Korn eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde, özellikle fonksiyonel analizde, Korn eşitsizliği vektör alanlarının gradyanlarıyla alakalı bir eşitsizliktir. Eşitsizlik, benzer bir sonucu 1908 yılında elde eden  fizikçi Arthur Korn'un adını taşımaktadır.... 
Korn'un esneklik teorisindeki araştırmasından elde edilen bu sonuç, o zamandan beri genişletildi ve bu teoride önemli bir rol oynamaya devam etmektedir..G. Duvaut ve J.-L. Lions, Les inéquations en mécanique et en physique, Dunod, 1972.

Korn eşitsizliği, bir vektör alanının gradyanı her noktada çarpık simetrikse, o zaman gradyan sabit bir çarpık simetrik matrise eşit olmalıdır ifadesini genelleştirmektedir Kohn teoremi ise, sezgisel olarak, ifadenin nicel bir versiyonudur. Diğer deyişle, bir vektör alanının gradyanı ortalama olarak çapraz simetrik matrislerin uzayından çok uzakta değilse, o zaman gradyanın belli bir çapraz simetrik matristen çok uzakta değildir.

 Eşitsizliğin ifadesi 
 açık bir bölge olsun ve  bu bölge üzerinde ve gerçel değerler alan bir fonksiyon olsun.  nin Jacobi matrisi  ile  gösterilsin.  ile de Jacobi matrisinin simetrik parçası gösterilsin; diğer deyişle,  olsun. O zaman, Korn eşitsizliği  için, nin türevlenebilirlik koşulları altında, normuna  normuna bağlı olarak bir üst sınır verir. Daha açık bir ifadeyle, 
 Sobelev uzayı ve  de bu uzayın tıkız destekli fonksiyonlara kısıtlaması olmak üzere, eğer  ise 

eşitsizliğini sağlayan ve sadece 'ye ve 'ya bağlı ve adına da Korn sabiti denilen biricik  sayısı vardır..

Korn, ilk ispatında iki özel durumu halletmiştir ve  üzerinde daha güçlü şartlar vardır. Eşitsizlik, genele olarak   ve   iken doğru değildir..

 Ayrıca bakınız 
 Hardy eşitsizliği
 Poincaré eşitsizliği

 Kaynakça 

Kategori:Eşitsizlikler
Kategori:Sobolev uzayları
Kategori:Katı mekaniği