Kütleçekim için Gauss yasası

Fizikte Kütleçekim için Gauss yasası, ayrıca kütleçekim için Gauss akı teoremi olarak da bilinir, Newton'un evrensel kütleçekim yasası temelde eşdeğer olan fizik yasasıdır. Adını Carl Friedrich Gauss'dan alır. Her ne kadar Newton'un yasasına denk olsa da, pek çok durumda Gauss kütleçekim yasası hesaplama yapmak için Newton'un yasasından çok daha basit ve uygundur.

Gauss kütleçekim yasası, Maxwell denklemlerinden biri olan Gauss elektrostatik kanununa matematiksel olarak benzer. Gauss kütleçekim yasası ile Newton'un yasasında, Gauss elektrik yasası ile Coulomb kanunu arasında bulunan aynı matematiksel ilişki vardır.

 Yasanın niteliksel açıklaması 

Yerçekimi alanı g -yanı sıra kütleçekim ivmesi olarak adlandırılır- bir vektör alanıdır ve her uzay-zaman noktasına etki eder. Birim kütle başına etki eden gravitasyonel kuvvet olarak da tanımlanır ve bir cisme gravitasyonel alanın herhangi bir uzay-zaman noktasında etkiyen kütleçekim kuvvetini gravitasyonel alan vektörü ile cismin gravitasyonel kütlesi çarpılarak bulunabilir.

Yer çekimi akısı kapalı bir yüzey üzerinde çekim alanı olan bir yüzey integralidir, benzer şekilde manyetik akı, manyetik alanında yer alan bir yüzey integralidir.

Yer çekimi dereceleri için Gauss yasası:Herhangi bir kapalı yüzeydeki kütleçekim akı kapalı kütle ile doğru orantılıdır.

İntegral formu

Gauss kütleçekim yasasının açıklamasının integral (tamamlayıcı) modeli;

 (olarak yazılır ) kapalı yüzeydeki integrali simgeler,
∂V, hacmin çok küçük bir parçasıdır (V hacminin sınırı),
dA, alanın çok küçük bir parçasını temsil eden bir vektördür ve yönü dışarı doğru bakar (yüzey normali ile aynı yöndedir) (daha fazla detay için bkz: yüzey integrali),
g, kütleçekim alanı büyüklüğü
G, evrensel kütleçekim sabiti, ve
M, kapalı yüzeydeki total ağırlık ∂V.

Eşitliğin sol tarafı kütleçekim alanının akısıdır. Yasaya göre bu akı her zaman negatif ya da sıfırdır ve asla pozitif olamaz. Bu Gauss'un elektrik kanununun tam tersidir, diğer kanunda akı negatif veya pozitiftir. Aradaki farkın sebebi yük hem pozitif hem negatif değer alabilirken, kütlenin sadece pozitif değer alabilmesidir.

Diferansiyel formu

Gauss kütleçekim yasasının açıklamasının diferansiyel modeli;

 türevi (diverjans operatörünü) simgeler, G evrensel kütleçekim sabiti ve ρ her noktadaki kütle yoğunluğu

İntegral Modelle İlişkisi
Gauss kütleçekim yasasının iki formu matematiksel olarak eşdeğerdir. Diverjans teoremi

∂V ve dV kapalı odaklı yüzeyi tarafında sınırlandırılan kapalı bölgeyi ve dV hacminin sonsuz küçük bir parçasıdır. Yer çekimi alanı (g) V hacme komşu türevlenebilir sürekli bir vektör alanıdır.

ayrıca bakınız

Diverjans teoremini, Gauss kütleçekim kanunun integral formuna(modeline) eklersek

şu şekilde yazılabilir;

Bu aynı anda her olası hacimleri V; için tutar, bunu olmasının tek yolu integrali alınan fonksiyonların eşit olmasıdır.

sonucuna ulaşıyoruz, Gauss kütleçekim kanunun diferansiyel modeline.
Bu yöntemin ters kullanılarak integral formundan diferansiyel formu elde etmek mümkündür.
İki tür(model) eşdeğer olsa da, belirli bir hesaplamada birini ya da diğerini kullanmak daha uygun olabilir.

