Holomorfluk bölgesi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorfluk bölgesi, üzerinde tanımlı olan holomorf fonksiyolardan en az bir tanesinin daha büyük bir bölgeye holomorf özelliğini koruyarak devam ettirilemediği bölgelere verilen addır. Karmaşık düzlemdeki açık kümelerin hepsi holomorfluk bölgesidir. Ancak, karmaşık düzlemde geçerli olan bu sonucun dengi bir sonuç yüksek boyutlu uzayda herhangi bir bölge için geçerli değildir. Bu yüzden, holomorfluk bölgelerin belirleyici özelliklerini bulmak yirminci yüzyılın ilk yarısında çok değişkenli karmaşık analizde en yoğun çalışılmış konulardan birisi olmuştur. Bu farklılığı ilk defa Fritz Hartogs göz önüne sermiştir ve sonuç en genel haliyle Hartogs devam (genişleme) teoremi olarak bilinmektedir.

 Tanım  
küçükresim|upright=0.77|right|Tanımdaki kümeler

 açık bir küme olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan  ve  gibi açık kümeler yoksa, 'ya holomorfluk bölgesi denir.
 .
  bağlantılı ve .
  üzerinde tanımlı her holomorf  fonksiyonu için, tanım kümesi  olan ve  üzerinde  sağlayan holomorf bir   vardır.

 Denk tanımlar 
Holomorfluk bölgesinin tanımına denk olan başka matematiksel ifadeler de vardır. Bu amaçla,  bir bölge olsun. O zaman aşağıdaki ifadeler birbirine denktir. 
  holomorfluk bölgesidir.
  holomorf-dışbükey bölgedir. Yani, 'nın tıkız altkümelerinin  içindeki holomorf dışbükey zarfı  içinde yine tıkızdır.  üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonların kümesi  ile gösterilirse, tıkız bir  için holomorf dışbükey zarf şu şekilde tanımlanır:
  sözde dışbükey bölgedir.
  üzerinde Süreklilik İlkesi vardır. Yani,  kümeleri   içinde yer alan kapalı analitik disklerse ve  ise, o zaman  olur.
  yerel Levi özelliğine sahiptir: 'nın sınırındaki her nokta için bir komşuluk vardır öyle ki bu komşuluğun  ile kesişiminde holomorf olan hiçbir fonksiyon komşuluğun tümüne holomorf olarak devam ettirilemez.
 Oka önsavı yardımıyla çözülür. 
 ise Levi problemi olarak bilinir. İlk defa Kiyoshi Oka tarafından çözülmüştür.

 Özellikler 
  holomorfluk bölgesi ise, o zaman kesişimleri  de holomorfluk bölgesi olur.
  bir öncekini kapsayarak artan bir holomorfluk bölge dizisi ise, o zaman bu bölgelerin birleşimleri  de holomorfluk bölgesidir. Bu özellik Behnke-Stein teoremi olarak da bilinir.
  ve   holomorfluk bölgesi ise, o zaman  de holomorfluk bölgesidir.
 Birinci Cousin problemi bir holomorfluk bölgesinde her zaman çözülebilir. İkinci Cousin problemi ise ilave topolojik varsayımlar eklenerek çözülebilir.

 Karmaşık düzlemde sonuçlar 
Karmaşık düzlemdeki açık kümelerin hepsi holomorfluk bölgesidir.
Karmaşık düzleme eşit olmayan açık kümenin holomorfluk bölgesi olduğunu göstermek için genelde iki ayrı yöntem takip edilir. Ya fonksiyonun sıfır değeri aldığı noktaların kümeye eşit olmadığı ve kümenin sınırındaki her noktaya yığılması istenir ya da fonksiyonun sınırdaki noktalara doğru limitinin sonsuz olması istenir. Mesela, açık kümenin sınırının her noktasına yığılma gösteren ama herhangi bir şekilde içerideki bir noktaya yığılmayan karmaşık sayı dizisi inşa edilebilir(). O zaman, Weierstrass çarpım teoreminin bir genellemesi yardımıyla, bu bölge üzerinde holomorf olan ve bu dizinin yığılma noktalarında sıfır değerleri olan bir fonksiyon vardır. Bu fonksiyonun çarpmaya göre tersi, açık kümenin üzerinde tanımlı ve holomorftur. Bu sayede,  bu kümenin dışına holomorf olarak devam ettirilemez.

 Örnekler 
 Hadamard boşluk teoremi sayesinde, kuvvetleri belli tamsayıları atlayan (boşluklu) seriler birim diskin dışına holomorf bir şekilde genişletilemez. Mesela, 
 tamsayı olmak  üzere  serisi birim diskin dışına holomorf  olarak devam ettirilemez. 
Başka bir örnek ise  serisidir. 
Aynı türden başka bir örnek ise  serisidir.
  de birim diskin dışına holomorf bır şekilde devam ettirilemeyen holomorf bir fonksiyondur.

 Ayrıca bakınız 
 Behnke-Stein teoremi
 Sözde dışbükeylik
 Stein manifoldu

 Notlar 

 Kaynakça 

 Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
 Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992

Kategori:Çok değişkenli karmaşık analiz