Üstel tip

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir fonksiyonun  iken büyümesi,  gerçel bir sayı olmak üzere,  üstel fonksiyonu ile sınırlanıyorsa, o zaman bu holomorf fonksiyonun üstel tipi 'dir denir.

Holomorf bir fonksiyon bu şekilde bir üstel fonksiyon tarafından kontrol altında tutulduğunda, bu fonksiyonu terimleri başka karmaşık fonksiyonlardan oluşan yakınsak seriler halinde yazabilmek mümkün olmaktadır. Ayrıca, 
Borel toplamı gibi tekniklerin ne zaman uygulanabileceğini anlamak veya örneğin Mellin dönüşümünü uygulamak veya Euler-Maclaurin formülü kullanılarak yaklaşıklıklar yapmak mümkün olur. En genel durum, Nachbin teoremi tarafından verilmektedir ki bu teoremde, genel bir  fonksiyonuna karşılık  tipi tanımlanır.

 Tanıma yönelik temel fikir
Karmaşık düzlemde  değişkenini  ile temsil edelim ve yine aynı düzlemnde tanımlı bir  fonksiyonunu ele alalım. Eğer  iken,

eşitsizliğini sağlayan gerçel bir  and  değerleri varsa, o zaman   fonksiyonuna üstel tipli fonksiyon denir. Burada, dikkat edilmesi gereken, bu eşitsizliğin bütün  değerleri için geçerli olmasıdır; diğer deyişle, fonksiyonun hangi yöne doğru büyümesinin alınması fark etmezsizin, bu büyümenin bir üstel fonksiyon tarafından sınırlandırılması yani kontrol altında tutulması esas fikirdir. Bu tür bir büyümenin sağlandığı en küçük  değerine ya da daha doğru deyişle bu tür  değerlerinin infimumuna, fonksiyonun üstel tipi denir.

Örneğin,  fonksiyonunu göz önüne alalım. Her  için  olduğu için,

elde edilir. Aynı zamanda,  için  alınırsa, o zaman fonksiyonun üstel tipinin  olduğu gerçekten görülecektir. Böylece, bu örnek için, Carlson teoremi uygulanamaz; çünkü, bu teoremde, fonksiyonların üstel tipinin 'den kesinlikle az olması varsayılır.

 Tanım 
Holomorf bir  fonksiyonu verilmiş olsun. Bir  ve her  için  

eşitsizliğini  iken sağlayan sabit bir  varsa, o zaman  üstel tipi  olan bir fonksiyondur.
Bu durumda,

 fonksiyonunun üstel tipidir. Buradaki limsup, verilen bir yarıçaptan büyük yarıçap değerleri için alınan bölümlerin supremumunun yarıçap sonsuza giderken limitidir. Belli bir yarıçap değeri için alınan maksimum bölüm değerlerinin yarıçap sonsuza giderken limit supremum değeri yine buradaki limsup değeridir. Belli bir yarıçap değeri için hesaplanan maksimumların yarıçap sonsuza giderken limiti olmasa bile, daha önce bahsedilen limsup değeri var olabilir. Örneğin,

serisini ele alalım ve 

değerine   iken bakalım. Bu durumda,   terim 
 terimine baskındır. O hâlde, 

asimptotik bağlantıları vardır ki bu durumda sağ taraf  sonsuza giderken 0'a gider.<ref group="not">Hatta,  iken bile,  ( sonsuza giderken) sıfıra gider.</math></ref> Ancak,  fonksiyonuna sadece  noktalarında bakmakla fonksiyonun üstel tipinin 1 olduğu görülebilir.

 Simetrik ve dışbükey bir cisme göre üstel tip 
Üstel tipin çok değişkenli karmaşık fonksiyonlar için bir genelleştirmesi Elias Stein tarafından verilmiştir.
Diyelim ki  kümesi nin dışbükey, tıkız ve simetrik olan bir altkümesi olsun.Akademik Bilim Terimleri Sözlüğü'ne göre, Öklid uzayında dışbükey, kapalı ve sınırlı olan bir altkümeye  dışbükey cisim  denir. Böyle her  için 

küme eşitliği sağlayan bir  normu vardır. Diğer deyişle,  kümesi, deki bir  normuna göre birim yuvardır. 

kümesi ise  kümesinin polar kümesidir.  kümesi de yine nin dışbükey, tıkız ve simetrik altkümesidir. Dahası,

yazılabilir. Öyleyse,  normu  den ye şu şekilde genişletilebilir: 

Sonuç olarak,  tane karmaşık değişkeni olan bir  fonksiyonunu ele alalım. Her  için

eşitsizliğini bütün  için sağlayacak bir   sayısı varsa, o zaman,  fonksiyonuna  kümesine göre üstel tipli denir.

 Fréchet  uzayı 
Üstel tip  olan fonksiyonların uzayı tam bir düzgün uzay oluşturur. Başka bir deyişle, sayılabilir

norm ailesi tarafından doğurulan topolojiyle donatıldığında, bu uzay bir Fréchet uzayı olur.

 Ayrıca bakınız 

 Notlar 

 Kaynakça 

Kategori:Karmaşık analiz