Newton'un yasasından Gauss yasasını türetilmesi

Gauss kütleçekim kanun Newton'un evrensel çekim yasasından türetilebilir, bir noktanın kütlesinden kütleçekim alanına ulaşılır:

er ışınsal birim vektör (merkezden dışarı yönde),
r yarıçap, |r|.
M parçacığın kütlesi, noktasal kütle olarak varsayılan merkezde yer aldığı varsayılan kütlesidir.

Yapılan kanıt vektör hesaplamaları şemasının altındadır. Elektrostatikte bu işlem Coulomb kuralından başlayarak gauss kuralıyla birleşerek aynı varsayım oluşturmaktadır.

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Kanıt gösterimi (görüntülemek için tıklayın)
|-
| g(r), çekimsel alan  r,evrenin her noktasındaki küçük ağırlıklar g(r)  katkılarıyla hesaplanabilir   (bkz superpozisyon prensibi). bunu uygulayarak, uzaydaki her noktadaki s i, g(r) ye aklemiş oluruz. Ağırlıkla ilgili olarak (herhangi)bir  s(,Newton yasası ile hesaplanan) bulunabilir. Sonuç ise:

(d3s sırayla  dsxdsydsz, her birinin -∞ dan  +∞ kadar integrali alınır.) eğer her birinin her taraftan divergensı alınır (r göre) ve bilinen teorem uygulanır.bkz, örneğin, 

where δ(s) is the Dirac delta function, the result is

Using the "sifting property" of the Dirac delta function, we arrive at

which is the differential form of Gauss's law for gravity, as desired.
|}

Gauss yasasından Newton kanunun çıkarımı ve İrrasyonelite
Matematiksel açıdan gauss kuralından Newton yasasını çıkarmak tek başına imkânsızdır. Çünkü Gauss kuralı g nin farklılığını g nin oluşturduğu eğimime bakarak hesaba katmaz. Gauss kuralına ek olarak kütleçekim korunumlu bir kuvvet olduğundan g irrasyonel yani sıfır olarak Kabul edilir. (bkz Helmholtz ayrışması).

Bu varsayımlardan Newton kanunun kanıtı aşağıdaki gibidir:

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
|-
|Gauss kanunun integrali ile başlar.:

bu kanunu hacmin V olduğu yere ve kürenin yarıçapının r olduğu yere ayrıca noktasal ağırlığın M olduğu noktaya uygulayabiliriz. Buradan çekimsel alanın noktasal yüke küresel olarak simetrik çıkmasını beklemek mantıklı olacaktır. Bu varsayımı kullanarak g'nin alacağı formu çıkarabiliriz;

(i.e., g nin yönü r yönüne paraleldir. g'nin büyüklüğü sadece büyüklüğe bağlıdır, r yönüne değil.). this in ve ∂V olduğu bilgisini kullanarak r küresel sabitini ve alanı bulabiliriz. ,




Newton yasasına göre.
|}

Poisson denklemi ve Çekimsel potansiyel
Çekimsel alanın alan sıfır eğimi olduğundan yukarıda da bahsedildiği üzere, bu alan skaler potansiyelin eğimle çarpımı olarak Kabul edilebilir. (çekimsel alan):
Gauss kanunun differansiyel versiyonu kütleçekim için şu şekilde uygulanır. Poisson denklemi:

Bu formül çekimsel potansiyelin ve çekimsel alanine farklı yollardan hesaplanması için alternatifler sunar.g nin poisson denklemiyle hesaplanması matematiksel açıdan g nin gauss kuralı üzerinden direct olarak çıkmasıyla aynı olsa da, verilen duruma göre başka yaklaşımlar daha kolay hesaplamara yardımcı olabilir.

