Kirişler dörtgeni

Öklid geometrisinde, bir kirişler dörtgeni veya çembersel dörtgen veya çevrimsel dörtgen, köşeleri tek bir çember üzerinde bulunan bir dörtgendir. Bu çembere çevrel çember denir ve köşelerin aynı çember içinde olduğu söylenir. Çemberin merkezi ve yarıçapı sırasıyla çevrel merkez ve çevrel yarıçap olarak adlandırılır. Bu dörtgenler için kullanılan diğer isimler eş çember dörtgeni ve kordal dörtgendir, ikincisi, dörtgenin kenarları çemberin kirişleri olduğu içindir. Genellikle dörtgenin dışbükey (konveks) olduğu varsayılır, ancak çapraz çevrimsel dörtgenler de vardır. Aşağıda verilen formüller ve özellikler dışbükey durumda geçerlidir.

Çembersel kelimesi Antik Yunancadan gelmektedir.  (kuklos), "çember" veya "tekerlek" anlamına gelir.

Tüm üçgenler bir çevrel çembere sahiptir, ancak tüm dörtgenler sahip değildir. Çembersel olamayan bir dörtgen örneği kare olmayan bir eşkenar dörtgendir. Aşağıdaki tanımlamalar bölümü, bir dörtgenin bir çevrel çembere sahip olması için hangi gerek ve yeter koşulları sağlaması gerektiğini belirtir.

Özel durumlar
Herhangi bir kare, dikdörtgen, ikizkenar yamuk veya antiparalelkenar çevrimseldir. Bir uçurtma ancak ve ancak iki dik açıya sahipse  - bir dik uçurtma ise- çevrimseldir. Bir çift merkezli dörtgen, aynı zamanda teğetsel olan çevrimsel bir dörtgendir ve bir dış-çift merkezli dörtgen, aynı zamanda dış-teğetsel olan çevrimsel bir dörtgendir. Bir harmonik dörtgen, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımının eşit olduğu bir çevrimsel dörtgendir.

Tanımlamalar
Çevrel merkez
Dışbükey bir dörtgen ancak ve ancak kenarlara dik dört açıortay tek noktada kesişirse çevrimseldir. Bu ortak nokta çevrel merkez yani çevrel çemberin merkezidir.

 Tamamlayıcı açılar 
küçükresim|

Bir dışbükey  dörtgeni ancak ve ancak karşıt açıları tamamlayıcı ise çevrimseldir, yani:

Doğrudan teorem, Öklid'in Elementler adlı eserinin 3. kitabındaki 22. önermedir. Eşit bir şekilde, bir dışbükey dörtgen ancak ve ancak her dış açı karşıt iç açıya eşitse çevrimseldir.

1836 yılında Duncan Gregory, bu sonucu aşağıdaki şekilde genelleştirmiştir: Herhangi bir dışbükey çevrimsel 2n-geni verildiğinde, iç "ters" açıların ikişerli toplamının her biri 'ye eşittir.. Bu sonuç, aşağıdaki şekilde daha da genelleştirilebilir: Eğer A1A2... A2n (n > 1), tepe noktası Ai->Ai+k (tepe noktası Ai, Ai+k ile birleştirilir) olan herhangi bir çevrimsel 2n-geni ise, iç ters açıların ikişerli toplamının her biri 'ye eşittir (burada m = n-k ve k = 1, 2, 3, ... toplam dönüştür)..

Her bir açının stereografik izdüşümü (yarım açı tanjantı) alındığında, bu yeniden ifade edilebilir,

Bu da şu anlama gelir:

 Kenarlar ve köşegenler arasındaki açılar 
Bir dışbükey  dörtgeni ancak ve ancak bir kenar ile bir köşegen arasındaki açı, karşı kenar ile diğer köşegen arasındaki açıya eşitse çevrimseldir.

Yani, örneğin,

 Pascal noktaları 
küçükresim|

Dışbükey bir  dörtgenin çevrimsel olması için gerek ve yeter diğer koşullar şunlardır:  köşegenlerin kesişme noktası olsun,  ise  ve  kenarlarının uzantılarının kesişme noktası olsun, , çapı  doğru parçası olan bir çember olsun ve  ile ,  çemberinin oluşturduğu  ve  kenarları üzerindeki Pascal noktaları olsun.
 (1)  ancak ve ancak  ile  noktaları  çemberinin merkezi  ile aynı hizada ise çevrimsel bir dörtgendir.
 (2)  ancak ve ancak  ile  noktaları  ve  kenarlarının orta noktaları ise çevrimsel bir dörtgendir.

