Doléans-Dade üsteli

Matematiğin bir alt dalı olan stokastik süreçlerde  Doléans-Dade üsteli, Doléans üsteli ya da stokastik üstel, matematiksel analizin üstel fonksiyonuna  stokastik süreçlerde karşılık gelen bir kavramdır. Bu kavram adını Fransız asıllı Amerikalı matematikçi Catherine Doléans-Dade'den almaktadır.

Stokastik üstel kavramı stokastik diferansiyel denklemlerin açık çözümlerini yazarken karşımıza çıkar. Girsanov teoreminin formülasyonunda da önemli bir yer tutar. Bu bağlamda en temel sorulardan birisi stokastik üstelin ne zaman martingal olacağıdır. Finansal matematik modellerinin çoğu stokastik üstel olan süreçleri barındırmaktadır. Bunlardan önemli olan bir tanesi de Black-Scholes modelindeki geometrik Brown hareketidir.

 Giriş 
Üstel fonksiyon  diferansiyel denklemler bağlamında iki şartla biricik olarak belirlenir:
 ve .
Daha genel durum ise zincir kuralı kullanılarak halledilebilir; diğer deyişle,  fonksiyonu 
 ve   
şartlarıyla biricik olarak belirlenir.

Bu mekanizmayı stokastik diferansiyel denklemlere kolaylıkla taşımak mümkün değildir. Buradaki ilk zorluk, zincir kuralının yerini alan ve süreçlerin kuadratik değişirliğini (varyasyon) göz önüne almak zorunda olan Itō formülüdür. Örneğin,  standart Wiener süreciyse ve  alınırsa, o zaman Itō formülü kullanılarak

elde edilir. Bu diferansiyel denklemde ek olarak gelen  teriminden kaçınmak için üstel fonksiyonun biraz değiştirilmiş (bir başka deyişle düzeltilmiş) hali kullanılır. Eğer,  alınırsa ve Itō formülü kullanılırsa  elde edilir. Bunlara ek olarak,  süreci  gibi bir martingal olur.

 Tanım 
 bir yarı martingal olsun. ,  sürecinin  noktasında soldan limiti olmak üzere,

stokastik diferansiyel denkleminin biricik güçlü çözümü olan  yarı martingaline,  sürecinin Doléans-Dade üsteli, Doléans üsteli ya da stokastik üsteli denir ve  ile gösterilir. Yani, . Aynı çözüm Itō integral temsili ile

olarak gösterilir.

 Genel formül ve özel durumlar
  sürekli yarı martingal ve  de 'in kuadratik değişirliği olursa, o zaman

olur. Gerçekten de, 'nun yarı martingal, sürekli ve kati bir şekilde pozitif olduğunu kabul edelim. O zaman, Itō formülünü  üstüne uygularsak

elde ederiz. Here iki tarafın üstel fonksiyonunu alırsak ve  olduğunu göz önünde tutarsak,

   Brown hareketi ise, o zaman stokastik üstel geometrik Brown hareketi olur.
 Genel durumda ise 'in sıçrama yaptığı noktalar göz önüne alınmalıdır. Yani, eğer  sadece yarı martingalse ve sıçrama süreci  olarak alınırsa,

olur.

 Üstel fonksiyonun fonksiyonel eşitliği olan  ifadesine karşılık stokastik üstelde   yarı martingal olmak üzere

ifadesi vardır. Bu formüle Fransız matematikçi Marc Yor'a atfen Yor formülü adı verilir.

 Özellikler 
 Stokastik üstel sürekli olarak sıfıra gidemez, sadece sıfıra sıçrayabilir. Bu nedenle, sürekli bir yarı martingalin stokastik üstel değeri her zaman kesinlikle pozitiftir.
 Stokastik üstel  sıfıra bir kere sıçradığında burada yani sıfır değerinde absorbe edilir. Sıfıra ilk sıçradığı zaman ise tam olarak  olduğu zamandır.
 'in sadece  zamanındaki değerine bağlı olan doğal üstel fonksiyon 'nin davranışının aksine,  sadece  'ye bağlı olmakla kalmaz. Dahası, 'in   zaman aralığındaki bütün geçmiş değerlerine bağlıdır. Bu yüzden,  yazılmalıdır; yani,  doğru bir notasyon değildir.
 Bir yerel martingalin stokastik üsteli yine bir yerel martingaldir.
 Yukarıdaki tüm formüller ve özellikler, karmaşık değerli bir 'in stokastik üsteline de uygulanır. Bu uygulamanın, konform martingaller teorisinde ve karakteristik fonksiyonların hesaplanmasında uygulamaları vardır.

 Ayrıca bakınız 
Girsanov teoremi

 Kaynakça 

Kategori:Finansal matematik
Kategori:Stokastik diferansiyel denklemler