Carlson teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Carlson teoremi üstel tipli bir tam fonksiyonun sanal sayı ekseninde üzerindeki büyümesi ile pozitif tam sayılarda sıfır değeri alması arasında ilişki kuran bir sonuçtur. Teorem, bu sonucu doktora tezinde kanıtlayan Fritz David Carlson'un adını taşımaktadır.F. Carlson, Sur une classe de séries de Taylor, (1914) Tez, Uppsala, İsveç, 1914.

Teoremin kanıtı Phragmén–Lindelöf teoreminde elde edilebilir. Teorem, Newton serilerinin açılımlarının biricikliğini göstermede uygulamaları mevcuttur.

 Teoremin ifâdesi 
, üstel tipli bir tam fonksiyon olsun; yani,  karmaşık düzlemde her yerde holomorf olsun ve bir  ve bir  gerçel sayısı için

büyüme koşulu sağlansın. Eğer 
   için  büyüme kontrolünü sağlayan bir  sayısı varsa ve
 Negatif olmayan her  sayısı için  olursa,
o zaman,  fonksiyonu sıfıra özdeştir; yani, sıfır fonksiyonudur.

 Varsayımların zayıflatılması 
Teoremde tam fonksiyonun büyüme davranışına yönelik üç ana şart vardır. Bunlardan ilki, fonksiyonun üstel tipli olması, ikincisi fonksiyonun sanal eksen üzerindeki tipinin den küçük olması, üçüncüsü ise negatif olmayan  tam sayılarda sıfır değeri almasıdır. 
 İlk varsayımın yerine  üzerinde sürekli,  üzerinde analitik ve bir  ve bir  gerçel sayısı için

büyüme koşulu sağlanması alınabilir.
  örneğinden görüleceği üzere, sanal eksen üzerindeki tipinin den küçük olması gereklidir.
 Üçüncü varsayım daha teknik bir varsayımla zayıflatılabilir. Eğer, fonksiyon, üst yoğunluğu 1 olan bir kümede sıfır değeri alıyorsa, o zaman yine aynı sonuç tekrar geçerlidir. Diğer deyişle, fonksiyon üst yoğunluğu 1 olan } kümesinde sıfır değeri alıyor; yani,  için  ve 

ise, Carlsson teoreminin sonucu yine geçerlidir.  kümesinin üst yoğunluğu 1 den az ise teoremin sonucu geçerli değildir; daha doğrusu, bu durumda karşıt örnekler bulunabilir.

 Kaynakça 

Kategori:Karmaşık analiz teoremleri