Trigonometrik özdeşliklerin ispatları

Trigonometrik fonksiyonları tanımlamanın birkaç eşdeğer yolu vardır ve bunlar arasındaki trigonometrik özdeşliklerin kanıtları seçilen tanıma bağlıdır. En eski ve en temel tanımlar dik üçgenlerin geometrisine ve kenarları arasındaki orana dayanır. Bu makalede verilen kanıtlar bu tanımları kullanır ve dolayısıyla bir dik açıdan büyük olmayan negatif olmayan açılar için geçerlidir. Daha büyük ve negatif açılar için Trigonometrik fonksiyonlar bölümüne bakınız.

Diğer tanımlar ve dolayısıyla diğer kanıtlar sinüs ve kosinüsün Taylor serisine veya  diferansiyel denkleminin çözümlerine  dayanır.

Temel trigonometrik özdeşlikler

Tanımlar
küçükresim|

Altı trigonometrik fonksiyon, bazıları için 0'dan dik açının (90°) katları kadar farklı olan açılar hariç, her gerçel sayı için tanımlanmıştır. Sağdaki diyagrama bakılırsa, θ'nın altı trigonometrik fonksiyonu, dik açıdan daha küçük açılar içindir:

 Oran özdeşlikleri

Bir dik açıdan daha küçük açılar söz konusu olduğunda, aşağıdaki özdeşlikler bölme özdeşliği aracılığıyla yukarıdaki tanımların doğrudan sonuçlarıdır

90°'den büyük açılar ve negatif açılar için geçerli olmaya devam ederler.

Veya

Tümler açı özdeşlikleri
Toplamı π/2 radyan (90 derece) olan iki açı "tümler (veya tamamlayıcı veya dikler)”dir. Şekilde, A ve B köşelerindeki açılar tümlerdir, bu nedenle a ve b'yi değiştirebilir ve θ'yı π/2 - θ olarak değiştirerek elde edebiliriz:

 Pisagor özdeşlikleri

Özdeşlik 1:

Bu ve oran özdeşliklerinden aşağıdaki iki sonuç çıkar. İlkini elde etmek için,  ifadesinin her iki tarafını 'ya ikincisi için 'ya bölün.

Benzer şekilde,

Özdeşlik 2:

Aşağıda her üç ters fonksiyon da açıklanmaktadır.

İspat 2:

Yukarıdaki üçgen şekline bakınız. Pisagor teoremine göre  olduğuna dikkat edin.

Uygun fonksiyonlarla yer değiştirdiğimizde -

Yeniden düzenlersek:

Açı toplam özdeşlikleri

Sinüs
sağ|küçükresim|upright=1.59|

Yatay bir çizgi (x-ekseni) çizin; bir O orijini işaretleyin. O'dan yatay çizginin üzerinde  açısında bir çizgi ve bunun üzerinde  açısında ikinci bir çizgi çizin; ikinci çizgi ile x-ekseni arasındaki açı 'dır.

P'yi  ile tanımlanan doğru üzerine orijinden birim uzaklıkta yerleştirin.

PQ,  açısıyla tanımlanan OQ doğrusuna dik bir doğru olsun ve bu doğru üzerindeki Q noktasından P noktasına çizilsin.  OQP bir dik açıdır.

QA, x-ekseni üzerindeki A noktasından Q'ya ve PB, x-ekseni üzerindeki B noktasından P'ye bir dik olsun.

QR x-eksenine paralel olacak şekilde R'yi PB üzerine çizin.

Şimdi  açısı (çünkü ,  ve son olarak  yapar.)

, so 
, so 

 yerine  koyarak ve tek ve çift fonksiyonlar için yansıma özdeşliklerini kullanarak da elde ederiz:

Kosinüs
Yukarıdaki şekli kullanarak,

, so 

, so 

 yerine  koyarak ve tek ve çift fonksiyonlar için yansıma özdeşliklerini kullanarak da elde ederiz:

Ayrıca, tümler açı formülleri kullanılarak,

Tanjant ve kotanjant
Sinüs ve kosinüs formüllerinden şunu elde ederiz

Hem pay hem de paydayı  ile bölersek, şunu elde ederiz

 değerini,  değerinden  eşitliği yardımıyla çıkarırsak,

Benzer şekilde, sinüs ve kosinüs formüllerinden şunu elde ederiz

Daha sonra hem pay hem de paydayı  ile bölerek şunu elde ederiz

Ya da  eşitliğini kullanarak,

 eşitliğini kullanarak,

Çift açı özdeşlikleri
Açı toplam özdeşliklerinden şunu elde ederiz

ve

Pisagor özdeşlikleri bunlardan ikincisi için iki alternatif form verir:

Açı toplam özdeşlikleri de şunları verir

Ayrıca Euler formülü kullanılarak da kanıtlanabilir.

Her iki tarafın karesi alındığında

Ancak açıyı, denklemin sol tarafında aynı sonucu veren iki katına çıkarılmış versiyonu ile değiştirirsek

Bundan şu sonuç çıkar

.

Kareyi genişletmek ve denklemin sol tarafını sadeleştirmek şu sonucu verir

.

Sanal ve gerçek kısımlar aynı olmak zorunda olduğundan, orijinal özdeşliklerle baş başa kalırız

,

ve ayrıca

.

 Yarım açı özdeşlikleri
cos 2θ için alternatif formları veren iki özdeşlik aşağıdaki denklemlere yol açar:

Karekök işaretinin doğru seçilmesi gerekir -θ'ya 2 eklenirse, kareköklerin içindeki büyüklüklerin değişmediğini, ancak denklemlerin sol taraflarının işaret değiştirdiğini unutmayın. Bu nedenle, kullanılacak doğru işaret θ değerine bağlıdır.