Radial açıdan simetrik sistemlerde, çekimsel potansiyel sadece bir değişkenin fonksiyonudur.ayrıca poisson denklemi şu şekle döner (ayrca bkz silindirik ve küresel koordinatlarda del):

while the gravitational field is:

Denklem çözülürken sınırlı yoğunlukların sınırlar içerisinde devamlı olması gerektiği ve ∂ϕ/∂r da iken sınırlarınr= 0 olduğu hesaba katılmalıdır.

Uygulamalar

Gauss kuralı çekimsel alanine bulunması için belirli durumlarda örneğin newton yasasının kullanılmasının zorlaştığı durumlarda (imkânsız olmamakla beraber) rahatlıkla kullanılabilir.ayrıca detaylı bilgiler için ve daha ayrıntılı ortaya çıkarılışı için pek çok makale vardır (bkz). Bununla ilgili olarak üç farklı uygulama bulunmaktadır.

Bouger plakası
Gaussian hap kutusunu kullanarak çekimsel alan dışındaki plakanın (bouger plakası) herhangi bir kalınlığı o plakaya diktir. Buna göre 2πG çarpımı ile birim alandaki ağırlık büyüklüğü plakanın uzaklığından bağımsızdır. (ayrıca bkz gravity anomalies).

Daha genel olarak, bir ağırlık için yoğunlukla birlikte dağılım sadece karetezyen koordinat eksenindeki z ye bağlıdır.herhangi bir z için 2πG çarpım (yukarıdaki alan başına düşen alan z nin üstünde, ağırlık başına düşen alan z nin altında eksi ağırlıktır.)

Simetrik silindirik ağırlık dağılımı

Herhangi bir sonsuz silindirik ağırlık dağılımı durumunda (silindirik bir Gauss yüzey alanı oluşturarak) alanine kuvveti r uzaklığından birim alandaki total ağırlığın merkezden 2G/r kadar içeri eksenden uzak mesafelerdeki çarpımı ile bulunur.

Küresel simetrik dağılım
Küresel simetrik ağırlık dağılımı durumunda (küresel Gauss yüzeyini kullanarak) ağırlık kuvveti, r mesafesinden çarpımı ile toplam ağırlığın r den daha küçük mesafelerde büyüklüğündedir. Merkezden r'den daha uzak mesafelerde tüm ağırlıklar göz ardı edilebilir. G/r2

Örneğin, boş bir küre içinde hiçbir net çekim oluşturmaz. Çekimsel alan eğer içi dolu olan bir küre içerisinde düşünülürse eşit olarak dağılmış olarak düşünülebilir. (çıkan alan içerideki alandan ya da dışardaki küresel cisimden ötürüdür.)

Gauss kanunu ile ulaşılan sonuçlar sadece birkaç satır sürse de Newton yasasından kütleçekim ile ortaya çıkarmak için yapılan hesaplamalar ve çözümler pek çok sayfa tutar. Direkt çözüm için bakınız: Kabuk teorisi.

Lagrangian formunda formülleri türetme
Newtonsal çekim için :Hamilton kuralını uygulamak için Gauss kuralı ve kütleçekim ilşkisi

Lagranian (Newtonsal çekim) detaylar için

Kurgu

Arthur C. Clarke'ın 2010: Odyssey Two adlı romanında, Jüpiter yörüngesinde uzaylı araştırırken Leonov'un baş bilim adamı, Vasili Orlov'un mühendisi Curnow Park Bauger'ın anormalisini Gauss kuralından çıkartmışır. Söylediğine göre kendisi sadece bir astronomi dersinden çekimsel kuvvetin sonsuz yüzeyde bir örneği hatırlamış ancak günlük hayatta kullab hayal bile edememiştir.

Ayrıca bakınız

Carl Friedrich Gauss
Divergence theorem
elektrik içinGauss kanunu 
Gauss's law for magnetism
Vector calculus
Integral
Flux
Gauss yüzeyi

Kaynakça 

gauss kanunun uygulanması için örneğin ;this article.

Kategori:Kütleçekim
Kategori:Kütleçekimi teorileri
Kategori:Vektör hesabı