Çok değişkenli karmaşık analiz

Matematikte, çok değişkenli karmaşık analiz ya da çok boyutlu karmaşık analiz, karmaşık koordinat uzayı de ya da bu uzayın altkümeleri üzerinde  tanımlı ve karmaşık değer alan fonksiyonların teorisi; yani, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisidir. Değişken sayısından bağımsız olarak karmaşık analize karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

Karmaşık analiz, değişken sayısından bağımsız olarak analizin genel bir alt disiplininin adı olarak bilinse de, karmaşık analiz kavramından ekseriyetle kökleri Euler ve daha öncesine kadar giden ve karmaşık düzlemde yapılan bir değişkenli karmaşık analiz anlaşılır. Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi, karmaşık analizden önemli noktalarda farklılık gösterir ve bazı matematik cemiyetlerince ayrı araştırma alanı olarak sınıflandırılmıştır. Mesela, bir değişkenli karmaşık analiz, hem Avrupa hem de ABD araştırma cemiyetlerince araştırma alanı olarak 30 rakamıyla, çok değişkenli karmaşık analiz ve analitik uzaylar ise 32 rakamıyla sınıflandırılmıştır.

Tek karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisinde olduğu gibi bu alanda da ilk başta incelenen fonksiyonlar genelde holomorf veya başka bir deyişle karmaşık analitiktir. Dolayısıyla, tanımlı oldukları noktalarda yerel olarak  karmaşık değişkenlerinde kuvvet serileri ile temsilleri vardır. Başka bir denk ifadeyle, çok boyutlu karmaşık uzayda, holomorf fonksiyonlar polinomların yerel olarak düzgün limitleridir veya  boyutlu Cauchy-Riemann denklemlerinin yerel olarak kare-integrallenebilir çözümleridir.

Çok değişkenli karmaşık analizin tek değişkenli analizden farklılık gösterdiği en önemli nokta holomorfluk bölgeleridir. Ayrıca, Riemann gönderim teoremi gibi karmaşık analizin en temel ve güçlü teoremlerinden birisi yüksek boyutlarda en basit bölgeler arasında bile geçerli değildir. Holomorf fonksiyonların  sıfır kümelerinin topolojisi yüksek boyutlarda karmaşık düzlemde gözlemlendiği gibi kesikli bir yapıya sahip değildir. Weierstrass çarpım teoremi ve Mittag-Leffler teoremine paralel olarak, meromorf fonksiyonların yerel bilgilerinden (yani sıfırlarından ve kutuplarından) faydalanarak bu kutuplardan oluşan kümeler hariç her yerde meromorf olan fonksiyon oluşturma problemi çok değişkenli karmaşık analizde Cousin problemleri olarak adlandırılır.

Günümüzde, çok değişkenli karmaşık analizde yapılan araştırma çalışmaları cebirsel geometri, diferansiyel geometri, matematiksel analiz ve kısmî diferansiyel denklemler gibi matematiğin değişik alanlarıyla simbiyotik bir ilişki içerisindedir. Özellikle, bu alanda yapılan çalışmalar, tıkız kompleks manifoldlar ve kompleks projektif varyete () alanındaki araştırmalar için önem teşkil etmektedir. Bu çalışmalar, 'de yapılan kompleks analitik geometri veya Stein manifoldu üzerine yapılan çalışmalara değişik bir bakış açısı sağlar.

Alanın adı hakkında
Alanın adı, Türkçedeki ve daha birçok gelişmiş dildeki sayma sistemlerinde birden fazla anlamına gelen bir kelimenin bulunmamasından dolayı ilk okunduğunda garip bir anlaşılmazlık yaratır. Aslında, yazılmak istenen Birden fazla karmaşık değişkenli ve karmaşık değerler alan fonksiyonlar teorisi ifadesidir; ancak, bu ifadenin uzunluğundan dolayı kısa ve tanımlayıcı bir alan adına doğal olarak yönelim olmuştur.

Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisine yönelik en erken çalışmalar, çoğunlukla Almanca ve Fransızca yazılmış makalelerde, iki veya hesaplama yapmanın kolay olduğu birkaç karmaşık değişkenli durumda rastlanır. Bu sebeple, bu alanda araştırmalara öncülük yapmış  bilim dilleri olan Almanca mehrerer komplexer Veränderlichen ve Fransızca plusieurs variables complexes ifadelerinin kullanımı yayılmış,  İngilizceye de Several Complex Variables olarak geçmiştirAlanın İngilizce adının Several Complex Variables olarak yaygınlaşmasında büyük ihtimalle William Osgood'un  rolü büyüktür.. Bu alandaki öncü makalelerden olan Eugenio Elia Levi'nin İtalyanca makalesi de iki veya daha fazla karmaşık değişkenli fonksiyonlar tabirini kullanmış olsa da, modern İtalyancada kullanılan tabir Funzioni di più variabili complesse ifadesidir ki buradaki più sözü daha çok/fazla anlamı verir. Türkçedeki Çok değişkenli karmaşık analiz kullanımı, Rusçadaki Многомерный комплексный анализ (Çok boyutlu kompleks analiz) kullanımıyla benzerlik göstermektedir.

19. yüzyılın sonlarında ve 20. yüzyılın başlarında çok karmaşık değişkenli fonksiyonlar üzerine yapılan ve hızlanmaya başlayan araştırmalar ve tek değişkenli karmaşık analizden farklılık göstermeye başlayan sonuçlar elde edilmesiyle beraber, bu alanda daha önceden beri çalışılagelen düşük boyutlu karmaşık koordinat uzaylarındaki tanımlı fonksiyonlar yerlerini,  birden fazla herhangi bir tam sayı olacak şekilde,  boyutlu karmaşık koordinat uzayının açık kümelerinde tanımlı fonksiyonlara bırakmaya başlamıştır. Aslında, demek istenen ne birkaç ne de çok sözüdür. Sadece, birden fazla karmaşık değişkenin göz önüne alındığı ama bu sayının genel tutulup aşikâr edilmediği ima edilmektedir.

 Tarihi 
Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların incelenmesi tarihi olarak en azından 19. yüzyılın başlarına kadar götürülse de, 20. yüzyıl başlarında bir değişkenli karmaşık analizden keskin bir şekilde ayrılan sonuçların elde edilmesiyle beraber, teori  için yeni bir disiplin olarak doğmuştur. Hartogs'un 1906'da 'deki bazı bölgelerin holomorfluk bölgesi olamayacağını göstermesi ve Poincaré'nin  karmaşık düzlemdeki iki birim diskin kartezyen çarpımıyla 'deki birim yuvarın birbirine Riemann dönüşüm teoremindeki gibi denk olmayacağını göstermesi çok değişkenli karmaşık analizin doğuşuna sebep olan öncü iki çalışmadır.

 İlk kaynaklar 
Çok değişkenli karmaşık analizin Hartogs ve Poincaré ile başlayan çağında altın kaynak vazifesi gören çalışmalar Felix Klein öncülüğünde başlatılan Almanca matematik ansiklopedisi Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen (EMW)Tr. (yaklaşık çeviri) Uygulamalarıyla beraber matematiksel bilimler ansiklopedisi bünyesinde bulunmaktadır.1898 yılından 1933 yılına kadar devam ettirilen bu ansiklopedi projesinde yaklaşık 20000 sayfayı bulan matematik çalışması 6 cilt (Alm. Bände) altında kümelenmiştir. Her bir cildin içeriği ise kitaplar halinde yayınlanmıştır. EMW'nin Analize ayrılan ikinci cildi beş ayrı kitap olarak yayınlanmıştır.
Bd.2-2 olarak numaralandırılan ikinci cildin üçüncü kitabının William Osgood tarafından 1901'de yazılan Allgemeine Theorie analytischen Funktionen einer und mehrerer komplexer VariablerW. F. Osgood, Allgemeine Theorie der analytischen Funktionen einer oder mehrerer komplexer Grössen. (Bir ve birkaç karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlarının genel teorisi),  Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. (Almanca) başlıklı kısmı ilk derli toplu kaynaktır. Dört alt başlık altında toplanan bu çalışmanın son kısmında ise Birkaç karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlar ele alınmıştır.Çalışmanın birinci kısmında Bir karmaşık değişkenli analitik fonksiyonların genel teorisinin temelleri verilmiştir. İkinci kısımda Geometrik fonksiyon teorisi ele alınmış; üçüncü kısım ise Analitik fonksiyonların sonsuz seriler ve çarpımlarla temsil edilmesi yoluyla incelenmesine ayrılmıştır.

