Dış açı teoremi

Dış açı teoremi, bir üçgenin bir dış açısının ölçüsünün, uzak iç açılarının ölçülerinden daha büyük olduğunu belirten Ökllid'in Elemanlar'ı Önerme 1.16'dır. Bu, mutlak geometride temel bir sonuçtur çünkü ispatı paralellik postülatına bağlı değildir.

Birkaç lise geometri incelemesinde, "dış açı teoremi" terimi farklı bir sonuca, yani Önerme 1.32'nin bir üçgenin dış açısının ölçüsünün uzak iç açıların ölçüleri toplamına eşit olduğunu belirten bölüme uygulanmıştır. Öklid'in paralelilk postülatına bağlı olan bu sonuç, onu Öklid dış açı teoreminden ayırmak için "Lise dış açı teoremi" (LDAT-HSEAT: High school exterior angle theorem) olarak anılacaktır.

Bazı yazarlar, dış açı teoreminin güçlü biçimi olarak "Lise dış açı teoremi" ve zayıf biçimi olarak "Öklid dış açı teoremi" olarak adlandırırlar.

 Dış açılar 
Bir üçgenin tepe noktası (verteks) adı verilen üç köşesi bulunur. Bir tepe noktasında bir araya gelen üçgenin iki kenarı (çizgi parçaları) iki açı oluşturur (üçgenin kenarlarının çizgi parçaları yerine doğrular olduğunu düşünürsek dört açı oluşturur).Bir doğru parçasının iki ucundan biri başlangıç tarafı ve diğeri de son taraf olarak kabul edilir. Açı, başlangıç tarafından son tarafa saat yönünün tersine gidilerek oluşturulur. Doğru parçasının hangi kenarının başlangıç olduğunun seçimi isteğe bağlıdır, bu nedenle doğru parçaları tarafından oluşturulan açı için iki olasılık vardır. Bu açılardan sadece bir tanesi iç kısmında üçgenin üçüncü kenarı tarafında kalır ve bu açıya üçgenin iç açısı denir.İç açıları bu şekilde tanımlamak bir üçgenin açılarının toplamının 180 derece olduğunu varsaymaz. Aşağıdaki resimde ,  ve  açıları üçgenin üç iç açısıdır. Üçgenin kenarlarından birinin uzatılmasıyla bir dış açı oluşturulur; uzatılmış taraf ile diğer taraf arasındaki açı dış açıdır. Resimde  açısı bir dış açıdır.

orta|465pik

 Öklid dış açı teoremi 
Öklid tarafından verilen Önerme 1.16'nın ispatı, genellikle Öklid'in kusurlu bir kanıt sunduğu bir yer olarak gösterilmektedir.

Öklid, dış açı teoremini şu şekilde kanıtlar:

  doğru parçasının  orta noktasını bulun,
  ışınını çizin,
  noktasını  ışını üzerinde çizin, böylece  (aynı zamanda)  ve 'nin orta noktası olur,
  doğru parçasını çizin.

Eş üçgenler vasıtasıyla,  =  ve 'nin 'den daha küçük olduğu,  =  olduğu sonucuna varabiliriz, bu nedenle  açısı, 'den küçüktür ve aynı şey  açısı için 'yi ikiye bölerek yapılabilir.

Kusur, bir noktanın (yukarıda, ) "iç" açı () olduğu varsayımında yatmaktadır. Bu iddia için hiçbir neden belirtilmemiştir, ancak devamındaki diyagram, onu gerçek bir ifade gibi gösterir. Öklid geometrisi için tam bir aksiyom seti kullanıldığında (bkz. Geometrinin Temelleri) bu Öklid savı kanıtlanabilir.

 Küresel geometride geçersiz 
sağ|küçükresim|

Dış açı teoremi, küresel geometride veya ilgili eliptik geometride geçerli değildir. Biri Kuzey Kutbu olan ve diğer ikisi ekvator üzerinde bulunan küresel bir üçgen düşünün. Kuzey Kutbu'ndan çıkan üçgenin kenarları (kürenin büyük çemberleri) her ikisi de ekvatoru dik açılarda karşılamaktadır, bu nedenle bu üçgenin uzak bir iç açıya eşit bir dış açısı vardır. Diğer iç açı (Kuzey Kutbu'nda) 90°'den daha büyük yapılabilir, bu da bu ifadenin kusurunu vurgulamaktadır. Bununla birlikte, Öklid'in dış açı teoremi mutlak geometride bir teorem olduğundan, hiperbolik geometride otomatik olarak geçerlidir.

 Lise dış açı teoremi 
Lise dış açı teoremi (LDAT), bir üçgenin tepe noktasındaki dış açının boyutunun, üçgenin diğer iki köşesindeki iç açıların boyutlarının toplamına eşit olduğunu söyler (uzak iç açılar). Bu nedenle, resimde  açısının boyutu  açısının boyutu artı  açısının boyutuna eşittir.

LDAT mantıksal olarak bir üçgenin açılarının toplamının 180° olduğu şeklindeki Öklid ifadesine eşdeğerdir. Bir üçgende açıların ölçülerinin toplamının 180° olduğu biliniyorsa, LDAT aşağıdaki şekilde ispatlanır:





Öte yandan, LDAT doğru bir ifade olarak alınırsa:





sağ|küçükresim|

Bir üçgenin açılarının ölçülerinin toplamının 180° olduğunu kanıtlamak.

LDAT'nin Öklid kanıtı (ve aynı anda bir üçgenin açılarının toplamı üzerindeki sonuç)  noktasından geçen  tarafına paralel bir çizgi oluşturarak ve ardından sonucu resimdeki gibi elde etmek üzere karşılık gelen açıların özelliklerini ve paralel çizgilerin alternatif iç açılarını kullanarak başlar.

LDAT, bir üçgende bilinmeyen açıların ölçülerini hesaplamaya çalışırken son derece yararlı olabilir.

 Notlar 

 Kaynakça 




 (3 vols.):  (vol. 1),  (vol. 2),  (vol. 3). 




LDAT kaynakları

 Geometry Textbook - Standard IX, Maharashtra State Board of Secondary and Higher Secondary Education, Pune - 411 005, India.
 Geometry Common Core, 'Pearson Education: Upper Saddle River, ©2010, pages 171-173 | Amerika Birleşik Devletleri.
 .

Kategori:Açı
Kategori:Öklid geometrisi teoremleri
Kategori:Kanıt içeren maddeler
Kategori:Üçgen geometrisi