Heston modeli

Finansta ve matematiğin bir alt dalı olan finansal matematikte Heston modeli, bir dayanak varlığın volatilitesinin zamana bağlı hareketini tanımlayan stokastik bir modeldir. Bu modelde, volatilite, Black-Scholes modeli ya da yerel volatilite modelindeki gibi sabit ya da deterministik değildir ve bir rassal süreçtir. Model, bu modeli 1993 yılında yayınlayan. Amerikalı finansçı ve matematikçi Steven Heston'ın adını taşımaktadır.

 Varsayımlar 
Heston modelinde,  ile gösterilen bir varlığın fiyat süreci ve bu sürecin içinde bulunan volatilite süreci 'nin  her ikisi de stokastik bir süreci takip eder. Daha ayrıntılı yazmak gerekirse, 
 sürecinin 

stokastik diferansiyel denklemini sağladığı varsayılırken,  sürecinin aşağıdaki gibi verilen bir stokastik denklemi sağladığı; yani, bir Ornstein-Uhlenbeck sürecini izlediği varsayılır:

Burada,  ile gösterilenler, aralarındaki korelasyonun  olduğu birer Wiener sürecidir; yani, her ikisi de birer Brown hareketidir (sürekli  bir rassal yürüyüştür). 
Itô önsavı kullanılarak, anlık varyans 'nin aağıdaki gibi bir Feller karekök süreci ya da CIR sürecini izlediği gösterilebilir:

Modelin beş parametresi vardır:
  başlangıçtaki varyanstır.
 , fiyat sürecinin uzun vadedeki ortalama varyansıdır; yani, t sonsuza doğru giderken, 'nin beklenen değeri de sıfıra gider.
  daha önce bahsedildiği gibi iki Wiener sürecinin arasındaki korelasyondur.
  parametresi  sürecinin  ortalama değerine dönüş hızıdır.
  ise 'nin varyansını belirler ve volatilitenin volatilitesi olarak ifâde edilir.
Eğer parametreler, Feller şartı da denilen, 

eşitsizliğini sağlıyorsa, o zaman,  pozitif olur.

 Heston kismi diferansiyel denklemi 
Heston modelinde Black-Scholes modelindeki benzer bir argümanla bir kısmi diferansiyel denklem elde edilebilir. Ancak, dikkat edilmesi gereken nokta, Black-Schole modelinde rassallığın bir tane kaynağı varken, Heston modelinde rassallığın iki tane kaynağı vardır.

Black-Scholes modelindeki fikirden hareketle portföy () şu şekilde elde kurulabilir:
 1 tane opsiyon (yani opsiyon alınmıştır)
  sonradan belirlenmek üzere  tane opsiyonun dayanak varlığı (hisse senedi)
  sonradan belirlenmek üzere  tane değeri dayanak varlığın volatilitesine bağlı başka bir varlık

Opsiyonun fiyatı  ve yukarıda bahsedilen ve değeri dayanak varlığın volatilitesine bağlı başka bir varlığın değeri de V_1 olsun. O zaman, bu portföyün değeri 

olur. Bu portföyün değerinin kısa bir zaman aralığındaki değişimi   o zaman

olur. Blakck-Scholes denkleminde olduğu gibi, Ito formülü kullanılarak  hesaplanır ve rassallıkları yok edecek  ve  seçimleri yapılır. Sonuç olarak elde kalan portföy risksiz oranla büyüyecektir. Sonuç olarak,  volatilite  riski fiyatı olmak üzere (ki daha sonra  olarak belirlenir)

elde edilir.

 Ayrıca bakınız 
 Stokastik volatilite
 Riske duyarız ölçü
 Girsanov teoremi
 Martingal (olasılık teorisi)
 SABR volatilite modeli

 Kaynakça 

Kategori:Finans
Kategori:Opsiyon (finans)
Kategori:Türev (finans)
Kategori:Finansal matematik