Oran

Matematikte, oran (veya finans bağlamında rasyo), bir sayının diğerini kaç kez içerdiğini gösterir. Örneğin, bir meyve kasesinde sekiz portakal ve altı limon varsa, portakalların limonlara oranı sekize altıdır (yani 8:6, bu da 4:3 oranına eşdeğerdir). Benzer şekilde, limonların portakallara oranı 6:8 (veya 3:4) ve portakalların toplam meyve miktarına oranı 8:14'tür (veya 4:7).

Bir orandaki sayılar; insan veya nesne sayımları gibi herhangi bir türden nicelik veya uzunluk, ağırlık, zaman vb. ölçümler olabilir. Çoğu bağlamda, her iki sayı da pozitif olmakla sınırlandırılır.

Bir oran, ya oluşturucu sayıların her ikisi de verilerek "'nın 'ye oranı" veya ":" şeklinde yazılır ya da sadece bunların bölüm değeri verilerek  şeklinde belirtilir.New International Encyclopedia. Eşit bölümler, eşit oranlara karşılık gelir.

İki oranın eşitliğini ifade eden bir ifadeye orantı (proportion) denir. Sonuç olarak bir oran, bir sıralı sayı çifti, ilk sayının pay ve ikinci sayının payda olduğu bir kesir veya bu kesirle gösterilen değer olarak düşünülebilir.

(Sıfır olmayan) doğal sayılarla verilen sayımların oranları rasyonel sayılardır ve bazen doğal sayı olabilirler.

Fiziksel bilimlerde (özellikle metrolojide) oran için benimsenen daha spesifik bir tanım, aynı birimle ölçülen iki fiziksel nicelik arasındaki boyutsuz bölümdür. Farklı birimlerle ölçülen iki niceliğin bölümüne ise hız veya birim oran (İngilizce: rate) denebilir."The quotient of two numbers (or quantities); the relative sizes of two numbers (or quantities)", "The Mathematics Dictionary".

 Notasyon ve terminoloji 
 ve  sayılarının oranı şu şekillerde ifade edilebilir:New International Encyclopedia.
 'nın 'ye oranı
 :
 'nın 'ye oranı, (devamında "'nin 'ye oranı gibidir" geldiğinde; aşağıya bakınız)
 Bölümü temsil eden, 'nın pay ve 'nin payda olduğu bir kesir (yani,  bölü  veya ).

Bu, basit veya ondalık bir kesir ya da bir yüzde vb. olarak ifade edilebilir.Ondalık kesirler; görüntü en-boy oranları (görüntüleme), sıkıştırma oranları (motorlar veya veri depolama) vb. gibi oran karşılaştırmalarının önemli olduğu teknolojik alanlarda sıklıkla kullanılır.

Bir oran : biçiminde yazıldığında, iki nokta karakteri bazen iki nokta üst üste noktalama işareti olur. Unicode'da bu 'dur; ancak Unicode, özel bir oran karakteri olan  karakterini de sağlar.

 ve  sayılarına bazen oranın terimleri denir; burada  öncül (antecedent) ve  ardıl (consequent) olarak adlandırılır.ratio. Encyclopædia Britannica.

: ve : gibi iki oranın eşitliğini ifade eden ifadeye orantı denirHeath, s. 126. ve : = : veya :∷: şeklinde yazılır. Bu ikinci biçim sözlü olarak ifade edildiğinde genellikle şöyledir:
('nın 'ye oranı), ('nin 'ye oranı) gibidir.

, ,  ve  orantının terimleri olarak adlandırılır.  ve 'ye dışlar,  ve 'ye ise içler denir. : = : = : gibi üç veya daha fazla oranın eşitliğine sürekli orantı (veya zincirleme orantı) denir.New International Encyclopedia.

Oranlar bazen üç veya daha fazla terimle kullanılır; örneğin, on inç (yaklaşık 25 cm) uzunluğundaki bir "ikiye dörtlük" (2x4) kalasın kenar uzunlukları için orantı şöyledir:

(planyalanmamış ölçümler; ahşap pürüzsüz hale getirildiğinde ilk iki sayı biraz küçülür); iyi bir beton karışımı (hacim birimlerinde) bazen şu şekilde verilir:

Suya karşı hacimce 4/1 parça çimentodan oluşan (oldukça kuru) bir karışım için, çimentonun suya oranının 4:1 olduğu, suyun 4 katı kadar çimento olduğu veya çimentonun dörtte biri (1/4) kadar su olduğu söylenebilir. İkiden fazla terim içeren bu tür bir orantının anlamı, sol taraftaki herhangi iki terimin oranının, sağ taraftaki karşılık gelen iki terimin oranına eşit olmasıdır.

