Trigonometrik özdeşlikler listesi

Trigonometride, trigonometrik özdeşlikler trigonometrik fonksiyonları içeren ve eşitliğin her iki tarafının da tanımlandığı değişkenlerin her değeri için doğru olan eşitliklerdir. Geometrik olarak, bunlar bir veya daha fazla açının belirli fonksiyonlarını içeren özdeşliklerdir. Bunlar üçgen özdeşliklerinden farklıdır, bunlar potansiyel olarak açıları içeren ama aynı zamanda kenar uzunluklarını veya bir üçgenin diğer uzunluklarını da içeren özdeşliklerdir.

Bu özdeşlikler, trigonometrik fonksiyonları içeren ifadelerin basitleştirilmesi gerektiğinde kullanışlıdır. Önemli bir uygulama, trigonometrik olmayan fonksiyonların integrasyonudur: yaygın bir teknik, önce bir trigonometrik fonksiyonla ikame kuralı kullanmayı ve ardından ortaya çıkan integrali bir trigonometrik özdeşlikle basitleştirmeyi içerir.

 Pisagor özdeşlikleri 

küçükresim|upright=1.82|

Sinüs ve kosinüs arasındaki temel ilişki Pisagor özdeşliği ile verilir:

burada  ve  anlamına gelir.

Bu Pisagor teoreminin bir versiyonu olarak görülebilir ve birim çember için  denkleminden çıkar. Bu denklem sinüs ya da kosinüs için çözülebilir:

Burada işaret 'nın çeyreğine (kuadrantına) bağlıdır.

Bu özdeşliği ,  veya her ikisine böldüğünüzde aşağıdaki özdeşlikler elde edilir:

Bu özdeşlikleri kullanarak, herhangi bir trigonometrik fonksiyonu diğer herhangi bir fonksiyon cinsinden (artı veya eksi işaretine kadar) ifade etmek mümkündür:

+ Her bir trigonometrik fonksiyon diğer beş fonksiyonun her biri cinsinden cinsinden                                          

 Yansımalar, kaymalar ve periyodiklik  
Birim çember incelenerek trigonometrik fonksiyonların aşağıdaki özellikleri belirlenebilir.

 Yansımalar 
küçükresim|upright=1.5|alt=(a, b) koordinatlarında çizilmiş teta süpürme açısına sahip birim daire. Açı bir çeyrek pi (45 derece) artışlarla yansıtıldıkça, koordinatlar dönüştürülür. Bir çeyrek pi (45 derece veya 90 - teta) dönüşümü için koordinatlar (b, a)'ya dönüştürülür. Yansıma açısının bir çeyrek pi (toplam 90 derece veya 180 - teta) daha artırılması koordinatları (-a, b)'ye dönüştürür. Yansıma açısının bir çeyrek pi daha artırılması (toplam 135 derece veya 270 - teta) koordinatları (-b,-a)'ya dönüştürür. Son bir çeyrek pi'lik artış (toplam 180 derece veya 360 - teta) koordinatları (a,-b)'ye dönüştürür.|

Bir Öklid vektörünün yönü bir  açısı ile temsil edildiğinde, bu açı serbest vektör (orijinden başlayan) ve pozitif -birim vektörü tarafından belirlenen açıdır. Aynı kavram, Öklid uzayında doğrulara da uygulanabilir; burada açı, verilen doğruya orijinden ve pozitif -ekseninden geçen bir paralel doğru tarafından belirlenen açıdır.  doğrultulu bir doğru (vektör)  doğrultulu bir doğru etrafında yansıtılırsa, bu yansıtılan doğrunun (vektörün)  doğrultu açısı 
değerine sahiptir.

Bu açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri  belirli açılar  için basit özdeşlikleri karşılar: ya eşittirler, ya zıt işaretlidirler ya da tamamlayıcı trigonometrik fonksiyon kullanırlar. Bunlar  olarak da bilinir.

