Sıkıştırma teoremi

küçükresim|upright=1.36|Bir dizi, aynı limite sahip diğer iki yakınsayan dizi arasında yer aldığında, aradaki dizi de bu limite yakınsar.
Kalkülüste, sandviç teoremi, sandviç kuralı, polis teoremi olarak da bilinen sıkıştırma teoremi bir fonksiyonun limitiyle ilgili bir teoremdir . İtalya'da teorem, jandarma teoremi olarak da bilinir.

Sıkıştırma teoremi kalkülüs ve matematiksel analizde kullanılır. Tipik olarak, limitleri bilinen veya kolayca hesaplanan diğer iki fonksiyonla karşılaştırarak bir fonksiyonun limitini doğrulamak için kullanılır. İlk olarak matematikçiler Archimedes ve Eudoxus tarafından 'yi hesaplama çabasıyla geometrik olarak kullanıldı ve Carl Friedrich Gauss tarafından modern terimlerle formüle edildi.

Birçok dilde (örn. Fransızca, Almanca, İtalyanca, Macarca ve Rusça), sıkıştırma teoremi aynı zamanda iki polis (ve sarhoş) teoremi veya bunun bir varyasyonu olarak da bilinir. Hikâye şudur ki, iki polis aralarında sarhoş bir mahkûma eşlik ediyorsa ve her iki memur da bir hücreye giderse, o zaman (izlenen yol ve mahkûmun polisler arasında yalpalıyor olabileceği gerçeğinden bağımsız olarak) mahkûm da hücreye girmelidir.

 Açıklama 
Sıkıştırma teoremi resmi olarak aşağıdaki gibi belirtilmiştir.I, limit noktası olarak a noktasına sahip olan bir aralık olsun. g, f, ve h; a noktasında zorunlu olmamak kaydıyla I aralığı üzerinde tanımlanan fonksiyonlar olsun. I aralığındaki a noktası hariç her x değeri için şunu var sayalım:

ve ayrıca varsayalım ki:

Öyleyse 

   ve  fonksiyonlarının sırasıyla   fonksiyonunun alt ve üst sınırları olduğu söylenir.
 Burada,  noktasının  aralığının iç kısmında bulunması gerekli değildir. Aslında eğer  noktası  aralığının bir uç noktasıysa bu durumda yukarıdaki limitler sol veya sağdan yaklaşan limitlerdir.
 Benzer bir ifade sonsuz aralıklar için geçerlidir: örneğin, eğer  ise limit  şeklinde alınabilir.

Bu teorem diziler için de geçerlidir.  'ye yakınsayan bir dizi ve  de bir dizi olsun. Eğer  ise , olur, öyleyse  de 'ye yakınsar.

 Örnek 
küçükresim|x, 0'a giderken x2 sin(1/x) sıkışmaktadır.

Bu limit, limit kanunuyla saptanamaz:

Çünkü

'in limiti yoktur.

Bununla birlikte sinüs fonksiyonunun tanımıyla

dir ve bunu da

takip eder.

 olduğundan sıkıştırma teoremine göre  de 0 olmalıdır.

Kaynakça

 Dış bağlantılar 

Kategori:Gerçel analiz teoremleri
Kategori:Kalkülüs teoremleri
Kategori:Kanıt içeren maddeler
Kategori:İşlevler
Kategori:Limitler