Euler teoremi (geometri)

Geometride, Euler teoremi, bir üçgenin çevrel çemberinin ve iç teğet çemberinin merkezleri arasındaki uzaklıkla bu çemberlerin yarıçapları arasında bir ilişki kuran temel bir sonuçtur. Teorem, adını, bu sonucu 1765'te yayınlayan Leonhard Euler'den almıştır. Ancak aynı sonuç daha önce William Chapple tarafından 1746'da yayınlanmıştır.

 Teoremin ifadesi 
Bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı , içteğet çemberin yarıçapı  ve bu iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık  ise, o zaman.

eşitliği vardır. Eşitlik ifadesi, eşdeğer olarak aşağıdaki şekilde de yazılabilir:
.

 Euler eşitsizliği 
Uzaklık kavramı negatif-olmayan bir gerçel sayıyı işaret ettiği için, teoremde  yazılıp 
Euler eşitsizliği elde edilir:.. 

Burada, eşitlik hali, yani,  olması, ancak ve ancak bahsi geçen üçgenin eşkenar üçgen olması durumunda geçerlidir..

Eşitsizliğin daha güçlü bir hâli de vardır.  üçgenin kenar uzunlukları olmak üzere
,
eşitsizliği yazılabilir.

 Teoremin ispatı 
küçükresim|upright=1.36|
 noktası,  üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve  noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olsun. 
'nın uzantısının çevrel çemberi kestiği noktaya  diyelim. Bir iç teğet çemberin merkezi üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktası olduğu için,  doğrusu,  nin açıortayıdır. O halde  ve  yayları eşit uzunluğa sahiptir. Böylece,  noktası,  yayının orta noktasıdır.
 ve 'dan geçen doğruyu uzatıp bu doğrunun çevrel çemberi kestiği diğer noktaya  diyelim. Böylelikle,  olur. 'dan  kenarına bir dik çizelim ve bu dikmenin kenarı kestiği noktaya  diyelim. O zaman,  olur.

 üçgeninin  üçgenine benzer olduğunu kanıtlamak zor değildir. Böylece, 

yani,  elde edilir.  ve  uzunluklarının değerlerini yerine koyarak 

olur. 'yı birleştirilince, iç teğet üçgenin açıortay özelliğinden

olduğu elde edilir. Diğer taraftan,  noktasını  yayının orta noktası olduğundan,  olur. İç teğet üçgenin açıortay özelliğinden  olacağından, 

elde edilir. Sonuç olarak,  elde edilmiştir. Bir üçgende aynı açılara sahip kenarların uzunluğu aynı olduğundan,  elde edilir.

 olduğu bilgisine sahibiz.  doğru parçasını çevrel çemberi  ve  noktalarında kesecek şekilde uzatalım. O halde, 

yani, 

elde edilir. Sonuç olarak,

olur.

 Dış teğet çember için Euler teoremi 
sağ|küçükresim|upright=1.36| bir üçgen,  iç teğet çember, iç teğet çemberin merkezi (), dış teğet çemberler, dış teğet çemberlerin merkezleri (, , ),  iç açıortaylar dış açıortaylar, yeşil üçgen dışsal üçgen, A, B, C noktalarından geçen çember ise üçgenin çevrel çemberi olur.
 tepe noktasının karşısındaki dış teğet çemberin yarıçapı  olsun. Dış teğet çemberin merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki uzaklık ise  ile gösterilsim. O zaman, 

olur.

 Mutlak geometride Euler eşitsizliği 
Euler eşitsizliğinin şu biçimi mutlak geometride geçerlidir:.
Bir çember içinde çizilen tüm üçgenler arasında, 
 sadece eşkenar üçgenlerin alanın en büyüktür,
 iç teğet çemberlerinin yarıçapı en büyük olanlar eşkenar üçgenlerdir; yani, sonuç olarak 

 Ayrıca bakınız 

 İki merkezli dörtgenlerde aynı üç değişken arasındaki ilişki için Fuss teoremi
 Poncelet kapanış teoremi, aynı iki çembere (ve dolayısıyla aynı ,  ve ) sahip sonsuz sayıda üçgen olduğunu gösterir.
 Üçgen eşitsizlikleri listesi

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 




 Konuyla ilgili yayınlar 





Kategori:Üçgen geometrisi
Kategori:Öklid geometrisi teoremleri
Kategori:Leonhard Euler
Kategori:Kanıt içeren maddeler