Banach uzayı

Matematiğin  bir alt dalı olan fonksiyonel analizde, tam normlu vektör uzayılarına Banach uzayı denir. Tanımı gereği, Banach uzayı, vektör uzunluğunun ve vektörler arasındaki mesafenin hesaplanmasına vesile olan bir metriğe sahip bir vektör uzayıdır ve bu metrik uzayda herhangi bir Cauchy vektör dizisinin her zaman uzayın içinde kalan ve iyi tanımlanmış bir limiti olması anlamında tamdır.

Banach uzayları, bu kavramı 1920-1922'de Hans Hahn ve Eduard Helly ile birlikte sistematik olarak inceleyen Polonyalı matematikçi Stefan Banach'ın adını taşır.  Maurice René Fréchet, Banach uzayı terimini ilk kullanan matematikçiydi.Tesadüf ki, Banach da buna karşılık daha sonraları Fréchet uzayı terimini kullanmıştır.
Banach uzayları, yirminci yüzyılın başlarında Hilbert, Fréchet ve Riesz tarafından fonksiyon uzayları üzerine yapılan çalışmalardan ortaya çıktı.

Banach uzayları, fonksiyonel analizde merkezi bir rol oynar. Diğer analiz alanlarında incelenen uzaylar genellikle Banach uzaylarıdır.

 Tanım 
Tam olan bir normlu uzaya Banach uzayı adı verilir.

Normlu uzay  ile gösterilsin.  üzerinde tanımlı norm  ise, Banach uzayının gösterimi  olur. Ancak, sadece bir tane Banach uzayından bahsediliyorsa veya norma vurgu yapmaya gerek yoksa,  yerine sadece  bir Banach uzayıdır da denir.

 Norm tarafından üretilen metrik 
 normlu uzayı, skaler bir cisim Bu cisim genelde,  ya da  olur. Belirli bir cisim kastedilmiyorsa, Almanca terim Körper kaynaklı  kullanılır. üzerinde tanımlanmış bir  vektör uzayından ve belirli bir norm fonksiyonu olan  ile tanımlanır.Burada belirli sözünden kastedilen şudur. Eğer  üzerinde  normu yerine başka bir norm  alınsaydı, o zaman  ile  aynı Banach uzayı olmazdı. Bu durum, normlar denk olsa bile değişmezdi.
Yine de, bir vektör uzayı üzerinde tanımlı denk normlar bir denklik bağıntısı oluştururlar. Bütün normlar gibi bu norm da ötelemeyle değişmez bir metrik uzayı doğurur.Normlu bir  uzayı üzerinde bir norm tarafından doğurulan bir 
 metriği öteleme değişmezliği adı verilen özelliği sağlar. Yani, her  için  vardır. Bu özellik, ancak ve ancak yine bütün  için  gerçeklenirse olur. Öbür taraftan, öteleme değişmezliğinin bir metrik uzayda sağlanması, bu metrik uzayın normlu bir uzay tarafından doğurulduğunu tek başına göstermez. Bunun olması için, öteleme degişmezliğinin yanı sıra bir de mutlak homojenlik özelliği gerekir. Bu özellik, bir  fonksiyonu için

 Her  ve   için,  vardır.
olarak tanımlanır.  Bu metriğe norm tarafından üretilen metrik denir. Eğer bu metrik  ile gösterilirse o zaman şu şekilde tanımlanır:

Bu tanım altında, norm özelliklerinden faydalanarak 'nin gerçekten bir metrik olduğu gösterilebilir. Sonuç olarak,  bir metrik uzayı olur ve  ile gösterilir.

 içinde bir  dizisi
" Her gerçel  için bir  sayısı vardır öyle ki 
 "
özelliğini sağlarsa, bu diziye Cauchy dizisi adı verilir.Metriği veya normu vurgulamak için ,  veya  tanımları da kullanılır.

 Norm tarafından üretilen metriğin tamlığı 
Bir metrik uzayının 'deki her  Cauchy dizisinin limiti yine 'teyse, o zaman 'ye tam metrik, 'ye ise tam metrik uzay denir. Burada limit kavramı  bağlamında 
 olarak yazılabilir. Aynı zamanda,  olacağı için, dizinin  değerine yakınsaması daha önce verilen limit ifadesine denk olarak  bağlamında  olarak yazılabilir.

Sonuç olarak,  tam metrik uzaysa  dır.  normlu uzayı eğer Banach uzayıysa, o zaman   norm fonksiyonuna  denir.

 Örnekler 
Aşağıdaki uzayların hepsi fonksiyonel analizin içinde çalışılan birer Banach uzayıdır.
  gerçel sayılar cismi  ya da karmaşık sayılar  cismi olmak üzere Öklid uzayı , 
 Daha genel olarak  ya da karmaşık sayılar  cismi üzerinde tanımlı herhangi bir sonlu-boyutlu vektör uzayı
 Bir Banach uzayının herhangi kapalı bir altuzayı yine Banach uzayıdır. Mesela,  bir topolojik uzaysa ve  Banach uzayıysa, 'ten 'ye tanımlanan ve hem sürekli hem de sınırlı olan fonksiyonlar uzayı  yine Banachtır. Sonuç olarak, tıkız bir  uzayı için,  üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonlar uzayı  de Banach uzayıdır. Aslında, Banach-Alaoglu teoremi vasıtasıyla, her Banach uzayı 'nin kapalı bir alt uzayına izomorftur.
 Hilbert uzayları
 Lebesgue uzayları: , , , , , 
  uzayı, Null diziler uzayı , 
 bv uzayı,  uzayı,  uzayı,  uzayı 
 Tıkız Hausdorff uzayı üzerindeki sürekli fonksiyonlar uzayı C(K) 
 Mutlak sürekli fonksiyonlar uzayı 

Ayrıca, matematiksel analizde uygulamaları olan ve yoğunlukla kullanılan şu uzaylar da Banach uzayıdır:
Hardy uzayı, Bergman uzayı, Besov uzayı, Sobolev uzayı, sınırlı varyasyon uzayı, Hölder uzayı, Lorentz uzayı

 Notlar 

 Kaynakça

 Kaynakça
 Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topological Vector Spaces: Chapters 1–5. Éléments de mathématique. Eggleston, H.G.; Madan, S. tarafından çevrilmiştir. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4.
 Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press  ISBN 978-1584888666

Kategori:Fonksiyonel analiz
Kategori:Banach uzayları
Kategori:Normlu uzaylar
Kategori:Topolojik vektör uzayları