Osgood önsavı

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Osgood önsavı çok karmaşık değişkenli ve sürekli bir fonksiyonun her bir değişkenine göre ayrı ayrı holomorfluğunun fonksiyonun holomorfluğunu vereceğini ifâde eden temel bir sonuçtur. Önsav, bu sonucu 1899 yılında kanıtlayan William Fogg Osgood'un adını taşımaktadır.

Teoremdeki süreklilik varsayımı düşürülebilir ve bu hâli Hartogs teoremi olarak bilinir. Ancak, Hartogs teroreminin kanıtı çok daha uzun ve daha zordur.

 Önsavın ifâdesi 
Karmaşık değerli bir  fonksiyonu bir  açık kümesinde sürekliyse ve her koordinat değişkenine göre ayrı ayrı holomorfsa, o zaman  üzerinde holomorftur.

 Kanıt 
Bir  verilsin ve kapanışı  içinde kalacak şekilde bir disk çarpımı alalım ve bu diski  ile gösterelim. Her değişkende ayrı ayrı holomorfluk olduğuna göre, Cauchy integral formülü peşpeşe yazılabilir. Yâni, her 
 için

olarak yazılabilir. Sabit her  noktası için, yukarıda en sağda integrali alınan fonksiyon  tane çember çarpımında süreklidir. Bu yüzden, yinelemeli integrali sadece bir integral altına almak mümkündür. 

Yine, sabit her  noktası için,

serisi yukarıda en son yazılan integralin alındığı küme üzerindeki her  için mutlak ve düzgün yakınsar. Sonuç olarak, bu ifâde integralde yazılıp integralle toplamın sırası değiştirilip, genel bir  teriminin

olarak elde edildiği bir kuvvet serisi elde edilir. Bu yüzden,  analitik yâni holomorf olur.

 Gerçel değişkenli fonksiyonlar için hâli 
Bu sonucun gerçel değişkenli fonksiyonlar için bir benzeri yoktur. Diğer deyişle, bir  fonksiyonunun her gerçel değişkene göre türevlenebilir (ve hatta analitik) olmasının fonksiyonun sürekli olduğunu vermeyeceği bilinmektedir. Örneğin, kartezyen düzlemde sıfır noktası hariç her noktada tanımlı  

fonksiyonu verilsin ve bu fonksiyon için ayrıca  olarak tanımlansın. O zaman, bu fonksiyonun  ve 'ye göre kısmi türevleri 'da iyi tanımlıdır; ancak, fonksiyonun kendisi 'da sürekli değildir. Gerçekten de,  ve  doğruları üzerinden alınan limitler birbirine eşit değildir.

 Kaynakça 

Kategori:Çok değişkenli karmaşık analiz
Kategori:Karmaşık analiz teoremleri