 Tarihçe ve etimoloji 
Öklid, Elementlerde yer alan sonuçları daha önceki kaynaklardan derlemiştir. Pisagorcular, sayılara uygulanan bir oran ve orantı teorisi geliştirmişlerdir.Heath, s. 112 Pisagorcuların sayı anlayışı, yalnızca bugün rasyonel sayılar olarak adlandırılanları içeriyordu; bu da teorinin, (yine Pisagorcuların keşfettiği gibi) ölçülemez oranların (irrasyonel sayılara karşılık gelen) var olduğu geometride geçerliliği konusunda şüphe uyandırdı. Ölçülebilirlik varsayımına dayanmayan bir oranlar teorisinin keşfi muhtemelen Knidoslu Eudoxus'a aittir. Elementler'in VII. Kitabında görünen orantı teorisi açıklaması, ölçülebilirlerin oranlarına dair daha önceki teoriyi yansıtır.Heath, s. 113

Oranların büyük ölçüde bölümler (quotient) ve bunların muhtemel değerleriyle özdeşleştirilmesi nedeniyle, birden fazla teorinin varlığı gereksiz derecede karmaşık görünmektedir. Ancak bu, modern geometri ders kitaplarının oranlar ve bölümler için hala farklı terminoloji ve gösterim kullanmasından da anlaşılacağı üzere, nispeten yeni bir gelişmedir. Bunun nedenleri iki yönlüdür: Birincisi, irrasyonel sayıların reel sayılar olarak kabul edilmesine yönelik daha önce bahsedilen isteksizlik; ikincisi ise, yerleşik oran terminolojisinin yerini alacak yaygın olarak kullanılan bir sembolizmin eksikliğinin, kesirlerin alternatif olarak tam kabulünü 16. yüzyıla kadar geciktirmesidir.Smith, s. 480

 Öklid'in tanımları 
Öklid'in Elementleri'nin V. Kitabı, hepsi oranlarla ilgili olan 18 tanım içerir.Heath, bölüm referansı. Ayrıca Öklid, o kadar yaygın kullanımda olan fikirleri kullanmıştır ki bunlar için tanım eklememiştir. İlk iki tanım, bir niceliğin parçasının onu "ölçen" başka bir nicelik olduğunu ve tersine, bir niceliğin katının onun ölçtüğü başka bir nicelik olduğunu söyler. Modern terminolojide bu, bir niceliğin katının o niceliğin birden büyük bir tam sayı ile çarpımı olduğu anlamına gelir; bir niceliğin parçası (yani tam bölen parça) ise, birden büyük bir tam sayı ile çarpıldığında o niceliği veren parçadır.

Öklid burada kullanılan "ölçme" terimini tanımlamaz. Ancak, bir niceliğin ölçü birimi olarak alınması ve ikinci bir niceliğin bu birimlerin tam sayısı olarak verilmesi durumunda, birinci niceliğin ikinciyi ölçtüğü çıkarımı yapılabilir. Bu tanımlar, VII. kitapta 3. ve 5. tanımlar olarak neredeyse kelimesi kelimesine tekrarlanır.

Tanım 3, oranın ne olduğunu genel bir şekilde açıklar. Matematiksel anlamda titiz değildir ve bazıları bunu Öklid'den ziyade editörlerine atfetmiştir."Geometry, Euclidean", Encyclopædia Britannica 11. Sürümü, s. 682. Öklid, oranı aynı türden iki nicelik arasında olarak tanımlar; bu nedenle bu tanıma göre iki uzunluğun veya iki alanın oranı tanımlanır, ancak bir uzunluk ile bir alanın oranı tanımlanmaz. Tanım 4 bunu daha titiz hale getirir. İki niceliğin oranının, her birinin diğerini aşan bir katı olduğunda var olduğunu belirtir. Modern gösterimle, p ve q nicelikleri arasında bir oran, eğer mp>q ve nq>p olacak şekilde m ve n tam sayıları varsa mevcuttur. Bu koşul Arşimet özelliği olarak bilinir.

