Taban (lineer cebir)

Lineer cebirde, taban, bir vektör uzayını tanımlamak için yeterli vektör kümesidir. Bir  vektör uzayının alt kümesi  bu uzayın tabanıysa, 'nin tüm elemanları 'nin elemanlarının biricik sonlu doğrusal birleşimleri şeklinde yazılabilir. Bu doğrusal birleşimlerin katsayıları, vektörün  üzerindeki bileşenleri ya da koordinatları olarak adlandırılır. Taban 'nin elemanlarına taban vektörleri denir.

Başka bir deyişle, eğer 'nin elemanları doğrusal olarak bağımsızlarsa ve 'nin tüm elemanları bunların birer doğrusal birleşimiyse,  'nin tabanıdır. Daha genel terimlerle, bir taban doğrusal olarak bağımsız bir germe kümesidir.

Bir vektör uzayının birçok tabanı olabilir; ancak tüm tabanlar aynı sayıda öğeye sahiptir ve bu sayıya vektör uzayının boyutu denir.

 Tanım 
Bir  vektör uzayının  alanı (mesela gerçel sayılar  ya da karmaşık sayılar ) üzerinde tanımlı  tabanı, 'nin doğrusal olarak bağımsız alt kümesidir ve 'yi gerer. Yani  aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa tabandır:

 doğrusal bağımsızlık özelliği:
'nin her sonlu alt kümesi  için, eğer bazı  katsayıları için   ise  olmalıdır;
 germe özelliği:
 Her  vektörü için,  eşitliğini sağlayan  katsayıları ve  vektörleri bulunabilir.

 skalerleri  vektörünün  tabanındaki koordinatları olarak adlandırılır ve birinci özellik uyarınca biriciktir.

Sonlu tabana sahip bir vektör uzayı sonlu-boyutludur. Bu durumda, doğrusal bağımsızlık özelliğine bakılırken alt kümeye değil 'nin kendisine bakılır.

Sıklıkla taban vektörlerin sıralanması tercih edilir. Bu, özellikle oryantasyondan bahsedilirken ya da bir vektörün katsayıları tabanla eşleştirilirken anlatımı kolaylaştırır. Sıralanmanın tercih edildiği durumlara sıralı taban denir ve küme yerine dizi ya da benzeri bir nesneyle gösterilir.

 Örnek 
küçük|400px| R2'nin standart tabanları. Mavi ve turuncu vektörler tabanın elemanlarıdır; Yeşil vektör, bu tabanların birleşimi şeklinde yazılabilir, dolayısıyla onlara doğrusal olarak bağımlıdır.
Gerçel sayıların sıralı ikililerinden oluşan  kümesi, bileşen toplamı

ve skaler çarpım 
 ()
için bir vektör uzayıdır. Bu vektör uzayının basit bir tabanı, ya da standart tabanı, iki vektörden oluşur:  ve . Çünkü, herhangi bir vektör    şu şekilde yazılabilir:

'nin tabanı olabilecek bir diğer vektör kümesi  ve 'den oluşur. Bu iki vektör bağımsızdır ve 'deki tüm vektörleri oluşturabilirler.

 Kaynakça 

Kategori:Lineer cebir
Kategori:Vektörler