Wallis çarpımı

Matematikte, Wallis çarpımı,  sayısını sonsuz çarpım olarak veren bir ifadedir. 1656'da John Wallis tarafından yayınlanmıstır ve şu şekilde ifade edilmektedir:

 İntegral yoluyla kanıt 
Wallis bu sonsuz çarpımı enterpolasyon kullanarak türetmiştir; ancak, yöntemi titiz olarak kabul edilmemektedir. Daha modern bir çıkarım,  integrali n tek ve çift değerler alırken incelenerek elde edilebilir.

Wallis integrallerinin bir hali olan 

tanımlayalım. Kısmi integral yöntemi kullanarak 

Şimdi, kolaylık olması açısından iki değişken ikâmesi yaparak şunu elde edelim:

 ve  değerleri sonradan kullanmak üzere hemen ve kolaylıkla hesapalanabilir.

Çift değerler için hesaplamak için  bağlantısını tekrarlayarak kullanıyoruz ve daha önce hesaplanan  değerinde duruyoruz:

Tek değerler için de benzer bir yöntem takip edilebilir ve  değerinde durulur:

Ayrıca,  gerçeğine dayanarak 

olduğunu gözlemliyoruz. Her iki tarafı  ile bölerek ve ayrıca  ve  bağlantılarını kullanarak 

elde ediyoruz. Sıkıştırma teoremi ile 

elde edilir. Yani, 

elde edilir.

 Sinüs fonksiyonu için Euler'in sonsuz çarpımını kullanarak kanıt 
Yukarıdaki ispat genellikle modern kalkülüs ders kitaplarında yer alsa da, geriye dönüp bakıldığında Wallis çarpımı, sinüs fonksiyonu için daha sonra elde edilmişl olan Euler sonsuz çarpımının kolay bir sonucu olarak ortaya çıkar.

 olsun. O zaman,


 Stirling yaklaşımıyla ilişkisi 
Faktöriyel fonksiyonu  için ifade edilen Stirling yaklaşımı şunu ifade eder:

Wallis çarpımındaki sonlu çarpımları ele elalım:

Bu çarpımları yeniden düzenleyerek

yazabiliriz. Bu ifadede Stirling yaklaşımını hem  hem de  için kullanırsak, 
'nin   iken  ifadesine yakınsadığı gösterilebilir.

 Riemann zeta fonksiyonunun sıfır noktasında türevi  
Riemann zeta fonksiyonu ve Dirichlet eta fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir:

Son seriye Euler dönüşümü uygulandığında aşağıdaki elde edilir:

 Ayrıca bakınız 
 John Wallis
 Viète formülü
 Wallis eleği
 Leibniz serisi
 Pippenger çarpım formülü

Kaynaklar

Dş bağlantılar



Kategori:Sonsuz çarpımlar
Kategori:Pi algoritmaları