İçbükey fonksiyon

Matematikte, gerçel değerli bir fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki ayrı nokta arasındaki doğru parçası, grafiğin altında veya üzerinde yer alıyorsa, bu fonksiyona içbükey fonksiyon ya da konkav fonksiyon denir. 
Eşdeğer bir ifâdeyle, bir fonksiyonun hipografı (fonksiyonun grafiğinin üzerinde veya altındaki noktaların kümesi) bir dışbükey küme ise fonksiyon içbükeydir. Yine grafik üzerinden basitçe tarif etmek gerekirse, dışbükey bir fonksiyonun grafiği bir fincan 
∪  veya doğrusal bir fonksiyonda olduğu gibi düz bir çizgi şeklindedir. İçbükey bir fonksiyonun grafiği ise bir şapka ∩
gibi şekle sahiptir.

 Tanım 
Bir aralıkta (veya daha genel olarak vektör uzayındaki bir dışbükey kümede) tanımlı ve gerçel değerli bir  fonksiyonu eğer her  için 

eşitsizliğini tanım kümesindeki her  ve  için sağlıyorsa, o zaman fonksiyona içbükey fonksiyon denir.

 Kesin içbükeylik 
Eğer  ve  için kesin eşitsizlik varsa, yani,

ise, fonksiyona kesin içbükey fonksiyon denir.

 İçbükeyimsi fonksiyon 

Bir aralıkta (veya daha genel olarak vektör uzayındaki bir dışbükey kümede) tanımlı ve gerçel değerli bir  fonksiyonu eğer her  için 

eşitsizliğini tanım kümesindeki her  ve  için sağlıyorsa, o zaman fonksiyona içbükeyimsi fonksiyon denir.

 Özellikler 
içbükey fonksiyonların birçok özelliği, tek değişkenli fonksiyonlar için olduğu gibi çok değişkenli fonksiyonlar için de basitlikle ifâde edilebilir ve genelde de aynı formülasyona sahiptir. Bu yüzden, çok değişkenli fonksiyonlar için aşağıda verilen özelliklere de bakınız; bu özelliklerden bir değişkenli fonksiyonlar kısmında ayrıca bahsedilmemiştir.

 Bir değişkenli fonksiyonlar 
 En az bir kere türevlenebilen bir fonksiyonun içbükey (ya da kesin içbükey) olması için gerekli ve yeterli şart fonksiyonun türevinin artmayan (ya da kesin azalan) olması lazımdır. Diğer deyişle, içbükey bir fonksiyonun artmayan (ya da kesin azalan) bir eğimi vardır.
 İçbükeylikten dışbükeyliğe ya da dışbükeylikten içbükeyliğe geçilen noktalar büküm noktalarıdır.
 Bir   fonksiyonu en az iki kere türevlenebilir ise, o zaman 'nin içbükeyliği ancak ve ancak  pozitif değilse mümkündür. Eğer  negatifse, o zaman  kesin içbükeydir. Ancak, bunun tersi  örneğinden anlaşılacağı üzere doğru değildir.
 Bir  fonksiyonu içbükey ve türevlenebilir ise, o zaman, birinci dereceden Taylor yaklaştırımı ile yukarıdan sınırlıdır:

Bir  aralığında tanımlı  fonksiyonu her  için 

özelliğini sağlıyorsa bu fonksiyon orta nokta içbükeyliğini sağlıyordur. Bu özellik, içbükeylikten daha zayıf bir özelliktir ve elbette bütün içbükey fonksiyonlar bu özelliği sağlar. Tersi yönde ise Sierpiński'nin dışbükeylik üzerine olan bir teoremi kullanılarak şu ifade verilebilir: Orta nokta içbükeyliğini sağlayan bütün Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlar aynı zamanda içbükeydir. Daha da özelde, sürekli bir fonksiyon orta nokta içbükeyliğini sağlıyorsa içbükeydir.

 Eğer bir  fonksiyonu içbükeyse ve   ise, o zaman   üzerinde alttoplamsal fonksiyondur. Gerrçekten,  
  içbükey ve   olduğundan,  alırsak, 

elde ederiz.
 için

elde edilir.

 Çok değişkenli fonksiyonlar 
 Bir  fonksiyonun dışbükey bir küme üzerinde dışbükeyliği  fonksiyonunun aynı küme üzerinde içbükeyliğine denktir.
 İki içbükey fonksiyonun toplamı yine içbükeydir ve aynı şekilde iki içbükey fonksiyonun noktasal minimumu da içbükeydir. Yani, belirli bir bölgede tanımlı içbükey fonksiyonların kümesi bir yarıcisim oluşturur.
 Bir fonksiyonun tanım bölgesinin iç kısmındaki kesin yerel maksimum noktasının etrafında fonksiyon içbükey olmalıdır; kısmî tersi olarak, kesin içbükey bir fonksiyonun türevi bir noktada sıfırsa, o nokta yerel bir maksimum noktasıdır.
 İçbükey bir fonksiyonun herhangi bir yerel maksimumu aynı zamanda mutlak bir maksimumdur. Kesin içbükey bir fonksiyonun en fazla bir mutlak maksimumu olacaktır.

 Örnekler 
  ve  fonksiyonları tanım bölgelerinde  ve  olduğu için; daha ayrıntılı bir ifadeyle, her iki türev her zaman negatif olduğu için içbükeydir. 
  fonksiyonu tanım kümesi  üzerinde, türevi  kesin azalan bir fonksiyon olduğu için, içbükeydir.
  afin fonksiyonu hem içbükey hem de dışbükeydir; ancak, kesin içbükey ya da kesin dışbükey değildir.
 Sinüs fonksiyonu  aralığında içbükeydir.
 Kesin negatif olmayan bir  B matrisinin determinantı  olmak üzere,  fonksiyonu içbükeydir.

 Kaynakça 

Kategori:Dışbükey analiz
Kategori:Genelleştirilmiş dışbükeylik
Kategori:Fonksiyon türleri