Anne teoremi

Fransız matematikçi Pierre-Leon Anne'in (1806-1850) adını taşıyan Anne teoremi, dışbükey dörtgen içindeki belirli alanların eşitliğini tanımlayan Öklid geometrisinden bir teoremdir.

Açıklama

Teorem özellikle şunları belirtir:

 ABCD, paralelkenar olmayan AC ve BD köşegenleri olan dışbükey bir dörtgen olsun. Ayrıca, E ve F köşegenlerin orta noktaları ve L, ABCD'nin iç kısmında rastgele bir nokta olsun. L, ABCD'nin kenarlarıyla dört üçgen oluşturur. Zıt iki üçgenlerin alanlarının toplamı eşitse;

Alan (BCL) + Alan (DAL) = Alan (LAB) + Alan (DLC),

 L noktası Newton doğrusu, yani E ve F'yi birbirine bağlayan doğru üzerinde bulunur.

Bir paralelkenar için Newton doğrusu mevcut değildir çünkü köşegenlerin her iki orta noktası, köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışır. Ayrıca teoremin alan özdeşliği bu durumda dörtgenin herhangi bir iç noktası için geçerlidir.

Anne teoreminin tersi de doğrudur, yani dörtgenin iç noktası olan Newton doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta için alan özdeşliği geçerlidir.

 İspat 
 İspat 1 
küçükresim|

 noktası,  köşegeninin orta noktası olduğundan,  ve  notalarından  doğrusuna çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir. Bu nedenle, diyelim ki  ve  üçgenleri eşit alanlara sahiptir. Benzer şekilde, .F. G.-M., Exercices de Géométrie, Jacques Gabay, 1991, s. 767

Ayrıca,

  ve
 .

Bu nedenle,

 (1) .

Aynı şekilde,

  ve
 .

Oradan,

 (2) .

Ama biliyoruz ki,  ve aynı zamanda , (1) ve (2) ile birleştirildiğinde,

 (3)  elde edilir.

 İspat 2 
küçükresim|

Bir kenarortay, bir üçgenin alanını ikiye böldüğünden, dörtgenin köşegenlerinin orta noktaları söz konusu lokustan birindedir. Basil Rannie'den kaynaklanan bir gözlem, yerin düz bir çizgi olduğunu açıkça ortaya koyar.R. Honsberger, More Mathematical Morsels, MAA, 1991, ss. 174-175

Sabit tabanlı ve hareketli tepeli bir üçgenin alanı, ikincisinin Kartezyen koordinatlarının doğrusal fonksiyonudur. Tepe iki üçgen tarafından paylaşılıyorsa, bunların toplam alanı yine de koordinatlarının doğrusal bir fonksiyonudur. Ancak doğrusal bir fonksiyonun seviye eğrileri düz çizgilerdir.

 Notlar 

 Kaynakça 

 Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Büyüleyici Kanıtlar: Zarif Matematiğe Bir Yolculuk. MAA, 2010, , s. 116–117 ()
 Ross Honsberger: Daha Fazla Matematiksel Morsel. Cambridge University Press, 1991, , s. 174–175 )

 Dış bağlantılar 

 Newton's and Léon Anne's Theorems  at cut-the-knot.org
 Andrew Jobbings: The Converse of Leon Anne's Theorem 
 Weisstein, Eric W. "Leon Anne's Theorem ". MathWorld.

 İlave okumalar
 Hans Humenberger, (2018), Balanced areas in quadrilaterals – on the way to Anne’s Theorem, Makale
 Hans Humenberger & Berthold Schuppar, (2019), Balanced areas in quadrilaterals – Anne’s Theorem and its unknown origin, DOI: 10.5485/TMCS.2019.0462, ss. 93–103 Makale
 Anne’s Theorem Proof

Kategori:Öklid geometrisi teoremleri
Kategori:Dörtgenler
Kategori:Öklid geometrisi
Kategori:Kanıt içeren maddeler