Tanım 5 en karmaşık ve zor olanıdır. İki oranın eşit olmasının ne anlama geldiğini tanımlar. Bugün bu, terimlerin bölümlerinin eşit olduğunda oranların eşit olduğunu söyleyerek basitçe yapılabilir, ancak böyle bir tanım Öklid için anlamsız olurdu. Modern gösterimle, Öklid'in eşitlik tanımı şöyledir: Verilen p, q, r ve s nicelikleri için, p:q∷r:s olması ancak ve ancak, herhangi bir pozitif m ve n tam sayıları için; nr < ms, nr = ms veya nr > ms olmasına göre sırasıyla np < mq, np = mq veya np > mq olması durumunda geçerlidir.Heath, s. 114. Bu tanım, Dedekind kesitleri ile benzerlikler taşır; çünkü n ve q her ikisi de pozitif olduğunda, 'nin mq'''ya durumu, 'nun rasyonel sayı 'e (her iki terimi nq ile bölerek) durumu gibidir.Heath, s. 125.

Tanım 6, aynı orana sahip niceliklerin orantılı olduğunu söyler. Öklid Yunanca ἀναλόγον (analogon) kelimesini kullanır; bu kelime λόγος ile aynı köke sahiptir ve İngilizce "analog" kelimesiyle ilişkilidir. Tanım 7, bir oranın diğerinden küçük veya büyük olmasının ne anlama geldiğini tanımlar ve Tanım 5'teki fikirlere dayanır. Modern gösterimle, verilen p, q, r ve s nicelikleri için, eğer np > mq ve nr ≤ ms olacak şekilde pozitif m ve n tam sayıları varsa p:q > r:s olur.

Tanım 3'te olduğu gibi, Tanım 8 de bazıları tarafından Öklid'in editörleri tarafından sonradan eklenmiş olarak kabul edilir. Üç terim p, q ve rnin, p:q∷q:r olduğunda orantılı olduğunu tanımlar. Bu, p, q, r ve s şeklinde dört terime p:q∷q:r∷r:s olarak genişletilir ve bu böyle devam eder. Ardışık terimlerin oranlarının eşit olduğu dizilere geometrik diziler denir. Tanım 9 ve 10 bunu uygular ve eğer p, q ve r orantılı ise p:rnin p:qnun ikilemiş oranı (karesel oranı) olduğunu ve eğer p, q, r ve s orantılı ise p:snin p:qnun üçlemiş oranı (küpsel oranı) olduğunu söyler.

 Terim sayısı ve kesir kullanımı 
Genel olarak, iki varlıklı bir orandaki niceliklerin karşılaştırması, orandan türetilen bir kesir olarak ifade edilebilir. Örneğin, 2:3'lük bir oranda, birinci varlığın miktarı, boyutu, hacmi veya niceliği ikinci varlığın 'ü kadardır.

Eğer 2 portakal ve 3 elma varsa, portakalların elmalara oranı 2:3 ve portakalların toplam meyve parçalarına oranı 2:5'tir. Bu oranlar kesir biçiminde de ifade edilebilir: elma sayısının 2/3'ü kadar portakal vardır ve meyve parçalarının 2/5'i portakaldır. Portakal suyu konsantresi su ile 1:4 oranında seyreltilecekse, bir parça konsantre dört parça su ile karıştırılır ve toplamda beş parça elde edilir; portakal suyu konsantresi miktarı su miktarının 1/4'ü kadarken, toplam sıvının 1/5'i kadardır.

Hem oranlarda hem de kesirlerde, neyin neyle karşılaştırıldığının net olması önemlidir ve yeni başlayanlar bu nedenle sıklıkla hata yaparlar. Kesirler, ikiden fazla varlık içeren oranlardan da çıkarılabilir; ancak ikiden fazla varlık içeren bir oran, tek bir kesre tam olarak dönüştürülemez çünkü bir kesir yalnızca iki niceliği karşılaştırabilir. Oranın kapsadığı varlıklardan herhangi ikisinin niceliklerini karşılaştırmak için ayrı bir kesir kullanılabilir: Örneğin, 2:3:7 oranından, ikinci varlığın niceliğinin üçüncü varlığın niceliğinin 'si olduğu sonucunu çıkarabiliriz.

 Orantılar ve yüzde oranları 
Bir oranda yer alan tüm nicelikleri aynı sayı ile çarparsak, oran geçerliliğini korur. Örneğin, 3:2 oranı 12:8 ile aynıdır. Terimleri ya en küçük ortak paydaya indirgemek ya da yüzdelik kısımlar (%) cinsinden ifade etmek yaygındır.

Bir karışım A, B, C ve D maddelerini 5:9:4:2 oranında içeriyorsa, her 9 parça B için 5 parça A, 4 parça C ve 2 parça D vardır.  olduğundan, toplam karışım 5/20 A (20 parçada 5 parça), 9/20 B, 4/20 C ve 2/20 D içerir. Tüm sayıları toplama bölüp 100 ile çarparsak, yüzdelere dönüştürmüş oluruz: %25 A, %45 B, %20 C ve %10 D (oranı 25:45:20:10 olarak yazmaya eşdeğerdir).