 'da yansıtılan Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15tek/çift özdeşlikler 'te yansıtılan  'de yansıtılan  'te yansıtılan  'de yansıtılan  ile karşılaştıtma

 Kaymalar ve periyodiklik 
küçükresim|upright=1.2|alt=(a, b) koordinatlarında çizilen teta süpürme açısına sahip birim daire. Tarama açısı bir buçuk pi (90 derece) artırıldığında, koordinatlar (-b, a)'ya dönüşür. Bir başka yarım pi'lik artış (toplam 180 derece) koordinatları (-a,-b)'ye dönüştürür. Son bir yarım pi (toplam 270 derece) artış koordinatları (b, a)'ya dönüştürür.|

Bir çeyrekperiyot kaydırmaBir yarımperiyot kaydırmaTamperiyotlarla kaydırmaAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–9Periyot

 İşaretler 
Trigonometrik fonksiyonların işareti açının çeyreğine (kuadrantına) bağlıdır. Eğer  ve  işaret fonksiyonu ise,

Trigonometrik fonksiyonlar ortak periyot  ile periyodiktir, bu nedenle  aralığının dışındaki  değerleri için tekrar eden değerler alırlar (yukarıdaki  bölümüne bakın).

 Açı toplam ve fark özdeşlikleri 

Bunlar aynı zamanda  (veya ) olarak da bilinir.

 ve  için açı farkı özdeşlikleri,  yerine  koyarak ve  ile  gerçeklerini kullanarak açı toplamı versiyonlarından türetilebilir. Açı toplamı özdeşlikleri için şeklin biraz değiştirilmiş bir versiyonu kullanılarak da elde edilebilirler, her ikisi de burada gösterilmektedir.

Bu özdeşlikler, diğer trigonometrik fonksiyonlar için toplam ve fark özdeşliklerini de içeren aşağıdaki tablonun ilk iki satırında özetlenmiştir.

 SinüsAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16 KosinüsAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17 TanjantAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18Kosekant Sekant KotanjantAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.19 ArksinüsAbramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.32 ArkkosinüsAbramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.33 ArktanjantAbramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.34 Arkkotanjant

 Sonsuz sayıda açının toplamlarının sinüs ve kosinüsleri 
 serisi, mutlak yakınsar olduğunda;

 serisi mutlak yakınsadığı için,   ve  Özellikle, bu iki özdeşlikte sonlu sayıda açının toplamları durumunda görülmeyen bir asimetri ortaya çıkar: her çarpımda yalnızca sonlu sayıda sinüs çarpanı vardır, ancak dual sonlu çok sayıda kosinüs çarpanı vardır. Sonsuz sayıda sinüs çarpanı olan terimler zorunlu olarak sıfıra eşit olacaktır.

 açılarının yalnızca sonlu sayıda olanı sıfırdan farklı olduğunda, sağ taraftaki terimlerin yalnızca sonlu sayıda olanı sıfırdan farklıdır çünkü sonlu sayıda sinüs çarpanı hariç hepsi yok olur (sadeleşir). Ayrıca, her bir terimde sonlu sayıda kosinüs çarpanı hariç hepsi birimdir (tekildir).

 Toplamların tanjantları ve kotanjantları 
 ( için) değişkenler içinde inci derece temel simetrik polinom olsun:

 için yani,

Öyleyse yukarıdaki sinüs ve kosinüs toplam formüllerini kullanarak,

Sağ taraftaki terim sayısı sol taraftaki terim sayısına bağlıdır.

Örneğin:

ve bunun gibi. Sadece sonlu sayıda terim olması durumu matematiksel tümevarım ile kanıtlanabilir. Sonsuz sayıda terim olması durumu, bazı temel eşitsizlikler kullanılarak kanıtlanabilir.Michael Hardy. (2016). "On Tangents and Secants of Infinite Sums." The American Mathematical Monthly, volume 123, number 7, 701–703. https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.123.7.701

 Toplamların sekantları ve kosekantları 

Burada ,  değişkenlerinde inci derece temel simetrik polinom olup,   ve paydadaki terim sayısı ile paydaki çarpımdaki çarpan sayısı soldaki toplamdaki terim sayısına bağlıdır. Sadece sonlu sayıda terim olması durumu, bu tür terimlerin sayısı üzerine matematiksel tümevarım yoluyla kanıtlanabilir.

