Bottema teoremi

Bottema teoremi, Hollandalı matematikçi Oene Bottema (Groningen, 1901–1992) tarafından matematik literatürüne kazandırılmış olan düzlem geometride bir teoremdir.

Teoremin Açıklaması
Teorem şu şekilde ifade edilebilir; verilen herhangi bir  üçgeninde, herhangi iki bitişik kenarda,  ve , kareler oluşturulsun. Üçgenin iki kenarının ortak tepe noktası olan '''nin karşısındaki karelerin köşelerini birbirine bağlayan doğru parçasının orta noktası, 'nin konumundan bağımsızdır..

Teorem, kareler aşağıdaki yollardan biriyle oluşturulduğunda doğrudur:

 Şekle bakarak, sol alt köşe 'dan başlayarak, üçgen köşelerini saat yönünde takip edin ve üçgenin kenarlarının solundaki kareleri oluşturun.
 Üçgeni aynı şekilde takip edin ve üçgenin kenarlarının sağındaki kareleri oluşturun.

Teoremin İspatı
sağ|küçükresim|upright=1.59|Teoremin üçgende benzerlikler kullanılarak ispatı.

Benzerlikleri kullanarak ispat
  olsun.
  doğru parçası üzerine , ,  ve  diklerini indirelim.
 ,  yamuğunun orta tabanıdır, bu nedenle;
'dir.
 Ayrıca,  dik olduğundan  ve  tümler açılardır ve bu da  ve  dik üçgenlerini benzer yapar.
 Benzerlikten faydalanarak;
 ve  yazılabilir.
 Bu üç özdeşliği de dikkate alarak aşağıdaki eşitlik elde edilebilir:

Buradan da 'den bağımsız olduğu görülür.
  ve  olduğundan;
 yazılabilir.
 Orta taban (midline) teoremine göre 'dir.
 Bu nedenle, 'dir.
Bu, 'nin sabit olduğunu, çünkü  doğru parçasının orta noktasının "üstünde" sabit bir mesafede olduğunu gösterir.

Vektörler yoluyla ispat
 Orijinal şekli kullanalım ve , 'nin orta noktası olsun.
  olsun. Buna göre  olur.
  olsun.
 Bu nedenle;  ve 'dir.
 Buradan kolayca,  ve  olduğunu gösterebiliriz.
  olsun.
  ve  eşitliklerine sahibiz.
 Sonuç olarak:

 bulunur.
 Bu da  ve  uzunluğunun sadece  ve 'ye, yani 'nin uzunluğuna ve  oranına bağlı olduğunu, dolayısıyla 'nin yerinin gerçekten sabit olduğunu gösterir.

 Konuyla ilgili yayınlar 
 Sashalmi, É., & Hoffmann, M. (2004). Generalizations of Bottema’s theorem on pedal points. Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae, 31, Makale, ss. 25-31.
 Zvonko Cerin. (2009). Rings of Squares Around Orthologic Triangles. Makale , s. 1
 Nguyen Ngoc Giang. (2018). A New Proof and Some Generalizations of the Bottema Theorem''. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM), , Volume 3, 2018, Makale , ss. 49-54

 Dış bağlantılar 
 Bottema Teoremi: Nedir? 
 Wolfram Gösterimleri Projesi - Bottema Teoremi 
 Geogebra - Bottema Teoremi 
 Dynamic mathematics learning (Java Applet) 
 GoGeometry - Bottema Teoremi 

 Ayrıca bakınız 
 Van Aubel teoremi
 Napoleon teoremi

 Kaynaklar 

Kategori:Öklid geometrisi teoremleri
Kategori:Üçgen geometrisi
Kategori:Kanıt içeren maddeler