Rolle teoremi

Kalkülüste, Rolle teoremi veya Rolle önsavı temel olarak, iki farklı noktada eşit değerlere sahip gerçel değerli herhangi bir  türevlenebilir fonksiyona bu iki noktanın aralarındaki noktalarda çizilen teğet doğrulardan eğiminin en az birinin sıfır olduğu. Böyle bir nokta, durağan nokta olarak bilinir. Bu nokta, fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu noktadır ve aynı zamanda kritik nokta olarak da bilinir. Teorem adını Michel Rolle'den almıştır.

 Teoremin standart hâli
Eğer gerçel değerli bir  fonksiyonu,  kapalı aralığında sürekli,  açık aralığında türevlenebilir ve  ise,  açık aralığında  sağlayan bir  vardır.

Rolle teoreminin bu hâli, ortalama değer teoremi'nin özel bir durumudur ve aynı zamanda ortalama değer teoremi kanıtlamak için kullanılır. Teorem, aynı zamanda Taylor teoreminin ispatı için de temel oluşturur.

 Tarihçe 
Teorem adını Michel Rolle'den alsa da, Rolle'ün 1691 tarihli ispatı yalnızca polinomları kapsıyordu. İspâtında, hayatının o döneminde yanlış olduğunu düşündüğü diferansiyel hesap yöntemlerini kullanmamıştır. Teorem ilk olarak 1823 yılında Cauchy tarafından ortalama değer teoreminin ispatının bir sonucu olarak ispatlanmıştır. Rolle teoremi adı ilk olarak 1834'te Alman Moritz Wilhelm Drobisch ve 1846'da İtalyan Giusto Bellavitis tarafından kullanılmıştır.Bkz. 

 Örnekler 

Birinci örnek
küçükresim|upright=1.36|

Bir  yarıçapı için

fonksiyonu göz önüne alınısın.
Bu fonksiyonun grafiği, orijin merkezli üst yarım çemberdir. Bu fonksiyon  kapalı aralığında süreklidir ve  açık aralığında türevlenebilir, ancak  ve  uç noktalarında türevlenemez.  olduğundan, Rolle teoremi geçerlidir ve bu yüzden  türevinin sıfır olduğu bir nokta vardır. Gerçekten de, 

olur ve  sağlanır.

Teorem, fonksiyon uç noktalarda türevlenemediğinde bile geçerlidir çünkü sadece fonksiyonun açık aralıkta türevlenebilir olmasını gerektirir.

İkinci örnek
küçükresim|upright=1.36|

Eğer türevlenebilirlik aralığın bir iç noktasında yoksa, Rolle teoreminin sonucu geçerli olmayabilir.

mutlak değer fonksiyonu ele alınsın.

O zaman , ancak -1 ile 1 arasında nin  sıfır olduğu bir  yoktur. Bunun nedeni, bu fonksiyonun sürekli olmasına rağmen 'da türevlenebilir olmamasıdır. 'nin türevi 'da işaret değiştirir, ancak 0 değerine ulaşmaz. Teorem bu fonksiyona uygulanamaz çünkü fonksiyonun açık aralıktaki her  için türevlenebilir olması gerektiği koşulunu sağlamaz. Bununla birlikte, Rolle teoreminden türevlenebilirlik şartı çıkarıldığında,  yine de  açık aralığında bir kritik noktaya sahip olacaktır. Elbette, bu durumda fonksiyon ya açık aralıktaki her noktada türevli olacaktır ya da bu açık aralıktaki en az bir noktada türevli olmayacaktır. Her iki durumda da, bir noktada türevin sıfır olması ya da türevin tanımsız olmasıyla, kritik noktanın varlığı elde edilmiş olur.

 Genelleştirme 
İkinci örnek, Rolle teoreminin aşağıdaki genellemesini göstermektedir:

Kapalı bir  aralığında  olan gerçel değerli, sürekli bir  fonksiyonu olsun. Bu durumda,  açık aralığındaki her  için sağdan limit,

ve soldan limit,

ise genişletilmiş reel sayılarda, yâni, 'de değer alacaktır. O zaman,  açık aralığında bir  sayısı için 

limitlerinden biri genişletilmiş gerçel sayılarda negatif olmazken  diğeri pozitif olmayacaktır . Eğer sağdan ve soldan limitler her  için birbirine eşitse, o zaman en azından bir  noktasında birbirine eşittir. Dolayısıyla, 'nin  'de türevi vardır ve sıfıra eşittir.

 Açıklamalar
 Eğer  dışbükey veya içbükey ise, o zaman sağ ve sol türevler her iç noktada mevcuttur, dolayısıyla yukarıdaki limitler mevcuttur ve gerçel sayılardır.
 Teoremin bu genelleştirilmiş versiyonu, tek taraflı türevler monoton olarak artan olduğunda konveksliği kanıtlamak için yeterlidir:. 

 Genelleştirilmiş versiyonun ispatı 
Rolle teoreminin standart versiyonu ile genellemesinin ispatı çok benzer olduğundan, genellemeyi ispatlıyoruz.

İspatın ana fikri, eğer  ise,   ile  arasında bir yerde, örneğin 'de bir maksimum veya bir minimum değerine ulaşmalı ve fonksiyon 'de artmaktan azalmaya (veya tam tersi) değişmelidir. Özellikle, eğer türev varsa, 'de sıfır olmalıdır.

