Episikloid

Geometride, bir episikloid (ayrıca hipersikloid olarak da adlandırılır), sabit bir çemberin etrafında kaymadan yuvarlanan bir çemberin çevresi üzerinde seçilen bir noktanın yolunu izleyerek üretilen bir düzlem eğrisidir -buna [[Taşıyıcı ve episikl|episikl]] (epicycle) denir. Bu, yuvarlanma eğrisinin özel bir türüdür.

Küçük yarıçapı (R2) 0 olan bir episikloid bir çemberdir. Bu, eğrinin dejenere bir formudur.

Denklemler
Eğer küçük çemberin yarıçapı  ve büyük çemberin yarıçapı  ise, o zaman eğri için parametrik denklemler her iki şekilde de verilebilir:

veya:

Daha özlü ve karmaşık bir biçimde

burada; 
  açısı devirler halindedir: 
 : daha küçük çemberin yarıçapı  
 : daha büyük çemberin yarıçapı

Alan
(Başlangıç noktasının büyük çember üzerinde olduğu varsayılırsa.)  pozitif bir tam sayı olduğunda, bu episikloidin alanı;

Bu, episikloidin orijinal sabit çemberden  kat daha büyük olduğu anlamına gelir.

Eğer  pozitif bir tam sayı ise, o zaman eğri kapalıdır ve  tane köşe noktasına (yani keskin köşelere) sahiptir.

Eğer  bir rasyonel sayı ise, örneğin  indirgenemez kesir olarak ifade edilirse, eğri  tepe noktasına sahiptir.

Eğriyi kapatmak ve 1. tekrarlayan deseni tamamlamak için:'dan 'ya kadar döngü'dan 'ya kadar döngüdış yuvarlanma çemberinin toplam döngüsü =  döngüdür.
 ve 'yu görmek için animasyon döngülerini sayın.

Eğer  bir irrasyonel sayı ise, eğri asla kapanmaz ve büyük çember ile  yarıçaplı bir çember arasındaki uzayın yoğun alt kümesini oluşturur.

  orijininden (küçük çember üzerindeki  noktasına) olan mesafe yukarı ve aşağı şu şekilde değişir;

burada
 = büyük çemberin yarıçapı ve
 = küçük çemberin çapıdır.

Episikloid, epitrokoidin özel bir türüdür.

Bir tepe noktası olan episikloid kardioid, iki tepe noktası olan ise nefroiddir.

Bir episikloid ve onun eğeci (evolütü) benzerdir.

İspat
küçükresim|upright=2.0|

Çözmek istediğimiz şeyin  konumu olduğunu, 'nın teğet noktadan hareketli  noktasına olan açı olduğunu ve 'nın başlangıç noktasından teğet noktaya olan açı olduğunu varsayıyoruz.

İki döngü arasında kayma olmadığına göre, o zaman şunu elde ederiz;

Açının tanımına göre (yarıçap üzerindeki yay oranıdır), o zaman şunu elde ederiz;


ve

Bu iki koşuldan şu özdeşliği elde ederiz;

.

Buradan,  ve  arasındaki ilişkiyi şu şekilde elde ederiz;
.

Şekilden,  noktasının küçük çember üzerindeki konumunu açıkça görüyoruz.

Ayrıca bakınız
küçükresim|upright=1|turtle kütüphanesi ile MSWLogo'da yapılmış bir animasyon (Kardioid)
 Periyodik fonksiyonlar listesi
 Sikloid
 Siklogon
 Taşıyıcı ve episikl
 Episiklik dişli
 Epitrokoid
 Hiposikloid
 Hipotrokoid
 Multibrot seti
 Yuvarlanma eğrisi
 Spirograf

Notlar

Kaynakça


Dış bağlantılar

"Epicycloid" by Michael Ford, The Wolfram Demonstrations Project, 2007

Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
Spirograph -- GeoFun
Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth

Kategori:Cebirsel eğriler