Harnack eşitsizliği

Matematikte Harnack eşitsizliği pozitif harmonik fonksiyonların iki ayrı noktada aldığı değerle ilgili bir eşitsizliktir. Bu eşitsizlik, Harnack teoremi olarak bilinen ve harmonik fonksiyonların yakınsaklığıyla ilgili bir sonucu  ifade eden teoremin ispatında kullanılmaktadır. Eşitsizlik Carl Gustav Axel Harnack'ın adını taşımaktadır.

James Serrin ve Jürgen Moser, Harnack eşitsizliğini eliptik veya parabolik kısmi diferansiyel denklemlerin çözümleri için genelleştirdiler.* Bu tür denklemlerin zayıf çözümlerinin iç düzenliliğini göstermede bu genelleştirilmiş eşitsizlikler kullanılmaktadır.

Poincare sanıtının Perelman tarafından verilen çözümünde Richard Hamilton tarafından Ricci akışı için ispatlanmış olan Harnack eşitsizliği kullanılmıştır.

 Eşitsizliğin ifadesi 
Öklid uzayı 'deki  yarıçaplı ve  merkezli kapalı bir yuvarın üzerinde negatif olmayan ve sürekli olan f fonksiyonu bu yuvarın içinde harmonik ise  koşulunu sağlayan her  noktası için 

eşitsizliği sağlanır.Kassmann, Moritz (2007), "Harnack Inequalities: An Introduction" Boundary Value Problems 2007:081415, doi: 10.1155/2007/81415, MR 2291922   alındığında, yani R2 düzlemindeki açık diskler üzerinde eşitsizlik

hâlini alır.

'deki genel  bölgeleri için eşitsizlik şöyle ifade edilebilir:
 sınırlı bir bölge ve  olsun. İki kere türevlenebilir ve harmonik olan bir  fonksiyonu negatif değerler almıyorsa, o zaman 

eşitsizliğini sağlayan, 'dan bağımsız ve sadece  ve  bölgelerine bağımlı olan bir  sabiti vardır.L. C. Evans (1998), Partial differential equations. American Mathematical Society, USA. S.32deki Theorem 11e bakınız. Ayrıca, eliptik kısmi diferansiyel denklemler için s. 334teki Theorem 5'e bakınız. Parabolik kısmi diferansiyel denklemler için s. 370teki Theorem 10a bakınız.

 Yuvar üzerinde Harnack eşitsizliği 
Rn'deki birim kürenin alanı ωn − 1 ve r = |x − x0| olmak üzere, Poisson formülü kullanılarak

yazılabilir.

 olduğundan, tümlevlenen çekirdek fonksiyon şu eşitsizliği sağlar:

O zaman bu eşitsizlik ve harmonik fonksiyonlar için

olduğunu ifade eden  ortalama değer teoremi kullanılarak Harnack eşitsizliği elde edilir.

 Eliptik kısmi diferansiyel denklemler 
Eliptik kısmi diferansiyel denklemler için Harnack eşitsizliği, bağlantılı ve bir açık bölgedeki pozitif bir çözümün en küçük üst sınırının (supremum), en büyük alt sınır (infimum) ve muhtemelen denklemdeki verilerin fonksiyonel normunu içeren ek bir terimin toplamının bir sabit ile çarpımıyla sınırlandırıldığını belirtir:

Buradaki sabit, denklemin eliptikliğine ve bağlantılı açık bölgeye bağlıdır.

 Parabolik kısmi diferansiyel denklemler 
Harnack eşitsizliğinin doğrusal parabolik kısmi diferansiyel denklemler için  bir hâli de vardır. , 'de pürüzsüz ve sınırlı bir bölge olsun.
Pürüzsüz ve sınırlı katsayılara ve kesin pozitif  matrisine sahip

doğrusal eliptik operatörü ele alınsın. Diyelim ki  fonksiyonu 

olmak üzere
  içinde 
denkleminin çözümü olsun.

 ise tıkız olarak nin içinde yer alsın ve  olsun. O zaman, her  için

eşitsizliğini sağlayan ve sadece K, ,  ve 'nin katsayılarına bağımlı bir  C > 0  sabiti vardır.

 Ayrıca bakınız 
 Harnack teoremi

 Kaynakça

 Ek kaynaklar 

Kategori:Eşitsizlikler
Kategori:Harmonik fonksiyonlar