Dışbükey küme

sağ|küçükresim|Bir içbükümlü küme örneği. İçeride bulunan x ve y noktalarını birleştiren ve siyah çizgi ile gösterilen doğru parçası dışarıya taşar. Bu yüzden, bu küme dışbükey değildir.

Matematikte, iki elemanı arasındaki doğru parçasının tamamını yine içinde bulundaran kümelere dışbükey küme ya da konveks küme denir. Başka bir denk ifadeyle belirtmek gerekirse, dışbükey bir küme herhangi bir doğruyla kesişimi bir doğru parçası, sadece bir nokta ya da boş küme olan kümelere verilen addır.  Örneğin, içi dolu bir küp bu bağlamda dışbükeydir. İçbükümlü olan herhangi bir küme ya da geometrik oluşum dışbükey olamaz. Mesela, hilâl şeklinde olan bir küme dışbükey değildir.

Düzlemdeki her dışbükey kümenin topolojik sınırı dışbükey bir eğri oluşturur. Bir  kümesini içinde bulunduran bütün kümelerin kesişimine 'nın kaplamı ya da daha açık bir şekilde, 'nın dışbükey kaplamı denir. 'nın dışbükey kaplamı A kümesini içeren en küçük dışbükey kümedir.

Dışbükey bir fonksiyon, epigrafının (yâni, fonksiyonun grafiğinin üzerinde veya üstündeki noktaların kümesi) dışbükey bir küme olması özelliğine sahip ve bir aralıkta tanımlı gerçel değerli bir fonksiyondur. Dışbükey kümelerin ve dışbükey fonksiyonların özelliklerini inceleyen ve araştıran matematik dalına dışbükey analiz denir. Optimizasyonun bir alanı olan dışbükey minimizasyon ise dışbükey kümeler üzerinde tanımlı dışbükey fonksiyonların minimizasyonu ile ilgilidir.

Verilen doğru parçası şartı gereğince, dışbükey kümelerin elemanlarının gerçel sayılarla çarpımı ve yine herhangi iki elemanı arasında toplama işlemi tanımlı olmak durumundadır. Dışbükey kümelerin tanımlandığı uzaylar arasında Öklid uzayları, gerçel sayılar üzerinden tanımlı afin uzaylar ve bazı Öklid-dışı geometriler bulunur.

 Tanım 
 kümesi gerçel sayılar üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayı ya da afin uzay ya da daha da genel haliyle bir sıralı cisimSıralı cisim tanımı Öklid uzaylarını da içermektedir. olsun. nin bir altkümesi nin herhangi iki elemanını birleştiren doğru parçası yine  içinde kalıyorsa, ye dışbükey küme denir.

Doğru parçası tanımı gereğince, 'nin iki elemanı olan  ve  için  kümesinin yine  içinde kalması gerekir. Bu da, dışbükeyliğin afin dönüşümler altında değişmez olduğu anlamına gelir. Ayrıca, gerçel veya karmaşık bir topolojik vektör uzayındaki bir dışbükey kümenin yol bağlantılı (ve bu nedenle de bağlantılı) olduğu anlamına gelir.

Bir  kümesi  ve 'yi birleştiren doğru parçası üzerindeki başlangıç ve bitiş noktaları olan   ve  dışında her nokta nin topolojik içindeyse kesin dışbükeydir. Kapalı ve dışbükey bir altkümenin kesin dışbükey olması için ancak ve ancak bu altkümenin sınır noktalarının uç nokta olması ile mümkündür.

Bir  kümesi eğer hem dışbükey hem de dengeli ise mutlak dışbükeydir.

