Trigonometrik fonksiyonların türevleri

FonksiyonTürev
Trigonometrik fonksiyonların türevleri, trigonometrik bir fonksiyonun türevini yani bir değişkene göre değişim oranını bulmanın matematiksel sürecidir. Örneğin, sinüs fonksiyonunun türevi  şeklinde yazılır, bu da sin(x) fonksiyonunun belirli bir açı x = a için değişim oranının o açının kosinüsü ile verildiği anlamına gelir.

Dairesel trigonometrik fonksiyonların tüm türevleri, tan(x) = sin(x)/cos(x) gibi fonksiyonlara uygulanan bölme kuralı ile sin(x) ve cos(x) türevlerinden elde edilebilir. Bu türevleri bildiğimizde, ters trigonometrik fonksiyonların türevleri örtük türev alma ile bulunur.

 Trigonometrik fonksiyonların türevlerinin kanıtları 

 θ sıfıra yaklaşırken sin(θ)/θ limiti 
küçükresim|
Sağdaki diyagramda, merkezi O olan ve yarıçapı r = 1 olan bir daire gösterilmektedir. İki yarıçap OA ve OB θ radyanlık bir yay oluşturur. θnın  0 < θ <  π aralığında ve birinci çeyrekte olan küçük pozitif bir sayı olduğunu varsayabiliriz.

Diyagramda, R1 OAB üçgeni, R2 daire dilimi OAB ve R3 OAC üçgenidir.

OAB üçgeninin alanı:



OAB daire diliminin alanı:



OAC üçgeninin alanı:



Her alan, bir sonrakinin içindedir, bu nedenle:



Ayrıca, birinci çeyrekte  olduğu için, her iki tarafı   ile bölebiliriz:



Son adımda, üç pozitif terimin tersini aldığımız için eşitsizlikler tersine döner.
küçükresim|
Sonuç olarak, 0 < θ <  π için  her zaman 1'den küçük ve her zaman cos(θ)'dan büyüktür. Dolayısıyla, θ sıfıra yaklaştıkça  1 yüksekliğindeki bir tavanda ve cos θ yüksekliğindeki bir tabanda "sıkıştırılmıştır" ve bu yükseklik 1'e doğru yükselir; bu nedenle sin(θ)/θ sıfıra yaklaşırken:θ küçük bir negatif sayı olduğunda – π < θ < 0, sinüsün tek fonksiyon olduğunu kullanırız:



 θ sıfıra yaklaşırken (cos(θ)-1)/θ limiti 
Son bölüm, bu yeni limiti görecek kadar kolay bir şekilde hesaplamamızı sağlar. Bu hesaplamada θ'''nın işareti önemsizdir.



 ve bir çarpımın limitinin, limitlerin çarpımına eşit olduğu gerçeğini kullanarak, bir önceki bölümden elde ettiğimiz limiti buluyoruz:



tan(θ)/θ Limitinin 0'a Yaklaşması
Sinüs fonksiyonu için limit, tanjant fonksiyonunun tek işlevsel olması ve bir çarpımın limitinin çarpımlarının limitleri olduğunu göz önünde bulundurarak şunu buluruz:

Sinüs Fonksiyonunun Türevi
Limit tanımını kullanarak sinüs fonksiyonunun türevini hesaplayalım:

Açı toplam formülünü kullanarak , şunu elde ederiz:

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:

Kosinüs Fonksiyonunun Türevi

Türev Tanımından
Kosinüs fonksiyonunun türevini limit tanımından tekrar hesaplayalım:

Açı toplam formülünü kullanarak , şunu elde ederiz:

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:

Zincir Kuralı ile
Kosinüs fonksiyonunun türevini zincir kuralından hesaplamak için şu üç eşitliği gözlemleyelim:

İlk iki eşitlik bir trigonometrik özdeşliktir, üçüncüsü ise yukarıda kanıtlanmıştır. Bu üç eşitliği kullanarak aşağıdaki gibi yazabiliriz:

Bunu zincir kuralını kullanarak türevini alabiliriz.  olarak alırsak:

.

Dolayısıyla, şunu kanıtlamış olduk:
.

