Trigonometrik polinom

Sayısal analiz ve matematiksel analiz alt alanlarında, bir trigonometrik polinom, sin(nx) ve cos(nx) fonksiyonlarının sonlu bir doğrusal kombinasyonu olup n bir veya daha fazla doğal sayı değerini alır. Gerçel değerli fonksiyonlar için, katsayılar gerçel sayılar olarak alınabilir. Kompleks katsayılar için, böyle bir fonksiyon ile sonlu bir Fourier serisi arasında bir fark yoktur.

Trigonometrik polinomlar, örneğin periyodik fonksiyonların interpolasyonuna uygulanan trigonometrik interpolasyonda yaygın olarak kullanılır. Ayrıca ayrık Fourier dönüşümünde de kullanılırlar.

Gerçel değerli durum için trigonometrik polinom terimi analoji kullanmak olarak görülebilir: sin(nx) ve cos(nx) fonksiyonları polinomlar için monomial basise benzer. Karmaşık durumda trigonometrik polinomlar 'in pozitif ve negatif kuvvetleri tarafından yayılır, yani  değişkenlerin değişimi altında 'de Laurent polinomudur.

Tanım
Aşağıdaki biçimde herhangi bir T fonksiyonu,

katsayıları  ve en yüksek dereceli katsayılardan en az biri  ve  sıfır olmayan, N dereceli bir “karmaşık trigonometrik polinom” olarak adlandırılır. Euler formülü kullanılarak polinom,  olmak üzere şu şekilde yeniden yazılabilir:

Benzer şekilde,  katsayıları ve  ve  katsayılarından en az birinin sıfır olmaması veya eşdeğer olarak,  ve  tüm  için,

N dereceli bir reel trigonometrik polinom olarak adlandırılır.

Özellikler
Bir trigonometrik polinom, reel doğru üzerinde periyodu 'nin bir böleniyle periyodik bir fonksiyon veya birim çember üzerinde bir fonksiyon olarak düşünülebilir.

Trigonometrik polinomlar, birim çember üzerindeki sürekli fonksiyon uzayında düzgün norm ile yoğundur; bu Stone-Weierstrass teoreminin özel bir durumudur. Daha somut olarak, her sürekli  fonksiyonu ve her  için bir trigonometrik  polinomu vardır, öyle ki  tüm  değerleri için. Fejér teoremi,  Fourier serisinin kısmi toplamlarının aritmetik ortalamalarının, 'nin çember üzerinde sürekli olması koşuluyla 'ye düzgün bir şekilde yakınsadığını belirtir; bu kısmi toplamlar 'ye yaklaşmak için kullanılabilir.

Derecesi  olan bir trigonometrik polinom, sıfır fonksiyonu olmadığı sürece  reel aralığında maksimum  köke sahiptir.

 Fejér-Riesz teoremi 
Fejér-Riesz teoremi, tüm  için 'ı sağlayan her pozitif reel trigonometrik polinom

için, başka bir (genellikle “karmaşık”) trigonometrik  polinomunun modül karesi olarak temsil edilebileceğini belirtir, öyle ki:

Ya da eşdeğer olarak, tüm  için  koşulunu sağlayan  olmak üzere, her Laurent polinomu

bazı  polinomları için aşağıdaki şekilde yazılabilir:

Notlar

Kaynakça




 .

Kategori:Yaklaşıklama kuramı
Kategori:Fourier analizi
Kategori:Polinomlar
Kategori:Trigonometri