Weierstrass çarpım teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Weierstrass çarpım teoremi, her tam fonksiyonun, bu fonksiyonun sıfırlarını da içeren (muhtemelen sonsuz) bir çarpım olarak temsil edilebileceğini ifade eder. Teorem, her polinomun her kökü için bir tane olmak üzere doğrusal çarpanlara ayrılabileceğini ifade cebirin temel teoreminin doğal bir uzantısıdır.

Karl Weierstrass'ın adını taşıyan teorem, sonsuza doğru giden her dizinin, tam olarak o dizinin noktalarında sıfırları bulunan bir tam fonksiyonla ilişkili olduğunu ifade eden başka bir sonuçla yakından ilişkilidir.

Teoremin meromorf fonksiyonlara genelleştirilmesi de mevcuttur ve meromorf bir fonksiyonu üç çarpana sahip olan bir çarpım olarak ele almayı sağlar: fonksiyonun sıfırlarına ve kutuplarına bağlı terimler, bunlarla ilişkili olmayan ve sıfır değeri almayan holomorf bir fonksiyon.

 Fikir 
Karmaşık düzlemdeki herhangi bir sonlu noktalar kümesi  için, 
 polinomu bu noktalar kümesinde sıfır değeri alan bir polinomu temsil eder. Ters yönde de, cebirin temel teoreminin bir sonucu olarak, her  polinomu çarpanlara ayrılabilir ve   olacak şekilde yazılabilir..  Elbette, , burada polinomun sıfır değeri aldığı noktaların kümesidir ve eleman tekrarına izin vermektedir. Örneğin,  polinomunun sıfır kümesi  kümesidir.

Weierstrass çarpım teoreminin iki hâli, polinomlar için bahsedilen durumun tam fonksiyonlara uzantıları olarak düşünülebilir. Ancak,  sonlu bir küme olmadığında,  sonsuz çarpımının yakınsak olması için ilâve terimler getirmenin gerekliliği vardır. Bu nedenle, genel olarak, sıfır noktalarını temsil edecek bir noktalar dizisinden tam bir fonksiyon hemen tanımlanamaz veya cebirin temel teoremi tarafından elde edilen ifadeler ve teknikler kullanarak tam bir fonksiyonun  sıfırlarıyla temsili kolaylıkla mümkün değildir.

Söz konusu sonsuz çarpımın yakınsaklığı için gerekli koşul, her  için  çarpanlarının   iken e gitmesidir. Bu nedenle, belirli bir noktada 0 olabilen, ancak o nokta haricinde 1'e yakın kalabilen ve ayrıca belirtilenlerden daha fazla sıfır içermeyen bir fonksiyon aranması mantıklıdır. Weierstrass'ın temel çarpanları bu özelliklere sahiptir ve daha önceden bahsedilen  çarpanlarıyla aynı amaca hizmet eder.

 Temel çarpanlar 
küçükresim|upright=0.91|sağ|x, [-1,1] aralığında değerler alırken ilk 5 Weierstrass temel çarpanının grafiği.
 olmak üzere,  biçiminde tanımlanan fonksiyonlar  noktasında  değerini alırken, yine aynı noktada, 'inci mertebeye kadar sabit bir eğime sahiptirler. Hemen  noktasından sonra keskin bir şekilde 'a düşmeye de meyillidirler. Diğer taraftan,  fonksiyonunun sabit bir eğimi yoktur (ilk başta , sonra, her yerde, hep ) ama  noktasında sıfır değeri alır. Ayrıca,  iken, 

elde edilir.

Weierstrass temel çarpanları sıfır eğim ve sıfır değer özelliklerini birleştiren fonksiyonlardır ve aşağıdaki gibi tanımlanır:, chapter 2. 

 ve  iken bu fonksiyonlar  biçiminde yazılabilirler.

Ayrıca,  ve  iken 

özelliği sağlanır.