Bd. 2-3-1 olarak numaralandırılan ikinci cildin dördüncü kitabının Ludwig Bieberbach tarafından 1920'de yazılan Neuere Untersuchungen über Funktionen von komplexen VariablenL. Bieberbach, Neuere Untersuchungen über Funktionen von komplexen Variablen. (Karmaşık değişkenli fonksiyonların üzerine yapılan son çalışmalar),  Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. (Almanca)  başlıklı kısmı William Osgood'un daha önceki ansiklopedi çalışması ve bu ansiklopedi çalışmasından genişletilerek yazılan Lehrbuch der funktionentheorie kitabından sonra yapılmış ikinci ciddi kaynak çalışmadır. Onbir ayrı başlıkta yazılan bu çalışmanın son kısmında Birkaç karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlar ve Osgood'un ansiklopedi çalışmasından sonra bu alanda meydana gelen yeni gelişmeler ele alınmıştır.

Osgood'un yazdığı ansiklopedi makalesi daha sonra yine William Osgood tarafından yazılan birinci baskısı 1907'de, ikinci baskısı ise 1912'de yapılan iki ciltlik Lehrbuch Der Funktionentheorie"Lehrbuch der funktionentheorie, von dr. W. F. Osgood." Michigan Üniversitesi Tarihi Matematik Kolleksiyonunda. https://name.umdl.umich.edu/acm2537.0001.001. Michigan Üniversitesi Kütüphanesi Dijital Kolleksiyonlar. Erişim tarihi: 3 Ekim 2024. çalışmasına temel oluşturmuştur.Bu kitabın ilk baskısı üç kısımdan oluşmuştur: birinci kısım, gerçel değişkenli fonksiyonlar teorisindeki teoremler ve sonuçlara, ikinci kısım analitik fonksiyonlar teorisine, üçüncü kısım ise daha önceki kısımların eliptik fonksiyonlar, seriler ve sonsuz çarpımlar, elamanter fonksiyonlar ve logaritmik potansiyel gibi uygulamalarına ayrılmıştır. 1912'deki ikinci baskıda ise bir önceki baskıdanki üçüncü kısmın son ünitesi ikiye ayrılmış ve ortaya kitabın dördüncü kısmı olarak logaritmik potansiyeller, açıkorur temsiller ve analitik fonksiyonların birbiçimlendirilmesi hakkında yeni malzemeler eklenmiştir.<ref>{{Akademik dergi kaynağı|title=Osgood's Theory Of Functions-Lehrbuch der Funktionentheorie. Von DR. W. F. OSGOOD. Erster Band mit 158 Figuren. Zweite Auflage. (Bd. XX: 1, B. G. Teubner's Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften.) B. G. Teubner, 1912. 8vo. xii + 766 pp.)|year=1914|author=Edward B. Van Vleck|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=20|issue=10|pages=532–546|url=https://www.ams.org/journals/bull/1914-20-10/S0002-9904-1914-02548-0/S0002-9904-1914-02548-0.pdf|erişim-tarihi=12 Ekim 2024|arşivurl=https://web.archive.org/web/20220616181202/https://www.ams.org/journals/bull/1914-20-10/S0002-9904-1914-02548-0/S0002-9904-1914-02548-0.pdf|arşivtarihi=16 Haziran 2022|ölüurl=hayır}}</ref> Osgood, ayrıca bu alandaki ilk İngilizce eserlerden biri olan Topics in the theory of functions of several complex variablesWilliam Fogg Osgood, Topics in the Theory of Functions of Several Complex Variables (Birkaç karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinde konular).  New York, American Mathematical Society, 1914 (İngilizce). adlı derleme kitabını yazmıştır.  Yine, aynı yılda, Andrew Forsyth tarafından 1913'te Kalküta Üniversitesi'nde verdiği derslerden derlenen başka bir İngilizce kitap da yayınlanmıştır; ancak, bu kitap oldukça eleştirilmiştir.

