Martingal (olasılık teorisi)

Matematiğin bir alt dalı olan olasılık teorisinde bir martingal (veya martengal) ya da martingal süreci bir sonraki beklenen değerinin geçmişteki bütün gözlemlenmiş değerlerden bağımsız olarak şimdiki gözlemlenen değer olduğu bir stokastik süreçtir.

 Martingal sözcüğü hakkında 
Martingal sözü Türkçeye matematiksel anlamda yine aynı terimi kullanan İngilizce ve Fransızcadan  Martingale sözüyle geçmiştir. Bu kavrama Türkçede karşılık bulmuş bir yerleşik bir terim yoktur.Uluğ Çapar da kitabında () Türkçe’de yerleşik bir karşılığı olmadığını belirterek söyleyişe daha uygun bulduğu martengal kelimesini kullanılmıştır.YÖK Ulusal Tez Merkezi 'nde 15 Eylül 2024 tarihinde martengal ya da martingal sözü altında yapılan aramalarda elde edilen sonuçlarda martingal sözü kullanımı daha baskın gözükmektedir.
Olasılık teorisindeki martingal tanımını ilk defa 1934 yılında Paul Lévy literatüre sokmuştur; ancak, martingal sözünü kullanmamıştır. Martingal sözünü bu yönde tezinde kullanan Jean Ville (1939) olmuştur ki o da Lévy'nin tanımını sürekli martingallere genişletmiştir. Martingalin matematiksel tanımını yine bu sözü kullanarak ilk defa Joseph Leo Doob vermiştir; Doob bu sözü Ville'in  tezinde gördüğünden bir mülakatta bahsetmiştir. Martingal teorisinin bu aşamadan sonraki gelişiminde Joseph Doob büyük pay sahibidir.

Martingal  sözünün olasılık teorisinde yer alması büyük bir sürpriz değildir. Paul Lévy öncesinde de olasılık kavramlarına aşina olan matematikçiler bu kavramı şans oyunlarında her zaman kazanan bahis stratejisi anlamına olan martingal sözünden biliyorlardı. Bu bahis stratejilerinin en basiti yazı-tura atmadaki bahsi kazanasaya kadar durmadan ikiye katlama stratejisidir.

Martingal sözünün etimolojisi hakkında kesinlik yoktur.

 Tanım 
 Kesikli-zaman martingali 
Bir rassal değişkenler dizisi  'e aşağıdaki koşullar sağlanırsa kesikli-zaman martingali ya da kesikli martingal denir:
 ;
 .

Bir rassal değişkenler dizisinin başka bir rassal değişkenler dizisine göreceli olarak martingalini tanımlamak da mümkündür. Bu bağlamda yine  başka bir rassal değişkenler dizisi olsun. Eğer   ve  aşağıdaki koşulları sağlarsa, o zaman   dizisine 'e göre martingaldir denir.

 ;
 .

 Sürekli-zaman martingali 
 bir olasılık uzayı ve  de bu uzayın gerçel sayılara bağlı ()  filtrelemesi olsun. O zaman, bir  stokastik sürecine, aşağıdaki koşullar sağlanırsa 'ye göre martingal denir:
 Her  için, ,  'ye göre ölçülebilirdir.

 .

Eğer,  ise (yani doğal filtreleme ise), o zaman 'ye kısaca martingal denir.

 Alt ve üst martingaller 
 ve  rassal değişken dizileri verilmiş olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa,  dizisine, 'e göre alt martingal denir.


Benzer bir şekilde, eşitsizlik aksi istimakette ise,  dizisine, 'e göre üst martingal denir. Yani, aşağıdaki koşullar sağlanırsa,  dizisi, 'e göre üst martingaldir:



Eğer , () bir stokastik süreçse, aşağıdaki koşullar sağlandığında  stokastik sürecine 'ye göre alt martingal denir. 
 Her  için, , 'ye göre ölçülebilirdir.
 .
 .
Benzer bir şekilde, eşitsizlik aksi istimakette ise, yani aşağıdaki koşullar sağlanırsa, o zaman  stokastik sürecine 'ye göre üst martingal denir.

 Her  için, , 'ye göre ölçülebilirdir.
 .
 .

Eğer,  ise (yani doğal filtreleme ise), o zaman   stokastik sürecine sağladığı eşitsizlik koşuluna göre kısaca alt martingal ya da üst martingal denir.

 Özellikler 
 Bir stokastik sürecin martingal olabilmesi için hem alt martingal hem de üst martingal olması gerekli ve yeterlidir.
 Eğer  martingalse, o zaman  sabittir.
  alt martingal ise, o zaman  üst martingaldir.
 Eğer  alt (ya da üst) martingalse ve  ise, o zaman  de bir alt (ya da üst) martingaldir.
  martingalse,  de  için martingaldir.
 Eğer  üst martingalse, o zaman  de bir üst martingaldir.
 Eğer  alt martingalse, o zaman  de bir alt martingaldir.
  martingalse ve  dışbükey fonksiyonsa, o zaman  Jensen eşitsizliği sayesinde alt martingaldir. Eğer,  içbükey fonksiyonsa, o zaman  üst martingaldir.
 Genel olarak, bir martingal Markov süreci olmak zorunda değildir. Tersi ifade de genel olarak doğru değildir. Yani, bir Markov süreci genel olarak martingal olmak zorunda değildir.
  Sürekli her martingalin ya sonsuz varyasyonu vardır ya da bu martingal sabittir.

 Örnekler 
 Oyuncunun tura geldiğinde 1 lira kazandığı ama yazı geldiğinde 1 lira kaybettiği bir yazı-tura oyununu ele alalım.
 Eğer oyun adil bir parayla oynanıyorsa, o zaman oyuncunun herhangi bir adımdaki kazancı (oynanmış oyun sayısının fonksiyonu olarak)  martingaldir.
 Eğer parada yazının gelme olasılığı daha yüksekse, o zaman oyuncunun herhangi bir adımdaki kazancı alt martingaldir.
 Eğer parada turanın gelme olasılığı daha yüksekse, o zaman oyuncunun herhangi bir adımdaki kazancı üst martingaldir.
 Eğer  integrallenebilir bir rassal değikense ve  olarak tanımlanırsa, , 'e göre bir martingaldir. Gerçekten de,  olacaktır.
 Durdurulmuş martingal yine martingaldir.
 Brown hareketi bir martingaldir.
 Eğer  Brown hareketiyse, 
 süreci martingaldir.
Her  için,  süreci martingaldir.

 Notlar

 Kaynakça 





Kategori:Olasılık teorisi
Kategori:Stokastik süreçler