 Teoremin iki farklı hâli 
 Belirli bir sıfırlar kümesine sahip tam fonksiyonların varlığı 
 dizisi 'a eşit olmayan karmaşık sayılardan oluşan ve  özelliğini sağlayan bir sayı dizisi olsun. Negatif olmayan tam sayılardan oluşan bir  dizisi olsun. Her  için

sağlanıyorsa, o zaman,

biçiminde tanımlanan fonksiyon tamdır ve bu fonksiyon sadece  noktalarında sıfır değeri alır. Ayrıca, bir  sayısı  dizisinde  kere (ve sadece  kere) yer alıyorsa,  fonksiyonunun  noktasındaki sıfırı vardır ve katlılığı dir.
 Teoremde bahsedilen   dizisi her zaman bulunabilir. Örneğin, her zaman  alınabilir ve yakınsama elde edilebilir. Yine de, böyle bir dizi biricik değildir. Bu diziyi sonlu sayıda konumda değiştirmek veya  olacak şekilde başka bir dizi almak yakınsaklığı değiştirmeyecektir.
 Teorem şu şekilde genelleştirilebilir: Riemann küresinin açık altkümelerindeki (ve dolayısıyla bölgelerindeki) tanımlanmış diziler için bu altkümelerde tanımlı olan ve verilen dizinin noktalarında sıfırları bulunan holomorf fonksiyonlar bulunabilir. deki her açık kümenin aynı zamanda holomorfluk bölgesi olması gerçeği, teoremin bu genellemesiyle kanıtlanabilir. Meselâ, açık kümenin sınırının her noktasına yığılma gösteren ama herhangi bir şekilde içerideki bir noktaya yığılmayan karmaşık sayı dizisi inşa edilebilir.s. 268,  O zaman, Weierstrass teoreminin bu genel halinin yardımıyla, bu bölge üzerinde holomorf olan ve bu dizinin yığılma noktalarında sıfır değerleri olan bir fonksiyon vardır. Bu fonksiyonun çarpmaya göre tersi, açık kümenin üzerinde tanımlı ve holomorftur. Bu sayede, bu kümenin dışına holomorf olarak devam ettirilemez.
 Ayrıca cebirin temel teoremi tarafından verilen durum da buraya dahildir. Eğer  dizisi sonluysa, o zaman,  alabiliriz ve  elde ederiz.

 Weierstrass çarpım teoremi 
 tam fonksiyon olsun ve  dizisi de 'nin ( noktası hariç) sıfır değer aldığı noktalardan oluşan, bu noktalardaki sıfır değer alma katlılığının birden fazla olduğu durumları da kapsayacak şekilde, gerekirse tekrarlanan noktalardan oluşan bir küme olsun. Ayrıca, nin  noktasında katlılığı  olacak şekilde bir sıfır olduğunu varsayalım.z= 0'da m = 0 katlılığı  anlamına gelir. Diğer deyişle, fonksiyonun sıfır noktasında sıfırı yoktur. O zaman, 

temsilini sağlayacak bir tam fonksiyon  ve bir tam sayı dizisi  vardır.

 Örnekler 
Karmaşık düzlemin her yerinde tanımlı ve holomorf olan(yani, tam olan), Sinüs ve kosinüs çarpanlarına şöyle ayrılabilir:

Gama fonksiyonu  ise şu şekilde yazılabilir:

Burada, , Euler-Mascheroni sabitidir.

 Hadamard çarpım teoremi
Weierstrass çarpım teoreminin özel bir durumu, büyüme mertebesi sonlu tam fonksiyonlar için ortaya çıkar. Bu durumda,  dizisi  saysıından bağımsız olarak alınabilir ve  fonksiyonu polinom olur. Böylece, 
where 
yazılabilir. Burada, 
   fonksiyonun kökleri; yani, sıfır değeri aldığı ve  sağlayan noktalar, 
  ise 'nin sıfır noktasındaki katlılığı; elbette,  ise  olacaktır, 
 , derecesi  olan bir polinom
  ise  serisini yakınsak yapan en küçük negatif olmayan tam sayıdır.

Teoremin bu hâli, doğal Hadamard temsilidir. Negatif olmayan   sayısına  tam fonksiyonunun cinsi (İng. genus) denir. Eğer  tam fonksiyonsa, o hâlde, bu fonksiyonun büyüme mertebesi  

eşitsizliğini sağlamak zorundadır. Başka bir deyişle, büyüme mertebesi  tam sayı değilse, o zaman  olur. Eğer, büyüme mertebesi  pozitif bir tam sayı ise iki durum ortaya çıkar:  ya da .

Örnek vermek gerekirse, karmaşık düzlemdeki sinüs, kosinüs ve üstel fonksiyonları tam fonksiyonlardır ve cinsleri (genusları) dir.

 Ayrıca bakınız 
 Mittag-Leffler teoremi
 Bu teoremin sinüs fonksiyonuna uygulanmasıyla elde edilebilecek Wallis çarpımı
 Blaschke çarpımı

 Notlar 

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 



Kategori:Karmaşık analiz teoremleri