1934'te Heinrich Behnke ve Peter Thullen tarafından yazılan ve 1970'te tekrar baskısı yapılan Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher başlıklı kitap uzun yıllar boyunca ana kaynak vazifesi görmüştür. 1948'te Salomon Bochner ve William Ted Martin tarafından yazılan Several Complex Variables adlı kitap ise 1950'den önce yazılmış ve uzun süre kaynak vazifesi görmüş bir başka kitaptır.

 Gelişimi 
Friedrich Hartogs, Pierre Cousin ve Eugenio Elia Levi'nin öncü çalışmaları ve Kiyoshi Oka'nın 1930'ların ortalarından itibaren seri halinde yayınladığı çalışmalarıyla genel bir teorinin anahatları ortaya çıkmaya başladı. Bu dönemde, bu alanda çalışan diğer matematikçiler arasında öne çıkan isimler Heinrich Behnke, Peter Thullen, Karl Stein, Wilhelm Wirtinger ve Francesco Severi'ydi. Hartogs,  iken her analitik fonksiyon  için, korunmalı (yalıtık) her tekilliğin aslında kaldırılabilir tekillik olması gerektiği gibi bazı temel sonuçları kanıtladı.

1945'ten sonra Fransa'da Henri Cartan'ın ve Almanya'da Hans Grauert ve Reinhold Remmert'in seminerlerinde yapılan önemli çalışmalar, teorinin resmini hızla değiştirdi. Özellikle analitik devamlılıkla âlâkalı olmak üzere bir dizi konu açıklığa kavuşturuldu. Özellikle, Levi probleminin cözülmesiyle, tek değişkenli teoriden farklılaşan sonuçlar açıkça ortaya konuldu: açık ve bağlantılı her  kümesi için, bu kümenin sınırı üzerinde analitik olarak hiçbir yerde devam etmeyecek bir fonksiyon bulabiliriz; ama, durum  iken böyle değildir. Aslında, bu türden 'ler karmaşık koordinat uzayı   ve Stein manifoldları özelinde sözde dışbükeylik adı verilen bir şartı sağlamaktadır.

 Holomorfluk tanımı 
Bir değişkenli karmaşık analizdeki her noktada karmaşık türevlenebilme üzerinden yapılan holomorfluk tanımı, çok değişkenli analizde de benzer şekilde geçerlidir.  karmaşık düzlemde açık bir küme olmak üzere,  fonksiyonunun  noktasında holomorf olması için verilen 

tanımı,  iken, her bir karmaşık değişken için (diğerleri sabit tutularak) ayrı ayrı istenir. Diğer deyişle,  bu sefer  boyutlu karmaşık koordinat uzayı de açık bir küme olmak üzere, bir  fonksiyonunun holomorfluğu için 

gönderimlerinin her bir koordinatta ayrı ayrı holomorf olması yeterlidir. Bazen, holomorfluk için, Osgood önsavının gerektirdiği üzere, süreklilik varsayımı da eklenir; ancak, bu varsayım, Hartogs teoremi sayesinde gereksizdir.

