Jensen eşitsizliği

Matematikte Jensen eşitsizliği dışbükey ve içbükey fonksiyonlar için temel bir eşitsizliktir. Eşitsizliğin birkaç değişik biçimi vardır; özellikle, analizde ve bilgi teorisinde başka birçok eşitsizliğin de temelini oluşturmaktadır.

Eşitsizlik, adını 17 Ocak 1905'te Danimarka Matematik Derneği'nin bir konferansında sunan Danimarkalı matematikçi ve mühendis Johan Ludwig Jensen'den almıştır. Biraz farklı koşullar altında sunulmuş ve Otto Hölder tarafından 1889 yılında kanıtlanmış bir hâli de bulunabilir.

Jensen eşitsizliği, bir dışbükey fonksiyonun sonlu sayıdaki noktalardan oluşan bir dışbükey bileşim noktasında aldığı değerin, fonksiyonun bu sonlu noktadaki aldığı değerlerinin sonlu dışbükey bileşiminden küçük veya eşit olduğunu belirtir. Eşitlik her zaman doğrusal fonksiyonlar için geçerlidir. Özellikle, Jensen eşitsizliği, bir dışbükey fonksiyonun kesen doğrusunun fonksiyonun grafiğinin üstünde yer aldığı ifadesini genelleştirir. Başka bir deyişle, Jensen iki nokta için kullanıldığında, fonksiyonun grafiğinin iki noktasını kesen doğru (t ∈ [0,1] için),

olurken, fonksiyonun grafiğinin bu noktalar arasındaki kısmı ise

tarafından verilir. Sonuç olarak, Jensen eşitsizliği 

halini alır.

 Eşitsizliğin değişik biçimdeki ifadeleri 
 Sonlu biçimi 
Gerçel değerli bir  fonksiyonu ve bu fonksiyonun tanım kümesinde  noktaları olsun. Toplamları 1 olan pozitif  sayıları için 

olur. Eğer fonksiyon içbükeyse, eşitsizlik yönü değişir ve 

olur.
Eşitlik, ancak ve ancak  olursa ya da   doğrusal bir fonksiyonsa gerçekleşir.

 Aritmetik ortalama-geometrik ortalama eşitsizliği 
Eğer  alınırsa, o zaman, yukarıdaki eşitsizlikler

ve

olurlar. Dahası, fonksiyonu  alırsak, o zaman, bu fonksiyon içbükey olduğu için 

elde edilir. Her iki tarafın ilk önce üstelini alıp, daha sonra üstel fonksiyon ile logaritmanın birbirlerinin tersi olduğunu ve bu fonksiyonların özelliklerini kullanarak

aritmetik ortalama-geometrik ortalama eşitsizliğini elde ederiz.

 Ölçü kuramındaki biçimi 
  bir olasılık uzayı olsun.  fonksiyonu -ölçülebilir olsun ve  dıişbükey bir fonksiyon olsun. O zaman,p. 25 of 

olur. Gerçel analizde, bazen, negatif olmayab ve Lebesgue integrali var olan bir  fonksiyonu ve belli bir  sayıları için

ifadesinin kestirimi lazım olur. Elbette, bu durumda,  aralığının uzunluğu 1 olmayabilir. Bu durumda, integralde yerine koyma yöntemiyle bu aralığı ölçeklendirip eşitsizliğin kullanımına uygun hâle getirebiliriz.Niculescu, Constantin P. "Integral inequalities" , S. 12.

 Olasılıktaki biçimi 
 olasılık uzayı, X gerçel değerli ve integrallenebilir bir rasgele değişken ve  dışbükey bir fonksiyon olsun. O zaman,

p. 29 of 

Olasılık durumunda,  ölçüsünün yerine  olasılığı, 'ye göre olan integralin yerine  , yani, beklenen değer ve son olarak, foknsiyon  yerine de X rasgele değişkeni gelmiştir. 
Son olarak, eşitlik ancak ve ancak ,  özelliğini sağlayan dışbükey bir  kümesi üzerinde doğrusal olursa sağlanır.

 Kanıtlar 
 Sonlu biçim için kanıt 
Sonlu biçimdeki Jensen eşitliğinin kanıtı tümevarımla verilebilir. Fonksiyonun dışbğkeyliğinden başlangıç adımı  için doğrudur. Diyelim ki tümevarımdaki varsayım gereği, bir  sayısı için eşitsilik doğru olsun. Yani, her  için ve  olan her  için

doğru olsun. Eşitsizliği,  için kanıtlamamız gerekecek. 
Bu durumda,  olduğu içn, en azından bir tane  den kesin küçük olacak. Diyelim ki,  olsun. Dışbükey eşitsizliğinden

yazabiliriz.  den kesin küçük olduğu için

yazılabilir. O hâlde, tümevarım varsayım adımını kullanarak, 

elde ederiz. Bu yüzden, 

olur.

 Ölçü kuramsal biçim için kanıt 
  bir olasılık uzayı olsun.  fonksiyonu -ölçülebilir olsun ve  dışbükey bir fonksiyon olsun.

 dışbükey olduğu için, her gerçel  sayısı için, boş olmayan bir alttürev kümesi vardır. Burada, alttürev kümesi nin grafiğine  noktasında dokunan ama nin grafiğinin altında kalan doğrular olarak düşünülebilir. Şimdi, 

tanımlarsak, dışbükey fonksiyonların altürevlerinin varlığı sayesinde, öyle bir  ve  seçebiliriz ki 

eşitliği tüm  değerleri için sağlanır. Sonuç olarak,

olur ve o zaman, hemen hemen tüm  için 

olur. Olasılık ölçüsünde olduğumuz için, integralin de artma özelliği vardır (). Böylece,

elde edilir.

 Kaynakça 

Kategori:Dışbükey analiz
Kategori:Eşitsizlikler
Kategori:Analiz teoremleri
Kategori:Dışbükeylik içeren teoremler
Kategori:Olasılık eşitsizlikleri
Kategori:İstatistiksel eşitsizlikler