Örneğin,

 Batlamyus teoremi 

küçükresim|upright=1.5|

Batlamyus teoremi, trigonometrik özdeşlikler tarihinde önemlidir, çünkü sinüs ve kosinüs için toplam ve fark formüllerine eşdeğer sonuçlar ilk kez bu şekilde kanıtlanmıştır. Teorem, yandaki şekilde gösterildiği gibi  çembersel dörtgeninde, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımlarının toplamının köşegenlerin uzunluklarının çarpımına eşit olduğunu belirtir. Köşegenlerden veya kenarlardan birinin dairenin çapı olduğu özel durumlarda, bu teorem doğrudan açı toplamı ve fark trigonometrik özdeşliklerine yol açar. Bu ilişki en kolay şekilde, burada gösterildiği gibi daire bir çap uzunluğunda olacak şekilde inşa edildiğinde ortaya çıkar.

Thales teoremi ile,  ve  her ikisi de dik açıdır. Dik açılı  ve  üçgenlerinin her ikisi de uzunluğu 1 olan  hipotenüsünü paylaşır. Böylece kenar , ,  ve  olur.

Çevre açı teoremine göre, çemberin merkezindeki  akorunun merkezde oluşturduğu açı  açısının iki katıdır, yani . Dolayısıyla, simetrik kırmızı üçgen çiftinin her birinin merkezinde  açısı vardır. Bu üçgenlerin her birinin  uzunluğunda bir hipotenüsü vardır, dolayısıyla  uzunluğu , yani basitçe . Dörtgenin diğer köşegeni 1 uzunluğundaki çaptır, dolayısıyla köşegenlerin uzunluklarının çarpımı da 'dır.

Bu değerler, Batlamyus teoreminin  ifadesinde yerine konulduğunda, sinüs için açı toplamı trigonometrik özdeşliği elde edilir: .  için açı farkı formülü,  kenarının  yerine çap olarak kullanılmasıyla benzer şekilde türetilebilir.

 Açının katları ve yarım açı formülleri 

 , inci Chebyshev polinomudur  de Moivre formülü,  sanal birimdir Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48

 Açının katları formülleri 

 Çift açı formülleri 
küçükresim|upright=1.5|

Bir açının iki katı için formüller.








 Üç kat açı formülleri 
Üç kat açılar için formüller.








 Çok kat açı formülleri 
Çok katlı açılar için formüller.







 Chebyshev yöntemi 
Chebyshev yöntemi, inci ve inci değerleri bilerek inci çok katlı açı formülünü bulmak için bir özyineleme algoritmasıdır.

 değeri, ,  ve 'den  eşitliği yardımıyla hesaplanabilir.

Bu durum aşağıdaki formüllerin toplanmasıyla kanıtlanabilir:

Tümevarım yoluyla 'in  'in bir polinomu olduğu sonucuna varılır, buna birinci türden Chebyshev polinomu denir, bkz. Chebyshev polinomları#Trigonometrik tanım.

Benzer şekilde, ,   ve 'ten  yardımıyla hesaplanabilir.

Bu,  ve  formülleri eklenerek kanıtlanabilir.

Chebyshev yöntemine benzer bir amaca hizmet ederek, tanjnat için şunu yazabiliriz:

 Yarım açı formülleri 

Ayrıca

 Tablo 

Bunlar, toplam ve fark özdeşlikleri ya da çoklu açı formülleri kullanılarak gösterilebilir.