İki veya daha fazla oran niceliği belirli bir durumdaki tüm nicelikleri kapsıyorsa, "bütünün" parçaların toplamını içerdiği söylenir: Örneğin, iki elma ve üç portakal içeren ve başka meyve bulunmayan bir meyve sepeti, iki parça elma ve üç parça portakaldan oluşur. Bu durumda, bütünün 'i veya %40'ı elmadır ve bütünün 'i veya %60'ı portakaldır. Belirli bir niceliğin "bütüne" bu karşılaştırmasına orantı denir.

Oran yalnızca iki değerden oluşuyorsa, bir kesir, özellikle ondalık bir kesir olarak temsil edilebilir. Örneğin, eski televizyonların 4:3 en-boy oranı vardır, bu da genişliğin yüksekliğin 4/3'ü olduğu anlamına gelir (bu, 1,33:1 veya iki ondalık basamağa yuvarlanmış olarak sadece 1,33 şeklinde de ifade edilebilir). Daha yeni geniş ekran TV'lerin 16:9 en-boy oranı veya iki ondalık basamağa yuvarlanmış olarak 1,78 oranı vardır. Popüler geniş ekran film formatlarından biri 2,35:1 veya basitçe 2,35'tir. Oranları ondalık kesirler olarak temsil etmek karşılaştırmalarını basitleştirir. 1,33, 1,78 ve 2,35 karşılaştırıldığında, hangi formatın daha geniş görüntü sunduğu açıktır. Böyle bir karşılaştırma, yalnızca karşılaştırılan değerler tutarlı olduğunda, örneğin genişliği her zaman yüksekliğe göre ifade ettiğinde işe yarar.

 Sadeleştirme 
Oranlar, her bir niceliği tüm niceliklerin ortak çarpanlarına bölerek (kesirlerde olduğu gibi) sadeleştirilebilir. Kesirlerde olduğu gibi, en sade hal, orandaki sayıların mümkün olan en küçük tam sayılar olduğu haldir.

Böylece, 40:60 oranı anlam bakımından 2:3 oranına eşdeğerdir; ikincisi, birincisinin her iki niceliğinin 20'ye bölünmesiyle elde edilir. Matematiksel olarak, 40:60 = 2:3 veya eşdeğer olarak 40:60∷2:3 yazarız. Bunun sözel karşılığı "40'ın 60'a oranı, 2'nin 3'e oranı gibidir."

Her iki nicelik için tam sayılara sahip olan ve (tam sayılar kullanılarak) daha fazla sadeleştirilemeyen bir oranın en sade halde veya en küçük terimlerde olduğu söylenir.

Bazen farklı oranların karşılaştırılmasını sağlamak için bir oranı 1:x veya x:1 biçiminde yazmak yararlıdır; burada x mutlaka bir tam sayı değildir. Örneğin, 4:5 oranı 1:1,25 (her iki tarafı 4'e bölerek) olarak yazılabilir. Alternatif olarak, 0,8:1 (her iki tarafı 5'e bölerek) olarak da yazılabilir.

Bağlamın anlamı netleştirdiği durumlarda, bu formdaki bir oran bazen 1 ve oran sembolü (:) olmadan yazılır; ancak matematiksel olarak bu, onu bir çarpan veya çoğaltan yapar.

 İrrasyonel oranlar 
Oranlar, indirgenemez nicelikler (oranları, bir kesir değeri olarak, bir irrasyonel sayıya denk gelen nicelikler) arasında da kurulabilir.

Pisagorcular tarafından bulunan en eski örnek, bir karenin köşegen uzunluğunun  kenar uzunluğuna  oranıdır; bu 2'nin kareköküdür ve resmi olarak  şeklindedir. Başka bir örnek, bir çemberin çevresinin çapına oranıdır; buna  denir ve sadece bir irrasyonel sayı değil, aynı zamanda bir aşkın sayıdır.

Ayrıca, iki (çoğunlukla) uzunluk  ve 'nin altın oranı da iyi bilinir ve şu orantı ile tanımlanır:
  veya eşdeğer olarak 
Oranları kesir olarak ve 'yi  değerine sahip olarak alırsak, şu denklem elde edilir:
 veya 
bu da pozitif, irrasyonel çözümü verir: 
Bu nedenle, altın oranda olmaları için a ve b'den en az birinin irrasyonel olması gerekir. Altın oranın matematikteki bir örneği, iki ardışık Fibonacci sayısının oranının limit değeri olmasıdır: tüm bu oranlar iki tam sayının oranı ve dolayısıyla rasyonel olsa da, bu rasyonel oranlar dizisinin limiti irrasyonel altın orandır.

