Milşteyn yöntemi

Matematiğin bir alt dalı olan stokastik analizde Milşteyn yöntemi (ya da Milstein yöntemi) stokastik diferansiyel denklemlere yaklaşık sayısal çözümler üretmek için geliştirilmiş yöntemlerden biridir. Yöntem adını, bu yaklaşıklığı 1974'te yayınlayan Grigori Milşteyn'den (Мильштейн, Г. Н.) almaktadır.

 Yöntemin açıklaması
Wt, Wiener süreci olsun. Başlangıç koşulu X0 = x0 olan ve 

hâlindeki stokastik bir diferansiyel denklemi [0, T] aralığında sayısal olarak çözmek istediğimizi varsayalım. Stokastik diferansiyel denklemin teorik çözümü  ile gösterilsin. 'in Milstein yaklaşıklığı aşağıdaki gibi kurulup tanımlanan ve bir Markov zinciri olan dir.

 [0, T] aralığını N tane eşit altaralığa bölelim. Her altaralığın uzunluğu  ile gösterilsin. O zaman,

olacaktır.
 Y0 = x0 tanımlansın.
  0 ≤ n ≤ N-1 için  olmak üzere, Yn terimleri yinelemeli olarak

olarak tanımlansın. Burada,  ile türev, yani,  fonksiyonunun   'e göre türevi, kastedilmiştir. Bahsi geçen ΔWn rasgele değişkenleri bağımsız ve özdeş dağılmış normal rastgele değişkenlerdir. Her birinin beklenen değeri sıfırdır ve her biri Δt varyansına sahiptir.

 Yöntemin arkasındaki fikir 
Yöntemin arkasındaki esas fikir  terimine Ito formülünü uygulayıp daha Euler yaklaşımlığını iyileştirmektir. Elbette, burada, bu terimdeki  fonksiyonun Ito formülünün koşullarına uyması beklenmektedir. 
Ito formülü ile 

elde edilir.
 şartını sağlayan bir  sayısı için, Euler-Maruyama yöntemi kullanılarak, yukarıda elde edilen  ifadesine yaklaşım sağlanır. Diğer deyişle,

yazılabilir.  terimi olasılıkta  olduğundan ve bu yaklaşıklıktaki sürüklenme  olduğundan,  büyümesine sahip terimler düşürülüp

yazılır. Bu yüzden, 

elde edilir. O zaman, Euler yaklaşımlığını biraz daha düzelterek

yazılır.

 Programlama uygulaması 

biçiminde verilmiş olan bir geometrik Brown hareketini sayısal olarak çözmek için Milşteyn yöntemi kullanılabilir.

Rastgele sayıların NumPy tarafından verildiği bir Python programlama kodu aşağıdaki gibi verilebilir:

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from textwrap import wrap

class Model:
    """Stokastik modelin  sabitleri."""
    MU = 0.05
    SIGMA = 0.2

def dW(dt):
    """Normal rastgele değişken çekilişi"""
    return np.random.normal(loc=0.0, scale=np.sqrt(dt))

def simulasyon(t_i:int, t_s:int, adim_sayisi:int):
    """bir simülasyon yolağı"""
    T_ILK = t_i
    T_SON = t_s
    N = adim_sayisi 
    DT = float(T_SON - T_ILK) / N
    Tler = np.arange(T_ILK, T_SON + DT, DT)
    assert Tler.size == N + 1

    Y_ILK = 1

    yler = np.zeros(Tler.size)
    yler[0] = Y_ILK
    for i in range(1, Tler.size):
        t = (i - 1) * DT
        y = yler[i - 1]
        dw = dW(DT)

        #Milstein yontemindeki gibi terimleri topla
        yler[i] = y + \
            Model.MU * y * DT + \
            Model.SIGMA * y * dw + \
            (Model.SIGMA**2 / 2) * y * (dw**2 - DT)

    return Tler, yler

#Birkaç simülasyonun aynı grafikte çizimi
sim_sayisi=100
# [0, 1] aralığında 5000 zaman adımında hesaplıyoruz
t_i=0#
t_s=1
adim_sayisi=5000
for _ in range(sim_sayisi):
    plt.plot(*simulasyon(t_i, t_s, adim_sayisi))

plt.xlabel("zaman (s)")
plt.ylabel("y")
plt.title("\n".join(wrap(
r"$\mu=$ {} ve $\sigma=$ {} parametreleri verilen bir geometrik Brown hareketinin [{},{}] aralığında {} zaman adımlı Milşteyn yöntemiyle yapılan yaklaşıklamalarının {} yolaklı simülasyonu".format(Model.MU, Model.SIGMA, t_i, t_s, adim_sayisi, sim_sayisi))), fontsize='small')
plt.savefig('Milstein.png', format="png")
plt.show()

 Ayrıca bakınız 
 Euler-Maruyama yöntemi

 Kaynakça 

Kategori:Sayısal diferansiyel denklemler
Kategori:Stokastik diferansiyel denklemler