Bernşteyn eşitsizliği (analiz)

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Bernşteyn eşitsizliği veya Bernşteyn eşitsizlikleri, polinomların kapalı bir aralıkta ya da bölgede aldığı maksimum değerle aynı polinomların türevlerinin aynı kümede aldığı maksimum değerlerle ilişkin bir eşitsizliktir. Eşitsizliklerin yazıldığı kapalı aralığa ya da bölgeye göre değişik biçimleri mevcuttur.

 Tarihçe 
Eşitsizlikler adını Rus matematikçi Sergey Natanoviç Bernşteyn'den almaktadır. Bernşteyn, eşitsizliği trigonometrik polinomlar için, ilk başta da kosinüs toplamları biçiminde olan polinomlar için, 1912'de kanıtlamıştır.Sergei Natanowitsch Bernstein: Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomes. Académie Royale de Belgique, Classe des Sciences, Mémores Collection in 4., ser. II, Vol. 4 (1922). = Russian translation in Communications of the Kharkov Mathematical Society (CKMS) Vol. 13 (1912), 49-194.  Bu kanıtı, Bernşteyn, yaklaşıklık teorisi üzerinde çalışırken vermiştir.R. P. Boas, Jr., Inequalities for the derivatives of polynomials, Math. Mag. 42 (1969), 165–174.Hem sinüs hem de kosinüs toplamları biçiminde olan polinomlar için, eşitsizlik Leopold Fejér tarafından 1914'te kanıtlanmıştır.Leopold Fejér: Über konjugierte trigonometrische Reihen. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Vol. 144 (1914), S. 48–56 Online  (7 Ocak 2025 tarihinde erişildi.) Bernşteyn, bu sonuçları daha sonra Edmund Landau'dan öğrenmiştir.Sergei Natanowitsch Bernstein: Leçons sur les Propriétés Extrémales et la Meilleure Approximation des Fonctions Analytiques d'une Variable Réelle. Gauthier-Villars, Paris 1926. Değişik kanıtlar 1914 yılında  Marcel Riesz tarafından da verilmiştir.Marcel Riesz: Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen für Polynome. Deutsche Mathematiker-Vereinigung, Jahresbericht, Vol. 23 (1914), S. 354–368. Online  (abgerufen am 13. Mai 2014)Marcel Riesz: Formule d'interpolation pour la dérivée d'un polynome trigonométrique. Comptes Rendus Hebdomaries, Séances de l'Académie des Sciences, Paris, Vol. 158 (1914), S. 1152–1154. Online  (abgerufen am 13. Mai 2014) George Pólya ve Gábor Szegő tarafından 1925 tarafından verilmiş bir başka kanıt da vardır.George Pólya, Gábor Szegő: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis. Springer, Berlin 1925.

 Eşitsizliğin ifâdesi 
Eşitsizlik, gerçel ve karmaşık değişkenli polinomlar içn farklı şekillerde görülebilir.

 Trigonometrik polinomlar için 
 ve  olmak üzere, gerçel sayılı bir

polinomu için aşağıdaki eşitsizlik sağlanır:

Karmaşık değişkenli durum
Eşitsizlik, birim diskteki karmaşık bir polinom fonksiyonunun maksimum fonksiyonun mutlak değerini yine bu fonksiyonun birim diskteki türevinin maksimum mutlak değeri ile ilişkilendiren bir eşitsizliktir ve en basit hâlinde şu şekilde görülebilir: 

Herhangi bir  fonksiyonunun  üzerindeki maximum mutlak değeri
 tarafından ve bu fonksiyonun türevi de  tarafından gösterilsin. 
Derecesi  olan her  polinomu için

eşitsizliği geçerlidir. Bu eşitsizliğin daha da iyileştirilmesi mümkün değildir ve eşitlik, ancak ve ancak  iken geçerlidir.M. A. Malik, M. C. Vong, Inequalities concerning the derivative of polynomials, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 34 (1985), 422–426. 

 Yüksek mertebeli türevler için hâli 
Yukarıda bahsedilen sonucun bir polinomların türevlerine arka arkaya k kere uygulanması sonucunda 

elde edilir.

 Benzer sonuçlar 
Paul Erdős,  polinomunun  içinde sıfır değeri olmadığı durumda  sanıtladı. Bu sanıtı Peter Lax kanıtlamıştır.P. D. Lax, Proof of a conjecture of P. Erdös on the derivative of a polynomial, Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944), 509–513. 

Diğer taraftan,  iken,  polinomunun  içinde sıfır değeri olmadığı durumda,  olduğu M. A. Malik tarafından kanıtlanmıştır.M. A. Malik, On the derivative of a polynomial J. London Math. Soc (2) 1 (1969), 57–60.

Ayrıca bakınız
 Markov kardeşler eşitsizliği
 Remez eşitsizliği

 Kaynakça 

İlgili kaynaklar




Kategori:Yaklaşıklama kuramı
Kategori:Polinomlar hakkındaki teoremler
Kategori:Eşitsizlikler