Brezis-Gallouët eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde, Brezis-Gallouët eşitsizliği,H. Brezis and T. Gallouet. Nonlinear Schrödinger evolution equations. Nonlinear Anal. 4 (1980), no. 4, 677–681.   yeteri kadar türevlenebilen iki gerçel değişkenli fonksiyonların esaslı sınırlılığıyla ilgili ve kısmi diferansiyel denklemlerin çalışılmasında çok yararlı olan bir eşitsizliktir. Bu eşitsizlik, Haïm Brezis and Thierry Gallouët'nin adını taşımaktadır.

 Eşitsizliğin ifadesi 
, düzenli sınırı olan sınırlı bir kümenin içi veya dışı ya da  nin kendisi olsun. O zaman, hemen hemen her yerde 0dan farklı her  için 

eşitsizliğini sağlayan ve sadece 'ya bağlı gerçel bir  sayısı vardır.

Her  için 

olduğu için, Brezis-Gallouët eşitsizliğinden hareketle, hemen hemen her yerde 0dan farklı her  için, 

elde edilir ki eşitslizliğin bu hali Brezis-Gallouët eşitsizliğin daha çok atfedilen halidir.

 İspat 
'nın düzenli sınırı olduğu varsayımıyla aşağıdaki şu özelliklere sahip bir  genişleme operatörünün varlığı elde edilmiş olur:
   operatörü  uzayından  uzayına sınırlı bir operatördür.
   operatörü  uzayından  uzayına sınırlı bir operatördür.
 Her  için, 'nun 'ya kısıtlanması yine   olur.

 özelliğine sahip bir  alalım.  fonksiyonunun Fourier dönüşümünü  ile gösterelim. O hâlde,

 ,
 ,
 .
eşitsizliklerini sağlayan ve sadece 'ya bağlı pozitif bir  sayısı vardır.

Herhangi bir  için, daha önce elde edilen eşitsizlikler ve Cauchy-Schwarz eşitsizliği kullanılarak

yazılır. İntegraller hesaplanarak, 

eşitsizliği elde edilir.

 durumunda,  alınarak eşitsizlik elde edilmiş olur. Eşitszliğin genel hali için, sıfıra eşit olmayan  için, daha önce kanıtlanan eşitsizlik durumunda   fonksiyonu kullanılır.

 Ayrıca bakınız 
 Ladıjenskaya eşitsizliği
 Agmon eşitsizliği

 Kaynakça 

Kategori:Analiz teoremleri
Kategori:Eşitsizlikler