Stokes sayısı

Stokes sayısı (Stk), George Gabriel Stokes'un adını taşıyan ve parçacıkların bir akışkan akışı içerisinde süspansiyonda gösterdiği davranışı karakterize eden bir boyutsuz sayıdır. Stokes sayısı, bir parçacığın (veya damlanın) karakteristik zamanı ile akışın veya bir engelin karakteristik zamanı arasındaki oran olarak şu şekilde tanımlanır:

Burada,  parçacığın relaksasyon süresi (İng. relaxation time; sürüklenme nedeniyle parçacık hızının üstel olarak azaldığı zaman sabiti),  engelden uzakta akışın akışkan sürati ve  engelin karakteristik boyutu (genellikle çapı) veya akıştaki karakteristik bir uzunluk ölçeğidir (örneğin sınır tabakası kalınlığı). Düşük Stokes sayısına sahip bir parçacık akış çizgilerini takip eder (mükemmel adveksiyon), oysa büyük Stokes sayısına sahip bir parçacık ataletinin etkisi altındadır ve başlangıç yörüngesini izlemeye devam eder.

Stokes akışı durumunda, yani parçacık (veya damlacık) Reynolds sayısı yaklaşık olarak birden küçük olduğunda, parçacığın sürükleme katsayısı Reynolds sayısının kendisiyle ters orantılıdır. Bu durumda, parçacığın karakteristik zamanı şu şekilde ifade edilebilir:

Burada,  parçacığın yoğunluğu,  parçacık çapı ve  akışkanın dinamik viskozitesidir.

Deneysel akışkan dinamiğinde, Stokes sayısı, parçacık görüntü velocimetrisi (PIV) deneylerinde, çok küçük parçacıkların türbülanslı akışlara katılması ve akışkan hareketinin hızını ve yönünü (aynı zamanda akışkanın hız alanı olarak da bilinir) belirlemek amacıyla optik olarak gözlemlenmesi durumunda bir akış izleyici doğruluğu ölçütüdür. Kabul edilebilir izleme doğruluğu için, parçacık yanıt süresi, akışın en küçük zaman ölçeğinden daha hızlı olmalıdır. Küçük Stokes sayıları daha iyi izleme doğruluğunu gösterir;  durumunda, parçacıklar özellikle akışın ani bir şekilde yavaşladığı yerlerde akıştan ayrılacaktır.  durumunda, parçacıklar akış çizgilerini yakından takip eder. Eğer  ise, izleme doğruluğu hataları yüzde 1'in altında kalır.

 Parçacık görüntü velocimetrisinde (PIV) relaksasyon süresi ve izleme hatası 


Stokes sayısı, daha önce tartışıldığı gibi, PIV veri setlerinin kalitesini değerlendirmek için bir ölçüt sunar. Ancak, her uygulamada karakteristik bir hız veya uzunluk ölçeğinin tanımı açık olmayabilir. Bu yüzden, izleme gecikmesinin nasıl ortaya çıktığını daha iyi anlamak için, Stokes rejimindeki bir parçacığın diferansiyel denklemlerinin tanımlanması gereklidir. Belirli bir hızla  hareket eden bir parçacık, akışkanın değişken hız alanıyla karşılaşacaktır. Parçacığın Lagrangian referans çerçevesinde akışkanın hızının  olduğunu varsayalım. Bu hızlar arasındaki fark, parçacığın yolunu düzeltmek için gerekli sürükleme kuvvetini oluşturur:

Stokes sürükleme kuvveti şu şekilde tanımlanır:

Parçacığın kütlesi ise şu şekilde hesaplanır:

Bu bağlamda, Newton'un ikinci yasasına göre parçacığın ivmesi şu şekilde bulunabilir:

Relaksasyon süresi olan  yerine konularak, ifade şu hale getirilir:

Yukarıdaki birinci derece diferansiyel denklem, Laplace dönüşümü yöntemi ile şu şekilde çözülebilir:

Bu çözüm, frekans alanında, karakteristik zamanı  olan birinci dereceden bir sistemi tanımlar. Bu nedenle, −3 dB kazanç (kesim) frekansı şu şekilde olacaktır:

Kesim frekansı ve parçacık transfer fonksiyonu, yan panelde çizilen grafikte, dengesiz akış uygulamalarında PIV hatasının ve bu hatanın türbülans spektral nicelikleri ve kinetik enerji üzerindeki etkisinin değerlendirilmesini sağlar.

küçükresim|upright=1.82|alt=Havada farklı parçacık çapları için propilen glikol parçacığının Bode grafiği. |Havada farklı parçacık çapları için propilen glikol parçacığının Bode grafiği.

