Hasse-Arf teoremi

Matematikte, özellikle de yerel sınıf cismi teorisinde, Hasse-Arf teoremi, sonlu bir Galois genişlemesinin Galois grubunun üstten numaralandırma filtrelemesindeki sıçramalarla ilgili bir sonuçtur. Rezidü cisimlerinin sonlu olduğu özel bir durumda Helmut Hasse tarafındanH. Hasse, Normenresttheorie galoisscher Zahlkörper mit Anwendungen auf Führer und Diskriminante abelscher Zahlkörper, J. Fac. Sci. Tokyo 2 (1934), pp.477–498. ve genel çözümü de Cahit Arf tarafından kanıtlanmıştır.--> IV.3, s.76

 Açıklama 
 Yüksek dallanma grupları 

Teorem, sonlu bir Abel genişlemesi nin üstten numaralandırılmış yüksek dallanma gruplarıyla ilgilidir. Diyelim ki 
  sonlu bir Galois genişlemesi, 
  K 'nin, 
rezidü cismi karakteristiği  olan ve 
ayrık birimleştirilmiş bir değerlemesi 
olsun. Bu değerlemenin, L'ye biricik bir şekilde genişlemesi olsun ve bu genişlemeye w diyelim.
 L'nin ilişkin birimleştirilmiş değerlemesi ew,  ile 
 L'nin   altındaki değerleme halkası,  ile
gösterilsin. 'nin Galois grubu G olsun ve 'nin herhangi bir s≥−1 için s-inci dallanma grubunu şu şekilde tanımlayalım:

Örneğin,  Galois grubu 'dir. Daha yukarı numaralandırmaya geçmek için, öncelikle  ψL/K fonksiyonu tanımlanmalıdır ki bu fonksiyon da aşağıda tanımlanmış ηL/K fonksiyonunun tersidir:.

Üst numaralandırmalı dallanma grupları, s = ψL/K(t) olacak şekilde  Gt(L/K) = Gs(L/K) ile tanımlanır.

Bu yüksek dallanma grupları Gt(L/K), herhangi gerçel t ≥−1 için tanımlıdır, ancak  ayrık bir değerleme olduğundan, bu gruplar sürekli olarak değil, ayrık sıçramalarla değişir. Bu nedenle, herhangi bir u > t için  Gt(L/K) ≠ Gu(L/K) ise,
t'nin, {Gt(L/K) : t ≥ −1} filtrelemesinde bir sıçrama olduğunu söyleriz. Hasse–Arf Teoremi, bu sıçramaların aritmetik doğası hakkında bilgi verir.

 Teoremin ifadesi 
Yukarıdaki tanımlar ışığında, teorem, {Gt(L/K) : t ≥ −1} filtrelemesindeki sıçramaların hepsinin rasyonel tam sayı"Rasyonel" kelimesi bazen siklotomik tam sayılar, Eisenstein tam sayıları, Gauss tam sayıları ve Hamilton tam sayıları gibi diğer "tam sayı" türlerinden ayırt etmek için vurgu amacıyla kullanılır. olduğunu ifade eder. Theorem 8.9, p.68

 Abel olmayan genişlemeler 
Abel olmayan genişlemeler için sıçramalar tam sayılarda olmak zorunda değildir. Serre, Galois groubunun mertebesi 8 olan  of order 8 kuaterniyon grubu olan tamamen dallanmış bir genişlemenin örneğini aşağıdaki gibi vermiştir:

Üst numaralandırma o zaman
 için    
  için   
 için    
biçiminde olur. Bu yüzden,  iken, yani, tam sayı olmayan bir değerde sıçrama olduğu görülür.

 Notlar 

Kaynakça

Kategori:Galois teorisi
Kategori:Türk icatları