Çin kalan teoremi

bağlantı=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Disqvisitiones-800.jpg|küçükresim|Çin kalan teoremi Gauss'un 1801 tarihli kitabında Disquisitiones Arithmeticae.
Matematikte Çin kalan teoremi, bir n tamsayısının birkaç tam sayıya bölümünden kalanlar biliniyorsa, n'in bu sayıların çarpımına bölümünden kalanın bulunabileceğini belirtir. Buradaki koşul, n'e bölümlerinden kalanlarını bildiğimiz sayıların birbirleriyle aralarında asal olmaları gerekliliğidir.

Örneğin, n'in 3'e bölümünden kalanın 2 olduğunu, 5'e bölümünden kalanın 3 olduğunu ve 7'ye bölümünden kalanın 2 olduğunu biliyorsak; n'in değerini bilmemize gerek kalmadan n'in 105'e (3, 5 ve 7'nin çarpımı) bölümünden kalanın 23 olduğunu bulabiliriz. Daha da önemlisi, bu bize n'nin 105'ten küçük bir doğal sayı olması durumunda n'nin 23 olması gerektiğini söyler.

Teoremin bilinen en eski ifadesi MS 3. ila 5. yüzyılda Çinli matematikçi Sunzi Suanjing tarafından ortaya konulmuştur.

Çin kalan teoremi, yaygın olarak büyük tam sayılarla yapılan hesaplamalarda kullanılır.

 İfade 
n1, ..., nk, 1'den büyük bölenler olmak üzere ni çarpımını N ile gösterelim. Çin kalan teoremine göre ni dizisindeki sayı ikililerinin tümü aralarında asalsa ve a1, ..., ak tam sayıların  0 ≤ ai < ni eşitsizliğini i'nin tüm değerleri için sağlıyorsa, o halde 0 ≤ x < N olmak üzere i'nin her değeri için x'in ni'ye bölümünden kalanı ai yapan yalnız bir x değeri vardır.

Bu durum kongrüanslar ile aşağıdaki şekilde yeniden ifade edilebilir:

 sayıları çiftler halinde aralarında asalsa, a1, ..., ak tam sayılar olmak üzere

denkliğinin mod N'de yalnız bir çözümü vardır.

 İspat 

 Benzersizlik 
  ve  sayılarının denkliğin iki farklı çözümü olduğunu varsayalım.   ve  sayıları, 'ye bölümlerinde aynı kalanı verdiğinden bu sayıların farkı , 'nin her değeri için 'nin bir katıdır. 'nin bütün değerlerinin aralarında asal olduğu göz ününde bulundurulursa,  dizisindeki sayıların çarpımı olan N sayısı da 'ye tam bölünür.   ve  sayıları negatif olmayan ve N'den küçük tam sayılar olarak alınırsa farkları olan  ancak  durumunda N'in bir katıdır.

 Kaynakça