 Köşegenlerin kesişimi 
Biri  doğru parçasını, diğeri  doğru parçasını içeren iki doğru  noktasında kesişiyorsa, , , ,  dört noktası ancak ve ancak şu koşullarda aynı çember içinde olur:

Kesişim noktası , çemberin içinde ya da dışında olabilir. İlk durumda çevrimsel dörtgen , ikinci durumda ise çevrimsel dörtgen  olur. Kesişim iç tarafta olduğunda eşitlik, 'nin bir köşegeni böldüğü parça uzunluklarının çarpımının diğer köşegeninkine eşit olduğunu belirtir. Bu kesişen kirişler teoremi olarak bilinir çünkü çevrimsel dörtgenin köşegenleri çemberin kirişleridir.

 Batlamyus teoremi 
Batlamyus teoremi, çevrimsel bir dörtgenin  ve  köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının, karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamına eşit olduğunu ifade eder:

burada a, b, c, d sırasıyla kenar uzunluklarıdır. Bunun tersi de doğrudur. Yani, bu denklem dışbükey bir dörtgende sağlanırsa, çevrimsel bir dörtgen oluşur.

Köşegen üçgen
küçükresim|

Dışbükey bir  dörtgeninde , 'nin köşegen üçgeni olsun ve  'nin dokuz nokta çemberi olsun.  ancak ve ancak  bimedyanlarının kesişim noktası dokuz nokta çemberi 'ya aitse çevrimseldir.

Alan
Kenarları , , ,  olan çevrimsel bir dörtgenin alanı , Brahmagupta formülü ile aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

burada , yarı çevreyi göstermekte olup,  şeklinde bulunur. Bu, Bretschneider formülünün genel dörtgen için bir sonucudur, çünkü karşıt açılar çevrimsel olması durumunda tamamlayıcıdır. Eğer ayrıca  ise, çevrimsel dörtgen bir üçgene dönüşür ve formül Heron formülüne indirgenir.

Çevrimsel dörtgen, aynı kenar uzunluklarına sahip tüm dörtgenler arasında (sıralamaya bakılmaksızın) maksimum alana sahiptir. Bu, Bretschneider formülünün bir başka sonucudur. Ayrıca kalkülüs kullanılarak da kanıtlanabilir.

Her biri diğer üçünün toplamından daha az olan ve eşit olmayan dört uzunluk, Brahmagupta formülüne göre hepsi aynı alana sahip üç eşlenik olmayan çevrimsel dörtgenin her birinin kenarlarıdır. Özellikle, , ,  ve  kenarları için,  kenarı ,  veya  kenarlarından herhangi birinin karşısında olabilir.

Ardışık kenarları , , ,  olan çevrimsel bir dörtgenin alanı,  ve  kenarları arasındaki  açısı ve  ve  kenarları arasındaki  açısı şu şekilde ifade edilebilir:

veya

veya

burada , köşegenler arasındaki herhangi bir açıdır. Eğer  bir dik açı değilse, alan şu şekilde de ifade edilebilir:

Bir diğer formül ise,

burada  çevrel çemberin yarıçapıdır. Doğrudan bir sonuç olarak,

burada ancak ve ancak dörtgen bir kare ise eşitlik söz konusudur.

Köşegenler
Ardışık köşeleri , , ,  ve kenarları , ,  ve  olan çevrimsel bir dörtgende, köşegenlerin uzunlukları  ve  taraflar cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

 ve 

böylece Batlamyus teoremi gösterilmiş olur:

Batlamyus'un ikinci teoremine göre,

yukarıdaki gibi aynı notasyonları kullanır.

Köşegenlerin toplamı için şu eşitsizliğe sahibiz:Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum", 2007,   .

Eşitlik, ancak ve ancak köşegenlerin eşit uzunlukta olması durumunda geçerlidir, bu da AO-GO eşitsizliği kullanılarak kanıtlanabilir.

Ayrıca,

Herhangi bir dışbükey dörtgende, iki köşegen birlikte dörtgeni dört üçgene böler; çevrimsel bir dörtgende, bu dört üçgenin zıt çiftleri birbirlerine benzerdir.