Tanjant Fonksiyonunun Türevi

Türev Tanımından
Tanjant fonksiyonunun türevini ilk prensiplerden hesaplayalım. Tanıma göre:

Açı toplam formülünü kullanarak :

Bir çarpımın limitinin, limitlerinin çarpımına eşit olduğunu göz önünde bulundurarak:

Tanjant fonksiyonu için limitleri kullanarak ve tan δ 'nin 0'a yaklaştığını göz önünde bulundurarak:

Hemen şunu görüyoruz:

 Bölme kuralından 
Tanjant fonksiyonunun türevini bölme kuralı kullanarak hesaplayabiliriz:

Pay Pisagor özdeşliği ile 1 olarak sadeleştirilebilir, bu da bize:

Sonuç olarak:

 Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri 
Aşağıdaki türevler, türevini almak istediğimiz ters trigonometrik fonksiyon için bir değişken y belirleyerek bulunur. Örtük türevleme kullanarak, ardından dy/dx için çözümleyerek, ters fonksiyonun türevini y cinsinden buluruz. dy/dxyi tekrar x cinsine çevirmek için, bir referans üçgeni çizebiliriz. Bunun için birim çember üzerinde θ'yi y olarak alırız. Pisagor teoremi ve normal trigonometrik fonksiyonların tanımı kullanılarak, nihayetinde dy/dx'yi x cinsinden ifade edebiliriz.

 Ters Sinüs Fonksiyonunun Türevini Alma 
Şunu alıyoruz:

Burada:

O halde:

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

Yukarıdan  değerini yerine koyarak,

Yukarıdan  değerini yerine koyarak,

Sonuç olarak:

 Ters Kosinüs Fonksiyonunun Türevini Alma 
Şunu alıyoruz:

Burada:

O halde:

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

Yukarıdan  değerini yerine koyarak,

Yukarıdan  değerini yerine koyarak,

Sonuç olarak:

Alternatif olarak,  türevini belirledikten sonra,  türevi,  özdeşliğini türevleyerek  elde edilerek hemen takip edilir.

 Ters Tanjant Fonksiyonunun Türevini Alma 
Şunu alıyoruz:

Burada:

O halde:

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

Sol taraf:
 Pisagor özdeşliğini kullanarak.
Sağ taraf:

Sonuç olarak:

Yukarıdan  değerini yerine koyarak,

Sonuç olarak:

 Ters Kotanjant Fonksiyonunun Türevini Alma 
Şunu alıyoruz:

Burada:
. O halde:

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

Sol taraf:
 Pisagor özdeşliğini kullanarak.
Sağ taraf:

Sonuç olarak:

Yukarıdan  değerini yerine koyarak,

Sonuç olarak:

Alternatif olarak,  türevi yukarıda açıklandığı gibi elde edilirse,  özdeşliğinden,
hemen şu sonuç elde edilir:

 Ters Sekant Fonksiyonunun Türevini Alma 
 Örtük Türevleme Kullanarak 
Şunu alıyoruz:

O halde:

(İfadedeki mutlak değer gereklidir çünkü sekant ve tanjant çarpımı y aralığında her zaman pozitifken, kök  her zaman pozitif olarak tanımlandığı için, kalan çarpanın da pozitif olması gerektiğinden, bu mutlak değer kullanılır.)

 Zincir Kuralını Kullanarak 
Alternatif olarak, ters sekantın türevi, ters kosinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.

Şunu alıyoruz:

Burada

 ve 

O halde,  için zincir kuralını uygulayarak:

 Ters Kosekant Fonksiyonunun Türevini Alma 
 Örtük Türevleme Kullanarak 
Şunu alıyoruz:

O halde

(İfadedeki mutlak değer gereklidir çünkü kosekant ve kotanjant çarpımı y aralığında her zaman pozitifken, kök  her zaman pozitif olarak tanımlandığı için, kalan çarpanın da pozitif olması gerektiğinden, bu mutlak değer kullanılır.)

 Zincir Kuralını Kullanarak 
Alternatif olarak, ters kosekantın türevi, ters sinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.

Şunu alıyoruz:

Burada

 ve 

O halde,  için zincir kuralını uygulayarak:

 Ayrıca bakınız 

 Kalkülüs
 Türev
 Türev alma kuralları
 Trigonometrik özdeşlikler listesi
 Trigonometri

 Kaynakça 

 Bibliyografya Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı'', Editörler: Abramowitz ve Stegun, Ulusal Standartlar Bürosu, Uygulamalı Matematik Serisi, 55 (1964)

Türev
Kategori:Türev
Kategori:Matematik listeleri
Kategori:Kanıt içeren maddeler