Wirtinger türevleri

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde ve çok değişkenli karmaşık analizde Wirtinger operatörleri ya da Wirtinger türev operatörleri karmaşık düzlemdeki ya da karmaşık koordinat uzayındaki açık kümeler üzerinde tanımlı holomorf, tersholomorf ya da sadece türevli fonksiyonlara uygulanabilen birinci mertebeden kısmi türev operatörleridir. Bu operatörlerin bu çeşit fonksiyonlara uygulanması sonucu ortaya çıkan fonksiyonlara bu fonksiyonların Wirtinger türevleri adı verilir.

Wirtinger türevlerinin gerçel değişkenli fonksiyonların türevi için verilen tanım ve özellikleri karmaşık düzlemde veya ya da karmaşık koordinat uzayında tanımlı fonksiyonlara taşıyan bir doğası vardır. Operatörler ve türevler adını, bu kavramları 1927 yılında Birkaç karmaşık değişkenli fonksiyonların formel teorisi üzerine başlıklı makalesinde sistematik bir biçimde ilk defa ele alan Wilhelm Wirtinger'in adını taşımaktadır.

 Tarihçe 
 Erken dönem (1899–1911): Henri Poincaré'nin çalışmaları 
 ve 'de kısaca bahsedildiği gibi, Wirtinger türevlerinin karmaşık analizdeki kullanımı en azından 'a kadar gitmektedir. 1899'daki makalesinin üçüncü paragrafında,'e bakınız Henri Poincaré ilk önce deki karmaşık değişkeni ve bu değişkenin karmaşık eşleniğini şöyle tanımlıyor:

Bu tanımdan sonra, daha önceden   () gerçel değişkenleri aracılığıyla yazılmış olan ve biharmonik (biharmonique) dediği  fonksiyonlarını tanımlayan denklemleri, bu yeni değişkenlerde yazıyorBu fonksiyonlar, aslında bugün çokluharmonik denilen fonksiyonlardır.

Belli ki, bu makale çok değişkenli karmaşık analizde çalışan araştırmacılar tarafından gözden kaçırılmış ya da dikkate alınmamış. Çünkü, ,  () ve  gibi erken dönem makalelerin hepsinde bütün temel kısmî türev operatörler gerçel değişkenler aracılığıyla yazılmış. Daha sonraları, ilk defa 1913'te baskısı yapılan ve 1966da tekrar baskısı yapılan 'da bile, karmaşık değişkenlere göre kısmî türevlere bile formel türev olarak bakılmaktadır. Bu bağlamda, çokluharmonik operatör ve Levi operatörleri için, Osgood'un, Amoroso, Levi ve Levi-Civita'nın yolunu takip etmektedir.

 Dimitrie Pompeiu'nun 1912 ve 1913'teki çalışmaları 
 kaynağına göre  kavramın tanımlanmasında yeni bir adım Dimitrie Pompeiu tarafından  makalesinde atıldı. Bu makalede, bir  noktası etrafında tanımlı ve karmaşık değerler alan bir  fonksiyonu için areolar türevi şu şekilde tanımlanmıştır:

Burada, , yani  merkezli ve  yarıçaplı bir diskin topolojik sınırıdır ve fonksiyonun tanımlı olduğu bölgenin içindedir. Bu tanım, karmaşık eşlenik değişkene göre Wirtinger türevinin alternatif bir tanımıdır.  tarafından belirtildiği gibi, limit  noktasında aynı zamanda türevlenebilir olmayan fonksiyonlar için de mevcut olabileceğinden, daha genel bir tanımdır. 'e göre, areolar türevini Sobolev anlamında zayıf bir türev olarak ilk tanımlayan Ilya Vekua'dır. Sonraki  makalesinde, Pompeiu, bu görece yeni tanımlanmış kavramı kullanarak  Cauchy integral formülünün genellemesini elde eder. Elde edilen bu formül artık Cauchy-Pompeiu formülü olarak bilinmektedir.

 Wilhelm Wirtinger'in çalışması 
Wirtinger türevlerinin ilk sistematik sunumunun  çok karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinde ortaya çıkan niceliklerin hesaplanmasını basitleştirmek için Wilhelm Wirtinger'in  makalesinde ortaya atıldığı anlaşılıyor: bu diferansiyel operatörlerin literatüre sokulması sonucunda, Levi operatörü ve Cauchy-Riemann operatörü gibi teoride yaygın olarak kullanılan tüm diferansiyel operatörlerin gösterimi önemli ölçüde basitleştirilmiş ve dolayısıyla kullanımı daha kolay hale gelmiştir. Makale, kasıtlı olarak biçimsel bir bakış açısıyla, yâni, çıkarılan özelliklerin kesin bir çıkarımı verilmeden yazılmıştır.

 Tanım 
 Tanımın altında yatan fikir  
Karmaşık düzlemdeki açık bir küme üzerinde tanımlı ve gerçel değişkenlere göre türevlerinin varlığı bilinen bir  fonksiyonunun (toplam) diferansiyelini

olarak yazalım. Eğer  ve  alırsak, o zaman 
 ve 
olacaktır. O hâlde, türev almanın doğrusallığıyla 
 ve 
yazılabilir. Sonuç olarak, yukarıdaki (toplam) diferansiyel ifadesi tekrar düzenlenerek

yazılabilir. O zaman, 
 ve .
tanımlanırsa,

yazılabilir.