Varsayım olarak,  fonksiyonu,  üzerinde süreklidir ve uç değer teoremi ile  içinde hem maksimumuna hem de minimumuna ulaşır. Bunların her ikisi de 'nin uç noktalarında elde edilirse,  fonksiyonu  üzerinde sabittir ve bu nedenle 'nin türevi 'nin her noktasında sıfırdır.

Bu durumda maksimumun 'nin bir iç noktası olan 'de elde edildiğini varsayalım (minimum için argüman çok benzerdir, sadece  olarak düşünün). Yukarıdaki sağ ve sol limitleri ayrı ayrı inceleyeceğiz.

,  içinde olacak şekilde, gerçel bir  için   değeri  değerinden küçük veya ona eşittir, çünkü varsayım dolayısıyla fonksiyon 'de maksimuma ulaşır. Bu nedenle, her  için,

ve dolayısıyla

olur. Burada, limit varsayım gereği eksi sonsuz da olabilir.

Benzer şekilde, her  için eşitsizlik tersine döner çünkü payda artık negatiftir. Böylece, 

olur. Dolayısıyla,

elde ederiz. Burada, limit yine varsayım gereği artı sonsuz da olabilir.

Son olarak, yukarıdaki sağ ve sol limitler aynı olduğunda (ve özellikle  türevlenebilir olduğunda), 'nin 'deki türevi sıfır olmalıdır.

(Alternatif olarak, Fermat durağan nokta teoremini doğrudan uygulayabiliriz).

 Daha yüksek mertebeli türevlere genelleme 
Rolle teoremini, 'nin eşit değerlere ve daha büyük mertebeden türevlenebilirliğe sahip olduğu daha  fazla noktaya sahip olmasını varsayacak şekilde de genelleştirebiliriz. Özellikle, varsayalım ki
  fonksiyonu   kapalı aralığına  kez sürekli türevlenebilir ve  açık aralığında 'inci meretebeden türevi varsa
 1'den 'e kadar her  için  içinde  olacak şekilde   tarafından verilen  tane aralık varsa,
o zaman  içinde 'nin 'inci türevinin sıfır olduğu bir  noktası vardır.

küçükresim|upright=1.32|

'nin 'inci türevine ilişkin gereklilikler, yukarıdaki genellemede olduğu gibi zayıflatılabilir ve  yerine  ile yukarıda tanımlanan sağ ve sol limitler için karşılık gelen (daha zayıf olabilen) ifadeleri verir.

Teoremin özellikle bu hâli, yeterince türevlenebilir bir fonksiyonun  tane kökü varsa, 'in sıfır değeri aldığı bir iç nokta olduğunu ifade eder.

İspat
İspat, matematiksel tümevarım yöntemini kullanır.  durumu basitçe Rolle teoreminin standart versiyonudur.  için, tümevarım hipotezi olarak genellemenin  için doğru olduğunu kabul edelim. Bunu  için kanıtlamak istiyoruz.  fonksiyonunun teoremin hipotezlerini karşıladığını varsayalım. Rolle teoreminin standart versiyonuna göre, 1 ile  arasındaki her  tam sayısı için,  açık aralığında  olacak şekilde bir  vardır. Dolayısıyla, birinci türev,  adetteki kapalı  aralıklarındaki varsayımları karşılar. Tümevarım hipotezine göre,  vardır ki 'nin inci türevinin sıfır olduğu bir  sayısı vardır.

 Diğer sayı cisimlerine genellemeler 
Rolle teoremi, bir sıralı cisim olan reel sayılar üzerinde türevlenebilir fonksiyonların bir özelliğidir. Bu nedenle, diğer cisimler için genelleştirilemez. Ancak teoremin aşağıdaki sonucu  genelleştirilebilir: 
Gerçel katsayılı bir polinomun bütün kökleri gerçel sayı ise, o zaman da türevinin kökleri de gerçeldir. Bir cismin bu özelliğine, Rolle özelliği denebilir. Daha genel cisimler her zaman türevlenebilir fonksiyonlara sahip değildir, ancak her zaman sembolik olarak türevlenebilen polinomlara sahiptirler. Benzer şekilde, daha genel cisimler bir mertebeye sahip olmayabilir, ancak bir cisimde yer alan bir polinomun kökü kavramı vardır.

Rolle teoremi, bu yüzden, gerçel sayıların Rolle özelliğine sahip olduğunu gösterir. Karmaşık sayılar gibi cebirsel olarak kapalı herhangi bir cisim Rolle özelliğine sahiptir. Ancak, rasyonel sayılar Rolle özelliğine sahip değildir. Örneğin,  rasyonel sayılar üzerinde çarpanlara ayrılır, ancak türevi,

çarpanlara ayrılamaz. Hangi cisimlerin Rolle özelliğini karşıladığı sorusu 'de ortaya atılmıştır.. Sonlu cisimler için cevap, sadece  ve 'ün Rolle özelliğine sahip olduğudur...

Karmaşık bir versiyon için Voorhoeve indeksine bakınız.

 Ayrıca bakınız 
Ortalama değer teoremi
Ara değer teoremi
Doğrusal interpolasyon
Gauss-Lucas teoremi

 Kaynakça 

 Konuyla ilgili okumalar 



 Dış bağlantılar 

 Rolle's and Mean Value Theorems at cut-the-knot.
 Mizar sistemi ispat: http://mizar.org/version/current/html/rolle.html#T2

Kategori:Gerçel analiz teoremleri
Kategori:Kalkülüs teoremleri
Kategori:Kanıt içeren maddeler