Euler-Maruyama yöntemi

Matematiğin bir alt dalı olan stokastik analizde Euler-Maruyama yöntemi stokastik diferansiyel denklemlere yaklaşık sayısal çözümler üretmek için geliştirilmiş yöntemlerden biridir. Adi diferansiyel denklemler için geliştirilmiş olan Euler yönteminin stokastik diferansiyel denklemlere uyarlanmasıyla oluşmuştur. Yöntem adını, Leonhard Euler ve Gishiro Maruyama'dan almaktadır.

 Yöntemin açıklaması
Wt, Wiener süreci olsun. Başlangıç koşulu X0 = x0 olan ve 

hâlindeki stokastik bir diferansiyel denklemi [0, T] aralığında sayısal olarak çözmek istediğimizi varsayalım. Stokasitk diferansiyel denklemin teorik çözümü  ile gösterilsin. 'in Euler-Maruyama yaklaşıklığı aşağıdaki gibi kurulup tanımlanan ve bir Markov zinciri olan dir.

 [0, T] aralığını N tane eşit altaralığa bölelim. Her altaralığın uzunluğu  ile gösterilsin. O zaman,

olacaktır.
 Y0 = x0 tanımlansın.
  0 ≤ n ≤ N-1 için  olmak üzere, Yn terimleri yinelemeli olarak 

olarak tanımlansın. Bahsi geçen ΔWn rasgele değişkenleri bağımsız ve özdeş dağılmış normal rastgele değişkenlerdir. Her birinin beklenen değeri sıfırdır ve her biri Δt varyansına sahiptir.

 Yakınsaklık 
Stokastik diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerine bakılırken doğruluğu ölçmenin iki yaygın yöntemi vardır. Bunlar zayıf yakınsaklık ve güçlü yakınsaklık kavramlarıdır. Zayıf yakınsaklıkta ortalamaların hatasına bakılırken, güçlü yakınsaklıkta ise hataların ortalamalarına bakılır.

Euler-Maruyama yaklaşıklık yönteminde, eğer  ve  fonksiyonları Lipschitz ise, yani, L bir sabit olmak üzere her  ve tüm  için

sağlanıyorsa, o zaman
 zayıf yakınsaklık mertebesi  olur:

 güçlü yakınsaklık mertebesi ise  olur:

 Örnekler 

 Simülasyon örneği 
Kısmi diferansiyel denklemlerden önemli ölçüde faydalanan alanlardan biri matematiksel biyolojidir. Birçok biyolojik süreç hem stokastik hem de doğası gereği sürekli olduğundan, kısmi diferansiyel denklemleri çözmenin sayısal yöntemleri bu alanda oldukça değerlidir.

Grafik, Euler-Maruyama yöntemi kullanılarak çözülen stokastik bir diferansiyel denklemi göstermektedir. Deterministik karşılığı mavi renk ile, sayısal yaklaşım ise yeşil renk ile gösterilmiştir.

 Programlama uygulaması 

biçiminde verilmiş olan bir Ornstein-Uhlenbeck sürecini sayısal olarak çözmek için Euler-Maruyama yöntemi kullanılabilir.

Rastgele sayıların NumPy tarafından verildiği bir Python programlama kodu aşağıdaki gibi verilebilir:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from textwrap import wrap

class Model:
    """Stokastik modelin  sabitleri."""
    THETA = 0.5
    MU = 1.5
    SIGMA = 0.1

def mu(y: float, _t: float) -> float:
    """Ornstein–Uhlenbeck sürecinin sürüklenme sabiti"""
    return Model.THETA * (Model.MU - y)

def sigma(_y: float, _t: float) -> float:
    """Ornstein–Uhlenbeck sürecinin difüzyon sabiti"""
    return Model.SIGMA

def dW(delta_t: float) -> float:
    """Normal rastgele değişken çekilişi"""
    return np.random.normal(loc=0.0, scale=np.sqrt(delta_t))

def simulasyon(t_i:int, t_s:int, adim_sayisi:int):
    """bir simülasyon yolağı"""
    T_ILK = t_i
    T_SON = t_s
    N = adim_sayisi 
    DT = float(T_SON - T_ILK) / N
    Tler = np.arange(T_ILK, T_SON + DT, DT)
    assert Tler.size == N + 1

    Y_ILK = 0

    yler = np.zeros(Tler.size)
    yler[0] = Y_ILK
    for i in range(1, Tler.size):
        t = T_ILK + (i - 1) * DT
        y = yler[i - 1]
        yler[i] = y + mu(y, t) * DT + sigma(y, t) * dW(DT)

    return Tler, yler

#Birkaç simülasyonun aynı grafikte çizimi
sim_sayisi=5
 # [2, 20] aralığında 5000 zaman adımında hesaplıyoruz
t_i=2#
t_s=20
adim_sayisi=5000
for _ in range(sim_sayisi):
    plt.plot(*simulasyon(t_i, t_s, adim_sayisi))

plt.xlabel("zaman (s)")
plt.ylabel("y")
plt.title("\n".join(wrap(
r"$\theta=$ {}, $\mu=$ {} ve $\sigma=$ {} parametreleri verilen bir Ornstein–Uhlenbeck sürecine [{},{}] aralığında {} zaman adımlı Euler-Maruyama yöntemiyle yapılan yaklaşıklamalarının {} yolaklı simülasyonu".format(Model.THETA, Model.MU, Model.SIGMA, t_i, t_s, adim_sayisi, SIM_SAYISI))), fontsize='small')
plt.savefig('EulerMaruyama.png', format="png")
plt.show()

 Ayrıca bakınız 
 Milstein yöntemi
 Runge-Kutta yöntemi
 Leimkuhler-Matthews yöntemi

 Kaynakça 

Kategori:Sayısal diferansiyel denklemler
Kategori:Stokastik diferansiyel denklemler
Kategori:Leonhard Euler