Mittag-Leffler teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Mittag-Leffler teoremi, önceden verilmiş ve belirli özellikleri sağlayan bir noktalar kümesinde kutupları olan meromorf fonksiyonların varlığıyla ilgili olan bir sonuçtur. Bu sonuç, önceden verilmiş ve yine bazı özellikleri sağlayan noktalar kümesinde sıfır değerleri alan holomorf fonksiyonların varlığıyla ilgili olan Weierstrass çarpım teoremi ile parallellik taşımaktadır.

Teorem, 1876 ve 1884'te teoremi bugün halinden farklı şekilde yayınlayan İsveçli matematikçi Gösta Mittag-Leffler'in adını taşımaktadır.

 Teoremin ifadesi 
 açık küme,  ise, eğer varsa, limit noktaları 'nun sınırında olan bir altküme olsun. deki her  noktası için  fonksiyonu  'nın sabit katsayılı polinomu olsun; diğer deyişle, 

O zaman,  üzerinde meromorf bir  fonksiyon vardır,  fonksiyonun kutup noktalarının kümesi  ile aynıdır ve deki her  noktası için  fonksiyonun  noktasında sadece kaldırılabilir tekilliği vardır. Ayrıca, nin  noktasıdaki Laurent serisinin negative üslü kısmı 'ye eşittir. 
Eğer den başka meromorf bir  fonksiyonu  üzerinde aynı özellikleri taşıyorsa, o zaman  yazılabilir ve burada  holomorf olur.

 Kanıtın taslağı 
Olası bir kanıt taslağı şu şekildedir. Eğer  sonlu bir küme ise  almak yeterldir.  sonlu bir küme değilse, 'nin altkümesi olan sonlu bir  kümesi için  fonksiyonunu ele alalım.  kümesi  kümesine yaklaşırken  yakınsamayabilir. Ancak, Runge teoremi vasıtasıyla  kutupları 'nun dışında kalacak şekilde iyi seçilmiş fonksiyonları  fonksiyondan çıkarıp hem Laurent serisindeki negatif üslü terimleri koruyabiliriz hem de yakınsaklığı güvence altına almış oluruz.

 Örnek 
Diyelim ki bütün pozitif tam sayılarda kalıntısı 1 olan basit kutuplu bir meromorf fonksiyon bulmak istiyoruz. O zaman,  ve  için . Mittag-Leffler teoremi sayesinde  noktasindak' Laurent serisinin negati üslü kısmının 'ye eşit olduğu meromorf bir  fonksiyonu vardır. Hatta, bu fonksiyonu, 

olarak alabiliriz. Bu seri,  kümesinin herhangi bir tıkız altkümesi üzerinde istediğimiz özelliklere sahip meromorf bir fonksiyona normal yakınsaktır.

 Bazı meromorf fonksiyonların kutup açılımları

 Kaynakça 

.
.

 Ayrıca bakınız 
 Riemann-Roch teoremi
 Weierstrass çarpım teoremi

Dış bağlantılar


Kategori:Karmaşık analiz teoremleri