  Sinüs  Kosinüs  Tanjant  Kotanjant Çift açı formülüAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26     Üç kat açı formülüAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28     Yarım açı formülü    

Sinüs ve kosinüs için üç kat açı formülünün yalnızca tek bir fonksiyonun kuvvetlerini içermesi, açıyı üçe bölmenin pergel ve düzeç konstrüksiyonu geometrik problemini kübik denklem çözme cebirsel problemiyle ilişkilendirmeye izin verir, bu da alan teorisi tarafından verilen araçları kullanarak üçlemenin genel olarak imkansız olduğunu kanıtlamaya izin verir.

Üçte bir açı için trigonometrik özdeşlikleri hesaplamak amacıyla bir formül mevcuttur, ancak bu  kübik denklemin sıfırlarını yani köklerini bulmayı gerektirir, burada  kosinüs fonksiyonunun üçte birlik açıdaki değeri ve  kosinüs fonksiyonunun tam açıdaki bilinen değeridir. Bununla birlikte, bu denklemin diskriminantı pozitiftir, bu nedenle bu denklemin üç reel kökü vardır (bunlardan sadece biri üçte birlik açının kosinüsü için çözümdür). Bu çözümlerin hiçbiri küp köklerin altında ara karmaşık sayılar kullandıkları için gerçek bir cebirsel ifadeye indirgenemez.

 Kuvvet indirgeme formülleri 
Kosinüs çift açı formülünün ikinci ve üçüncü versiyonlarının çözülmesiyle elde edilir.

SinüsKosinüsDiğer

 Genel olarak  veya  kuvvetleri cinsinden aşağıdaki doğrudur ve De Moivre formülü, Euler formülü ve binom teoremi kullanılarak çıkarılabilir.

 n  ...ise   n tekse n çiftse

Çarpım-toplam ve toplam-çarpım özdeşlikleri
küçükresim|upright=1.5|

Çarpım-toplam özdeşlikleriAbramowitz ve Stegun, s. 72, 4.3.31-33 veya prosthaphaeresis formülleri, açı toplam teoremleri kullanılarak sağ tarafları genişletilerek kanıtlanabilir. Tarihsel olarak, bunlardan ilk dördü, astronomik hesaplamalar için kullanan Johannes Werner'den sonra Werner formülleri olarak biliniyordu. 
Çarpım-toplam formüllerinin bir uygulaması için  genlik modülasyonu ve toplam-çarpım formüllerinin uygulamaları için vuru (akustik) ile faz dedektörü bölümlerine bakınız.

Çarpım-toplam özdeşlikleri










Toplam-çarpım özdeşlikleri
küçükresim|upright=1.59|

Toplam-çarpım özdeşlikleri aşağıdaki gibidir:Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39






 Hermite kotanjant özdeşliği 

Charles Hermite aşağıdaki özdeşliği göstermiştir.  sayılarının, hiçbiri 'nin bir tam sayı katı kadar farklı olmayan karmaşık sayılar olduğunu varsayalım. Varsayalım ki

(özellikle,  bir boş çarpım olmak üzere, 1'dir).O halde

Aşikar olmayan en basit örnek  durumudur:

 Trigonometrik fonksiyonların sonlu çarpımları 
,  aralarında asal tam sayıları için

burada  Chebyshev polinomudur.

Sinüs fonksiyonu için aşağıdaki ilişki geçerlidir;

Daha genel olarak bir  tam sayı için

veya kiriş fonksiyonu  cinsinden yazılabilir,

Bu,  polinomunun doğrusal çarpanlara ayrılmasından gelir. (bkz. birimin kökü): Herhangi bir karmaşık  ve bir tam sayı  için,

 Doğrusal kombinasyonlar 
Bazı amaçlar için, aynı periyot veya frekansta ancak farklı faz kaymaları olan sinüs dalgalarının herhangi bir doğrusal kombinasyonunun da aynı periyot veya frekansa ancak farklı bir faz kaymasına sahip bir sinüs dalgası olduğunu bilmek önemlidir. Bu sinüzoidal veri uydurma için kullanışlıdır. Ölçülen veya gözlemlenen veriler, aşağıdaki faz içi ve kareleme bileşenleri temelinin  ve  bilinmeyenleri ile doğrusal olarak ilişkili olduğundan,  ve  ile karşılaştırıldığında daha basit bir Jacobyen ile sonuçlanır.

