Parametrik denklem

Matematikte, bir parametrik denklem, bir grup niceliği parametreler olarak adlandırılan bir veya daha fazla bağımsız değişkenin fonksiyonları olarak tanımlar. Parametrik denklemler genellikle bir eğri veya yüzey gibi geometrik bir nesneyi oluşturan noktaların koordinatlarını ifade etmek için kullanılır ve sırasıyla parametrik eğri ve parametrik yüzey olarak adlandırılır. Bu gibi durumlarda, denklemler, toplu olarak nesnenin parametrik temsili veya parametrik sistem, veya parametrelendirilmesi (alternatif olarak parametrelendirme olarak yazılır) olarak adlandırılır.

Örneğin,

denklemleri,  parametre olmak üzere birim çemberin parametrik bir temsilini oluşturur: Bir nokta  birim çember üzerindedir ancak ve ancak  değeri varsa bu iki denklem o noktayı oluşturur. Bazen skaler çıktı değişkenleri için parametrik denklemler vektörler içinde tek bir parametrik denklemde birleştirilir:

Parametrik gösterimler genellikle benzersiz değildir (aşağıdaki "İki boyutta örnekler" bölümüne bakın), bu nedenle aynı büyüklükler bir dizi farklı parametrelendirme ile ifade edilebilir.

Eğriler ve yüzeylere ek olarak parametrik denklemler, parametre sayısı manifoldun veya varyetenin boyutuna eşit olacak şekilde, daha yüksek boyutu olan manifoldları ve cebirsel varyeteleri tanımlayabilir ve denklem sayısı manifold veya varyetenin göz önünde bulundurulduğu uzayın boyutuna eşittir (eğriler için boyut "bir" ve "bir" parametre kullanılır, yüzeyler için boyut "iki" ve "iki" parametre vb.).

Parametrik denklemler genellikle kinematik alanında kullanılır; burada bir nesnenin yörüngesi parametre olarak zamana bağlı denklemlerle temsil edilir. Bu uygulama nedeniyle, tek bir parametre genellikle  olarak etiketlenir; ancak, parametreler diğer fiziksel büyüklükleri (geometrik değişkenler gibi) temsil edebilir veya kolaylık sağlamak için keyfi olarak seçilebilir. Parametrelendirmeler benzersiz ve tek değildir; birden fazla parametrik denklem kümesi aynı eğriyi belirtebilir.

Uygulamaları
Kinematik

Kinematikte, nesnelerin uzaydaki yolları genellikle parametrik eğriler olarak tanımlanır ve her bir uzaysal koordinat açıkça bağımsız bir parametreye (genellikle zaman) bağlıdır. Bu şekilde kullanıldığında, nesnenin koordinatları için parametrik denklemler kümesi toplu olarak konum için bir vektör-değerli fonksiyon oluşturur. Bu tür parametrik eğriler daha sonra terimsel olarak integrallenebilir ve türevlenebilir olabilir. Böylece, bir parçacığın konumu parametrik olarak şöyle tanımlanırsa

o zaman hız şu şekilde;

ve ivme de aşağıdaki gibi bulunabilir

Bilgisayar destekli tasarım
Parametrik denklemlerin bir diğer önemli kullanımı bilgisayar destekli tasarım (CAD) alanındadır. Örneğin, hepsi düzlemsel eğrileri tanımlamak için yaygın olarak kullanılan aşağıdaki üç gösterimi inceleyin.

 Tür Biçim  Örnek Tanım AçıkDoğru ÖrtükÇember Parametrik   Doğru Çember

Her bir gösterimin CAD uygulamaları için avantajları ve dezavantajları vardır.

Açık gösterim çok karmaşık olabilir, hatta mevcut olmayabilir. Dahası, geometrik dönüşümler ve özellikle de rotasyonlar altında iyi sonuç vermez. Öte yandan, parametrik bir denklem ve örtük bir denklem açık bir gösterimden kolayca çıkarılabileceğinden, basit bir açık gösterim mevcut olduğunda, diğer iki gösterimin avantajlarına sahiptir.

Örtük gösterimler eğri üzerinde noktalar oluşturmayı ve hatta gerçek noktalar olup olmadığına karar vermeyi zorlaştırabilir. Öte yandan, verilen bir noktanın bir eğri üzerinde olup olmadığına veya kapalı bir eğrinin içinde mi yoksa dışında mı olduğuna karar vermek için çok uygundurlar.

