Black modeli

Black modeli ya da Black76 modeli, matematiksel finansta bir opsiyon fiyatlama modelidir. İsmini, bu modeli 1976 yılında yayınlayan Fischer Black'ten almıştır. Bu opsiyon modelinin sonucunda, halen opsiyon fiyatlamada piyasa katılımcılarınca yoğun olarak kullanılmakta olan Black formülü elde edilmiştir.

Black-Scholes modelinden farklı olarak vadeli işlemler üzerine yazılan opsiyonları fiyatlandırmak için kanıtlanmıştır. LIBOR piyasası modeli gibi daha genel bir model sınıfına uyarlanabilen bir modeldir.

 Black formülü 

Black formülü ya da Black76 formülü Fischer Black tarafından Black modeli varsayımları altında ispatlanmış ve Black-Scholes formülüne benzeyen bir opsiyon fiyatlama formülüdür.
Black modelinde 
  risksiz faiz oranı, 
  vade zamanı, 
  kullanım fiyatı 
  dayanak varlığın vadedeki fiyatı 
  dayanak varlığa ilişkin volatilite olmak üzere
  bir alım opsiyonunun fiyatı 
  bir satım opsiyonunun fiyatı 
olmak üzere şu formüller elde edilir:

Bu formüllerde

 ise standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonudur.

 Kanıt ve varsayımlar 
Black formülü, Margrabe formülü kullanılarak kolayca türetilebilir. Bu formül, Black-Scholes formülünün basit ama akıllıca bir uygulamasıdır.

Bir vadeli işlem sözleşmesindeki alım sahibinin sözleşme vadesinde elde edeceği miktar fonksiyonu  olarak yazılabilir. Bu ifade, Margrabe formülünde ilk dayanak varlığın  olması, ikinci dayanak varlığın ise vade tarihinde 1 lira ödeyen  tane risksiz tahvil olması olarak uyarlanabilir. O zaman, vade dolduğunda, opsiyon hakları ilk dayanak varlığın değerinin ikinci dayanak varlığın değerinden yüksek olduğu zaman kullanılacaktır.

Margrabe formülünün varsayımları bu uyarlamayla uyumlu bir haldedir; ancak, kontrol edilmesi gereken tek şey, ilk varlığın gerçekten alım-satımı yapılabilen varlık olmasıdır. Açıkçası, bu aşağıdaki detaylardan oluşan bir portföy üzerinden rahatlıkla görülebilir:
 teslimat tarihi  olan bir forward sözleşmeye uzun pozisyon 
  tane risksiz tahvilde uzun pozisyon
Burada not edilmesi gereken nokta, deterministik (yani stokastik olmayan) bir faiz oranı varsayımında, vadeli forward ve futures fiyatlarının eşit olduğu ve bu nedenle burada herhangi bir belirsizlik olmadığıdır. O zaman, daha sonraki herhangi bir  zamanında, 
 forward sözleşmesindeki yükümlülükten kurtulup yine aynı vade tarihi olan başka bir forward sözleşmesinde kısa pozisyon alınabilir. Portföyün birinci ayağına dair yapılan bu işlemden elde edilen net gelirin  zamanındaki getirisi  olacaktır.
 Yine,  tane risksiz tahvilde tutulan uzun pozisyon boşaltılır. Her bir tahvilin değeri  olacağından, portföyün ikinci ayağına dair işlemden gelir  olacaktır. 
Sonuç olarak, portföyün bu alım-satım işlerinden doğan toplam ödeniş  olacaktır ki bu da Margrabe formülüne uyarladığımız ilk varlığın değeridir.

Risk hassasiyetleri (Yunanlar)

Black formülü üzerinden bir Avrupa tipi opsiyonun risk hassasiyetleri analitik olarak hesaplanabilir.

  Calls  Puts Prim ()   Delta ()    Vega ()  (*) Theta ()   Ro ()   Gama ()   (*) Vanna   Vomma 

(*)  olduğu şöyle gösterilir: 
 olsun. O zaman,  ve  olur. Bu nedenle,  ve  yazılabilir. O halde, 

Böylelikle,  elde edilir.

 Ayrıca bakınız 
 Black-Scholes modeli
 LIBOR piyasası modeli

 Kaynakça 

Kategori:Finansal matematik
Kategori:Opsiyon (finans)