Reuschle teoremi

Temel geometride, Reuschle teoremi, ortak bir noktada kesişen bir üçgenin cevianlarının bir özelliğini tanımlar ve adını Alman matematikçi Karl Gustav Reuschle (1812-1875)'den alır. Ayrıca Fransız matematikçi Olry Terquem (1782-1862)'in adıyla 1842'de yayınlayan Terquem teoremi olarak da bilinir. Teorem, Euler doğrusu ve Feuerbach'ın dokuz nokta çemberi ile bağlantılı olarak benzer biçimde bulunan belirli köşe çaprazlarının kesişim özellikleriyle ilgili bir problemi ele almaktadır. Reuschle teoreminin ispatı, sekant teoreminin yanı sıra Ceva teoremi ve onun karşıt teoremine dayanmaktadır.

Bir  üçgeninde, ,  veya  köşeleri dışında ortak bir noktada kesişen üç cevianı olan ,  ve  (genişletilmiş) üçgen kenarları ile cevianların kesişimlerini göstersin. Üç ,  ve  noktası tarafından tanımlanan çember (genişletilmiş) üçgen kenarlarını (ilave olarak) ,  ve  noktalarında keser. Reuschle teoremi şimdi üç yeni cevian ,  ve 'nin de ortak bir noktada kesiştiğini belirtir.

Demo
küçükresim|
Ceva teoremine göre, eğer (AF), (BG) ve (CE) doğruları kesişiyorsa, o zaman:
.

A noktasının EFG tarafından çevrelenen çembere göre kuvveti:

Dolayısıyla oranlar eşittir:
.

Benzer şekilde, Bnin kuvveti şu ifadeyi yazmamızı sağlar:
.

Son olarak, Cnin kuvveti şu ifadeyi yazmamızı sağlar:
.

Soldaki üç oranın çarpımı -1'dir, dolayısıyla sağdaki oranların çarpımı da -1'dir ve :
.

Ceva teoreminin tersine göre, üç doğru (AH), (BJ) ve (CI) tek noktada kesişir.

Özel durumlar
küçükresim|
 Üçgenin Gergonne noktası, kendi çevrimsel-cevian eşleniğidir; değme çemberi ise üçgenin iç teğet çemberidir.
 Sentroidin (Üçgenin ağırlık merkezinin) çevrimsel-cevian eşleniği (kenarortayların kesişme noktası) ortosantrdır (yüksekliklerin kesişme noktası) ve bunun tersi de geçerlidir. O halde cevian çemberi, üçgenin Euler çemberidir.

Notlar

 Kaynakça 
Friedrich Riecke (ed.): Mathematische Unterhaltungen. Volume I, Stuttgart 1867, (reprint Wiesbaden 1973), , p. 125 (German)
M. D. Fox, J. R. Goggins: "Cevian Axes and Related Curves." The Mathematical Gazette, volume 91, no. 520, 2007, pp. 3–4 (JSTOR).

 Dış bağlantılar 

Terquem's theorem at cut-the-knot.org


Kategori:Temel geometri
Kategori:Üçgen geometrisi
Kategori:Öklid düzlem geometrisi
Kategori:Öklid geometrisi teoremleri