Càdlàg

Matematikte, bir càdlàg fonksiyon (Fr. continue à droite, limite à gauche), gerçek sayıların bir altkümesi üzerinde tanımlı ve bu tanım kümesinin her noktasında sağdan sürekli, soldan limitli olan bir fonksiyondur. Cadlàg fonksiyonlar, özellikle sıçramaları olan stokastik süreçlerin incelenmesinde önemlidir. Bir tanım kümesi üzerindeki càdlàg fonksiyonların kümesine Skorokhod uzayı denir.

Càdlàg terimine benzeyen iki terim vardır. Bunlardan ilki olan càglàd (Fr. continue à gauche, limite à droite)
fonksiyonda sol ve sağ yer değiştirmiştir. Yani, càglàd soldan sürekli, sağdan limitlidir. İkinci terim ise càllàl (Fr. continue à l'un, limite à l’autre) fonksiyondur. Bu terim kapsamında yön belirtilmeden bir taraftan sürekli diğer taraftan limitli fonksiyonlar tanımlanmıştır.

 Tanım 
 bir metrik uzay ve  olsun.  fonksiyonuna aşağıdaki özellikleri sağlarsa càdlàg fonksiyon denir.
Her  için,
  vardır; 
  vardır ve 'ye eşittir.
Diğer deyişle,  fonksiyonu tanım kümesindeki her noktada sağdan sürekli soldan limitlidir.

 Örnekler 
 Gerçel sayılar ya da bunların alt kümelerinde tanımlı sürekli fonksiyonların hepsi càdlàg fonksiyondur.
 Tanımları gereği, bütün kümülatif dağılım fonksiyonları càdlàg fonksiyondur.
 Bir açık aralıkta tanımlanan her dışbükey fonksiyonun sağdan türevi artan bir càdlàg fonksiyondur.

 Skorokhod uzayı 
'den 'ye tanımlı tüm càdlàg fonksiyonlarının kümesi genellikle  (veya sadece  ile) gösterilir ve bu kümeye Ukraynalı matematikçi Anatoliy Skorokhod'a atfen Skorokhod uzayı adı verilir. Skorokhod uzayına, sezgisel olarak "uzay ve zamanı biraz oynatmamıza" izin veren bir topoloji atanabilir (oysaki düzgün yakınsamanın geleneksel topolojisi yalnızca "uzayı biraz oynatmamıza" izin verir). Basitleştirmek için mesela  ve  alalım.

İlk önce süreklilik modülüne karşılığı olan bir  tanımlamamız gerekecek. Herhangi bir  için,

kümesini tanımlayalım. Her  içinse, càdlàg modülünü

şeklinde tanımlayalım. Burada infimum  ve  olacak şekilde tanımlanan bütün  parçalanışları üzerinden tanımlanmaktadır. Süreksiz fonksiyonlar için tanımlanan süreklilik modülü ne kadar makul ise, buradaki tanım da càdlàg olmayan fonksiyonlar için en azından o kadar makuldur. O zaman,  càdlàg fonksiyondur ancak ve ancak .

 üzerinden yine 'ye tanımlı, kesin artan, sürekli, birebir örten fonksiyonların kümesi  olsun (bunlar "zaman içindeki kıpırdanmalar" olacak).  üzerinde tanımlı fonksiyonlar için 

düzgün normunu tanımlayalım. Bu tanımlar ışığında, eğer  özdeşlik (birim) fonksiyonu ise,  için

Skorokhod metriğini tanımlar. "Kıpırdama" sezgisi açısından konuşacak olursak,  "zamandaki kıpırdamanın" boyutunu ölçer,  ise "uzaydaki kıpırdamanın" büyüklüğünü ölçer.

Skorokhod metriği gerçekten bir metriktir.  tarafından üretilen  topolojisine 'deki Skorokhod topolojisi adı verilir.

 Skorokhod uzayının özellikleri 
 Düzgün topolojinin genelleştirilmesi 
 üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonların uzayı olan , 'nin bir altuzayıdır. Skorokhod topolojisi, 'ye göre düşünülürse, o zaman oradaki düzgün topolojilerle aynıdır.

 Tamlık 
, Skorokhod metriği  altında tam uzay değildir. Yine de, 'yi tam yapacak ve topolojik olarak denk bir  metriği vardır.

 Ayrılabilirlik 
Hem  hem de  açısından,  ayrılabilir bir uzaydır. Bu yüzden, Skorokhod uzayı Polish uzaydır.

 Skorokhod uzayındaki sıkılık 
Arzelà-Ascoli teoreminin bir uygulaması aracılığıyla, Skorokhod uzayı  üzerindeki bir olasılık ölçüsü dizisi  ancak ve ancak aşağıdaki şu koşullar sağlanırsa sıkıdır.



 Cebirsel ve topolojik yapı 
Skorokhod topolojisi ve fonksiyonların noktasal toplanması altında  az sonra verilecek örnekte görülebileceği gibi topolojik bir grup değildir. Gerçekten de,  olsun ve  de bir karakteristik fonksiyonlar dizisi olsun. Skorokhod topolojisinde  olmasına rağmen,  dizisi 0'a yakınsamaz.

 Ayrıca bakınız 
 Klasik Wiener uzayı

 Kaynakça

Kategori:Gerçel analiz
Kategori:Stokastik süreçler