 Tanımın resmi ifadesi 
 Karmaşık düzlemde tanım 
Karmaşık sayılar için  değişkenini, gerçel  ve  değişkenleri üzerinden  olarak tanımlayalım. de açık küme olsun ve  ise gerçel değişkenlerde türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman,  fonksiyonunun kısmi türevleri vardır. Bu kısmi türevler
 ve 
şeklinde yazılabilir. Bu hâlde,  fonksiyonunun Wirtinger türevleri
 ve .
olarak tanımlanır. 
Wirtinger türevlerinin tanımını veren
 ve 
kısmî diferansiyel operatörlerine Wirtinger türev operatörleri ya da sadece Wirtinger operatörleri denilir.

Wirtinger operatörlerinin tanım kümesi en doğal hâliyle türevlenebilir fonksiyonları içermektedir. Ancak, operatörler doğrusal oldukları ve sabit katsayılara sahip oldukları için, tanım kümeleri genelleştirilmiş fonksiyonların her türlü uzayına da genişletilebilir.

 Karmaşık koordinat uzayında tanım 
Yukarıda verilen ve bir karmaşık değişkenli fonksiyonlar için tanımlanan Wirtinger operatörlerinin tanımı yüksek boyutta tanımlı ve karmaşık değerler alan fonksiyonlar için de verilebilir. 

alınırsa, karmaşık koordinat uzayındaki Wirtinger operatörleri her koordinatta ayrı ayrı tanımlanabilir:

Daha önce bahsedildiği üzere, yine operatörler doğrusal oldukları ve sabit katsayılara sahip oldukları için, tanım kümeleri genelleştirilmiş fonksiyonların her türlü uzayına da genişletilebilir.

 Karmaşık türevlenebilme ile ilişkisi 
Bir fonksiyon bir noktada karmaşık türevlenebilir ise, fonksiyonun Wirtinger türevi, Cauchy-Riemann denklemleri  sayesinde fonksiyonun karmaşık türevine eşittir. Gerçekten de eğer bir  fonksiyonu karmaşık türevlenebilirse, o zaman Cauchy-Riemann denklemleri bu fonksiyon için şağlanır; yani, fonksiyonun karmaşık türevli olduğu açık küme üzerinde
 eşitlikleri vardır.

Wirtinger türevinin tanımıyla başlayarak ve Cauchy-Riemann denklemleri kullanarak 

elde edilir.

Wirtinger türevinin karmaşık eşlenik değişkendeki hâli de yine karmaşık türevlenebilmeyle alâkalıdır.  ifâdesi aslında Cauchy-Riemann denklemlerinin karmaşık halidir.

 Cauchy-Riemann operatörü 
 için bazen kısaca  yazılır. Yine, benzer şekilde,  içinse kısa bir şekilde  de yazılır.  operatörüne Cauchy-Riemann operatörü denilir. Aslında, bu kısaltma ifadeleri sadece fonksiyonlar için geliştirilmiş kısaltma gösterimleri değildir. Daha doğrusu, fonksiyonların (0, 0) ikili derecesiyle özel bir hali olduğu karmaşık diferansiyel formlar için tanımlı türev operatorü 'nin yukarıda  hali için 

elde edildiği gibi,  operatörü,  ve  opeatörlerinin toplamı olarak genel durumda da ayrışabilir. Bunu görmek için, 'nin bir elemanını  olarak yazalım.  açık bir küme olsun.  ise gerçel türevli bir gönderim olsun. Yukarıda verilen tanımlar aracılığıyla

ve 

tanımlanabilir. O zaman, 

elde edilir. Holomorfluk durumunda,  elde edilir; çünkü, bu durumda  olmaktadır.
cauchy-Riemann operatörlerinin  için yukarıdaki gibi tanımlanmış hâli Dolbeault kompleksine dayanılarak Dolbeault operatörleri olarak da bilinir. Yine de, Cauchy-Riemann opeatörleri ifadesi boyut sayısına işaret etmeksizin kullanılabilir.

 Özellikler 
Aşağıda verilen özelliklerde  olmak üzere  karmaşık vektör ve  gerçel vektörler olmak üzere  olsun. Ayrıca, , de ya da bu uzayın izomorf olduğu de açık bir küme olsun.
 Doğrusallık 
 ve  karmaşık sayı olsun. O zaman, her  için aşağıdaki eşitlikler sağlanır.

 Çarpma kuralı 
 ve  karmaşık sayı olsun. O zaman, her  için çarpma kuralı sağlanır.

 Zincir kuralı 
Zincir kuralının iki hâli için,  ve  olmak üzere bmlgeler ele alalım.  ve  ise bu bölgeler arasında belirli türevlilik şartlarını yeteri kadar sağlayan gönderim olsunlar.

 Bir karmaşık değişkenli fonksiyonlar için zincir kuralı 
 ve  ise, o zaman zincir kuralının aşağıdaki biçimleri sağlanır:

 n > 1 karmaşık değişkenli fonksiyonlar için zincir kuralı 
 ve  olsun. Her  için, zincir kuralının aşağıdaki biçimleri sağlanır:

Eşlenik alma altına Wirtinger operatörleri
 ise,  için aşağıdaki eşitlikler sağlanır:

 Notlar ve kaynakça 

.
.
.
.
.
.
.
.
.

 Ayrıca bakınız 

Kategori:Karmaşık analiz
Kategori:Diferansiyel operatörler
Kategori:Analiz (matematik)