 Denk tanımlar 
 Karmaşık türevlenebilme 
 bölgesinde tanımlı ve 'de değer alan bir  fonksiyonunun bir  noktasında holomorfluğu için bu noktada karmaşık-türevlenebilmesi yeterlidir. Diğer deyişle,

denkliğini sağlayacak karmaşık-doğrusal bir  gönderimi varsa, o zaman 'ye   noktasında holomorftur denilir. Eğer,  fonksiyonu,  tanım kümesinin tüm noktalarında holomorf ise o zaman ye ( üzerinde) holomorftur denir.

 Cauchy-Riemann denklemleri 

Bir değişkenli karmaşık analizde,  fonksiyonunun 
bir  noktasında holomorf olması için bu fonksiyonun gerçel kısmı  ve sanal kısmı 'nin Cauchy-Riemann denklemlerini  noktası etrafında sağlaması gerekli ve yeterlidir.

Çok değişkenli karmaşık analizde, bir  fonksiyonunun holomorf olması ancak ve ancak her koordinata karşılık gelen değişkende holomorf olmasıyla mümkündür. Bu da, bir karmaşık değişkenli analizdeki sonuçlardan yola çıkarak, fonksiyonun her koordinat değişkenindeki gerçel kısmı   ve sanal kısmı 'nin Cauchy-Riemann denklemlerini sağlamasıyla mümkündür:

Wirtinger türevi gösterimi kullanırsak, o zaman 

yazılabilir. Fonksiyon, karmaşık diferansiyel formların -dereceli bir hali olduğu için, Cauchy-Riemann denklemleri derli toplu bir şekilde  olarak da yazılabilir.

 Kuvvet serisi temsili 
 kümesi -boyutlu doğal sayılar kümesi  olsun.  ve  için aritmetik, sıralama, mutlak değer, faktöriyel ve kuvvet alma işlemleri aşağıdaki gibi tanımlansın:





O zaman, bu biçimdeki vektör endisler için,   bir kuvvet serisi olur ve yakınsaklığı mutlak yakınsaklık üzerinden tanımlanır. Diğer taraftan,  merkezli ve  yarıçaplı disk çarpımı (polidisk)

olarak tanımlanır. O zaman,  fonksiyonu holomorf ise,  gösterimi vardır. Ayrıca,  
olmak üzere 

olur.

 Bir değişkenli karmaşık analizle karşılaştırma 
 Aynı kalan sonuçlar 

 kümesi de açık olmak üzere,
  tanımlansın.
O zaman, ,   cismi üzerinde iyi tanımlı bir cebirdir. Gerçekten de
İki holomorf fonksiyonun toplamı ve çarpımı yine holomorftur. 
 tanımlı olduğu her noktada sıfırdan farklı değer alıyorsa, o zaman  de holomorftur.

 En büyük mutlak değer teoremi 

 bir bölge (bağlantılı ve açık) olsun.  fonksiyonu için 'nin en büyük değeri  içindeki bir noktada elde ediliyorsa, o zaman  sabittir. Bu yüzden,  sınırlı bir bölgeyse,  fonksiyonu sürekliyse ve sabit değilse,  en büyük değerini 'nın topolojik sınırı olan  üzerinde alır.

 Yerel düzgün yakınsaklık 
 yerel düzgün yakınsak bir holomorf fonksiyon dizisi ise; yani, her  için bir  komşuluğu varsa ve  dizisi düzgün yakınsaksa, o zaman limit fonksiyonu da holomorftur.

 Özdeşlik teoremi 

Holomorf bir fonksiyon açık bir küme üzerinde sıfır değeri alıyorsa, o zaman her yerde tamamen sıfır değeri alır; yani, bu fonksiyon sıfır fonksiyondur.

 Açık gönderim teoremi 

 fonksiyonu sabit değilse,  karmaşık düzlemde açıktır.

 Liouville teoremi 

Bir fonksiyon 'de holomorf ve sınırlıysa, o zaman sabittir.