 Sinüs ve kosinüs 
Sinüs ve kosinüs dalgalarının doğrusal kombinasyonu veya harmonik toplamı, faz kayması ve ölçeklendirilmiş genliğe sahip tek bir sinüs dalgasına eşdeğerdir,Apostol, T.M. (1967) Calculus. 2nd edition. New York, NY, Wiley. Pp 334-335.

burada  olduğu göz önüne alındığında  ve  şu şekilde tanımlanır:

 Keyfi faz kayması 
Daha genel olarak, keyfi faz kaymaları için

Burada  ve  aşağıdaki ifadeleri sağlar:

 İkiden fazla sinüzoid 

Genel durum şu şekildedir

burada

ve

 Lagrange trigonometrik özdeşlikleri 
Adını Joseph Louis Lagrange'dan alan bu özdeşlikler şunlardır: Extract of page 185 

 için.

İlgili bir fonksiyon Dirichlet çekirdeğidir:

Benzer bir özdeşlik

Kanıt aşağıdaki gibidir. açı toplam ve fark özdeşlikleri kullanılarak,

O zaman aşağıdaki formülü inceleyelim,

ve bu formül yukarıdaki özdeşlik kullanılarak yazılabilir,

Dolayısıyla, bu formülü  ile bölmek kanıtı tamamlar.

 Belirli doğrusal kesirli dönüşümler 
Eğer  doğrusal kesirli dönüşüm tarafından veriliyorsa

ve benzer şekilde

öyleyse

Daha açık bir ifadeyle, eğer tüm  için  yukarıda  olarak adlandırdığımız şey olsun.

Eğer  bir doğrunun eğimi ise,  doğrunun  açısı boyunca dönüşünün eğimidir.

 Karmaşık üstel fonksiyon ile ilişkisi 

Euler'in formülü, herhangi bir gerçek sayı x için:Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47

burada i sanal birimdir. x yerine -x koyduğumuzda aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Bu iki denklem, kosinüs ve sinüsü üstel fonksiyon cinsinden çözmek için kullanılabilir. Spesifik olarak,Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1

Bu formüller, diğer birçok trigonometrik özdeşliği kanıtlamak için kullanışlıdır. Örneğin,

 demek oluyor ki

Sol tarafın reel kısmının, sağ tarafın reel kısmına eşit olması kosinüs için bir açı toplama formülüdür. Sanal kısımların eşitliği sinüs için bir açı toplama formülü verir.

Aşağıdaki tablo trigonometrik fonksiyonları ve bunların terslerini üstel fonksiyon ve karmaşık logaritma cinsinden ifade etmektedir.

FonksiyonTers fonksiyonAbramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31

 Seri açılımları 
Trigonometrik fonksiyonları tanımlamak için bir kuvvet serisi açılımı kullanıldığında, aşağıdaki özdeşlikler elde edilir:Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.65–66

 Sonsuz çarpım formülleri 
Özel fonksiyon uygulamaları için, trigonometrik fonksiyonlar için aşağıdaki sonsuz çarpım formülleri kullanışlıdır:Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69

 Ters trigonometrik fonksiyonlar 

Aşağıdaki özdeşlikler, bir trigonometrik fonksiyonun bir ters trigonometrik fonksiyonla bileşiminin sonucunu verir.

Yukarıdaki her bir denklemin her iki tarafının çarpımsal tersi alındığında  denklemleri elde edilir. Yukarıdaki formülün sağ tarafı her zaman ters çevrilecektir. Örneğin,  için denklem şöyledir:

 ve  için denklemler ise şöyledir:

Aşağıdaki özdeşlikler, yansıma özdeşlikleri tarafından ortaya konmuştur.  ilgili fonksiyonların etki alanlarında olduğunda geçerlidirler.

