Radon-Nikodym teoremi

Matematikte Radon-Nikodym teoremi, aynı ölçülebilir uzayda tanımlanmış iki ölçü arasındaki ilişkiyi ifade eden bir sonuçtur. Burada ölçü ile kastedilen ölçülebilir bir uzayın ölçülebilir alt kümelerine tutarlı bir büyüklük atayan bir küme fonksiyonudur. Ölçü örnekleri arasında alan ve hacim verilebilir.

Verilen bir ölçüyü yeni bir ölçüye dönüştürmenin bir yolu, uzayın her noktasına bir yoğunluk atamak ve ardından istenilen ölçülebilir alt küme üzerinde integral almaktır ve şu şekilde ifade edilebilir:

Burada , ölçülebilir herhangi bir alt küme  için tanımlanan yeni ölçüdür.   fonksiyonu ise verilen bir noktadaki yoğunluktur. İntegral, μ ölçüsüne göre alınır ve bu ölçü genellikle gerçel doğru  üzerindeki veya n boyutlu Öklid uzayı 'deki Lebesgue ölçüsüdür. Bu ölçü, uzunluk, alan ve hacim gibi standart kavramlara karşılık gelir.
Örneğin, kütle yoğunluğu   ve üç boyutlu uzay 'teki Lebesgue ölçüsü   ile gösterilirse, o zaman  uzaysal bir bölge A'daki toplam kütleye eşit olacaktır.

Radon-Nikodym teoremi esasen, belirli koşullar altında, herhangi bir  ölçüsünün aynı uzaydaki başka bir  ölçüsüne göre bu şekilde ifade edilebileceğini belirtir.  fonksiyonu  o zaman Radon-Nikodym türevi olarak adlandırılır ve  şeklinde gösterilir. Radon-Nikodym teoreminin önemli bir uygulaması olasılık teorisinde görülür. Bu uygulamada, rassal bir değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilir.

Teorem, bu sonucu 1913'te  için kanıtlayan Johann Radon'un ve yine aynı sonucu daha bir genel durumda 1930'da kanıtlayan Otto Nikodym'in adını almıştır. 1936'da Hans Freudenthal, bugün Riesz uzay teorisinde bir sonuç olan Freudenthal spektral teoremini kanıtlayarak Radon-Nikodym teoremini genelleştirdi. Bu sonuçta, Radon-Nikodym teoremi özel bir sonuç olarak elde edilir.

 Banach uzayıysa ve Radon-Nikodym teoreminin genellemesi  değerlerine sahip fonksiyonlar için de geçerliyse (mutatis mutandis), o zaman 'nin Radon-Nikodym özelliğine sahip olduğu söylenir. Bütün Hilbert uzayları Radon-Nikodym özelliğine sahiptir.

Teoremin ifadesi
 ölçü uzayı,  ve  de bu uzayın üzerinde tanımlı σ-sonlu ölçü olsun. Eğer  ise (yani,  ölçüsü 'ye göre mutlak sürekli ölçü ise), o zaman ölçülebilir herhangi bir  için

eşitliğini sağlayan -ölçülebilir bir   fonksiyonu vardır.

 Radon-Nikodym türevi 
Yukarıdaki eşitliği sağlayan  fonksiyonu 'ye göre sıfır ölçülü kümeler haricinde biriciktir. Diğer deyişle, eğer aynı özelliği sağlayan başka bir  fonksiyonu olsaydı, o zaman  ile  fonksiyonları 'ye göre hemen hemen her yerde birbirine eşit olurdu. Sonuç olarak, böyle bir  fonksiyonu genelde  olarak yazılır ve fonksiyona  denilir. Buradaki gösterim ve türev terimi kastidir; kalkülüsteki türeve benzeyecek  şekilde bir ölçünün yoğunluğunun değişim oranının diğerininkine oranını gösterir.

 İşaretli veya karmaşık ölçülere genelleştirilmesi 
Benzer bir teorem işaretli ve karmaşık ölçüler için de kanıtlanabilir. Eğer   negatif olmayan σ-sonlu bir ölçü,  sonlu-değer alan işaretli veya karmaşık bir ölçü ve  ise, o zaman  üzerinde tanımlı, gerçel veya karmaşık değerli,'ye göre integrali olan ve ölçülebilir herhangi bir  için

ilişkisini sağlayan bir  fonksiyonu vardır.