 Şok dalgası üzerinden geçen parçacıklar 

Önceki bölümde tartışılan parçacık izleme yanılma hatası, frekans alanında belirgindir, ancak parçacık hareketinin akış alanı ölçümleri yapmak amacıyla izlendiği durumlarda (örneğin, parçacık görüntü velocimetrisinde) bunu değerlendirmek zor olabilir. Yukarıda belirtilen diferansiyel denklemin basit fakat anlamlı bir çözümü, zorlama fonksiyonu  bir Heaviside basamak fonksiyonu olduğunda mümkündür; bu, bir şok dalgası üzerinden geçen parçacıkları temsil eder. Bu durumda,  şokun yukarısındaki akış hızıdır;  ise şok boyunca meydana gelen hız düşüşüdür.

Bir parçacığın basamak yanıtı basit bir üstel fonksiyondur:

Hızı zamanın bir fonksiyonu olarak, parçacık hız dağılımını mesafenin bir fonksiyonu olarak dönüştürmek amacıyla,  yönünde 1 boyutlu bir hız sıçraması olduğunu varsayalım. Şok dalgasının  konumunda olduğunu varsayalım ve ardından önceki denklemi entegre edelim:

 (hızın \% 95 değişim süresi) relaksasyon süresini dikkate alarak, şu sonucu elde ederiz:

Bu durum, parçacık hızının, şok dalgasından itibaren  mesafede aşağı akış hızının 'ine yerleşeceği anlamına gelir. Pratikte bu, bir PIV sistemi için şok dalgasının yaklaşık olarak bu  mesafesi kadar bulanık görüneceği anlamına gelir.

Örneğin, durgunluk sıcaklığı 298 K ve Mach sayısı  olan normal bir şok dalgasını düşünelim.  çapındaki bir propilen glikol parçacığı, akışı  kadar bulanıklaştıracaktır; oysa  çapındaki bir parçacık, akışı  kadar bulanıklaştıracaktır (bu, çoğu durumda kabul edilemez PIV sonuçları verecektir).

Bir şok dalgası, akışın ani yavaşlamasının en kötü senaryosu olmasına rağmen, PIV'deki parçacık izleme hatasının etkisini ve bu hatanın hız alanlarının  mertebesindeki uzunluk ölçeklerinde bulanıklaşmasına neden olduğunu gösterir.

 Non-Stokesian sürükleme rejimi 
Önceki analiz, ultra-Stokesian rejiminde doğru olmayacaktır, yani parçacık Reynolds sayısı birden çok daha büyük olduğunda geçerli değildir. Mach sayısının birlikten çok daha küçük olduğunu varsayarak, Israel ve Rosner tarafından genelleştirilmiş bir Stokes sayısı formu gösterilmiştir.

Burada , "parçacık serbest-akış Reynolds sayısı" olarak tanımlanır,

Ek olarak tanımlanan fonksiyon  ise; non-Stokesian sürükleme düzeltme faktörünü ifade eder,

Bu fonksiyon şu şekilde tanımlanır,
küçükresim|upright=1.26|, küresel bir parçacık için non-Stokesian sürükleme düzeltme faktörünü tanımlar

Sınırlandırıcı parçacık serbest-akış Reynolds sayıları dikkate alındığında,  olduğunda  ve dolayısıyla  olur. Bu nedenle, beklenildiği gibi Stokesian sürükleme rejiminde düzeltme faktörü birdir. Wessel & Righi 'yi Schiller & Naumann'ın bir küre üzerindeki sürükleme için ampirik korelasyonundan  kullanarak değerlendirmiştir.

Burada sabit  olarak alınmıştır. Geleneksel Stokes sayısı, büyük parçacık serbest-akış Reynolds sayıları için sürükleme kuvvetini önemli ölçüde küçümseyecektir. Bu da parçacıkların akış yönünden sapma eğilimini fazla tahmin edecektir. Bu durum, sonraki hesaplamalarda veya deneysel karşılaştırmalarda hatalara yol açacaktır.

 Anizokinetik parçacık örneklemesinin uygulanması 
Örneğin, Belyaev ve Levin tarafından tanımlanan hizalanmış, ince duvarlı dairesel bir nozul aracılığıyla parçacıkların seçici olarak yakalanması şu şekilde ifade edilmektedir:

burada  parçacık konsantrasyonu,  hız ve alt simge 0, nozulun oldukça yukarısındaki koşulları belirtir. Karakteristik mesafe nozulun çapıdır. Bu durumda Stokes sayısı şu şekilde hesaplanır,

burada  parçacığın çökelme hızı,  örnekleme tüpünün iç çapı ve  yerçekimi ivmesidir.

 Ayrıca bakınız 
Stokes yasası – Reynolds sayısı birden küçük olan parçacıklar üzerindeki akışkanlarda sürükleme kuvvetini ifade eder.

Kaynakça

Diğer okumalar





Kategori:Aerosoller
Kategori:Akışkanlar mekaniği boyutsuz sayıları
Kategori:Akışkanlar mekaniği