Girsanov teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan olasılık teorisinde (daha özelde stokastik süreçlerde)  Girsanov teoremi, stokastik süreçlerin ölçü değişimleri altında nasıl değiştiğini gösteren ve özellikle finansal matematikte yaygın uygulaması olan bir teoremdir. Teorem, finansal matematikte bir dayanak varlığın (bir hisse senedi fiyatı veya faiz oranı gibi) fiziksel ya da gözlemlenen bir ölçüde yazılan fiyat sürecinin  riske duyarsız ölçüye nasıl dönüştürüleceğini gösterir. Teorem, stokastik diferansiyel denklemlerin zayıf çözümlerinin varlığını ve biricikliğini kanıtlamakta da yararlıdır.'ye bakınız.

 Teoremin ifadesi 
 bir olasılık uzayı,  bu uzayın olağan koşulları sağlayan bir filtreleme ve 
,  özelliğini sağlayan  boyutlu Brown hareketi olsun.

 boyutlu  süreci
 ölçülebilir, 
 filtreye uyarlı 
 ve aşağıdaki şartları sağlayan bir süreç olsun.

Bu koşullar altında 

iyi tanımlıdır. ifadesinin aslında  ifadesi olduğu gözden kaçmamalıdır. Burada,  Doléans-Dade üsteli notasyonudur.

Girsanov teoremi,'e bakınız. eğer  süreci martingalse 

tanımının yeni bir olasılık ölçüsü verdiğini ve sabit alınmış bir  değeri için,

biçiminde tanımlanan  sürecinin  olasılık uzayında -boyutlu Brown hareketi olduğunu söyler.

Bu teoremin ifadesi değişik kaynaklarda basitleşirilmiş ya da değişik kriterleri sağlayan halleriyle sunulabilir.Mesela, 'ten başlayarak değişik varsayimlar altında bu teoremin üç değişik versiyonu  sunulmuştur.

Yukarıda verilen 
 boyutlu  süreci için, 

koşulu sağlanıyorsa, o zaman  bir martingal olur ve Girsanov teoreminin şartı sağlanmış olur. Bu koşula Novikov kriteri ya da Novikov koşulu denir.

Finans başta olmak üzere birçok durumda, teoremdeki  süreci karşımıza 

halinde çıkar. Bu biçimdeki bir  sürecinin martingale olması için yeterli ve gerekli koşul Novikov koşulunun sağlanmasıdır; yani,

olmasıdır. Bu durumda,  tanımlanırsa, her  için bir -Brown hareketi elde edilir.

 Finansta kullanımı 
 bir  olasılık ölçüsü altında Brown hareketi, ,  ve 

geometrik Brown hareketi olsun.

Her  için,  ve  tanımlansın. O zaman

için,  olur. 
Eğer  olarak tanımlanırsa,  süreci  ölçüsü altında Brown hareketi olur.
'ya finansal matematikte riske duyarsız ölçü denir. Black-Scholes formülünün bir kanıtı bu ölçü altında verilebilir.

 Notlar 

 Kaynakça 




Kategori:Stokastik süreçler
Kategori:Matematik teoremleri
Kategori:Finansal matematik