 Örnekler 
küçükresim|upright=0.91|sağ|Düzlemde dışbükey olmayan küme ve şekillere örnekler

 Gerçel sayılar kümesi nin dışbükey altkümeleri aralıklarKastedilen aralıklar iki noktası sonlu açık veya kapalı aralık, yarıaçık aralık  ya da yarıkapalı aralık olabilir. Bu aralıkların en soldaki veya en sağdaki tanımlayıcı noktalarının  ve  da olabilir; yani, ışınlar, açık ışınlar ve  de bu kümelere dahildir. ya da sadece noktalardır.
 Kartezyen düzlemdeki örneklere ise düzenli çokgenler, içi dahil olmak üzere üçgenler ve bu üçgenlerin kesişimi örnek olarak verilebilir.
 Üç boyutlu Öklid uzayında ise Arşimed cisimleri ya da Platonik cisimler örnek verilebilir.

Öbür taraftan, 
 dairesel halkalar ya da genel haliyle torus dışbükey değildir. 
 Ayrıca, dışbükey bir kümenin topolojik kenarı genellikle dışbükey değildir. Meselâ, 
daire dışbükeydir ama çember değildir
içi dolu üçgen dışbükeydir ama üçgenin sınırını oluşturan küme dışbükey değildir.

 Özellikler 
Dışbükey bir  kümesinde alınan  tane nokta  ile gösterilsin. Yine,  tane negatif-olmayan gerçel sayı ise  ile gösterilsin. Eğer,  ise, o zaman

noktası da  kümesine aittir.

Ayrıca, bir dışbükey veya içbükey fonksiyonun grafiğinin üstünde veya altında yer alan altküme dışbükeydir.

 Kesişim ve birleşimler 
Bir vektör uzayının, afin uzayın ya da Öklid uzayının dışbükey altkümeleri şu özelliklere sahiptir.Soltan, Valeriu, Aksiyomatik Dışbükeylik Teorisine Giriş, Ştiinţa, Chişinău, 1984 (Rusça).
 Boş küme veya uzayın tümü dışbükeydir.
 İki dışbükey kümenin kesişimi yine dışbükeydir; bu yüzden, herhangi bir sayıya sahip olan dışkümeler ailesinin kesişimi yine dışbükeydir.
 Biri bir sonrakinin altkümesi olacak şekilde alınan herhangi bir dışbükey kümeler dizisinin birleşimi yine dışbükeydir.

 Kapalı dışbükey kümeler 
Kapalı dışbükey kümeler, tüm limit noktalarını içeren dışbükey kümelerdir. Kapalı yarıuzaylar (uzayda, bir hiperdüzlemin üzerinde ve bir tarafında bulunan nokta kümeleri) kesişimleri olarak tanımlanabilirler.
Bu tür kesişimlerin dışbükey olduğu ve aynı zamanda kapalı kümeler olacağı açıktır. Tersini kanıtlamak için, yâni, her kapalı dışbükey kümenin böyle bir kesişim olarak gösterileceğini kanıtlamak için, "verilen kapalı dışbükey bir  kümesi ve onun dışındaki  noktası için, 'yi içeren ve 'yi içermeyen kapalı bir  yarıuzayı olduğu" biçimindeki destek hiperdüzlemi teoremine ihtiyaç vardır. Destek hiperdüzlem teoremi, fonksiyonel analizdeki Hahn-Banach teoreminin özel bir durumudur.

 Dışbükey kümeler ve dikdörtgenler 
 düzlemde bir dışbükey cisim (iç kısmı boş olmayan bir dışbükey küme) olsun.  içinde öyle bir  dikdörtgeni vardır ki  'nin benzeşim kopyalarından biri ( olsun)  kümesini çevreler. Ayrıca, burada pozitif benzeşim oranı en fazla 2'dir ve şu alan eşitsizliği sağlanır:

 Diğer özellikler 
 topolojik vektör uzayı ve  dışbükey olsun
 Dışbükey kümelerin topolojik kapanışı ve içi yine dışbükeydir.
 Eğer  ve  ise o zaman  olur.
  ise



 Dışbükey zarf ve Minkowski toplamı 
 Dışbükey zarf

Bir kümenin dışbükey zarfı bu kümeyi içeren en küçük dışbükey kümedir. Dışbükey zarf, bir Öklid uzayının belirli bir alt kümesini içeren tüm dışbükey kümelerin kesişimi olarak veya eşdeğer olarak, altkümedeki tüm dışbükey nokta kombinasyonlarının kümesi olarak tanımlanabilir. Düzlemin sınırlı bir alt kümesi için, dışbükey zarf, altkümenin etrafına gerilmiş bir lastik bantla çevrelenmiş şekil olarak görselleştirilebilir.

