Kelebek teoremi

Kelebek teoremi, Öklid geometrisinin klasik bir sonucudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir:Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929). 

, bir çemberin başka iki  ve  kirişi üzerinden geçen  kirişinin orta noktası olsun, buna bağlı olarak  ve ,  kirişini  ve   noktalarında keser. O halde , 'nin orta noktasıdır.

 Teoremin ispatı 
küçükresim|
Teoremin biçimsel bir ispatı aşağıdaki gibidir:   ve   dikmeleri  noktasından sırasıyla  ve   düz çizgileri üzerine indirilsin. Benzer şekilde,  ve ,  noktasından sırasıyla  ve  düz çizgilerine dik indirilsin.

  olduğundan











Önceki denklemlerden ve kesişen kirişler teoreminden,











 olduğundan,

Böylece



İkinci denklemde içler dışlar çarpımı yapılırsa,



Ortak terim olan



ifadesi elde edilen denklemin her iki tarafından sadeleştirilirse,



elde edilir, dolayısıyla , çünkü MX, MY ve PM hepsi pozitif, gerçek sayılardır.

Bu nedenle, , 'nin orta noktasıdır.

Projektif geometri kullanan biriProblems in Projective Geometry , problem 8. de dahil olmak üzere başka ispatlar da mevcuttur.Martin Celli, "A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings", Forum Geometricorum 16, 2016, ss. 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf 

 Tarihçe 
Kelebek teoremini kanıtlamak William Wallace tarafından The Gentlemen's Mathematical Companion'''da (1803) bir problem olarak ortaya atıldı. 1804'te üç çözüm yayınlandı ve 1805'te Sir William Herschel, Wallace'a yazdığı bir mektupta soruyu tekrar sordu. Thomas Scurr, aynı soruyu 1814'te Gentlemen's Diary veya Mathematical Repository'de tekrar sordu.William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem , cut-the-knot, retrieved 2015-05-07.

 Dış bağlantılar 
 Geogebra - Butterfly Theorem
 Cut-the-knot'da Kelebek Teoremi 
 Cut-the-knot'da Daha İyi Bir Kelebek Teoremi 
 PlanetMath'te Kelebek Teoreminin Kanıtı 
 Wolfram Gösterimleri Projesi, Jay Warendorff'un Kelebek Teoremi .
 Weisstein, Eric W., MathWorld - Kelebek Teoremi .

 Konuyla ilgili yayınlar 
 Volenec, V. (2000). A generalization of the butterfly theorem. Mathematical Communications, 5(2), ss. 157-160.
 Čerin, Z. (2001). A generalization of the butterfly theorem from circles to conics. Mathematical Communications, 6(2), ss. 161-164.
 Sliepcevic, A. (2002). A new generalization of the butterfly theorem. Journal for Geometry and Graphics, 6(1), ss. 61-68.
 Volenec, V. (2002). The butterfly theorem for conics. Mathematical Communications, 7(1), ss. 35-38.
 Kung, S. (2005). A butterfly theorem for quadrilaterals. Mathematics Magazine, 78(4), ss. 314-316.
 Čerin, Z., & Gianella, G. M. (2006). On improvements of the butterfly theorem. Far east journal of mathematical sciences: FJMS, 20(1), 69.
 Jun-lin, Y. A. N. G. (2009). Version of butterfly theorem under projective transformation. Journal of Fuyang Teachers College (Natural Science), 4.
 Markowsky, G. (2011). Pascal's Hexagon Theorem Implies the Butterfly Theorem. Mathematics Magazine, 84(1), ss. 56-62.
 Dergiades, N., & Lim, S. H. (2012). The Butterfly Theorem Revisited. In Forum Geometricorum (Vol. 12, ss. 301-304).
 Donolato, C. (2016). A proof of the butterfly theorem using Ceva’s theorem. In Forum Geom (Vol. 16, ss. 185-186).
 Celli, M. (2016). A proof of the butterfly theorem using the similarity factor of the two wings. In Forum Geom (Vol. 16, ss. 337-338).
 Hung, T. Q. (2016). Another synthetic proof of the butterfly theorem using the midline in triangle. In Forum Geometricorum (Vol. 16, ss. 345-346).
 Krishna, Dasari. (2017). Another New Proof of the Butterfly Theorem. International journal of mathematics and its applications. 5. ss. 1-55. 
 Nguyen, N. P. (2020). On Generalizations of the Butterfly Theorem''. arXiv preprint arXiv:2001.07201.

 Kaynaklar 

Kategori:Kanıt içeren maddeler
Kategori:Öklid geometrisi teoremleri
Kategori:Öklid geometrisi