 Farklılaşan sonuçlar 
 Sıfır ve tekilik kümeleri 
Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonların sıfır değeri aldıkları noktaların bu fonksiyonların tanımlı oldukları kümenin içine limiti olamaz. Yani, karmaşık düzlemdeki açık kümelerde tanımlı holomorf fonksiyonların sıfırları yalıtıktır. Ancak, bu durum yüksek boyutlarda geçerli değildir. Örneğin,  olarak tanımlı holomorf fonksiyonun sıfır kümesi  kümesidir.

Çok değişkenli holomorf fonksiyonların Hartogs devam teoremi sayesinde tek bir noktada tekilliği olamaz. Bu yüzden yüksek boyutlu karmaşık koordinat uzayının açık kümeleri üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonların sıfırları ve tekillikleri bir değişkenli karmaşık analizdeki korunmalı ya da yalıtık değildir. Bu sebeple, karmaşık analizdeki Rouché teoremi ve Kalıntı teoremi  gibi sonuçlar ya da bu gibi sonuçların üzerine inşâ edildiği dolanım sayısı ve kalıntı gibi kavramların  için karşılığını veren basit tanımlar ve kavramlar yoktur.

 Yakınsaklık bölgesi

Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar tanımlı oldukları her noktada yerel olarak kuvvet serileri olarak temsil edilebilirler. Benzer bir durum, yüksek boyutlar için de geçerlidir. Ancak, bir karmaşık değişkenli karmaşık analizde yakınsaklık bölgesi ya disk olur ya da karmaşık düzlem olur. Bu bakış açısıyla, yüksek boyutlarda yakınsaklık bölgesi sadece yuvar ya da disk çarpımı (polidisk) veya kompleks koordinat uzayı değildir. Yüksek boyutlarda, kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi tam Reinhardt bölgesi olmak zorundadır. Ancak, her tam Reinhardt bölgesi aynı zamanda bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olmak zorunda değildir. Bunun için bu bölgelere geometrik özellikler getirmek zorunluluğu vardır. Daha açık bir şekilde yazmak gerekirse, tam Reinhardt ve logaritmik dışbükey bölgeler bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesidir.

 İntegral temsilleri 
Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonların integral temsili olan Cauchy integral formülünün  için genelleştirmeleri mevcuttur. Ancak, yüksek boyutlarda,  iken olduğu gibi geçerli olan tek bir gösterim mevcut değildir.

Cauchy integral formülünün yüksek boyutlardaki kolay bir genellemesi karmaşık düzlemdeki açık kümelerin kartezyen çarpımından oluşan bölgeler için çok rahatlıkla gösterilebilir. Buna paralel olarak, analitik çokyüzlüler üzerinde Bergman-Weil formülü de vardır. Ancak, bu haliyle hem kartezyen çarpımı olan bölgeler için geçerli olmasıyla hem de katlı integrallerin topolojik sınır değil de sınırların kartezyen çarpımında olmasıyla yüksek boyutlardaki kullanımı güdük kalmaktadır. Yüksek boyutlarda, bu yönde elde edilmiş Bochner-Martinelli formülü ve Cauchy-Fantappié formülü gibi değişik temsiller vardır.

 Holomorfluk bölgeleri 

Karmaşık düzlemdeki her bölge bazı fonksiyonların holomorfluk bölgesidir; başka bir deyişle, her bölgenin üzerinde tanımlı ve holomorf olarak devam ettirelemeyen bir holomorf fonksiyon bulunabilir. Ancak, çok değişkenli karmaşık analiz için durum böyle değildir. Diğer deyişle, 'deki bazı bölgeler, herhangi bir fonksiyonun holomorfluk bölgesi değildir. Hartogs önsavı ve Hartogs devam teoremi ile kanıtlanan bu özellik sayesinde, holomorfluk bölgesinin karakterizasyonu bu disiplinde önemli bir yer tutar.

 Riemann gönderim teoremi 

Bir değişkenli karmaşık analizde, karmaşık analizin düzleme eşit olmayan ve basit bağlantılı olan her altkümesi birim diske birebir-örten ve tersi de holomorf olan fonksiyonlar vasıtasıyla denktir. Ancak, benzer bir sonuç yüksek boyutlarda her zaman geçerli değildir. Mesela, Poincaré  deki birim polidisk ile birim yuvarın arasında böyle bir gönderimin olamayacağını göstermiştir.

