Yuvarlanma eğrisi

Eğrilerin diferansiyel geometrisinde, bir rulet veya yuvarlanma eğrisi (), sikloidler, episikloidler, hiposikloidler, trokoidler, epitrokoidler, hipotrokoidler ve gereçleri (involütleri) genelleştiren bir eğri türüdür.

 Tanım 

 Gayriresmî tanım 

Kabaca ifade etmek gerekirse, yuvarlanma eğrisi, belirli bir eğriye bağlı bir nokta ("üreteç" veya "kutup" olarak adlandırılır) tarafından, bu eğri sabit olan ikinci bir eğri boyunca kaymadan yuvarlanırken tanımlanan eğridir. Daha açık bir ifadeyle, hareketli bir düzleme bağlı bir eğri verildiğinde, eğri aynı alanı işgal eden sabit bir düzleme bağlı belirli bir eğri boyunca kaymadan yuvarlanır, o zaman hareketli düzleme bağlı bir nokta, sabit düzlemde yuvarlanma eğrisi veya rulet adı verilen bir eğriyi tanımlar.

 Özel durumlar ve ilgili kavramlar 
Yuvarlanan eğrinin bir doğru ve üretecin doğru üzerinde bir nokta olduğu durumda, yuvarlanma eğrisi sabit eğrinin bir involütü olarak adlandırılır. Eğer yuvarlanan eğri bir çember ve sabit eğri bir doğru ise, o zaman yuvarlanma eğrisi bir trokoiddir. Eğer bu durumda, nokta çember üzerinde yer alıyorsa, yuvarlanma eğrisi bir sikloiddir.

İlgili bir kavram glissette, verilen bir eğriye bağlı bir noktanın verilen iki (veya daha fazla) eğri boyunca kayarken tanımladığı eğridir.

 Resmi tanım 
Biçimsel olarak, eğriler Öklid düzleminde diferansiyellenebilir eğriler olmalıdır. "Sabit eğri" değişmez tutulur; "yuvarlanan eğri" bir sürekli kongrüans dönüşümüne tabi tutulur, öyle ki her zaman eğriler, her iki eğri boyunca alındığında aynı hızla hareket eden bir temas noktasında teğet olurlar (bu kısıtlamayı ifade etmenin başka bir yolu da iki eğrinin temas noktasının kongrüans dönüşümünün anlık dönme merkezi olmasıdır). Ortaya çıkan yuvarlanma eğrisi, aynı uyum dönüşümleri kümesine tabi tutulan üretecin locusu tarafından oluşturulur.

Orijinal eğrileri karmaşık düzlemde eğriler olarak modelleyerek, , yuvarlanan ( ve sabit  eğrilerinin iki doğal parametrizasyonları olsun, öyle ki ,  ve  tüm  için.   üzerinde yuvarlandıkça  üretecinin yuvarlanma eğrisi daha sonra aşağıdaki eşleme tarafından verilir:

 Genellemeler 
Yuvarlanan eğriye tek bir nokta yerine, verilen başka bir eğri hareketli düzlem boyunca taşınırsa, bir uyumlu eğriler ailesi üretilir. Bu ailenin zarfı yuvarlanma eğrisi veya rulet olarak da adlandırılabilir.

Daha yüksek uzaylarda yuvarlanma eğrileri kesinlikle hayal edilebilir ancak teğetlerden daha fazlasını hizalamak gerekir.

Örnek
Eğer sabit eğri bir zincir eğrisi () ve yuvarlanan eğri () bir doğru ise, şu sonuca varırız:

Doğrunun parametrelendirilmesi şu şekilde seçilir:

Yukarıdaki formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Eğer p = -i ise ifadenin sabit bir hayali kısmı vardır (yani -i) ve rulet yatay bir çizgidir. Bunun ilginç bir uygulaması, bir kare tekerleğin zincir eğrisi yaylarının eşleştirilmiş bir serisi olan bir yolda zıplamadan yuvarlanabilmesidir.

Yuvarlanma eğrileri listesi
 Sabit eğri Hareketli eğri Üreteç noktası Rulet(Yuvarlanma eğrisi) Herhangi bir eğri Doğru Doğru üzerinde bir nokta Eğrinin involutüDoğruHerhangiHerhangiSiklogon Doğru Çember Herhangi Trokoid Doğru Çember Çember üzerinde bir nokta Sikloid Doğru Konik kesit Koniğin merkezi Sturm yuvarlanan eğrisi Doğru Konik kesit Koniğin odağı Delaunay yuvarlanan eğrisi Doğru Parabol Parabolün odağı Zincir eğrisi  Doğru Elips Elipsin odağı Eliptik zincir eğrisi Doğru Hiperbol Hiperbolün odağı Hiperbolik zincir eğrisi Doğru Hiperbol Hiperbolün merkezi Dikdörtgen elastika Doğru Siklosikloid Merkez Elips  Çember Çember Herhangi Ortalanmış trokoidBir çemberin dışındaÇemberHerhangiEpitrokoidBir çemberin dışındaÇemberÇemberin üzerinde bir noktaEpisikloidBir çemberin dışında Aynı yarıçaplı çemberHerhangiLimaçon Bir çemberin dışındaAynı yarıçaplı çemberÇemberin üzerinde bir noktaKardioidBir çemberin dışındaYarıçapın yarısı kadar çemberÇemberin üzerinde bir noktaNefroidBir çemberin içindeÇemberHerhangiHipotrokoidBir çemberin içindeÇemberÇemberin üzerinde bir noktaHiposikloidBir çemberin içindeYarıçapın üçte biri kadar çemberÇemberin üzerinde bir noktaDeltoidBir çemberin içindeYarıçapın dörtte biri kadar çemberÇemberin üzerinde bir noktaAstroid Parabol Ters yönde parametrelendirilmiş eşit parabol Parabolün tepe noktası Diocles Sisoidi  Zincir eğrisi Doğru Bkz. yukarıdaki örnekler Doğru

Ayrıca bakınız
 Yuvarlanma
 Dişli
 Locus
 Süperpozisyon ilkesi
 Spirograf
 Tusi çifti
 Rosetta (yörünge)

Notlar

Kaynakça
 W. H. Besant (1890) Notes on Roulettes and Glissettes from Cornell University Historical Math Monographs, originally published by Deighton, Bell & Co.

Konuyla ilgili okumalar
Roulette at 2dcurves.com
Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan 
Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen 

Kategori:Eğriler