Bu tür kararlar parametrik bir gösterimle zor olabilir, ancak parametrik gösterimler bir eğri üzerinde noktalar oluşturmak ve bunu çizmek için en uygun olanıdır.

Tam sayı geometrisi
Tam sayı geometrisi alanındaki çok sayıda problem parametrik denklemler kullanılarak çözülebilir. Bu tür klasik bir çözüm Öklid'in dik üçgenleri, kenarlarının  ve hipotenüslerinin  uzunlukları aralarında asal tam sayılar olacak şekilde parametrize etmesidir.  ve  çift olmadığından (aksi takdirde  ve  çift olmazdı),  çift olacak şekilde değiştirilebilir ve parametrelendirme şu şekilde olur:

burada  ve  parametreleri her ikisi de tek olmayan pozitif aralarında asal tam sayılardır.

 ve 'yi rastgele bir pozitif tam sayı ile çarparak, üç kenarı tam sayı uzunluğunda olan tüm dik üçgenlerin parametrizasyonunu elde ederiz.

Örtükleştirme
Bir dizi parametrik denklemin tek bir örtük denkleme dönüştürülmesi,  değişkeninin eşzamanlı  denklemlerinden çıkarılmasını içerir. Bu işlem, örtükleştirme () olarak adlandırılır. Bu denklemlerden biri  için çözülebilirse, elde edilen ifade diğer denklemde yerine konularak yalnızca  ve  içeren bir denklem elde edilebilir:  çözülerek  elde edilir ve bu  içinde kullanılırsa  açık denklemini verirken, daha karmaşık durumlarda  şeklinde örtük bir denklem elde edilir.

Eğer parametrizasyon,

rasyonel fonksiyonları tarafından veriliyorsa bir resültant hesaplaması örtükleştirmeye izin verir, burada ,  ve  küme bazında aralarında asal polinomlarıdır. Daha doğrusu, örtük denklem  ve 'nin 'ye göre resültantıdır.

Daha yüksek boyutlarda (ikiden fazla koordinat veya birden fazla parametre), rasyonel parametrik denklemlerin örtükleştirilmesi Gröbner temeli hesaplamasıyla yapılabilir; bkz .

Yarıçapı  olan çember örneğini ele alırsak, parametrik denklemler;

 ve  terimlerinde Pisagor trigonometrik özdeşliği aracılığıyla örtükleştirilebilir.

değerlerini

özdeşliğinde yerine koyarak

elde ederiz ve buradan

bulunur. Bu da orijin merkezli bir çemberin standart denklemidir.

İki boyutta örnekler
Parabol

Bir parabol için en basit denklem olan,

serbest bir parametre  kullanılarak (basit bir şekilde) parametrelendirilebilir ve

elde edilir.

Açık denklemler
Daha genel olarak, açık bir denklemle verilen herhangi bir eğri,

serbest bir parametre  kullanılarak (basit bir şekilde) parametrelendirilebilir ve

bulunur.

Çember
Daha kapsamlı bir örnek ise aşağıdaki gibidir. Sıradan (Kartezyen) denklemle tanımlanan birim çemberi düşünün;

Bu denklem aşağıdaki gibi parametrelendirilebilir:

Kartezyen denklem ile bir noktanın çember üzerinde olup olmadığını kontrol etmek daha kolaydır. Parametrik seçenek ile bir çizim üzerinde noktalar elde etmek daha kolaydır.

Bazı bağlamlarda, eğer varsa, sadece rasyonel fonksiyonları (yani iki polinomun kesirlerini) içeren parametrik denklemler tercih edilir. Çember durumunda, böyle bir rasyonel parametrelendirme şöyledir:

Bu parametrik denklem çifti ile  noktası 'nin gerçek değeri ile değil,  sonsuza yöneldiğinde  ve 'nin limit değeri ile temsil edilir.

Elips
Yarı eksenleri  ve  olan kanonik konumdaki bir elips (merkezi orijinde, ana eksen  ekseni boyunca) parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

Genel konumdaki bir elips şu şekilde ifade edilebilir:

 parametresi  ile  arasında değişir. Burada  elipsin merkezidir ve   ekseni ile elipsin ana ekseni arasındaki açıdır.

