Düzgün limit teoremi

Matematikte düzgün limit teoremi, sürekli fonksiyonlardan oluşan herhangi bir fonksiyon dizisinin düzgün limitinin yine sürekli fonksiyon olduğunu belirten önemli bir sonuçtur.

 Teoremin ifadesi 
 topolojik uzay,  metrik uzay ve  ise  fonksiyonuna düzgün yakınsayan bir fonksiyon dizisi olsun. Düzgün limit teoremine göre, eğer dizideki  fonksiyonlarından her biri sürekli ise, o zaman,  fonksiyonu da süreklidir.

Teoremde düzgün yakınsaklık koşulu noktasal yakınsaklık ile değiştirildiğinde sonuç artık geçerli olmayacaktır. Örneğin, ,  ve  ise  olarak verilsin. O zaman, her  için  fonksiyonu süreklidir. Ancak,   aralığından olan  değerleri için limit fonksiyonu  değeri alırken,  değeri için limit fonksiyonu  değeri alacaktır. Bu yüzden, limit fonksiyonu  noktasında sürekli değildir.

küçükresim|upright=1.36|right|Eğer düzgün yakınsaklık yerine noktasal yakınsaklık varsayılırsa, o zaman yeşil fonksiyonlar kırmızı ile gösterilen ve sürekli olmayan bir fonksiyona yakınsar. Bu durum yakınsaklık düzgün değilse ortaya çıkar.
Bir başka örnek ise yandaki şekilde verilmiştir: ,  ve  ise  olarak verilsin. O zaman, her  için  olur. Ancak, diğer noktalar için (yâni,  için),  olacaktır. Böylece,   için,  değerleri 'a yakınsayacaktır. O zaman, limit fonksiyonu,  noktaları için  olan,  noktasında ise  değeri alan ve bu yüzden  noktasında sürekli olmayan bir fonksiyon olur.

Fonksiyon uzayları açısından bakılacak olursa, düzgün limit teoremi, topolojik uzay ten metrik uzay ye tanımlanan tüm sürekli fonksiyonların uzayı olan 'nin düzgün metrik altında  uzayınınBu uzay, kümelere teorisinde, ten ye tanımlı bütün fonksiyonların kümesinin gösterimidir. kapalı bir altkümesi olduğunu söyler. Eğer,  tam bir metrik uzaysa, o zaman  de tam bir metrik uzay olur. Dahası,  Banach uzayı ise, o zaman,  uzayı düzgün norm altında Banach uzayı olur.

Teoremde, süreklilik ifadesi düzgün süreklilik ile değiştirildiğinde, düzgün limit teoremi yine geçerlidir. Diğer deyişle,  ve  metrik uzaysa ve  dizisi düzgün sürekli fonksiyonlardan oluşan ve bir  fonksiyonuna düzgün yakınsayan bir fonksiyonlar dizisi ise, o zaman,  de düzgün süreklidir.

 Kanıt 
nin sürekliliğini kanıtlamak için, her  sayısı ve her  için, 'in bir  komşuluğunu bulmalıyız; öyle ki 

olsun. o zaman, keyfi bir  sayısı verilsin. Fonksiyon dizisinin düzgün yakınsak olduğu varsayıldığı için, 

eşitsizliğini sağlayacak bir  sayısı vardır. Ayrıca, fonksiyon dizisindeki fonksiyonların her biri sürekli olduğu için, her  için 

eşitsizliğinin sağlandığı bir  komşuluğu vardır. Son adım olarak, üçgen eşitsizliği kullanılarak

elde edilir. Böylelikle, kanıtın en başında gösterilmek istenen eşitsizlik elde edilmiş olur. Bu yüzden, limit fonksiyonu  süreklidir.

 Karmaşık analizde düzgün limit teoremi 
Karmaşık analizde, düzgün limit teoreminin varsayımlarının değiştirilmiş halleriyle görülen değişik çeşitlemeleri vardır.

Teorem.Stein, Shakarchi, ss.53-54, Theorem 5.2, Theorem 5.3 karmaşık düzlemde bir bölge (açık ve bağlantılı) olsun.   fonksiyon dizisindeki her bir fonksiyon holomorf ise ve bu dizi nın her tıkız altkümesinde bir  fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa, o zaman  de  üzerinde holomorf olur. Üstelik, bu fonksiyon dizisindeki fonksiyonların türevlerinden oluşan  dizisi de nın her tıkız altkümesinde  fonksiyonuna düzgün yakınsar.

Teorem.E. C. Titchmarsh  ss.200-201, Bölüm 6.44 karmaşık düzlemde bir bölge (açık ve bağlantılı) olsun.   fonksiyon dizisindeki her bir fonksiyon yalınkatDiğer deyişle, her bir fonksiyon hem holomorf hem de birebirdir. ise ve bu dizi nın her tıkız altkümesinde bir  fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa, o zaman  de  üzerinde holomorf olur. Üstelik,  fonksiyonu ya yalınkattır ya da sabittir.

 Notlar 

 Kaynakça 
 E. M. Stein, R. Shakarchi (2003). Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, No. 2), Princeton University Press.
 E. C. Titchmarsh (1939). The Theory of Functions, 2002 Reprint, Oxford Science Publications.

Kategori:Gerçel analiz teoremleri
Kategori:Fonksiyon uzayları topolojisi