Tan fonksiyonu için denklem şöyledir:

Daha sonra karekök içindeki pay ve paydayı (1 + cos θ) ile çarpmak ve Pisagor özdeşliklerini kullanmak şu sonucu verir:

Ayrıca, pay ve paydanın her ikisi de (1 - cos θ) ile çarpılırsa, sonuç şu olur:

Bu aynı zamanda şunu da verir:

Benzer düzenlemeler cot fonksiyonu için de geçerlidir:

Çeşitli – üçlü tanjant özdeşliği

Eğer  yarım çember ise (örneğin, ,  ve  bir üçgenin açılarıdır),

İspat: dead link

Çeşitli – üçlü kotanjant özdeşliği
Eğer  çeyrek çember ise,

.

İspat:

,  ve  açılarının her birini tümler açılarıyla değiştirin, böylece kotanjantlar tanjantlara dönüşür ve bunun tersi de geçerlidir.

verildiğinde sonuç üçlü tanjant özdeşliğinden çıkar.

Çarpım-toplam özdeşlikleri




Sinüs özdeşliklerinin ispatı
İlk olarak, toplam-açı özdeşlikleri ile başlayın:

Bunları toplayarak,

Benzer şekilde, iki toplam açı özdeşliğini çıkararak,

 ve  olsun,
 ve 

 ve  yerine

Dolayısıyla,

Kosinüs özdeşliklerinin ispatı

Benzer şekilde kosinüs için de toplam-açı özdeşlikleri ile başlayın:

Tekrar, toplama ve çıkarma yaparak

 ve  değerlerini daha önce olduğu gibi yerine koyun,

Eşitsizlikler

sağ|küçükresim|upright=1.55|

Sağdaki şekil, yarıçapı 1 olan bir çemberin bir sektörünü göstermektedir. Sektör tüm çemberin 'sıdır, dolayısıyla alanı 'dir. Burada {{math|θ < /2}}.

 üçgeninin alanı  veya 'dir. Üçgenin  alanı  veya 'dir.

 üçgeni tamamen sektörün içinde yer aldığından ve sektör de tamamen  üçgeninin içinde yer aldığından,

Bu geometrik argüman, varsayım olarak hareket eden yay uzunluğu ve alan tanımlarına dayanır, bu nedenle kanıtlanabilir bir özellikten ziyade trigonometrik fonksiyonların yapımında dayatılan bir koşuldur. Sinüs fonksiyonu için diğer değerleri de ele alabiliriz. Eğer  ise, . Ancak  (Pisagor özdeşliği nedeniyle), bu nedenle . O halde elimizde,

Negatif  değerleri için sinüs fonksiyonunun simetrisi gereği

Dolayısıyla

ve

Kalkülüs içeren özdeşlikler

Önbilgiler

Sinüs ve açı oranı özdeşliği

Başka bir deyişle, sinüs fonksiyonu 0'da türevlenebilirdir ve türevi 1'dir.İspat: Önceki eşitsizliklerden, küçük açılar için

,
Bu nedenle,
,
Sağ taraftaki eşitsizliği göz önünde bulundurun. O zaman,

 ile çarpın

Sol taraftaki eşitsizlik ile birleştirildiğinde:

 değerinin  limitini alırsak

Böylece,

 Kosinüs ve açı oranı özdeşliğiİspat:Bu üç niceliğin limitleri 1, 0 ve 1/2'dir, dolayısıyla sonuçta elde edilen limit sıfırdır.

 Kosinüs ve açının karesi oranı özdeşliğiİspat:Önceki kanıtta olduğu gibi,

Bu üç niceliğin limitleri 1, 1 ve 1/2'dir, dolayısıyla ortaya çıkan limit 1/2'dir.

 Trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların bileşimlerinin ispatı

Tüm bu fonksiyonlar, Pisagor trigonometrik özdeşliğinden kaynaklanır. Örneğin şu fonksiyonu kanıtlayabilirizİspat:'''Şuradan başlayalım;
 (I)
Daha sonra bu (I) denklemini 'a bölersek

 (II)

Ardından  ifadesini yerine koyun:

Daha sonra  özdeşliğini kullanırız.
 (III)

Ve ilk Pisagor trigonometrik özdeşliği kanıtlandı...

Benzer şekilde bu (I) denklemini 'e bölersek
 (II)

Ardından  ifadesini yerine koyun:

Daha sonra  özdeşliğini kullanırız.
 (III)

Ve ilk Pisagor trigonometrik özdeşliği kanıtlandı...

 (IV)

Kanıtlamamız gereken şeyi tahmin edelim:

 (V)

(V)'i (IV) ile değiştirirsek:

Yani doğrudur:  ve tahmin ettiğimiz  ifadesi de doğruydu:

Şimdi y, x olarak yazılabilir; ve [arctan] cinsinden ifade edilen [arcsin]'i elde ettik...

Benzer şekilde, eğer araştırırsak:....

'den ...

Ve son olarak [arctan] cindsinden ifade edilen [arccos]'u elde ettik...

Ayrıca bakınız

 Trigonometrik özdeşlikler listesi
 Bhaskara I'in sinüs yaklaşımı formülü
 Trigonometrik tablolar
 Aryabhata sinüs tablosu
 Madhava sinüs tablosu
 Newton serileri tablosu
 Madhava serisi
 Birim vektör (yön kosinüsleri açıklar)
 Euler formülü

Notlar

Kaynakça

 E. T. Whittaker & G. N. Watson. A Course of Modern Analysis'', Cambridge University Press, 1952

Kategori:Trigonometri
Kategori:Matematiksel ispatlar