Eğer ,  ile 'nin 'de kesiştiği çevrimsel bir dörtgen iseA. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles,
 , Accessed 18 March 2014.

Bir çevrimsel dörtgen oluşturabilecek kenarlar kümesi, her biri aynı çemberde aynı alana sahip bir çevrimsel dörtgen oluşturabilecek üç farklı diziden herhangi birinde düzenlenebilir (Brahmagupta'nın alan formülüne göre alanlar aynıdır). Bu çevrimsel dörtgenlerden herhangi ikisinin ortak bir köşegen uzunluğu vardır.

Açı formülleri
Ardışık kenarları , , ,  olan çevrimsel bir dörtgen için yarı çevre  ve  ve  kenarları arasındaki  ise,  açısının trigonometrik fonksiyonları şu şekilde verilir:

Karşılıklı kenarları  ve  olan köşegenler arasındaki  açısı aşağıdaki ifadeyi sağlar

Karşılıklı kenarlar  ve 'nin uzantıları  açısıyla kesişiyorsa,

burada , yarı çevredir.

  ve  kenarları arasındaki açıyı,   ve  arasındaki açıyı ve   ve  arasındaki açıyı göstersin:

Parameshvara çevrel yarıçap formülü
küçükresim|Kirişler dörtgeni, tüm köşeleri bir çember üzerinde bulunan dörtgendir. Hint matematikçi Parameshvara, bu tür dörtgenlerin kenar uzunlukları ve çevrel çemberin yarıçapı arasındaki ilişkileri incelemiştir.
Ardışık kenarları , , ,  ve yarı çevresi  olan çevrimsel bir dörtgen, aşağıdaki şekilde verilen çevrel yarıçapa (çevrel çemberin yarıçapı) sahiptir

Bu ifade, 15. yüzyılda Hint matematikçi Vatasseri Parameshvara tarafından türetilmiştir (Yarıçapın herhangi bir kenar uzunluğunun değişimi altında değişmez olduğunu unutmayın).

Brahmagupta formülünü kullanarak, Parameshvara formülü şu şekilde yeniden ifade edilebilir:

burada  çevrimsel dörtgenin alanıdır.

Karşıt merkez ve eşdoğrusallıklar
Her biri çevrimsel bir dörtgenin bir kenarına dik olan ve karşı kenarın orta noktasından geçen dört doğru parçası, aynı noktada kesişir. Bu doğru parçalarına orta nokta rakımının kısaltması olan maltitüdler adı verilir. Ortak noktalarına karşıt merkez adı verilir. Çevrel merkezin "tepe merkezi"ndeki yansıması olma özelliğine sahiptir. Dolayısıyla, çevrimsel bir dörtgende, çevrel merkez, "tepe merkezi" ve karşıt merkez doğrudaştır.

Eğer bir çevrimsel dörtgenin köşegenleri  noktasında kesişiyorsa ve köşegenlerin orta noktaları  ve  ise, o zaman dörtgenin karşıt merkezi  üçgeninin ortosentrıdır.

Bir çevrimsel dörtgenin karşıt merkezi, köşelerinin Poncelet noktasıdır.

Diğer özellikler
küçükresim|sağ|

Çevrimsel bir  dörtgeninde, , ,  ve  üçgenlerindeki iç merkezler M1, M2, M3, M4 (sağdaki şekle bakın) bir dikdörtgenin köşeleridir. Bu, Japon teoremi olarak bilinen teoremlerden biridir. Aynı dört üçgenin ortosentrları 'ye eşleşik bir dörtgenin köşeleridir ve bu dört üçgendeki geometrik merkezler başka bir çevrimsel dörtgenin köşeleridir.
Merkez noktası  olan  çevrimsel dörtgeninde ,  ve  köşegenlerinin kesiştiği nokta olsun. O zaman  açısı  ve  açılarının aritmetik ortalamasıdır. Bu, iç açı teoremi ve dış açı teoreminin doğrudan bir sonucudur.
Ne aritmetik ne de geometrik dizide rasyonel alana ve eşit olmayan rasyonel kenarlara sahip çevrimsel dörtgenler yoktur.
Eğer bir çevrimsel dörtgenin kenar uzunlukları bir aritmetik dizi oluşturuyorsa, bu dörtgen aynı zamanda dış-çift merkezlidir.
Bir çevrimsel dörtgenin karşılıklı kenarları  ve  noktalarında kesişecek şekilde uzatılırsa,  ve  noktalarındaki açıların iç açıortayları diktir.

