Jensen formülü

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Jensen formülü holomorf bir fonksiyonun bir çember içinde kalan ve sıfır aldığı noktaların sayısıyla bu fonksiyonun aynı çember üzerindeki ortalama büyüklüğünü ilişkilendiren bir sonuçtur.

Teorem, bu formülü kanıtlayan mühendis Johan Jensen'in adını taşımaktadır.

 Teoremin ifâdesi 
 sıfır noktasını da içeren bir bölge olsun ve  yarıçaplı ve orijin merkezli  diskinin kapanışı 'nın içinde kalsın. Holomorf bir  fonksiyonun   diskinin içinde sıfır değeri aldığı noktaları  katlılıklarını da göz önüne alarak  ile gösterelim. Eğer,  ise

Bu formül, fonksiyonun  içinde kalan sıfırlarının mutlak değerleri ile nin çember üzerindeki ortalaması arasında bir bağlantı kurar. Ayrıca, 
harmonik fonksiyonların ortalama değer özelliğinin bir genellemesi olarak görülebilir. Yani, eğer disk içinde fonksiyonun sıfır değeri aldığı hiçbir nokta yoksa, formül 

hâlini alır ki bu da  harmonik fonksiyonunun ortlama değer özelliğidir.

Jensen formülünün eşdeğer başka yazılımı ise aşağıdaki hâlde görülür. ,  fonksiyonunun sıfır merkezli ve  yarıçaplı açık diskte sıfır olduğu noktaların sayısı olmak üzere,

 Kanıt 
Sonucu  iken kanıtlamak yeterli olacaktır. Eğer  fonksiyonunun çember üzerinde sıfır değeri aldığı  noktaları varsa, o zaman  tanımlanıp

gerçeğinden yola çıkarak, kanıt çemberde hiç sıfır değeri almayan  fonksiyonuna indirgenebilir.
Sonra, 

fonksiyonunu ele alalım ve kaldırılabilir tekilliklerin hepsini tanımlayıp,  fonksiyonunu  diskinin içinde holomorf ve birim diskte sıfır değeri almayan bir fonksiyon hâline getirelim.  fonksiyonu harmonik olacağı için, Poisson integral formülünü kullanmak mümkün olacaktır: 

Sağ taraftaki integrale daha yakından bakarsak,

elde ederiz. Diğer taraftan,
 integraline yakından bakarsak, bunun   fonksiyonunun  yarıçaplı çember üzerinde yazılan bir kontür integrali olduğunu gözlemleriz.  içinde  fonksiyonunun kutbu olmadığına göre bu kontür integralinin değeri sıfıra eşittir. Böylece, 

olur.

 Ayrıca bakınız 
 Paley-Wiener teoremi

 Kaynakça 

Kategori:Karmaşık analiz teoremleri