Çemberin kareleştirilmesi

Çemberin kareleştirilmesi veya Dairenin kareleştirilmesi, ilk olarak Yunan matematiğinde gündeme gelen bir geometri problemidir. Bir pergel ve çizgeç ile sadece sonlu sayıda adım kullanarak verilen bir dairenin alanı ile eş bir kare inşa etme uğraşısıdır. Problemin zorluğu, Öklid geometrisi'nin çizgiler ve dairelerin varlığına ilişkin aksiyomlarının böyle bir karenin varlığını gerektirip gerektirmediği sorusunu gündeme getirdi.

1882 yılında, pi'nin () bir aşkın (transandantal) sayı olduğunu kanıtlayan Lindemann-Weierstrass teoremi sonucunda bu görevin imkansız olduğu kanıtlanmıştır.
Yani, , rasyonel katsayıları olan herhangi bir polinomun kökü değildir.  transandantal olsaydı yapının imkansız olacağı onlarca yıldır biliniyordu, ancak bu gerçek 1882'ye kadar kanıtlanmamıştı. Verilen herhangi bir mükemmel olmayan doğruluğa sahip yaklaşık yapılar mevcuttur ve bu tür birçok yapı bulunmuştur.

İmkansız olduğunun kanıtlanmasına rağmen, dairenin kareştirilmesi girişimleri sözde matematikte (yani matematikçi çatlakların çalışmalarında) yaygındır. "Daireyi kareleştirme (squaring the circle)" ifadesi bazen imkansızı yapmaya çalışmak için bir metafor olarak kullanılır.

Dairenin kuadratürü terimi bazen daireyi kareleştirmekle eşanlamlı olarak kullanılır. Aynı zamanda bir dairenin alanı'nı bulmak için yaklaşık veya sayısal yöntemlere de atıfta bulunabilir. Genel olarak, kuadratür veya kareleştirme diğer düzlem şekillerine de uygulanabilir.

Tarihçe
Verilen bir dairenin yaklaşık alanını hesaplamak için, daireyi kareleştirmenin öncül problemi olarak düşünülebilecek yöntemler, birçok eski kültürde zaten biliniyordu. Bu yöntemler, ürettikleri 'ye yaklaşım belirtilerek özetlenebilir. MÖ 2000 civarında, Babilli matematikçiler,  yaklaşımını kullanmış ve yaklaşık aynı zamanda antik Mısırlı matematikçiler,  yaklaşımını kullanmıştır. 1000 yıldan fazla bir süre sonra, Eski Ahit Books of Kings daha basit bir yaklaşım olan  Eski Hint matematiği, Shatapatha Brahmana ve Shulba Sutralarında kaydedildiği üzere, 'ye  Arşimet bir dairenin alanı için bir formül kanıtlamıştır, buna göre . MS. 3. yüzyılda Çin matematiğinde, Liu Hui Arşimet'inkine benzer bir yöntem kullanarak daha da doğru yaklaşımlar buldu ve beşinci yüzyılda Zu Chongzhi, Milü olarak bilinen bir yaklaşım olan  değerini buldu.

Alanı tam olarak bir dairenin alanı kadar olan bir kare inşa etme problemi Yunan matematiğinden gelmektedir. Yunan matematikçiler, herhangi bir çokgeni eşdeğer alana sahip bir kareye dönüştürmek için pergel ve çizgeç yapıları bulmuşlardır. Bu yapıyı, modern matematikte daha tipik olan sayısal alan hesaplamasından ziyade, çokgenlerin alanlarını geometrik olarak karşılaştırmak için kullanmışlardır. Proclus'un yüzyıllar sonra yazdığı gibi, bu durum çokgen olmayan şekillerle karşılaştırma yapmaya olanak tanıyacak yöntemlerin araştırılması konusunda eski matematikçileri motive etti:

küçükresim|

Problem üzerinde çalıştığı bilinen ilk Yunan Anaksagoras hapisteyken bu problem üzerinde çalışmıştır. Sakız Adalı Hipokrat, bu probleme dairesel yaylarla sınırlandırılmış ve karesi alınabilen bir şekil, Hipokrat ayı olarak bilinen şekli bularak saldırmıştır. Sofist Antiphon, bir dairenin içine düzenli çokgenler çizmenin ve kenar sayısını iki katına çıkarmanın sonunda dairenin alanını dolduracağına inanıyordu (bu tüketme yöntemidir). Herhangi bir çokgenin kareleştirilebildiğinden,Belirli bir çokgene alan olarak eşit bir karenin inşası Euclid's Elements, Kitap II'nin 14. önermesidir. dairenin karesinin alınabileceğini savunmuştur. Buna karşılık, Eudemus büyüklüklerin sınırsız bölünemeyeceğini, dolayısıyla dairenin alanının asla tükenmeyeceğini savunmuştur. Antiphon ile eşzamanlı olarak, Herakleialı Bryson, daha büyük ve daha küçük dairelerin her ikisi de var olduğundan, eşit alana sahip bir daire olması gerektiğini savundu; bu ilke modern ara değer teoreminin bir biçimi olarak görülebilir. Tüm geometrik yapıları yalnızca pergel ve çizgeç kullanarak gerçekleştirmeye yönelik daha genel amaç genellikle Oenopides'e atfedilmiştir, ancak buna ilişkin kanıtlar ikinci derecededir.