Brahmagupta dörtgenleri
Bir Brahmagupta dörtgeni kenarları, köşegenleri ve alanı tam sayı olan çevrimsel bir dörtgendir. Kenarları , , , , köşegenleri , , alanı  olan tüm Brahmagupta dörtgenleri ve çevresel yarıçapı , ,  ve  rasyonel parametrelerini içeren aşağıdaki ifadelerden paydadan kurtarmayla elde edilebilir:

Ortodiyagonal durum
Çevrel yarıçap ve alan
Aynı zamanda ortodiyagonal olan (dik köşegenlere sahip) bir çevrimsel dörtgen için, köşegenlerin kesişiminin bir köşegeni  ile  uzunluğundaki parçalara böldüğünü ve diğer köşegeni  ile  uzunluğundaki parçalara böldüğünü varsayalım. O zaman, (ilk eşitlik Archimedes'in Book of Lemmas kitabındaki 11. önermedir)

burada  çemberin çapıdır. Bu geçerlidir çünkü köşegenler bir çemberin kirişlerine diktir. Bu denklemler çevrel yarıçap 'nin,

olarak veya dörtgenin kenarları cinsinden

şeklinde ifade edilebileceğini gösterir. Aynı zamanda şu sonucu da doğurur:

Böylece, Euler dörtgen teoremine göre çevrel yarıçapı,  ve  köşegenleri ve köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafe  cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:

Alan  için bir formül, çevrimsel ortodiyagonal dörtgenin dört kenarı cinsinden Batlamyus teoremi ve ortodiyagonal dörtgenin alanı formülü birleştirildiğinde doğrudan elde edilir. Sonuç şudur;.

Diğer özellikler
Çevrimsel ortodiyagonal bir dörtgende, karşıt merkez ve eşdoğrusallıklar köşegenlerin kesiştiği nokta ile çakışır.
Brahmagupta teoremi, aynı zamanda ortodiyagonal olan bir çevrimsel dörtgen için, köşegenlerin kesişme noktasından geçen herhangi bir kenardan gelen dikmenin karşı kenarı ikiye böldüğünü belirtir.
Eğer bir çevrimsel dörtgen aynı zamanda ortodiyagonal ise, çevrel merkez ile herhangi bir kenar arasındaki mesafe karşı kenarın uzunluğunun yarısına eşittir.
Çevrimsel bir ortodiyagonal dörtgende, köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafe, çevrel merkez ile köşegenlerin kesiştiği nokta arasındaki mesafeye eşittir.

 Çevrimsel küresel dörtgenler 
Küresel geometride, kesişen dört büyük çemberden oluşan küresel bir dörtgen, ancak ve ancak karşıt açıların toplamları eşitse, yani dörtgenin α, β, γ, δ ardışık açıları için α + γ = β + δ ise çevrimseldir. Bu teoremin bir yönü 1782 yılında Anders Johan Lexell tarafından kanıtlanmıştır. Lexell, bir kürenin küçük bir çemberi içine yerleştirilmiş küresel bir dörtgende karşıt açıların toplamlarının eşit olduğunu ve çevrel dörtgende karşıt kenarların toplamlarının eşit olduğunu göstermiştir. Bu teoremlerden ilki, bir düzlem teoreminin küresel benzeşimidir ve ikinci teorem onun dualitesidir, yani büyük çemberler ile kutuplarının yer değiştirmesinin sonucudur. Kiper ve diğ. teoremin tersini kanıtladılar: Eğer küresel bir dörtgende karşılıklı kenarların toplamları eşitse, o zaman bu dörtgen için bir iç teğet çember vardır.

Notlar

Ayrıca bakınız
Kelebek teoremi
Brahmagupta üçgeni
Çembersel çokgen
Bir noktanın kuvveti
Batlamyus kirişler tablosu
Robbins beşgeni

Kaynakça

 Konuyla ilgili okumalar 

Dış bağlantılar
Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral
Incenters in Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot
Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot

Kategori:Dörtgenler