Aynı zamanda,Wu, Rex H. "Proof Without Words: Euler's Arctangent Identity", Mathematics Magazine 77(3), June 2004, p. 189.

Arktanjant fonksiyonu bir seri olarak genişletilebilir:

 Değişken içermeyen özdeşlikler 
Arktanjant fonksiyonu cinsinden aşağıdaki ifadelere sahibiz;

Morrie yasası olarak bilinen ilginç özdeşlik,

tek değişken içeren bir özdeşliğin özel bir durumudur:

Benzer şekilde,

 olan bir özdeşliğin özel bir durumudur:

 durumu için,

 durumu için,

Aynı kosinüs özdeşliği

Benzer şekilde,

Benzer şekilde,

Aşağıdakiler, değişkenleri içeren bir özdeşliğe kolayca genelleştirilemeyebilir (ancak aşağıdaki açıklamaya bakınız):

Bu özdeşliği, paydalarda 21 ile düşündüğümüzde derece ölçüsü radyan ölçüsünden daha isabetli olmaktan çıkar:

1, 2, 4, 5, 8, 10 çarpanları, modeli netleştirmeye başlayabilir: bunlar 'den küçük olan ve 21 ile göreceli asal olan (veya ortak asal çarpanları olmayan) tam sayılardır. Son birkaç örnek indirgenemez siklotomik polinomlarla ilgili temel bir gerçeğin sonucudur: kosinüsler bu polinomların sıfırlarının gerçel kısımlarıdır; sıfırların toplamı (yukarıdaki son durumda) 21'de değerlendirilen Möbius fonksiyonudur; sıfırların sadece yarısı yukarıda mevcuttur. Bu sonuncusundan önceki iki özdeşlik, 21 yerine sırasıyla 10 ve 15 konduğunda aynı şekilde ortaya çıkar.

Diğer kosinüs özdeşlikleri şunlardır:

ve tüm tek sayılar için böyle devam eder, dolayısıyla

Bu ilginç özdeşliklerin birçoğu aşağıdaki gibi daha genel gerçeklerden kaynaklanmaktadır:

ve

Bunları birleştirmek bize şunları verir;

Eğer  bir tek sayı ise () simetrilerden yararlanarak şu sonucu elde edebiliriz

Butterworth alçak geçiren filtresinin transfer fonksiyonu polinom ve kutuplar cinsinden ifade edilebilir. Frekansı kesim frekansı olarak belirleyerek, aşağıdaki özdeşlik kanıtlanabilir:

 'nin hesaplanması 
'yi çok sayıda basamağa kadar hesaplamanın etkili bir yolu, Machin'den kaynaklanan aşağıdaki değişkensiz özdeşliğe dayanır. Bu Machin benzeri formül olarak bilinir:

veya alternatif olarak Leonhard Euler'in bir özdeşliğini kullanarak:

veya Pisagor üçlülerini kullanarak:

Diğerleri ise şunlardır:Harris, Edward M. "Sums of Arctangents", in Roger B. Nelson, Proofs Without Words (1993, Mathematical Association of America), p. 39.

Genel olarak,  olan  sayıları için  olsun. Bu son ifade, tanjantları  olan bir açılar toplamının kotanjantı için formül kullanılarak doğrudan hesaplanabilir ve değeri  içinde olacaktır. Özellikle, tüm  değerleri rasyonel olduğunda hesaplanan  de rasyonel olacaktır. Bu değerlerle,

burada ilk ifade hariç hepsinde tanjnat yarım açı formüllerini kullandık. İlk iki formül,  değerlerinden biri veya daha fazlası  içinde olmasa bile çalışır.  rasyonel ise, yukarıdaki formüllerdeki  değerlerinin Pisagor üçlüsü  ile orantılı olduğunu unutmayın.

