Reinhardt bölgesi

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde, Reinhardt bölgesi, sabit bir merkeze göre alınan çemberlerin birinin kümenin elemanlarından birini içerdiğinde bu çemberin hepsini birden içeren özel bölgelerdir. Bu kümelere bu yüzden çemberli bölgeler de denilir. Bu bölge, adını Alman matematikçi Karl Reinhardt'tan almaktadır.

 Tanımı 
 bir bölge olsun ve sabit bir  merkezi olsun. Her  ve her  için   özelliği sağlanıyorsa, 'ya  merkezli Reinhardt bölgesi adı verilir.

,   merkezli  bir Reinhardt bölgesi olsun. Eğer ,  merkezli çemberleri içerdiğinde bu çemberleri topolojik sınır olarak kabul eden disklerin çarpımını da içeriyorsa 'ya  tam Reinhardt bölgesi adı verilir. Diğer deyişle, her  için  özelliği sağlanıyorsa, o zaman 'ya  tam Reinhardt bölgesi adı verilir.

Örnekler 
 -boyutlu ve  vektör yarıçaplı disk çarpımı (polidisk) 
 -boyutlu,  merkezli ve  yarıçaplı yuvar 
  iken, tam Reinhardt bölgeleri karmaşık düzlemin kendisi, diskler veya halkalardır.

 Logaritmik dışbükeylik 
 bir Reinhardt bölgesi olsun ve 
 tanımlansın. 
 gönderimi altında 
, nin dışbükey bir altkümesi oluyorsa, 'ya logaritmik dışbükey denir.

 Yakınsaklık bölgesi 
Bir karmaşık değişkenli karmaşık analizde yakınsaklık bölgesiYakınsaklık tanımından yola çıkılırsa, yakınsaklık kümeleri boş küme ya da nokta da olabilir ama burada bölgeden bahsediliyor. ya disk olur ya da karmaşık düzlem olur. Bu bakış açısıyla, yüksek boyutlarda yakınsaklık bölgesi sadece yuvar ya da disk çarpımı (polidisk) veya karmaşık koordinat uzayının tamamı değildir. Yüksek boyutlarda, kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi tam Reinhardt bölgesi olmak zorundadır. Ancak, her tam Reinhardt bölgesi aynı zamanda bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olmak zorunda değildir. Bunun için bu bölgelere geometrik özellikler getirmek zorunluluğu vardır. Daha açık bir şekilde yazmak gerekirse, bir Reinhardt bölgesinin bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olması için gerekli ve yeterli özellik bu Reinhardt bölgesinin logaritmik dışbükey olmasıdır. Bu yüzden, Reinhardt bölgeleri, kuvvet veya Laurent serilerinin doğal tanım bölgeleridir denilebilir.

 Thullen sınıflandırması
Peter Thullen'in 1931 yılındaki çalışması ile deki sınırlı Reinhardt bölgeleri sınıflandırılmıştır. Daha açık bir ifade ile yazmak gerekirse,  sınırlı bir Reinhardt bölgesi ve  olsun. O zaman,  aşağıdaki bölgelerden birine biholomorftur.

  (polidisk);
  (birim yuvar);
  (Thullen bölgesi~Kompleks elipsoit).
 Otomorfi grubuna göre orijinin yörüngesinin yine orijin olduğu bölgeler. Diğer deyişle,  otomorfi grubuysa ve  de bu grubun birim elemanını içeren bağlantılı bileşense, o zaman Burada,  işleminden kasıt orijinin -yörüngesidir. olan bölgeler.

Thullen, ayrıca,  ve  ile gösterilen sınırlı Reinhardt bölgelerinin birbirine holomorf olarak denk olmalarının ancak ve ancak 

şeklinde tanımlı ve  özelliğini sağlayan bir  gönderiminin varlığıyla mümkün olacağını kanıtlamıştır. Toshikazu Sunada, 1978'de, Thullen'in sonuçlarının bir genellemesini kanıtlamıştır. Yani,  -boyutlu uzayda sınırlı iki Reinhardt bölgesinin ( ve  olsunlar) birbirine biholomorf denk olmalarının ancak ve ancak bu bölgelerin arasında Burada, , endeks permütasyonuna karşılık gelmektedir. şeklinde tanımlı ve  özelliğini sağlayan bir  gönderiminin varlığıyla mümkün olacağını kanıtlamıştır.

 Notlar 

 Kaynakça 

Kategori:Çok değişkenli karmaşık analiz