Benzer şekilde,  ve 'nin gümüş oranı şu orantı ile tanımlanır:
 bu da 'a karşılık gelir.
Bu denklemin pozitif, irrasyonel çözümü  şeklindedir, bu nedenle gümüş orandaki a ve b niceliklerinden en az biri yine irrasyonel olmalıdır.

 Olasılıklar oranı Olasılıklar oranı ya da bahis oranları (İngilizce: odds, kumarda olduğu gibi) bir oran olarak ifade edilir. Örneğin, "7'ye 3 karşı" (7:3) bahis oranı, olayın gerçekleşmemesi için yedi şans varken gerçekleşmesi için üç şans olduğu anlamına gelir. Başarı olasılığı %30'dur. Her on denemede, üç kazanç ve yedi kayıp beklenir.

 Birimler 
Oranlar, nicelikleri aynı boyuttaki birimlerle ilişkilendirdikleri durumlarda, ölçü birimleri başlangıçta farklı olsa bile birimsiz olabilir. Örneğin,  oranı, ilk değer 60 saniyeye dönüştürülerek sadeleştirilebilir, böylece oran  olur. Birimler aynı olduğunda, bunlar atılabilir ve oran 3:2'ye sadeleştirilebilir.

Öte yandan, hız veya birim oran (İngilizce: rate) olarak da bilinen boyutsuz olmayan bölümler vardır."Ratio as a Rate. The first type [of ratio] defined by Freudenthal, above, is known as rate, and illustrates a comparison between two variables with difference units. (...) A ratio of this sort produces a unique, new concept with its own entity, and this new concept is usually not considered a ratio, per se, but a rate or density.", "Ratio and Proportion: Research and Teaching in Mathematics Teachers"  Kimyada, kütle derişimi oranları genellikle ağırlık/hacim kesirleri olarak ifade edilir. Örneğin, %3 w/v'lik bir konsantrasyon genellikle her 100 mL çözeltide 3 g madde anlamına gelir. Bu, ağırlık/ağırlık veya hacim/hacim kesirlerinde olduğu gibi boyutsuz bir orana dönüştürülemez.

 Üçgensel koordinatlar 
Köşeleri A, B ve C ve kenarları AB, BC ve CA olan bir üçgene göre noktaların konumları genellikle üçgensel koordinatlar olarak genişletilmiş oran biçiminde ifade edilir.

Barisantrik koordinatlarda, α, β, γ koordinatlarına sahip bir nokta; üçgen şeklindeki ve boyutundaki ağırlıksız bir metal levhanın, köşelere ağırlıklar konulduğunda tam olarak dengede duracağı noktadır; burada A ve Bdeki ağırlıkların oranı α : β, B ve Cdeki ağırlıkların oranı β : γ ve dolayısıyla A ve C'deki ağırlıkların oranı α : γ şeklindedir.

Trilineer koordinatlarda, x:y:z koordinatlarına sahip bir noktanın BC kenarına (A köşesinin karşısı) ve CA kenarına (B köşesinin karşısı) olan dik uzaklıkları x:y oranındadır; CA kenarına ve AB kenarına (Cnin karşısı) olan uzaklıkları y:z oranındadır ve dolayısıyla BC ve AB kenarlarına olan uzaklıkları x:z oranındadır.

Tüm bilgiler oranlar cinsinden ifade edildiğinden (α, β, γ, x, y, ve z ile gösterilen bireysel sayıların kendi başlarına bir anlamı yoktur), barisentrik veya trilineer koordinatlar kullanan bir üçgen analizi, üçgenin boyutundan bağımsız olarak geçerlidir.

 Ayrıca bakınız 
 Çapraz oran
 Seyreltme oranı
 Boyutsuz nicelik
 Eğim

 Kaynakça 

 Konuyla ilgili yayınlar 
"Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19, The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp. 307ff
"Proportion" New International Encyclopedia, Vol. 19 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271
"Ratio and Proportion" Fundamentals of practical mathematics, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff

D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2'' Ginn and Company (1925) pp. 477ff. Reprinted 1958 by Dover Publications.

 Dış bağlantılar 

Kategori:Temel matematik
Kategori:Cebir
Kategori:Oranlar
Kategori:Bölümler

Kategori:Finans kavramları