Gauss-Lucas teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Gauss-Lucas teoremi, bir polinomun kökleri ile yine aynı polinomun türevinin kökleri arasında geometrik bir ilişki ortaya koyar. 
Gerçel veya karmaşık katsayılı polinomların kökleri karmaşık düzlemde sonlu bir küme oluşturur. Teorem, polinomun türevinin köklerinin, polinomun köklerinden oluşan kümenin dışbükey kaplamında yer aldığını ifade eder. Diğer deyişle, polinomun köklerinin hepsini birden içeren en küçük dışbukey çokgen, polinomun türevinin köklerini de içerir. 
Teorem, Carl Friedrich Gauss ve Félix Lucas'ın adlarını taşımaktadır.

 Teoremin ifadesi 
Karmaşık katsayılı ve sabit olmayan bir polinomun türevinin kökleri, polinomun köklerinin dışbükey kaplamının içindedir.

 Özel hâller 
  ikinci dereceden bir polinomsa,  o zaman  polinomunun kökleri 'in köklerinin aritmetik ortalamasıdır.
 Üç ayrı sıfırı olan üçüncü dereceden karmaşık bir polinom P(kübik fonksiyon) için Marden teoremi, P'nin türevinin sıfırlarının, P'nin sıfırlarının oluşturduğu üçgenin orta noktalarına teğet olan tek elips olan Steiner elipsinin odakları olduğunu belirtir.
 Dört ayrı sıfırı içbükey bir dörtgen oluşturan dördüncü dereceden karmaşık bir polinom  (kuartik fonksiyon) için, 'nin sıfırlarından biri diğer üçünün dışbükey kaplamının içinde yer alır. Bu sebeple, geriye kalan diğer üç noktanın oluşturduğu üçgen şeklindeki dışbükey kaplam, içeride kalan kökten diğer köklere çizilen doğru parçalarıyla üç ayrı üçgene bölünür. O zaman, bu üçgenlerden biri 'nin türevinin sıfırlarından hiçbirini içermez.
 Ayrıca, gerçel katsayılı  dereceli bir polinomun  farklı gerçek sıfırı varsa (), Rolle teoremini kullanılarak polinomun türevinin sıfırlarının  aralığında olduğunu görürüz ki bu aralık  kümesinin dışbükey kaplamıdır.
  biçimindeki bir polinomun köklerinin dışbükey kaplamı, özellikle,  noktasını da içerir.

 İspat 
Karmaşık katsayılı, derecesi  olan ve sabit olmayan bir polinomu  ile gösterelim. 
Cebirin temel teoremi gereği  çarpanlarına ayrılır. 

Burada,  sayıları karmaşık sayıdır ve polinomun köklerini temsil etmektedir. Bu sayılar, birbirinden farklı olmak zorunda değillerdir.  karmaşık sayısı da sıfıra eşit değildir ve polinomun en başta gelen katsayısıdır:   .

 sayısı,  fonksiyonun kökü olsun.  sayısı aynı zamanda  nin de köküyse, o zaman teorem zaten doğrudur. Ama   sayısı nin kökü değilse, logaritmik türev aracılığıyla

yazılır. Bu yüzden,

yazılabilir. Her iki tarafın eşleniği alınıp   ifâdesine bölünürse 

elde edilir. Yâni,  sayısı  köklerinin ağırlıklı ortalaması olarak yazıldı.

 Kaynakça 

 Ayrıca bakınız 

 Marden teoremi
 Bôcher teoremi
 Sendov hipotezi
 Routh-Hurwitz teoremi
 Hurwitz teoremi (karmaşık analiz)
 Descartes'ın İşaret Kuralı
 Rouché teoremi
 Polinom köklerinin geometrik özellikleri
 Cauchy iç içe geçme teoremi

 Dış bağlantılar 


 Wolfram Demonstrations Project'de Lucas–Gauss Teoremi (Bruce Torrence tarafından),
 Gauss-Lucas teoremi - interaktif illüstrasyon

Kategori:Karmaşık analiz teoremleri
Kategori:Dışbükey analiz
Kategori:Polinomlar hakkındaki teoremler