Günümüzde kalkülüs'te entegrasyon veya sayısal analizde kuadratür olarak bilinen keyfi bir eğrinin altındaki alanı bulma problemi, kalkülüsün icadından önce "kareleştirme" olarak biliniyordu.  Kalkülüs teknikleri bilinmediğinden, genellikle kareleştirmenin geometrik inşalarla, yani pergel ve çizgeçle yapılması gerektiği varsayılırdı. Örneğin, Newton 1676'da Oldenburg'a şöyle yazmıştır: "Sanırım M. Leibnitz mektubumun başında sayfa 4'te eğri çizgileri geometrik olarak kareleştirmek için kullandığım teoremden hoşlanmayacaktır."  Modern matematikte bu terimlerin anlamları farklılaşmıştır; kuadratür genellikle kalkülüs yöntemlerine izin verildiğinde kullanılırken, eğrinin kareştirilmesi yalnızca sınırlı geometrik yöntemlerin kullanılması fikrini korumaktadır.

1667'de James Gregory, Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Dairenin ve Hiperbolün Gerçek Kareleştirmesi) adlı eserinde daireyi kareleştirmenin imkânsızlığını kanıtlamaya çalışmıştır. İspatı hatalı olsa da, 'nin cebirsel özelliklerini kullanarak problemi çözmeye çalışan ilk makaleydi. Johann Heinrich Lambert, 1761 yılında 'nin bir irrasyonel sayı olduğunu kanıtlamıştır. 1882 yılında Ferdinand von Lindemann, 'nin aşkın sayı olduğunu kanıtlayarak ve buradan yola çıkarak pergel ile çizgeç yardımıyla daireyi kareleştirmenin imkansızlığını kanıtlayana kadar hiç kimse daha güçlü bir şekilde farklı bir kanıt üretmeyi başaramadı.

Lindemann'ın imkansızlık kanıtından sonra, problemin profesyonel matematikçiler tarafından çözüldüğü düşünülmüştür ve sonraki matematik tarihine sözde-matematiksel olarak büyük ölçüde amatörler tarafından yapılan daireyi kareleştirme girişimleri ve bu çabaların çürütülmesi hakimdir. Ayrıca, Srinivasa Ramanujan da dahil olmak üzere daha sonraki birkaç matematikçi, problemi birkaç adımda doğru bir şekilde yaklaştıran pergel ve çizgeç yapıları geliştirdi.

küçükresim|sağ|upright=2.27|
Antik çağın imkânsızlıklarıyla ünlü diğer iki klasik problemi küpün hacmini ikiye katlama ve bir açıyı üçe bölme idi. Daireyi kareleştirme gibi, bunlar da pergel ve çizgeç ile çözülemez. Ancak, daireyi kareleştirmekten farklı bir karaktere sahiptirler, çünkü çözümleri aşkın olmaktan ziyade bir kübik denklemin kökünü içerir. Bu nedenle, neusis inşası veya matematiksel kağıt katlama gibi pergel ve çizgeç yapımından daha güçlü yöntemler bu problemlerin çözümlerini oluşturmak için kullanılabilir.

İmkânsızlık
Pergel ve çizgeç ile daireyi kareleştirme probleminin çözümü, alanı birim daireninkine eşit olan bir karenin kenar uzunluğu olan  sayısının oluşturulmasını gerektirir. Eğer  bir inşa edilebilir sayı olsaydı, standart pergel ve çizgeç yapılarından 'nin de inşa edilebilir olacağı sonucu çıkardı. 1837'de Pierre Wantzel pergel ve çizgeç ile inşa edilebilecek uzunlukların rasyonel katsayılı belirli polinom denklemlerinin çözümleri olması gerektiğini gösterdi. Bu nedenle, inşa edilebilir uzunluklar, cebirsel sayılar olmalıdır. Eğer daire sadece pergel ve çizgeç kullanılarak kareleştirilebiliyorsa,  bir cebirsel sayı olmak zorundadır. Ancak 1882'de Ferdinand von Lindemann 'nin aşkınlığını kanıtladı ve böylece bu yapının imkânsızlığını gösterdi. Lindemann'ın fikri Euler sayısı'nın aşkınlığının kanıtını birleştirmekti. , Charles Hermite tarafından 1873 yılında Euler özdeşliği ile gösterilmiştir:

Bu özdeşlik hemen 'nin bir irrasyonel sayı olduğunu gösterir, çünkü transandantal bir sayının rasyonel bir kuvveti transandantal kalır. Lindemann bu argümanı 'nin cebirsel kuvvetlerinin lineer bağımsızlığı üzerine Lindemann-Weierstrass teoremi aracılığıyla genişleterek 'nin transandantal olduğunu ve dolayısıyla dairenin kareleştirilmesinin imkansız olduğunu göstermeyi başardı.

İlave bir araç sunarak, sonsuz sayıda pergel ve çizgeç işlemine izin vererek veya işlemleri belirli Öklid dışı geometriler içinde gerçekleştirerek kuralları bükmek, daireyi kareleştirmeyi bir anlamda mümkün kılar. Örneğin, Dinostratus teoremi daireyi kareleştirmek için Hippias kuadratrisini kullanır, yani bu eğri bir şekilde zaten verilmişse, ondan eşit alanlı bir kare ve daire inşa edilebilir. Benzer bir başka yapı için, Arşimet spirali kullanılabilir. Daire Öklid uzayı içinde karesileştirilemese de, terimlerin uygun yorumları altında bazen hiperbolik geometri içinde bu başarılabilir. Hiperbolik düzlem, kareler (dört dik açılı ve dört eşit kenarlı dörtgenler) içermez, bunun yerine düzgün dörtgenler, dört eşit kenarlı ve dik açılardan daha keskin dört eşit açılı şekiller içerir. Hiperbolik düzlemde (sayılabilir) sonsuz sayıda inşa edilebilir daire ve eşit alana sahip inşa edilebilir düzgün dörtgen çifti vardır, ancak bunlar aynı anda inşa edilir. Rastgele bir düzgün dörtgenle başlayıp eşit alanlı bir daire inşa etmek için bir yöntem yoktur. Simetrik olarak, rastgele bir daireyle başlayıp eşit alana sahip düzgün bir dörtgen inşa etmek için bir yöntem yoktur ve yeterince büyük daireler için böyle bir dörtgen mevcut değildir.

 Yaklaşık inşalar 
Pergel ve çizgeç ile daireyi tam olarak kareleştirmek veya daireyi kareleştirme imkansız olsa da, 'ye yakın uzunluklar oluşturarak bu amaca yönelik yaklaşımlar verilebilir.
Verilen herhangi bir rasyonel  yaklaşımını karşılık gelen bir pergel ve çizgeç yapısına dönüştürmek yalnızca temel geometri gerektirir, ancak bu tür yapılar elde ettikleri doğruluğa kıyasla çok uzun soluklu olma eğilimindedir. Kesin problemin çözülemez olduğu kanıtlandıktan sonra, bazı matematikçiler yaratıcılıklarını, benzer hassasiyeti veren diğer akla gelebilecek yapılar arasında özellikle basit olan daireyi kareleştirme yaklaşımlarını bulmaya uyguladılar.

 Kochański tarafından yapılan inşa 

Pergel ve çizgeçe ilişkin pek çok erken tarihsel yaklaşımdan biri, Polonyalı Cizvit Adam Adamandy Kochański tarafından 1685 yılında yayınlanan ve 'den 5. ondalık basamakta uzaklaşan bir yaklaşım üreten bir makaledir.  için çok daha kesin sayısal yaklaşımlar zaten bilinmesine rağmen, Kochański'nin yapısı oldukça basit olma avantajına sahiptir. Soldaki diyagramda

Aynı çalışmada Kochański,  için giderek artan doğrulukta bir dizi rasyonel yaklaşım da türetmiştir.

 355/113 kullanan inşalar 

Jacob de Gelder 1849 yılında,

yaklaşımına dayanan bir inşa yayımladı. Bu değer altı ondalık basamağa kadar doğrudur ve Çin'de 5. yüzyıldan beri Milü olarak, Avrupa'da ise 17. yüzyıldan beri bilinmektedir.

Gelder karenin kenarını oluşturmadı,

değerini bulması onun için yeterliydi. Resimde de Gelder'in inşası gösterilmektedir.

1914 yılında Hint matematikçi Srinivasa Ramanujan aynı yaklaşım için başka bir geometrik yapı verdi.

