Brahmagupta üçgeni

Brahmagupta üçgeni, kenar uzunlukları ardışık pozitif tam sayılar ve alanı pozitif bir tam sayı olan bir üçgendir. Kenar uzunlukları 3, 4, 5 olan üçgen bir Brahmagupta üçgenidir ve kenar uzunlukları 13, 14, 15 olan üçgen de öyledir. Brahmagupta üçgeni, kenar uzunlukları ve alanı pozitif tam sayılar olan bir üçgen olan Heron üçgeninin özel bir durumudur, ancak kenar uzunluklarının ardışık tam sayılar olması gerekmez. Brahmagupta üçgeni, bu listeyi hesaplama yöntemini açıklamadan bu tür ilk sekiz üçgenin bir listesini veren Hint astronom ve matematikçi Brahmagupta (MS 598 - 668) onuruna bu şekilde adlandırılır.

Brahmagupta üçgeni, 1996 yılında yayınlanan bir makalede kavramı tartışan Charles R. Fleenor'un onuruna Fleenor-Heron üçgeni olarak da adlandırılır. Brahmagupta üçgenlerinin bilindiği diğer isimlerden bazıları süper-Heron üçgeni ve neredeyse eşkenar Heron üçgenidir.

Tüm Brahmagupta üçgenlerini bulma problemi eski bir problemdir. Problemin kapalı formda bir çözümü 1880 yılında Reinhold Hoppe tarafından bulunmuştur.

 Brahmagupta üçgenlerinin oluşturulması
Bir Brahmagupta üçgeninin kenar uzunlukları ,  ve  olsun, burada  1'den büyük bir tam sayıdır. Heron formülü kullanılarak, üçgenin  alanının şu şekilde olduğu gösterilebilir:

 bir tam sayı olmak zorunda olduğundan,  çift olmalıdır ve bu nedenle  olarak alınabilir, burada  bir tam sayıdır. Böylece,

Çünkü  bir tam sayı olmak zorundadır, bazı  tam sayıları için  olmalıdır. Dolayısıyla,  aşağıdaki Diophantine denklemini sağlamalıdır:

 .

Bu,  olmak üzere  Pell denklemi olarak adlandırılan duruma bir örnektir. Pell denklemini çözme yöntemleri  ve  tam sayılarının değerlerini bulmak için uygulanabilir.

küçükresim|

Açıktır ki , ,  denkleminin bir çözümüdür. Bunu bir başlangıç çözümü olarak alırsak  denkleminin tüm çözümlerinin  kümesi aşağıdaki yineleme bağıntıları kullanılarak oluşturulabilir

veya aşağıdaki bağıntılarla

Aşağıdaki özellik kullanılarak da oluşturulabilirler:

Aşağıda  ve 'nin ilk sekiz değeri ve bunlara karşılık gelen Brahmagupta üçgenleri verilmiştir:
   1  2  3  4  5  6  7  8    2  7  26  97  362  1351  5042  18817     1  4  15  56  209  780  2911  10864Brahmaguptaüçgeni3,4,513,14,1551,52,53193,194,195723,724,7252701,2702,270310083,10084,1008537633,37634,337635 

 dizisi, Çevrimiçi Tam sayı Dizileri Ansiklopedisi (OEIS: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)'te  ve  dizisi OEIS'te  girdisidir.

Genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenleri
Bir Brahmagupta üçgeninde kenar uzunlukları, ortak farkı 1 olan bir tam sayı aritmetik dizisi oluşturur. Genelleştirilmiş bir Brahmagupta üçgeni, kenar uzunluklarının pozitif tam sayıların aritmetik dizisini oluşturan bir Heron üçgenidir. Genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenleri Brahmagupta üçgenlerinden kolayca oluşturulabilir. Eğer  bir Brahmagupta üçgeninin kenar uzunlukları ise, herhangi bir pozitif  tam sayısı için,  tam sayıları genelleştirilmiş bir Brahmagupta üçgeninin ortak farkı  olan bir aritmetik dizi oluşturan kenar uzunluklarıdır. Bu şekilde oluşturulmayan genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenleri vardır. İlkel bir genelleştirilmiş Brahmagupta üçgeni, kenar uzunluklarının 1'den başka ortak çarpanı olmayan bir genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenidir.

Bu tür üçgenlerin kenar uzunluklarını bulmak için, kenar uzunlukları  olsun; burada   koşulunu sağlayan tam sayılardır. Heron formülünü kullanarak, üçgenin alanının  olduğu gösterilebilir:

.

'nın bir tam sayı olması için  çift olmalıdır ve bazı tam sayılar için  alınabilir. Bu şu anlama gelir:

.

Yine,  bir tam sayı olmak zorunda olduğundan,  bazı  tam sayıları için  biçiminde olmak zorundadır. Dolayısıyla, genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenlerinin kenar uzunluklarını bulmak için aşağıdaki homojen ikinci dereceden Diophantine denkleminin çözümlerini bulmak gerekir:

.

Bu denklemin tüm ilkel çözümlerinin şu şekilde verildiği gösterilebilir

burada  ve  pozitif asal tam sayılardır ve 'dir.

Eğer  alırsak  Brahmagupta üçgenini elde ederiz. Eğer  alırsak  Brahmagupta üçgenini elde ederiz. Ancak  alırsak, bir Brahmagupta üçgenine indirgenemeyen genelleştirilmiş  Brahmagupta üçgenini elde ederiz.

 Ayrıca bakınız 
 Brahmagupta polinomları
 Brahmagupta dörtgeni

Kaynakça

Kategori:Öklid düzlem geometrisi
Kategori:Diofantos denklemleri
Kategori:Üçgen
Kategori:Üçgen geometrisi
Kategori:Geometrik şekiller
Kategori:Temel matematik
Kategori:Sayılar teorisi
Kategori:Brahmagupta