Her iki parametrelendirme de tanjant yarım-açı formülü kullanılarak ve

alınarak rasyonel yapılabilir.

 Lissajous eğrisi 
küçükresim|

Bir Lissajous eğrisi elipse benzer, ancak  ve  sinüzoidler fazda değildir. Kanonik konumda, bir Lissajous eğrisi şu şekilde verilir:

burada  ve  şeklin lob sayısını tanımlayan sabitlerdir.

Hiperbol
Doğu-batı açılımlı bir hiperbol parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

veya, rasyonel olarak,

Kuzey-güney açılımlı bir hiperbol parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

veya, rasyonel olarak

Tüm bu formüllerde  hiperbolün merkez koordinatları,  yarı büyük eksenin uzunluğu ve  yarı küçük eksenin uzunluğudur. Bu formüllerin rasyonel formlarında, sırasıyla  ve  noktalarının 'nin gerçek bir değeriyle temsil edilmediğine,  sonsuza giderken  ve 'nin limiti olduğuna dikkat edin.

Hipotrokoid
Bir hipotrokoid,  yarıçaplı bir çembere bağlı bir noktanın,  yarıçaplı sabit bir çemberin içinde yuvarlanmasıyla izlenen bir eğridir; burada nokta, iç çemberin merkezinden  uzaklıktadır.

Hipotrokoidler için parametrik denklemler şunlardır:

Bazı örnekler:

Üç boyutta örnekler
küçükresim|upright=2|

Helezon
küçükresim|upright=1.36|sağ|

Parametrik denklemler yüksek boyutlu uzaylarda eğrileri tanımlamak için uygundur. Örneğin:

yarıçapı  olan ve dönüş başına  birim yükselen üç boyutlu bir eğriyi, helezon tanımlar. Denklemler düzlemde bir çember için olanlarla aynıdır.

Yukarıdaki gibi ifadeler genellikle şu şekilde yazılır:

burada  üç boyutlu bir vektördür.

Parametrik yüzeyler

Büyük yarıçapı  ve küçük yarıçapı  olan bir torus, parametrik olarak şu şekilde tanımlanabilir:

burada  ve  parametrelerinin her ikisi de  ile  arasında değişir.

,  ile  arasında değişirken, yüzeydeki nokta torustaki delikten geçen kısa bir çember etrafında hareket eder. ,  ile  arasında değiştikçe yüzeydeki nokta torustaki deliğin etrafında uzun bir çember çizer.

Vektörlerle örnek
 noktasından geçen ve  vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemi;

şeklindedir.

 Eksik belirlenmiş doğrusal sistemler 
 bilinmeyenli bir  doğrusal denklem sistemi birden fazla çözüme sahipse eksik belirlenmiştir. Bu durum, sistemin matris ve artırılmış matris aynı rank 'ye sahip ve  olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda,  bilinmeyenleri parametre olarak seçilebilir ve tüm çözümleri, tüm bilinmeyenlerin seçilenlerin doğrusal birleşimi olarak ifade edildiği parametrik bir denklem olarak temsil eder.

Yani, bilinmeyenler  ise, çözümleri şu şekilde ifade etmek için bunları yeniden düzenleyebiliriz:

Böyle bir parametrik denklem, sistemin çözümünün parametrik formu olarak adlandırılır.

Çözümün parametrik formunu hesaplamak için standart yöntem, artırılmış matrisin indirgenmiş satır eşelon formunu hesaplamak için Gauss eliminasyonu kullanmaktır. Daha sonra parametre olarak kullanılabilecek bilinmeyenler, herhangi bir başat girdi içermeyen sütunlara karşılık gelenlerdir (yani bir satırdaki veya matristeki en soldaki sıfır olmayan giriş) ve parametrik form doğrudan çıkarılabilir.

 Ayrıca bakınız 
Eğri
Parametrik tahmin
Konum vektörü
Vektör-değerli fonksiyon
Yay uzunluğuna göre parametrizasyon
Parametrik türev

Kaynakça

Dış bağlantılar

Web application to draw parametric curves on the plane

Kategori:Çok değişkenli hesap
Kategori:Denklemler