Örneğin,  terimleri için,

 Öklid'in bir özdeşliği 
Öklid, Elementler adlı eserinin XIII. Kitabı, 10. Önermesinde bir çemberin içine yerleştirilmiş düzgün beşgenin kenarındaki karenin alanının, aynı çemberin içine yerleştirilmiş düzgün altıgen ve düzgün ongenin kenarlarındaki karelerin alanlarının toplamına eşit olduğunu göstermiştir. Modern trigonometri dilinde bu şöyle ifade edilir:

Batlamyus bu önermeyi Almagestin I. Kitap, 11. Bölümünde Batlamyus kirişler tablosundaki bazı açıları hesaplamak için kullanmıştır.

 Trigonometrik fonksiyonların bileşimi 
Bu özdeşlikler, trigonometrik bir fonksiyonun trigonometrik bir fonksiyonunu içerir:Milton Abramowitz and Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, New York, 1972, formulae 9.1.42–9.1.45






burada  Bessel fonksiyonlarıdır.

 α + β + γ = 180° durumu için diğer "koşullu" özdeşlikler  

Bir koşullu trigonometrik özdeşlik, trigonometrik fonksiyonların argümanları üzerinde belirtilen koşullar sağlandığında geçerli olan bir trigonometrik özdeşliktir.Er. K. C. Joshi, Krishna's IIT MATHEMATIKA. Krishna Prakashan Media. Meerut, India.  page 636. Aşağıdaki formüller rastgele düzlem üçgenler için geçerlidir ve formüllerde yer alan fonksiyonlar iyi tanımlandığı sürece  formülünden takip edilir (ikincisi sadece tanjant ve kotanjantların yer aldığı formüller için geçerlidir).

 Tarihsel stenolar 

Versinüs, koversinüs, haversinüs ve ekssekant seyrüseferde kullanılmıştır. Örneğin, haversinüs formülü bir küre üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için kullanılmıştır. Günümüzde nadiren kullanılmaktadırlar.

Diğer
 Dirichlet çekirdeği 

Dirichlet çekirdeği , bir sonraki özdeşliğin her iki tarafında meydana gelen fonksiyondur:

 periyodundaki herhangi bir integrallenebilir fonksiyonun Dirichlet çekirdeği ile konvolüsyonu, fonksiyonun inci derece Fourier yaklaşımı ile çakışır. Aynı durum herhangi bir ölçü veya genelleştirilmiş fonksiyon için de geçerlidir.

 Tanjant yarım açı ikamesi 

Eğer  olarak alırsakAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23

burada  bazen  olarak kısaltılır.

Kalkülüste  yerine  kullanıldığında,  yerine ,  yerine  ve  diferansiyeli yerine  yazılır. Böylece  ve 'in rasyonel fonksiyonları, antitürevlerini bulmak için 'nin rasyonel fonksiyonlarına dönüştürülür.

 Viète sonsuz çarpımı 

 Ayrıca bakınız 

 Aristarkus eşitsizliği
 Trigonometrik fonksiyonların türevleri
 Tam trigonometrik değerler (sinüs ve kosinüsün rasyonel olmayan sayı -surd- cinsinden ifade edilen değerleri)
 Ekssekant
 Yarım kenar formülü
 Hiperbolik fonksiyon
 Üçgenlerin çözümü için yasalar:
 Kosinüs teoremi
 Küresel kosinüs yasası
 Sinüs teoremi
 Tanjant teoremi
 Kotanjant teoremi
 Mollweide formülü
 Trigonometrik fonksiyonların integralleri
 Trigonometride anımsatıcılar
 Pentagramma mirificum
 Trigonometrik özdeşliklerin ispatları
 Prosthaphaeresis
 Pisagor teoremi
 Tanjant yarım açı formülü
 Trigonometrik sayı
 Trigonometri
 Trigonometrinin kullanım alanları
 Versinüs ve haversinüs

 Kaynakça 

 Bibliyografya 





 Dış bağlantılar 
 , and for the same angles  and 


Kategori:Matematik özdeşlikleri
Kategori:Trigonometri
Kategori:Matematik listeleri