 Minkowski toplamı 

Gerçel bir vektör uzayında, iki boş olmayan kümenin Minkowski toplamı, toplanan kümelerden eleman bazında vektörlerin toplanmasıyla oluşan küme olarak tanımlanır: 

Daha genel olarak, her biri boş olmayan sonlu sayıdaki kümelerin Minkowski toplamı, vektörlerin eleman bazında toplanmasıyla oluşan kümedir:

Minkowski toplama işlemi için, yalnızca sıfır vektörü 0'ı içeren sıfır kümesi  {0} özel bir öneme sahiptir: Bir vektör uzayının boş olmayan her altkümesi  için  

olur. Cebirsel terminolojide, {0} Minkowski toplamının (boş olmayan kümelerin) birim elemanıdır. Boş küme de Minkowski toplamında önemlidir; çünkü, boş küme diğer tüm altkümeleri yok eder: Bir vektör uzayının her  altkümesi için, boş kümeyle yapılan Minkowski toplamı yine boştur:
.

 Minkowski toplamlarının dışbükey zarfları 
Minkowski toplamı, dışbükey zarf alma işlemine göre iyi tanımlıdır. Diğer deyişle, bir gerçel vektör uzayın iki altkümesinin Minkowski toplamının dışbükey zarfı, bu iki altkümenin ayrı ayrı dışbükey zarflarının Minkowski toplamına eşittir. Dışbükey zarf işlemini  olarak gösterecek olursak

Bu sonuç, her biri boş olmayan sonlu sayıdaki kümelerin Minkowski toplamı için de geçerlidir:

Matematiksel terminolojide, Minkowski toplamı ve dışbükey zarf alma işlemleri değişmeli işlemlerdir.Theorem 3 (sayfa 562–563): Minkowski toplamı ve dışbükeyleştirmenin değişmeliliği için Schneider'da Theorem 1.1.2'ye (sayfa 2–3) bakınız. Bu kaynak, Minkowski toplam kümelerinin dışbükey zarfları hakkındaki literatürün çoğunu "Chapter 3 Minkowski addition"(sayfa 126–196) bölümünde ele almaktadır: 

 Dışbükey kümelerin Minkowski toplamları 
Tıkız iki dışbükey kümenin Minkowski toplamı yine tıkızdır. Tıkız dışbükey kümeyle ve kapalı dışbükey bir kümenin Minkowski toplamı yine kapalıdır.Lemma 5.3: 

Dieudonné tarafından 1966'da kanıtlanan bir teorem iki dışbükey kapalı kümenin farkının yine kapalı olması için yeterli bir şart vermektedir.
Boş olmayan bir dışbükey  altkümesinin çekilme konisi aşağıdaki gibi tanımlansın: 

O zaman, çekilme konisi dışbükey bir konidir. 
 Vektör uzayının  elemanı bu koniye aitir 
  özelliği sağlanır.
'nin kapalı ve dışbükey olduğunu hatırlarsak, o zaman,  de kapalı olur ve her  için

Teorem (Dieudonné). A ve B bir yerel dışbükey topolojik vektör uzayının boş olmayan, kapalı ve dışbükey altkümeleri olsun. Ayrıca,  doğrusal bir altuzay olsun. A veya B yerel tıkız ise A − B kapalıdır.

 Dışbükeyliğin genellemeleri ve uzantıları 
Öklid uzayındaki dışbükeylik kavramı, tanımı bazı yönlerden değiştirerek genelleştirilebilir. "Genelleştirilmiş dışbükeylik" genel adı kullanılır, çünkü ortaya çıkan nesneler dışbükey kümelerin belirli özelliklerini korur.