 Altın oranı kullanan inşalar 

E. W. Hobson tarafından 1913 yılında yapılan yaklaşık bir inşa üç ondalık basamağa kadar doğrudur. Hobson'ın inşası yaklaşık olarak şu değere karşılık gelir:
 burada  altın oran, 'dir.

Aynı yaklaşık değer Robert Dixon tarafından 1991 yılında yapılan bir çalışmada da görülmektedir. 2022 yılında Frédéric Beatrix 13-adımda geometrografik bir yapı sundu.

 Ramanujan tarafından yapılan ikinci inşa 

1914 yılında Ramanujan,  için yaklaşık değeri,

olarak alınmasına eşdeğer olan ve 'nin sekiz ondalık basamağını veren bir inşa yöntemi verdi.

 doğru parçasının inşasını aşağıdaki gibi tanımlamaktadır.

Hatalı inşalar
İngiliz filozof Thomas Hobbes yaşlılığında, Hobbes-Wallis tartışmasının bir parçası olarak John Wallis tarafından reddedilen bir iddia olan daireyi kareleştirmeyi başardığına kendini ikna etti.  18. ve 19. yüzyıllarda, daireyi kareleştirme probleminin bir şekilde boylam problemi ile ilişkili olduğu ve çözüm için büyük bir ödül verileceği yönündeki yanlış fikirler, daireyi kareştiren kişiler arasında yaygınlaştı. 1851'de John Parker, daireyi kareştirdiğini iddia ettiği Quadrature of the Circle adlı bir kitap yayınladı. Onun yöntemi aslında 'nin altı haneye kadar doğru bir yaklaşımını üretti.

Daha çok Lewis Carroll takma adıyla tanınan Viktorya Dönemi matematikçisi, mantıkçısı ve yazarı Charles Lutwidge Dodgson da mantıksız daireyi kareleştirme teorilerini çürütmeye ilgi duyduğunu ifade etmiştir. Dodgson, 1855 yılına ait günlük kayıtlarından birinde, yazmayı umduğu kitapları listelemiş ve bunlardan birinin adını da Daire Kareştirenler için Basit Gerçekler (Plain Facts for Circle-Squarers) olarak vermiştir. "A New Theory of Parallels" (Yeni Bir Paralellik Teorisi) kitabının girişinde Dodgson, bir çift daire kareştiriciye mantıksal hataları gösterme girişimini şöyle anlatmıştır:

Augustus De Morgan'ın ölümünden sonra dul eşi tarafından 1872'de yayınlanan A Budget of Paradoxes adlı kitabında daireyi kareleştirmeyle ilgili bir alay yer almaktadır. Çalışmayı ilk olarak The Athenæum dergisinde bir dizi makale olarak yayınlamış olan Morgan, öldüğü sırada yayınlanmak üzere gözden geçiriyordu. Daire kareleştirme, on dokuzuncu yüzyıldan sonra popülaritesini kaybetti ve De Morgan'ın çalışmasının buna yardımcı olduğuna inanılıyor.

küçükresim|upright|

Bunun imkansız olduğu kanıtlandıktan sonra bile, 1894 yılında amatör matematikçi Edwin J. Goodwin daireyi kareleştirme için bir yöntem geliştirdiğini iddia etmiştir. Geliştirdiği teknik daireyi doğru bir şekilde kareleştirmemiş ve 'yi esasen 3,2'ye eşit olarak yeniden tanımlayan dairenin yanlış bir alanını vermiştir. Goodwin daha sonra Indiana eyalet yasama meclisinde, eyaletin kendisine telif ücreti ödemeden yöntemini eğitimde kullanmasına izin veren Indiana Pi Bill'i önerdi. Tasarı eyalet meclisinde itirazsız kabul edildi, ancak basının artan alayları arasında Senatoda hiç oylanmadı.

Matematikçi Carl Theodore Heisel da 1934 tarihli İşte! : artık çözümsüz olmayan büyük problem: çürütülemeyen daire kareleştirme (Behold! : the grand problem no longer unsolved: the circle squared beyond refutation.) adlı kitabında daireyi kareleştirdiğini iddia etmiştir. Paul Halmos kitaptan "klasik bir çatlaklık kitabı" olarak bahsetmiştir.

