertebeden zayıf türevlerinin Lp uyzaylarında yer aldığı fonksiyonlardan oluşan Sobolev uzaylarıdır. Bu aradeğerleme eşitsizlikleri, kabaca söylemek gerekirse, bazı mertebeden türevleri diğer mertebeden türevlerin bir bileşimiyle sınırlamak için kullanılır. Ayrıca, genellikle fonksiyon uzayı seçiminde bir miktar esneklikle, çarpımları, evrişimleri ve diğer fonksiyon kombinasyonlarını sınırlamak için de kullanılabilirler. Aradeğerleme eşitsizlikleri, aradeğerleme uzayı kavramının da temelini oluşturur. Bu tür uzaylara örnek olarak  ve daha düşük mertebeden zayıf türevlerin  uzayında yer aldığı  Sobolev uzaylarıdır. kesirliş bir sayı durumunda,  mertebeden türevin ne olduğu açık olmadığı için, bu tür aradeğerleme eşitsizlikleri aracılığyla arada kalan uzaylara bir anlam kazandırılmış olur. Sobolev uzaylarının bir genellemesi olan 
Besov uzayları  ile çalışılırken de aradeğerleme eşitsizlikleri uygulanır. Aradeğerleme eşitsizliklerine izin veren bir diğer uzay sınıfı da Hölder uzaylarıdır.

 Örnekler 
 fonksiyonlarının birbirine eşit olduğu ama normların birbirinden farklı olduğu aradeğerleme eşitsizliklerinin basit bir örneği   fonksiyonları için verilen Ladıjenskaya eşitsizliğidir. Bu eşitsizlikte, eğer  fonksiyonları tıkız destekli ise ve hem  hem de  'nun gradyanı  kare integrallenebilir ise, o zaman 'nun dördüncü kuvvetinin integrallenebilir olduğu ifade edilir ve eşitsizlik ise şöyle verilir:

Denk bir ifadeyle, bu eşitsizlik şöyle yazılabilir:

Ladıjenskaya eşitsizliğinin biraz daha zayıf hali 3 boyutta da geçerlidir. Ladyzhenskaya eşitsizliği aslında Sobolev uzaylarını içeren birçok aradeğerleme eşitsizliğini kapsayan ve Gagliardo-Nirenberg aradeğerleme eşitsizliği olarak anılan genel bir sonucun özel bir durumudur.

Tam sayısız Sobolev uzaylarının aradeğerlemesine yol açan aşağıdaki örnek, aynı zamanda Gagliardo-Nirenberg aradeğerleme eşitsizliğinin özel bir durumudur.  Sobolev uzaylarını  ile gösterirsek, verilmiş    gerçel sayıları ve  fonksiyonu için 

eşitsizliği vardır.

Lebesgue uzayları için temel aradeğerleme eşitsizliği Hölder eşitsizliğinin doğrudan bir sonucudur ve şu şekilde ifade edilir: 
 üsleri için her  ayrıca math>L^r(X,\mu),</math> uzayına da aittir. Ayrıca, 

eşitsizliği vardır. 
    durumunda   dışbükey bileşim olarak  biçiminde ya da başka bir ifadeyle  ve  olarak yazılır.
  durumunda ise, ,   olarak ya da başka bir ifadeyle  ve  olarak yazılır.

 elemanlarının birbirinden farklı olduğu aradeğerleme eşitsizliklerinin basit bir örneği  ise Young evrişim eşitsizliğidir.
 özelliğine sahip  üsleri ve  fonksiyonları aracılığıyla elde edilen evrişim  uzayına aittir ve

eşitsizliği vardır.

 Aradeğerleme eşitsizliği örnekleri 
 Agmon eşitsizliği 
 Gagliardo-Nirenberg aradeğerleme eşitsizliği
 Ladıjenskaya eşitsizliği
 Landau-Kolmogorov eşitsizliği
 Marcinkiewicz aradeğerleme teoremi
 Nash eşitsizliği
 Riesz-Thorin teoremi
 Young evrişim eşitsizliği

 Kaynakça 

Kategori:Eşitsizlikler
Kategori:Sobolev uzayları