 Örnekler 
Aşağıdaki örneklerde,  kümesi [0,1] aralığı,  ise  üzerinde Borel sigma-cebiridir. 
 ,  üzerinde tanımlı uzunluk ölçüsü olsun.  ise 'in altkümesi 'ye 'nin uzunluğunun iki katını atasın. O zaman, .
 ,  üzerinde tanımlı uzunluk ölçüsü olsun.  ise 'in altkümesi 'ye  {0.1, …, 0.9} kümesinin  içinde olan eleman sayısını atasın. O zaman,  ölçüsü 'ye göre mutlak sürekli değildir; çünkü,  ölçüsü, 'ye göre ölçüsü sıfır olan noktalar kümesine sıfır olmayan ölçü değerleri tayin etmektedir. Gerçekten de,  türevi yoktur. Mesela, herhangi bir  için, 'den 'a kadar integrali 1 olan sonlu bir fonksiyon yoktur.
   ölçüsü  üzerinde tanımlı uzunluk ölçüsü,  ölçüsü 0 merkezli Dirac ölçüsü (0'ı içeren herhangi bir kümenin ölçüsü 1, geri kalan kümelerin ölçüsü ise 0) ve son olarak   olsun. O zaman,  ölçüsü  'ye göre mutlak süreklidir ve  olur. Yani, 'da türev 0,  olduğunda ise türev 1 olur.

 Özellikler 
 ν, μ ve λ aynı ölçülebilir uzayda σ-sonlu ölçü olsunlar. Eğer ν ≪ λ ve μ ≪ λ (hem ν hem de μ, λ 'ya göre mutlak sürekli) ise, o zaman λ'''ya göre hemen hemen her yerde

olur.
 Eğer ν ≪ μ ≪ λ ise, o zaman λya göre hemen hemen her yerde 

olur. Bilhassa, μ ≪ ν ve ν ≪ μ ise, o zaman ν'ye göre hemen hemen her yerde
 olur.
 μ ≪ λ ise ve  fonksiyonun μ'ye göre integrali varsa, o zaman

 ν sonlu işaretli veya karmaşık ölçü ise, o zaman 

 Uygulamalar 
 Olasılık teorisi 
Teorem, olasılık teorisinin fikirlerini gerçel sayılar üzerinde tanımlanan olasılık kütle ve yoğunluk fonksiyonlarından keyfi kümeler üzerinde tanımlanan olasılık ölçülerine genişletmede çok önemlidir. Bir olasılık ölçüsünden diğerine geçmenin mümkün olup olmadığını ve nasıl mümkün olduğunu söyler. 
Örneğin, olasılık ölçüleri için koşullu beklentinin varlığını kanıtlamak için kullanılabilir.

 Finansal matematik 
Diğer alanların yanı sıra, teorem, Finansal matematikte özellikle Girsanov teoremi aracılığıyla yaygın olarak kullanılır. Bu tür ölçü değişiklikleri, türevlerin adil fiyatlandırılmasının temel taşıdır ve gerçek dünyada gözlemlenmiş olasılıkları riske duyarsız olasılıklara dönüştürmek için kullanılır.

 Bilgi ıraksaklıklarıμ ve ν  üzerinde ölçü olsun. μ ≪ ν ise
 ν 'den μ 'ye Kullback–Leibler ıraksaklığı 
olarak tanımlanır.
 α > 0 ve α ≠ 1 için, ν 'den μ 'ye α'' mertebeden Rényi ıraksaklığı  
olarak tanımlanır.

 σ-sonluluk varsayımının gerekliliği 
'nün σ-sonlu olmadığı ve Radon-Nikodym teoreminin geçerli olmadığı bir örnek verelim. 
Gerçel sayılar üzerinde Borel σ-cebirini ele alalım. Bir Borel kümesi 'nın sayma ölçüsü , eğer  sonlu ise 'nın eleman sayısını verir; aksi takdirde, 'nın sayma ölçüsü  olur. 'nün gerçekten bir ölçü olduğu kolaylıkla kontrol edilebilir. Ancak, , -sonlu değildir. Çünkü, sonlu kümelerin sayılabilir birleşimleri herhangi bir Borel kümesini vermeyebilir. Diğer deyişle, bu halde yazılamayacak Borel kümeleri vardır. 'nün  bu Borel cebiri üzerindeki olağan Lebesgue ölçüsü olduğunu varsayalım. O zaman,  ölçüsü, 'ye göre mutlak süreklidir. Çünkü bir A kümesi için  olması ancak   boş küme ise gerçekleşir; bu durumda  da zaten sıfırdır.

Şimdi, diyelim ki Radon–Nikodym teoremi bu durumda sağlansın. Yani, elimizde ölçülebilir bir  fonksiyonu vardır öyle ki 

tüm Borel kümeleri için sağlanır. Bu halde, 'yı  gibi tek noktadan oluşan bir küme alırsak, yukarıdaki integral her  sayısı için

verecektir. O zaman,  sıfır olur. Sonuç olarak, Lebesgue ölçüsü   de sıfır olacaktır. Bu, bir  çelişkidir.

Ayrıca bakınız
Girsanov teoremi
Radon–Nikodym kümesi

 Kaynakça 

Kategori:Ölçü teorisi teoremleri
Kategori:Türevin genelleştirmeleri
Kategori:İntegral temsilleri