Düzgünlük

Matematiğin bir alt dalı olan analizde düzgünlük, bir fonksiyonun tanım bölgesinde sürekli bir şekilde türevlenebilme sayısı ile ölçülen bir özelliktir. Bir fonksiyonun türevlenebilirlik sınıfı sayesinde fonksiyonun kaçıncı mertebeden sürekli bir türevi olup olmadığı belirlenir. Sonuç olarak, fonksiyonlara  sonsuz kere türevli (düzgün fonksiyon) veya  kere sürekli türevlenebilir fonksiyon denir.

 Tanımlar 
Türevlenebilirlik sınıfı, fonksiyonların türevlerinin özelliklerine göre sınıflandırılmasıdır. Bir fonksiyonun, eğer varsa, en yüksek mertebeli türevi ve bu türevin sürekli olması, bu fonksiyonun türevlenebilirlik sınıfının kıstasıdır.

 Sürekli (C0) fonksiyon 
Eğer bir fonksiyon sadece sürekli ise ve hiç türevlenemez ise ya da fonksiyonun türevli olup olmadığından bağımsız olarak sadece sürekli olduğuna vurgu yapılmak istendiğinde, fonksiyon için  gösterimi kullanılır.

 Sürekli türevlenebilir (Ck) fonksiyon 

 pozitif bir tamsayı olmak üzere, en az  kere türevlenebilen ve 'inci türevi sürekli olan bir fonksiyonun türevlenebilirlik sınıfını göstermek için  gösterimi kullanılır. Daha matematiksel bir ifadeyle, açık bir  kümesi üzerinde tanımlı bir  fonksiyonu verilsin. Eğer bu fonksiyon  kere türevlenebilen ve 'inci türevi sürekli olan bir fonksiyon ise, o zaman  yazılır ve fonksiyona  kere sürekli türevlenebilir fonksiyon denir.

Bu fonksiyon sınıfları birbirinin içine özalt olacak şekildedirler; yani, her  için,  sınıfı  sınıfının içindedir ve  özelliğini gösterecek   fonksiyonları vardır.

 Düzgün (C∞) fonksiyon  
sağ|küçükresim|upright=1.14|Yumru fonksiyonu, tıkız destekli düzgün bir fonksiyondur.

Tanım kümesindeki bütün noktalarda sonsuz kere türevli olan, yani, keyfi bir  pozitif bir tamsayısı için 'inci türevi var olan bir fonksiyona düzgün fonksiyon ya da sonsuz türevli fonksiyon denir.Nadiren de olsa bazı kitap ve tezlerde pürüzsüz fonksiyon kullanımı da vardır. Düzgün bir fonksiyonun türevlenebilirlik sınıfını göstermek için  gösterimi kullanılır. 
Daha matematiksel bir ifadeyle, açık bir  kümesi üzerinde tanımlı bir  fonksiyonu verilsin. Eğer bu fonksiyon sonsuz türevlenebilir bir fonksiyon ise, o zaman  yazılır.

 Analitik fonksiyon 

Bir fonksiyon düzgün fonksiyon ise ve tanım kümesi içindeki her noktanın bir komşuluğunda Taylor serisi fonksiyona o noktada yakınsıyorsa, o zaman bu fonksiyona analitik fonksiyon denir. Düzgün olup da analitik olmayan fonksiyonlar vardır. Yumru fonksiyonu bu tür bir örnektir. Holomorf fonksiyonlar karmaşık analitiktir. Analitik fonksiyonlar için   gösterimi mevcuttur; ancak, genelde bu gösterim okuyucuya ilk gösterildiğinde açıklanır. Analitikliğe vurgu yapılmak istendiğinde, bir fonksiyonun gerçel analitik ya da karmaşık analitik olduğundan genelde yazı ya da söz ile bahsedilip gösterimlerin karmaşaya yol açmaması hedeflenir.

 Örnekler 
 Sürekli (C0) ama türevlenebilir değil 
küçükresim| için  ve   için   olarak tanımlananan fonksiyon C0 fonksiyonudur.
Grafiğinin sıfır noktasında köşesi olan aşağıdaki fonksiyon süreklidir ama sıfır noktasında türevi yoktur.

 Sonlu kere sürekli türevlenebilir (C)
Her çift  tamsayısı için,

fonksiyonu her  noktasında süreklidir ve  kere türevlenebilir. Yani, fonksiyon C fonksiyondur. Ancak,  noktasında, fonksiyon  kere türevli değildir. Bu sebeple, fonksiyon C fonksiyondur ama fonksiyon C fonksiyon değildir. Genellersek, fonksiyon  için C fonksiyondur ama  için C fonksiyon değildir.

 Türevlenebilir ama sürekli türevlenebilir değil (C1 değil)
küçükresim|upright=1.5|  iken  ve   olarak tanımlanan fonksiyonun türevi vardır. Ancak bu türev, 0 noktasında sürekli değildir; yani, fonksiyon sürekli bir şekilde türevli değildir.

fonksiyonunun türevi 

tarafından verilir. Ancak,  fonksiyonu  → 0 iken salınacağından,  fonksiyonu sıfır noktasında sürekli olmaz. Bu yüzden,  fonksiyonunun türevi vardır ama türevi sürekli değildir. O yüzden, bu fonksiyon, C1 sınıfına ait değildir.

 Türevlenebilir ama Lipschitz sürekli değil

fonksiyonu türevlenebilirdir ama fonksiyonun türevi tıkız bir küme üzerinde sınırsızdır. Bu yüzden,  fonksiyonu türevlenebilir olup, yerel olarak Lipschitz sürekli olmayan bir fonksiyon örneğidir.

 Analitik (C) 
Üstel fonksiyon  analitik fonksiyondur ve bu yüzden, Cω sınıfına aittir. Trigonometrik fonksiyonlar da tanımlı oldukları bölgelerde analitiktir; çünkü, Euler formülü sayesinde,  ve  fonksiyonlarının doğrusal katışımıdırlar (kombinasyonudurlar).

 Düzgün ama analitik değil 
küçükresim|Düzgün olan ama analitik olmayan bir fonksiyon örneği

olarak tanımlanan fonksiyon düzgündür ama  noktasında fonksiyonun Taylor serisi sıfır fonksiyonuna eşittir ama fonksiyonun kendisi sıfır fonksiyonuna eşit değildir; yani, bu fonksiyon analitik değildir. Fonksiyonun sıfır değeri almadığı noktaların kümesinin kapanışı negatif-olmayan gerçel sayılar olduğu için fonksiyonun destek kümesi tıkız değildir. Diğer taraftan, 

olarak tanımlanan yumru fonksiyonu düzgün fonksiyondur ama  noktalarında analitik değildir. Bu fonksiyon, aynı zamanda, tıkız destekli ve gerçel değerli düzgün fonksiyonlara bir örnektir. Karmaşık değerli analitik fonksiyonlar ele elındığında, yani holomorf fonksiyonlar için, tıkız destekli tam fonksiyonlar ya da tanım kümesinin tıkız desteğinden farkı sayılamaz çoklukta nokta içeren holomorf fonksiyonlar sıfır fonksiyonuna özdeştir.

 Ayrıca bakınız 
Bağ interpolasyonu

 Notlar 

 Kaynakça 

Kategori:Fonksiyon türleri