Apollonius teoremi

küçükresim|upright=1.0|Özel bir durum olarak Pisagor teoremi:  alan =  alan

Geometride, Apollonius teoremi, üçgenin bir kenarortay uzunluğunu kenarlarının uzunluklarıyla ilişkilendiren bir teoremdir.

"Herhangi bir üçgenin herhangi iki kenarının karelerinin toplamının, üçüncü kenarı ikiye bölen kenarortayın karesi ile üçüncü kenarın yarısının karesinin toplamının iki katına eşit olduğunu" belirtir.

Özellikle, herhangi bir  üçgeninde,  bir kenarortay ise,

Bu, Stewart teoreminin özel bir durumudur.  olan bir ikizkenar üçgen için, kenarortay , 'ye diktir ve teorem,  (veya ) üçgeni için Pisagor teoremi'ne indirgenir. Bir paralelkenarın köşegenlerinin birbirini ikiye böldüğü gerçeğinden, teorem paralelkenar yasasına eşdeğerdir.

Teorem adını, antik Yunan matematikçi Pergeli Apollonius'dan almıştır.

İspat
küçükresim|
Teorem, Stewart'ın teoreminin özel bir durumu olarak veya vektörler kullanılarak kanıtlanabilir (bkz. Paralelkenar yasası). Aşağıdaki ise kosinüs yasasını kullanan bağımsız bir kanıttır.

Üçgenin kenarları  ve kenarortay ,  kenarına çekilmiş olsun. Kenarortayın oluşturduğu  segmentlerinin uzunluğu  olsun, böylece  'nin yarısı olur.  ve   arasında oluşan açılar θ ve θ′  olsun, burada θ    ve θ′ , 'yi  içerir. O zaman θ′ , θ ve cos θ′  = −cos θ ifadesinin tamamlayıcısıdır. θ ve θ′  için kosinüs teoremi şunu belirtir:

gereken sonucu elde etmek için birinci ve üçüncü denklemler eklenir ve;

bulunur.

Notlar

Kaynakça
 Douglas, A. J. (1981). A generalization of Apollonius' theorem. The Mathematical Gazette, 65(431), ss. 19-22.
 Pedoe, D. (1967). On a theorem in geometry. The American Mathematical Monthly, 74(6), ss. 627-640.
 Bulwahn, L. (2020). Stewart’s Theorem and Apollonius’ Theorem. Belge 

 Dış bağlantılar 

David B. Surowski: Advanced High-School Mathematics . s. 27

Kategori:Öklid geometrisi
Kategori:Üçgen geometrisi
Kategori:Kanıt içeren maddeler
Kategori:Öklid geometrisi teoremleri