Bu yönde bilinen ayırıcı başka bir özellik Fatou-Bieberbach bölgesidir. 'nin özalt kümesi olup da kompleks koordinat uzayı ye birebir, örten ve tersi de holomorf olan fonksiyonlar vasıtasıyla
denk olan bu bölgeler karmaşık düzlemde (yani  iken) bulunmaz.

 Levi problemi 
küçükresim|upright=1.5|right|nın yerel Levi özelliği, 'nın sınırındaki her nokta için bir komşuluğun var olması ve bu komşuluğun  ile kesişiminde holomorf olan hiçbir fonksiyon komşuluğun tümüne holomorf olarak devam ettirilememesi demektir.
En az iki boyutlu karmaşık koordinat uzayındaki holomorfluk bölgelerinin karakterizasyonu 20. yüzyılın ilk yarısında bu alanda çalışan matematikçileri oldukça meşgul etmiştir. İlk başta ortaya konulan kavramlardan birisi sözde dışbükeylik kavramıdır ve holomorfluk bölgelerinin sözde dışbükey olduğu ilk elde edilen sonuçlardandır. Tersi yöndeki soru, diğer deyişle, bir sözde dışbükey bölgenin holomorfluk bölgesi olup olmayacağı problemi Levi problemi olarak bilinir.Kiyoshi Oka, Levi problemine Ters Hartogs problemi adını vermiştir.

Levi problemi olarak tanımlanan problemin kökü aslında Eugenio Elia Levi'nin 1911'de 'deki holomorfluk bölgesinin topolojik sınırının keyfi değil belirli dışbükeylik koşullarını sağlayan kümeler olduğunu gösterdiği çalışmasına dayanmaktadır.E.E. Levi. Sulle ipersuperficie delle spazi a 4 dimensioni che possone essere
frontiera del campo de esistenza di una funzione analitica di due variabili
complesse. Ann. Mat. Pura App. 18, 69-79 (1911)Ingo Lieb, Das Levische Problem, Bonner Mathematische Schriften, Heft 387, 2007, PDF dosyası  (kısa biyografiler ve fotoğraflar da içermektedir)  Otto Blumenthal 1912'de Levi problemini ilk kez fark eden matematikçidir; ancak, verdiği cevabı yanlıştır. Heinrich Behnke, Levi problemini daha düzgün bir hâle getirmiştir ve bugünkü bilinen hâline getirmiştir: Yerel Levi özelliği''ni sağlayan düzgün bölgeler holomorfluk bölgesi midir? 1928'e kadar problemin kısmi çözümleri Reinhardt bölgeleri üzerinde çözülmüştür. Problemin çözümüne doğru atılan ilk ciddi adım, Henri Cartan'ın 1931de tanımladığı holomorf dışbükeylik kavramıdır. Henri Cartan ve Peter Thullen'in holomorfluk bölgesi olmakla holomorf-dışbükeylik arasında denklik olduğunu göstermesiyle problem çözülebilir bir zemine oturtulmuştur. 
Levi problemi, 1942'de  iken Kiyoshi Oka tarafından, genel durumlar için 1953'te Kiyoshi Oka tarafından ve 1954'te Hans Bremermann ve François Norguet tarafından birbirlerinden bağımsız şekilde çözüldü.H. J. Bremermann. Uber die ¨ Aquivalenz der pseudokonvexen Gebiete und ¨
der Holomorphiegebiete im Raum von n komplexen Ver¨anderlichen. Math.
Ann. 128, 63-91 (1954)F. Norguet. Sur les domaines d’holomorphie des fonctions uniformes de plusieurs variables complexes (passage du local au global). Bull. Soc. Mat. France 82, 137-159 (1954)

 Notlar

 Kaynakça