Yarı çevre

Geometride, bir çokgenin yarı çevresi (veya yarım çevre, İng: semiperimeter), çevre uzunluğunun yarısıdır. Çevreden doğrudan türetilebilmesine rağmen, yarı çevre üçgenler ve diğer şekiller için kullanılan formüllerde oldukça sık görülür ve ayrı/özel bir isim verilir. Yarı çevre, bir formülün parçası olarak ortaya çıktığında, genellikle  harfiyle gösterilir.

Motivasyon: üçgenler
küçükresim|upright=1.36|

Yarı çevre, en çok üçgenler için kullanılır; kenar uzunlukları  olan bir üçgenin yarı çevre formülü aşağıdaki gibidir:

Özellikler

Herhangi bir üçgende, herhangi bir tepe noktası ve karşı çevrel çemberin üçgene temas ettiği nokta, üçgenin çevresini iki eşit uzunluğa böler, böylece her biri yarıçapa eşit uzunlukta iki yol oluşturur. Eğer  şekilde gösterildiği gibiyse, bir tepe noktasını karşıt dış daire teğetiyle birleştiren parçalar (, diyagramda  ile gösterilmiştir) ayırıcılar olarak bilinir ve

Üç ayırıcı, üçgenin Nagel noktasında kesişir.

Bir üçgenin keskisi, üçgenin çevresini ikiye bölen ve bir uç noktası üç kenardan birinin orta noktasında olan bir doğru parçasıdır. Dolayısıyla, herhangi bir bölücü gibi herhangi bir keski de üçgeni, her birinin uzunluğu yarım çevreye eşit olan iki izleğe böler. Üç keski, orta noktalar üçgeninin iç teğet çemberi olan Spieker çemberinin merkezinde kesişir; Spieker merkezi, üçgenin kenarlarındaki tüm noktaların kütle merkezidir.

Üçgenin iç teğet çemberin merkezinden geçen bir çizgi ikiye böler ancak ve ancak alanı da ikiye bölerse çevreyi böler.

Bir üçgenin yarı çevresi, orta noktalar üçgeninin çevresine eşittir.

Üçgen eşitsizliği ile, bir üçgenin en uzun kenar uzunluğu yarıçapından daha azdır.

Yarı çevreyi içeren formüller

 Üçgenler için 
Herhangi bir üçgenin alanı , iç teğet çemberin yarıçapı ile yarıçevresinin çarpımıdır:

Bir üçgenin alanı, Heron formülü kullanılarak yarıçapından ve  kenar uzunluklarından hesaplanabilir:

Bir üçgenin  çevrel çemberin yarıçapının değeri yarıçap ve kenar uzunluklarından da hesaplanabilir:

Bu formül sinüs yasasından türetilebilir.

iç teğet çemberin yarıçapı şudur;

Kotanjantlar yasası bir üçgenin köşelerindeki yarım açıların kotanjantlarını yarıçap, kenarlar ve iç yarıçap cinsinden verir.

 uzunluğundaki kenarın karşısındaki açının iç açıortayının uzunluğu

Bir dik üçgende, hipotenüs üzerindeki dış teğet çemberin yarıçapı, yarı çevreye eşittir. Yarı çevre, iç teğet çemberin yarıçapı ile çevrel çemberin yarıçapının iki katının toplamıdır. Dik üçgenin alanı  olup, burada  dik kenarlardır.

 Dörtgenler için 
Kenar uzunlukları  olan bir dörtgenin yarı çevresinin formülü şöyledir

Yarı çevreyi içeren üçgen alan formüllerinden biri, bir iç teğet çembere sahip olan ve (Pitot teoremine göre) karşılıklı kenar çiftlerinin uzunluklarının toplamı yarı çevreye eşit olan teğetsel dörtgenler için de geçerlidir—yani alan, iç teğet çemberin yarıçapı ile yarı çevrenin çarpımıdır:

Bir kirişler dörtgeninin alanı için Brahmagupta formülünün en basit şekli, üçgen alanı için Heron formülüne benzer bir biçime sahiptir:

Bretschneider formülü bunu tüm dışbükey dörtgenler için genelleştirir:

burada  ve  iki ters açıdır.

Bir çift merkezli dörtgenin dört kenarı, yarı çevre, iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapı ile parametrize edilen bir dördüncü dereceden denklemin dört çözümüdür.

 Düzgün çokgenler 
Bir dışbükey düzgün çokgenin alanı, yarı çevre ile apoteminin çarpımıdır.

Çemberler
Bir çemberin yarı çevresi, aynı zamanda çevresinin yarısı olarak da adlandırılır ve  yarıçapı ile doğru orantılıdır:

Orantılılık sabiti, 'dir.

Ayrıca bakınız
 Yarıçap
 Yarımçap ()

Kaynakça

 Dış bağlantılar 

Kategori:Üçgen geometrisi