Viviani teoremi

Adını Vincenzo Viviani'den alan Viviani teoremi, herhangi bir iç noktadan bir eşkenar üçgenin kenarlarına olan en kısa mesafelerin toplamının üçgenin yüksekliğinin uzunluğuna eşit olduğunu belirtir. Çeşitli matematik yarışmalarında, ortaokul matematik sınavlarında yaygın olarak kullanılan bir teoremdir ve gerçek dünyadaki birçok probleme uygulanabilirliği vardır.

İspat
küçükresim|Viviani teoreminin görsel ispatı:
1.P noktasından ABC eşkenar üçgeninin kenarlarına olan en kısa mesafeler gösterilmiştir.2.Sırasıyla AB, BC ve CA'ya paralel olan ve P'den geçen DE, FG ve HI doğruları PHE, PFI ve PDG benzer üçgenlerini tanımlar.3.Bu üçgenler eşkenar olduğundan, yükseklikleri dikey olacak şekilde döndürülebilir.4.PGCH bir paralelkenar olduğundan, PHE üçgeni yukarı kaydırılarak yüksekliklerin toplamının NUI üçgeninin yüksekliğine eşit olduğu gösterilebilir.

Bu isapt, bir üçgenin alanının, tabanının yarısı ile yüksekliğinin çarpımı, yani bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısı olduğu şeklindeki kolayca kanıtlanabilen önermeye dayanır.Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, , p. 96 ()

ABC yüksekliği h ve kenarları a olan bir eşkenar üçgen olsun.

P üçgenin içindeki herhangi bir nokta olsun ve s, t, u P'nin kenarlara olan dik uzaklıkları olsun. P'den A, B ve C'nin her birine bir doğru çizerek PAB, PBC ve PCA üçgenlerini oluşturun.

Şimdi, bu üçgenlerin alanları ,  ve 'dır. Bunlar çevreleyen üçgeni tam olarak doldurur, dolayısıyla bu alanların toplamı çevreleyen üçgenin alanına eşittir.
Yani şöyle yazabiliriz:

ve böylece

Q.E.D.

İlişkisel karşıtanlam
Bunun tersi de geçerlidir: Bir üçgenin bir iç noktasından kenarlarına olan uzaklıkların toplamı noktanın konumundan bağımsızsa, üçgen eşkenardır.

 Uygulamaları 
sağ|küçükresim|upright=1.82|

Viviani teoremi, bir eşkenar üçgenin kenarlarına paralel doğruların, yanıcılık grafiği gibi üçlü çizim yapmak için koordinatlar verdiği anlamına gelir.

Daha genel olarak, aynı şekilde düzenli bir simpleks üzerinde koordinatlar verilmesini mümkün kılar.

Genişletmeler

Paralelkenar
Bir paralelkenarın herhangi bir iç noktasından kenarlara olan uzaklıkların toplamı, noktanın konumundan bağımsızdır. Bunun tersi de geçerlidir: Eğer bir dörtgenin iç kısmındaki bir noktadan kenarlara olan uzaklıkların toplamı noktanın konumundan bağımsızsa, o zaman dörtgen bir paralelkenardır.

Sonuç, karşılıklı kenarları paralel olan herhangi bir 2n-gene genelleştirilebilir. Karşılıklı paralel kenarların herhangi bir çifti arasındaki mesafelerin toplamı sabit olduğundan, paralel kenar çiftleri arasındaki tüm ikili toplamların toplamının da sabit olduğu sonucuna varılır. Sonuç, karşılıklı kenarları paralel olması gerekmeyen bir eşkenar altıgen için geçerli olduğundan, genel olarak tersi doğru değildir.

Düzgün çokgen
Eğer bir çokgen düzgün (hem eşaçılı hem de eşkenar) ise, bir iç noktadan kenarlara olan uzaklıkların toplamı noktanın konumundan bağımsızdır. Spesifik olarak, n çarpı apoteme eşittir; burada n kenar sayısı ve apotem merkezden bir kenara olan mesafedir. Bununla birlikte, tersi geçerli değildir; kare olmayan paralelkenar bir karşı örnektir.

Eşaçılı çokgen
Bir iç noktadan eşaçılı çokgen kenarlarına olan uzaklıkların toplamı noktanın konumuna bağlı değildir.

 Dışbükey çokgen
Dışbükey (konveks) bir çokgenin herhangi bir iç noktasından kenarlara olan uzaklıkların sabit bir toplamına sahip olması için gerek ve yeter koşul, eşit uzaklık toplamlarına sahip doğrusal olmayan üç iç noktanın bulunmasıdır.

Düzgün çokyüzlü
Bir düzgün çokyüzlünün iç kısmındaki herhangi bir noktadan kenarlara olan uzaklıkların toplamı, noktanın konumundan bağımsızdır. Ancak bunun tersi dört yüzlüler için bile geçerli değildir.

 Kaynakça 

 Konuyla ilgili okumalar 






 Dış bağlantılar 

Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points
  at Cut the knot.
 the Wolfram Demonstrations Project.
  at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.



Kategori:Üçgen
Kategori:Üçgen geometrisi
Kategori:Öklid geometrisi
Kategori:Öklid geometrisi teoremleri
Kategori:Kanıt içeren maddeler