Shapiro eşitsizliği

Matematikte Shapiro eşitsizliği pozitif sayı dizileri üzerinde geçerli bir eşitsizliktir. Adını, bu eşitsizliği genel halde 1954de öne süren Harold Shapiro'dan almıştır.H. S. Shapiro: Advanced Problems and Solutions, Amer. Math. Monthly 61 (1954), 571–572.

 Eşitsizliğin ifadesi 
n bir doğal sayı ve  gerçel sayıları pozitif olsun.
 n çiftse ve  ise veya
 n tekse ve  ise,
o zaman,  ve  olmak üzere

olur. Bu eşitsizliğe Shapiro eşitsizliği denir.

'nin daha büyük değerleri için eşitsizlik geçerli değildir ve bu durumlarda kesin alt sınır  sayısıdır ki burada   olarak bilinmektedir.

  ve  için eşitsizliğin ilk kanıtları sayısal hesaplamalara dayanmaktadır. 2002'de, PJ Bushell ve JB McLeod   için analitik bir kanıt yayınladı.

 değeri 1971 yılında Vladimir Drinfeld tarafından belirlendi. Özellikle, 'nın kesin alt sınırının  ile verildiğini kanıtladı; burada,  fonksiyonu  ve  fonksiyonlarının dışbükey zarfıdır. Diğer deyişle, nin grafiğinin üstündeki bölge  ve 'nin grafiklerinin üstündeki bölgelerin birleşiminin dışbükey zarfıdır.

Sol tarafın iç yerel minimumları her zaman den büyük veya eşittir.

 Karşıt örnekler 
İlk karşıt örnek Lighthill tarafından 1956 yılında  için verildi:
 0'a yakın olmak üzere
.
O zaman, sol taraf  ifadesine eşit olur ki  yeteri kadar küöük olduğunda, sol taraf 10dan küçük olur.

 için ise Troesch tarafından karşıt bir örnek verilmiştir:
 0'a yakın olmak üzere

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 
 1999daki Usenet tartışması (Dave Rusin'in notları)
 planetmath.org'da Shapiro Inequality

Kategori:Eşitsizlikler