Commandino teoremi

Adını İtalyan matematikçi Federico Commandino (1509-1575)'dan alan Commandino teoremi, bir dört yüzlünün dört kenarortayının, onları  oranında bölen bir  noktasında kesiştiğini belirtir. Bir dört yüzlüde kenarortay, tepe noktasını karşı yüzün ağırlık merkeziyle, yani karşı üçgenin ağırlık merkeziyle birleştiren bir doğru parçasıdır.  noktası aynı zamanda dört yüzlünün (tetrahedron) ağırlık merkezidir.Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. The Mathematical Association of America, 2015, , pp. 97–98Nathan Altshiller-Court: The Tetrahedron and Its Circumscribed Parallelepiped. The Mathematics Teacher, Vol. 26, No. 1 (JANUARY 1933), ss. 46–52 (JSTOR )Norman Schaumberger: Commandino's theorem. The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 13, No. 5 (Nov., 1982), s. 331 (JSTOR )

Teorem, De Centro Gravitatis Solidorum (Katıların Ağırlık Merkezi, The Center of Gravity of Solids, 1565) adlı çalışmasında dört yüzlünün dört kenarortayının aynı noktada kesiştiğini belirten Commandino'ya atfedilir. Ancak, 19. yüzyıl bilgini Guillaume Libri'ye göre, Francesco Maurolico (1494-1575) sonucu daha önce bulduğunu iddia etti. Yine de Libri, eserinde kullanmış gibi görünen Leonardo da Vinci'nin bu teoremi daha önce bildiğini düşünüyordu. Julian Coolidge bu değerlendirmeyi paylaştı, ancak da Vinci'nin çalışmalarında teoremin açık bir ifadesi veya matematiksel bir yaklaşımını bulamadığını belirtti.Nathan Altshiller Court: Notes on the centroid. The Mathematics Teacher, Vol. 53, No. 1 (January 1960), ss. 34 (JSTOR ) Diğer bilim adamları, sonucun antik çağda Yunan matematikçiler tarafından zaten bilinmiş olabileceğini tahmin ettiler.Howard Eves: Great Moments in Mathematics (before 1650). MAA, 1983, , s. 225

 Genellemeler 
Commandino teoremi, herhangi bir boyuttaki simpleksler için doğrudan bir analojiye sahiptir:

 , 'de  bazı boyutların bir -simpleksi olsun ve  onun köşeleri olsun. Ayrıca,  'nin kenarortayları olsun, her tepe noktasını karşı tarafın ağırlık merkeziyle birleştiren  doğruları,  boyutlu faset  olsun. Sonra, bu doğrular bir noktasında birbirleriyle  oranında kesişir.

 Tam genellik 
İlk analojinin aşağıdaki ile daha genel bir sonuçla kanıtlanması kolaydır ve bu, fizikteki kaldıraçların çalışma şekline benzer:

  ve  doğal sayılar olsun, böylece bir -vektör uzayında ,  ikili farklı noktalar  verilmiştir.
 ,  noktalarının ağırlık merkezi olsun,   noktalarının ağırlık merkezi olsun ve  de tüm bu  noktanın ağırlık merkezi olsun.
 Sonra,
 'dir.
 Özellikle ağırlık merkezi ,  doğrusu üzerinde yer alır ve onu  oranına böler.

 Reusch teoremi 
Önceki teoremin, Commandino teoreminin yukarıda belirtilen genellemesinden başka ilginç sonuçları da vardır. İlk olarak Mathematische Unterhaltungen'de Alman fizikçi Friedrich Eduard Reusch tarafından açıklanan, bir dört yüzlünün ağırlık merkeziyle ilgili aşağıdaki teoremi kanıtlamak için kullanılabilir:Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Zweites Heft. 1973, s. 100, 128In den Mathematische Unterhaltungen (Zweites Heft, S. 128) wird auf die S. 36 von Reuschs Abhandlung Der Spitzbogen  verwiesen.

 Bir dört yüzlünün ağırlık merkezini, iki karşıt kenarının iki çiftinin orta noktalarını alarak ve karşılık gelen orta noktaları kendi orta doğrularıyla birleştirerek bulabiliriz. Her iki orta doğrunun kesişme noktası, dört yüzlünün ağırlık merkezi olacaktır.

Bir dört yüzlü, üç karşıt ikilide altı kenara sahip olduğundan, aşağıdaki sonuç elde edilir:

 Bir dört yüzlüde, karşı kenar orta noktalarına karşılık gelen üç orta doğru kesişir ve kesişme noktaları, dört yüzlünün merkezidir.

 Varignon teoremi 
Bir dört yüzlünün dört köşesinin hepsinin eş düzlemli olduğu ve tek bir düzlemde uzandığı, böylece dejenere bir dörtgene dönüştüğü, Pierre Varignon'un adını taşıyan Varignon teoremi, Reusch teoreminin spesifik bir durumunu gösterir ve aşağıdakileri belirtir:Coxeter, op. cit., S. 242DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, s. 652

 'de bir dörtgen verilmiş olsun. Daha sonra, karşı kenar orta noktalarını birbirine bağlayan iki orta doğru, dörtgenin ağırlık merkezinde kesişir ve onunla ikiye bölünür.

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 

 Weisstein, Eric W. "Commandino's Theorem"  @ MathWorld.
 A Couple of Nice Extensions of the Median Properties 
 Commandino's Theorem  @ GeoGebra

 Konuyla ilgili yayınlar 
 Court, N. A. “On the Cevian Tetrahedron.” The American Mathematical Monthly, vol. 43, no. 2, 1936, pp. 89–91. JSTOR, www.jstor.org/stable/2301198.
 Mammana, M. F., Micale, B., & Pennisi, M. (2008). On the centroids of polygons and polyhedra. In Forum Geometricorum (Vol. 8, ss. 121-130)., Makale 
 Daniela Ferrarello, Maria Flavia Mammana, Mario Pennisi, From 2d to 3d geometry: discovering, conjecturing, proving, Makale 
 Mammana M.F. (2019) The Modernity of the Meraner Lehrplan for Teaching Geometry Today in Grades 10–11: Exploiting the Power of Dynamic Geometry Systems. In: Weigand HG., McCallum W., Menghini M., Neubrand M., Schubring G. (eds) The Legacy of Felix Klein. ICME-13 Monographs. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-99386-7_11

Kategori:Öklid geometrisi
Kategori:Geometri teoremleri
Kategori:Öklid geometrisi teoremleri