Edebiyatta
Daireyi kareleştirme problemi, çeşitli metafor anlamlarıyla çok farklı edebi dönemlerde dile getirilmiştir. Edebi kullanımı en azından Aristophanes'in The Birds adlı oyununun ilk kez sahnelendiği MÖ. 414 yılına kadar uzanmaktadır. Oyunda Atinalı Meton karakteri, muhtemelen ütopik şehrinin paradoksal doğasını belirtmek için daireyi kareleştirmekten bahseder.

küçükresim|upright|

Dante'nin Paradise, kanto XXXIII, 133-135. satırları bu dizeyi içerir:
Daireyi kareleştirmek için çalışıp kafa yoran
ama tüm kıvrak zekasına rağmen, her ne kadar denese de
gerekli formülü bulamayan bir geometrici nasıl olursa
As the geometer his mind applies
To square the circle, nor for all his wit
Finds the right formula, howe'er he tries
Qual è ’l geométra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige,

Dante için daireyi kareleştirme, insan kavrayışının ötesinde bir görevi temsil eder ve bunu kendi Cennet'i kavrayamamasıyla karşılaştırır. Dante'nin imgesi, daha sonra Leonardo da Vinci'nin Vitruvius Adamı adlı tablosunda ünlü bir şekilde resmedilen Vitruvius'tan bir pasajı da akla getirmektedir: aynı anda bir daire ve bir kare içine çizilmiş bir adam. Dante daireyi Tanrı için bir sembol olarak kullanır ve bu şekil kombinasyonundan İsa'nın aynı anda ilahi ve insani doğasına atıfta bulunmak için bahsetmiş olabilir. Daha önce, XIII. kantoda Dante, Yunan daire kareleştirici Bryson'a bilgelik yerine bilgi peşinde koştuğu için seslenir.

17. yüzyıl şairi Margaret Cavendish'in çeşitli eserlerinde daire kareleştirme problemi ve bunun metaforik anlamları, gerçeğin birliği ile hizipçilik arasındaki karşıtlık ve "fantezi ile kadın doğasını" rasyonelleştirmenin imkansızlığı da dahil olmak üzere ayrıntılı bir şekilde ele alınmıştır. 1742'de Alexander Pope, Dunciad adlı eserinin dördüncü kitabını yayınladığında, daireyi kareleştirme girişimleri "vahşi ve sonuçsuz" olarak görülmeye başlanmıştı:

Deli Mathesis hapsedilmemişti yalnız
Sadece zincirler değildi yeterli, dizginlemeye onu
Bazen bakardı semalara kendinden geçerek
Bazen koşardı peşinden çemberlerin, onu kareleyerek.
Mad Mathesis alone was unconfined,
Too mad for mere material chains to bind,
Now to pure space lifts her ecstatic stare,
Now, running round the circle, finds it square.

Benzer şekilde, Gilbert ve Sullivan komik operası Princess Ida, baş karakter tarafından yönetilen kadın üniversitesinin devamlı hareket bulmak gibi imkansız hedeflerini hicivli bir şekilde listeleyen bir şarkıya sahiptir. Bu hedeflerden biri şudur: "Ve çember - onu kare içine alacaklar/Bir gün."

İlk olarak 12. yüzyılda Arnaut Daniel tarafından kullanılan bir şiir formu olan sestinanın, tekrarlanan altı kelimeden oluşan dairesel bir şema ile kare sayıda mısra (her biri altı mısradan oluşan altı kıta) kullanımıyla mecazi olarak daireyi kare içine aldığı söylenmiştir.  bu formun dairenin cenneti, karenin ise dünyayı temsil ettiği sembolik bir anlamı çağrıştırdığını yazar. Benzer bir metafor, O. Henry'nin 1908 tarihli kısa öyküsü "Squaring the Circle"da, uzun süredir devam eden bir aile kavgası hakkında kullanılmıştır. Bu öykünün başlığında daire doğal dünyayı, kare ise şehri, yani insanların dünyasını temsil etmektedir.

Daha sonraki eserlerde, James Joyce'un Ulysses romanındaki Leopold Bloom ve Thomas Mann'ın The Magic Mountain romanındaki Avukat Paravant gibi daire-kareleştiriciler, matematiksel imkansızlığının farkında olmayan ve asla ulaşamayacakları bir sonuç için görkemli planlar yapan üzücü bir şekilde kandırılmış veya dünyevi olmayan hayalperestler olarak görülür.

Ayrıca bakınız
 Bayan Miniver problemi - Kesişen dairelerin alanları üzerine bir problem
 Round square copula - Oksimoronların felsefi tedavisi
 Squircle - Kare ile daire arasında bir şekil
 Tarski daireyi kareleştirme problemi - Bir diski kesip kare şeklinde yeniden birleştirme problemi

Kaynakça

Konuyla ilgili okumalar








Kategori:Pergel ve çizgilik çizimleri
Kategori:Öklid düzlem geometrisi
Kategori:Geometri tarihi