Trigonometrik yerine koyma

Matematikte, bir trigonometrik yerine koyma veya trigonometrik ikame, trigonometrik fonksiyon yerine başka bir ifadeyi koyar. Kalkülüste trigonometrik ikameler integralleri hesaplamak için kullanılan bir tekniktir. Bu durumda, radikal fonksiyon içeren bir ifade trigonometrik bir ifade ile değiştirilir. Trigonometrik özdeşlikler cevabı basitleştirmeye yardımcı olabilir. Diğer yerine koyma yoluyla integrasyon yöntemlerinde olduğu gibi, belirli bir integrali değerlendirirken, integrasyon sınırlarını uygulamadan önce, ters türevin sonucunu tam olarak çıkarmak daha basit olabilir.

 Durum I: a2 − x2 içeren integraller 
 olsun ve  özdeşliğini kullanın.

Durum I için örnekler 
küçükresim|

Örnek 1

integralinde,

ikamesini kullanabiliriz. Böylece,

Yukarıdaki adım  ve  olmasını gerektirir. 'yı 'nin ana kökü olarak seçebilir ve ters sinüs fonksiyonunu kullanarak  kısıtlamasını uygulayabiliriz.

Belirli bir integral için, integrasyon sınırlarının nasıl değiştiğini bulmak gerekir. Örneğin,  'dan 'ye giderken  'dan 'ye gider, böylece  'dan 'ya gider. Öyleyse,

Sınırları seçerken biraz dikkatli olmak gerekir. Yukarıdaki integral  gerektirdiğinden,  yalnızca  ile  arasında olabilir. Bu kısıtlama ihmal edildiğinde, 'nın 'den 'ya gitmesi seçilebilirdi, bu da gerçek değerin negatifiyle sonuçlanırdı.

Alternatif olarak, sınır koşullarını uygulamadan önce belirsiz integralleri tam olarak değerlendirin. Bu durumda, ters türev daha önce olduğu gibi şu sonucu verir:

Örnek 2

integrali,  burada  olarak alınarak hesaplanabilir, böylece  ve  arksin değer kümesine göre  ve 'dır.

Böylece,

Belirli bir integral için, yerine koyma işlemi gerçekleştirildikten sonra sınırlar değişir ve  denklemi kullanılarak   aralığındaki değerlerle belirlenir. Alternatif olarak, sınır terimlerini doğrudan ters türev formülüne uygulayın.

Örneğin,

belirli integrali,  yerine  kullanılarak belirlenen sınırlarla hesaplanabilir.

 ve  olduğundan,

Öte yandan, sınır terimlerinin daha önce elde edilen ters türev formülüne doğrudan uygulanması, daha önce olduğu gibi aşağıdaki sonucu verir:

Durum II: a2 + x2 içeren integraller
 olsun ve  özdeşliğini kullanın.

Durum II için örnekler
küçükresim|

Örnek 1

integralinde,

yazabiliriz, böylece integral şu hale gelir:

 olmak koşuluyla.

Belirli bir integral için sınırlar, ikame işlemi gerçekleştirildikten sonra değişir ve  denklemi kullanılarak  aralığındaki değerlerle belirlenir. Alternatif olarak, sınır terimlerini doğrudan ters türev formülüne uygulayın.

Örneğin,

belirli integrali,  yerine  kullanılarak belirlenen sınırlar ile hesaplanabilir.

 ve  olduğundan,

Bu arada, sınır terimlerinin ters türev formülüne doğrudan uygulanması, daha önceki gibi aşağıdaki sonucu verir:

Örnek 2

integrali,

 alınarak hesaplanabilir. Burada  böylece  ve  arctanjant değer kümesine göre  ve 'dir.

Öyleyse,

Sekant kübün integrali, kısmi integral kullanılarak hesaplanabilir. Sonuç olarak,

Durum III: x2 − a2 içeren integraller

 olsun ve  özdeşliğini kullanın.

Durum III için örnekler
küçükresim|

şeklindeki integraller, trigonometrik ikameler yerine kısmi kesirler ile de hesaplanabilir. Bununla birlikte,

integrali hesaplanamaz. Bu durumda, uygun bir ikame şudur:

burada  böylece  ve  varsayımıyla  olur, böylece  ve  olur.

Öyleyse,

Pay ve paydayı  ile çarparak sekant fonksiyonunun integrali ve parçalarla sekant kübün integrali hesaplanabilir. Sonuç olarak,

 olduğunda ki bu da  olduğunda olur,  bu durumda da  anlamına gelir.

Trigonometrik fonksiyonları ortadan kaldıran ikameler
Trigonometrik fonksiyonları yok etmek için ikame kullanılabilir. Örneğin,

Son ikame, Weierstrass yerine koyması olarak bilinir ve tanjant yarım açı formülleri kullanır. Örneğin,

Hiperbolik yerine koyma
İntegralleri basitleştirmek için hiperbolik fonksiyonların ikameleri de kullanılabilir.

Örneğin,  integralini almak için,  (ve dolayısıyla ) ikamesini, ardından ]] özdeşliğini kullanın:

İstenirse, bu sonuç başka özdeşlikler kullanılarak da dönüştürülebilir, örneğin  bağıntısını:

Ayrıca bakınız

 Yerine koyma yoluyla integrasyon
 Weierstrass yerine koyması (Weierstrass ikamesi veya Tanjant yarım açı ikamesi)
 Euler yerine koyması (Euler ikamesi)

Kaynakça

Kategori:İntegral hesabı
Kategori:Trigonometri