Karmaşık eşlenik

Matematikte, bir karmaşık sayının karmaşık eşleniği, büyüklük olarak eşit ancak işaret olarak zıt bir sanal kısma ve eşit bir gerçel kısma sahip olan bir karmaşık sayıdır. Yani,  ve  gerçel sayılar ise, o zaman 
'nin  karmaşık eşleniği   olur.

 Gösterim 
Bir karmaşık sayının eşleniği genelde bu karmaşık sayının üzerine sayıyı kaplayacak şekilde çekilen bir çizgi ile gösterilir. Yani, karmaşık sayı   ise, bu sayının eşleniği  olur. Matematikte nadir de olsa  kullanımı da mevcuttur. Ancak, bu tür bir gösterimin bir matrisin eşlenik devrik matrisiyle karıştırılması ihtimali artacağından bu gösterim pek tercih edilmez.

Kutupsal koordinat sisteminde, eğer  ve  gerçel sayılarsa, o zaman  sayısının eşleniği  sayısıdır. Bunu Euler formülü aracılığıyla göstermek basittir.

 Özellikler 
 Bir karmaşık sayının eşleniğiyle çarpımı gerçel bir sayıdır; yani,  ya da polar koordinat gösteriminde  ise o zaman  olur.
 Herhangi iki karmaşık sayı için, eşlenik alma işleminin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme üzerine dağılmalıdır., Appendix D Herhangi iki karmaşık sayı  ve  olsun. O zaman,




 ise)

 Bir karmaşık sayının eşleniğinin kendisine eşit olması için bu sayının sanal kısmının sıfıra eşit olması lazımdır. Diğer deyişle, bu karmaşık sayı aslında bir gerçel sayıdır.
 Bir karmaşık sayının mutlak değeri eşlenik altında değişmez; yani, 
 Eşlenik alma işlemi bir involüsyondur. Yani, karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği yine karmaşık sayıyı verir.
 Karmaşık bir sayının mutlak değeri karmaşık sayının eşleniğiyle çarpımı üzerinden tanımlabilir: . O zaman, her  için  olur ki bu da bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini hesaplamayı kolaylaştırır.
 Karmaşık sayılar üzerinde 
eşlenik alma işlemi ile tam sayı üssü alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, her  için  sağlanır.
eşlenik alma işlemi ile üstel alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, her  için  sağlanır.
eşlenik alma işlemi ile logaritma alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, eğer  logaritmanın tanım kümesi içerisindeyseGenelde, karmaşık logaritmanın tanım kümesi pozitif olmayan gerçel sayıları içermez. Ancak, lkarmaşık fonksiyonları orijinden başlayıp sonsuza doğru giden bir doğruyu tanım kümesinden hariç tutabilecek şekilde tanımlamak mümkündür.  sağlanır.
 Tek karmaşık değişkenli ver gerçel sayı katsayılı polinomların köklerinden biri karmaşık sayı ise, o zaman bu kökün karmaşık eşleniği de bu polinomun yine köküdür.

 Değişken olarak kullanımı 
Bir karmaşık değişken  veya  halinde verilmiş olsun. O zaman eşleniği kullanarak, -değişkeninin gerçel ve sanal kısımları hesaplanabilir ve basi:
 Gerçel kısım : 
 Sanal kısım: 
 Mutlak değer: 
 Argüman:  böylece  .
Dahası,  karmaşık düzlemdeki doğruları tanımlamak için de kullanılabilir. Mesela,

kümesi orijinden geçen ve 'ya dik olan bir doğruyu verir. Çünkü,  ifadesinin gerçel kısmının sıfıra eşit olması ancak when the cosine of the angle between  ve  arasındaki açının kosinüsünün sıfıra eşit olmasıyla mümkündür. benzer bir şekilde, sabitlenmiş biri birim karmaşık sayısı   için 

ifadesi de 0 ve 'dan geçen doğruya paralel olan ve 'dan geçen bir doğru verir.

 Notlar 

 Kaynakça 

Kategori:Karmaşık sayılar