 Yıldız-dışbükey (yıldız şekilli) kümeler

, gerçel veya karmaşık vektör uzayında bir küme olsun. 'deki  noktasından 'deki herhangi bir   noktasına giden doğru parçası 'de bulunuyorsa  yıldız dışbükeydir (yıldız şeklindedir). Dolayısıyla, boş olmayan bir dışbükey küme her zaman yıldız-dışbükeydir ancak yıldız-dışbükey bir küme her zaman dışbükey değildir.

 Dik dışbükeylik 

Genelleştirilmiş dışbükeyliğin bir örneği dik dışbükeyliktir.Rawlins G.J.E. and Wood D, "Ortho-convexity and its generalizations",  in: Computational Morphology, 137-152. Elsevier, 1988.

Öklid uzayındaki bir  kümesinde, bu kümenin iki noktasını birleştiren ve koordinat eksenlerinden herhangi birine paralel herhangi bir doğru parçası yine  içinde kalıyorsa, 'ye dik dışbükey denir. Herhangi bir dik dışbükey küme ailesinin kesişiminin yine dik dışbükey olduğunu kanıtlamak kolaydır. Dışbükey kümelerin diğer bazı özellikleri de yine geçerlidir.

 Öklid dışı geometri 
Dışbükey bir kümenin ve dışbükey bir kaplamın tanımı, doğal olarak Öklidyen olmayan geometrilere de genişletilebilir; bunun için, kümedeki herhangi iki noktayı birleştiren jeodezikleri içeren bir kümenin jeodezik dışbükey bir küme olduğu tanımlanır.

 Sıralama topolojisi 
Dışbükeylik, sıra topolojisine sahip tam sıralı bir küme  için genişletilebilir.

 bir alt uzay olsun. deki a ≤ b olan her  nokta çifti için, 
 kapalı aralığı 'de kalıyorsa, 'ye dışbükey küme denir.

Genel olarak dışbükey bir küme bağlantılı değildir. Örneğin, deki  {1,2,3} alt uzayı hem dışbükeydir hem de bağlantılı değildir.

 Dışbükeylik uzayları 
Dışbükeylik kavramı, dışbükeyliğin belirli özellikleri aksiyom olarak seçilirse diğer nesnelere de genelleştirilebilir.

Verilen bir  kümesi için,  üzerindeki bir dışbükeylik, aşağıdaki aksiyomları sağlayan 'in alt kümelerinin   koleksiyonudur:

 Boş küme ve , 'dedir
 'de herhangi bir koleksiyonun kesişimi  yine dedir.
  elemanlarından oluşan bir zincirin (nin elemanlarının altkümesi olması ilişkisi açısından) birleşimi dedir.

'nin elemanlarına dışbükey kümeler ve  çiftine ise dışbükeylik uzayı adı verilir. Sıradan dışbükeylik için ilk iki aksiyom geçerlidir ve üçüncüsü önemsizdir.

Soyut dışbükeyliğin ayrık geometriye daha uygun alternatif bir tanımı için, antimatroidlerle ilişkili dışbükey geometrilere bakınız.

 Dışbükey uzaylar

Dışbükeylik, soyut bir cebirsel yapı olarak genelleştirilebilir. Bir uzay, noktaların dışbükey kombinasyonları alınabiliyorsa dışbükeydir.

 Ayrıca bakınız 

 Emen küme
 Dışbükey kümeler üzerinde algoritmik problemler
 Sınırlı küme (topolojik vektör uzayı)
 Brouwer sabit nokta teoremi
 Karmaşık dışbükeylik
 Dışbükey kaplam
 Dışbükey seri
 Dışbükey metrik uzay
 Karatodori teoremi (dışbükey kaplam)
 Choquet teorisi
 Helly teoremi
 Holomorf dışbükey kaplam
 Ayrık dışbükey küme
 John elipsoiti
 Sözde dışbükeylik
 Radon teoremi
 Shapley-Folkman önsavı
 Simetrik küme

 Notlar 

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 


 Lectures on Convex Sets, Niels Lauritzen tarafından notlar. Aarhus Üniversitesi, Mart 2010.

Kategori:Dışbükey geometri
Kategori:Dışbükey analiz