Kerr-Newman metriği

Kerr–Newman metriği genel relativitide yüklü, dönen kütlelerin çevresindeki uzay zaman geometrisini tarif eden Einstein–Maxwell denklemlerinin çözümüdür. Bu çözüm astrofizik alanındaki fenomenler için pek faydalı sayılmaz çünkü gözlemlenebilen  astronomik objeler kayda değer net yük taşımazlar. Bu çözüm uygulama alanı yerine daha çok teorik fizik ve matematiksel ilginin bir sonucudur. (Kozmolojik sabit sıfırdır ifadesi doğru olmaya çok yakındır).

Tarihçe
1965 yılında, Ezra "Ted" Newman, hem dönen hem yüklü kara delikler için Einstein'ın alan denklemlerinin axisimetrik çözümünü buldu. Metrik tensor  için bu formül Kerr–Newman metriği adını aldı. İki yıl önce Roy Kerr tarafından bulunan yüksüz ama dönen noktasal kütle  için olan Kerr metriğinin geliştirilmiş haliydi.

Bu dört çözüm şu tablodaki gibi özetlenebilir:

  Dönmeyen (J = 0) Dönen (J ≠ 0) Yüksüz (Q = 0) Schwarzschild Kerr Yüklü (Q ≠ 0) Reissner–Nordström Kerr–Newman 

Bu tabloda Q elektrik yükünü gösterirken, J açısal momentumu simgelemektedir.

Matematiksel Formu
Kerr–Newman metriği, Yükü Q olan ve M kütleli dönen kütlenin civarındaki geometriyi tarif eder. Bu metrik için formül hangi koordinatların veya koordinat kolullarının seçildiğine dayanır. Bu metriği tarif etmenin yollarından biri çizgi elementini belirli silindirik koordinatlarda (Boyer–Lindquist koordinatları olarak da bilinir) yazmaktır.

(r, θ, ϕ) koordinatları standart küresel koordinat sistemi ve uzunluk ölçüsüyken:

kısalığından dolayı bilinmektedir. Burada rs çok büyük bir objenin (Bu da kütlesiyle alakalıdır) Schwarzschild yarıçapıdır (metre cinsinden) .

G kütleçekim sabitiiken rQ kütlenin elektriksel yükü Q'ya denk gelen uzunluğudur.

1/4πε0 Coulomb kuvvet sabiti.

Alternatif metrik formu
izole edilmiş metrik tensör ile beraver Kerr–Newman metriğin formu:

Alternatif (Kerr–Schild) formülasyonu

Kerr–Newman metriği aşağıdaki belirli kartezyen koordinatları kullanılarak "Kerr–Schild" formunda ifade edilebilir.Debney, G. et al. "Solutions of the Einstein and Einstein-Maxwell Equations,"  Journal of Mathematical Physics, Volume 10, page 1842 (1969). Especially see equations (7.10), (7.11) and (7.14).Balasin, Herbert and Nachbagauer, Herbert. “Distributional Energy-Momentum Tensor of the Kerr-Newman Space-Time Family.”   (Arxiv.org 1993), subsequently published in Classical and Quantum Gravity, volume 11, pages 1453–1461, abstract  (1994).Berman, Marcelo. “Energy of Black Holes and Hawking’s Universe” in Trends in Black Hole Research, page 148 (Kreitler ed., Nova Publishers 2006). Bu çözümler Kerr ve Schild tarafından 1965 yılında yayınlandı.

Burada dikkat edilmesi gereken nokta k nın birim vektörolduğudur. M dönen cismin sabit kütlesi, Q dönen cismin sabit yükü, η Minkowski tensorü ve a dönen cismin sabit rotasyonel parametresidir. Buradan vektörünün pozitif z-ekseni doğrultusunda olduğu anlaşılır. Burada r yarıçap değildir, onun yerine şu şekilde elde edilir:

Şimdi r yarıçap olmuştur 

Rotasyonel parametreler sıfıra giderken. Çözümün bu formunda, ışık hızının tekliği (c = 1) olacak şekilde seçilir. Einstein–Maxwell denklemlerininhepsini sağlaması için Kerr–Newman çözümünün metrik tensör için formül içermesi yetmez, aynı zamanda elektromagnetik potansiyel için de formül içermelidir:Burinskii, A. “Kerr Geometry Beyond the Quantum Theory”  in Beyond the Quantum, page 321 (Theo Nieuwenhuizen ed., World Scientific 2007). The formula for the vector potential of Burinskii differs from that of Debney et al. merely by a gradient which does not affect the fields.

Kaynaktan çok büyük uzaklıklarda (R >> a), bu denklem Reissner–Nordström metriğine indirgenir:

Kerr–Newman metriğin Kerr–Schild formunda, metrik tensörün negatif olduğu yerler belirler, kaynağa yakın olan yerlerde bile.Stephani, Hans et al. Exact Solutions of Einstein's Field Equations (Cambridge University Press 2003). See page 485 regarding determinant of metric tensor. See page 325 regarding generalizations.

 Özel durumlar ve genellemeler 
Kerr–Newman metriği genel rölativitedeki diğer kesin sonuçların genellemesidir:
 Kerr metriği eğer yük Q sıfır ise.
 Reissner–Nordström metriği eğer açısal momentum J (veya a) sıfır ise.
 Schwarzschild metriği eğer yük Q ve açısal momentum J (veya a) sıfır ise.
 Minkovski metriği eğer kütle M, yük Q ve rotasyonel parametre a sıfır ise. Ayrıca, eğer yer çekimi ortadan kaldırılırsa Minkowski uzayı ortaya çıkar eğer yerçekimi sabiti G sıfır ise (yüklü magnetik dipolün alanından daha karışık olan elektrik ve magnetik alanlarla birlikte).
Kerr–Newman çözümü (kozmolojik sabitin sıfır olmasıyla beraber) ayrıca Einstein–Maxwell denklemlerinin daha özelleştirilmiş halidir.

Çözümün bazı yönleri
Newman'ın sonucu dört boyuttaki elektromanyetik alanın varlığında Einstein denklemlerinin en basit sabit, axisimetrik, asimptotik düz çözümüydü. Bazen Einstein denklemlerinin "elektrovakum" çözümü olarak da bilinir.

Herhangi bir Kerr–Newman kaynağı kendi manyetik eksenine eşlik eden rotasyon eksenine sahiptir. Bunun sonucunda da Kerr–Newman kaynağı gözlemleyebildiğimiz rotasyon ekseni ile manyetik momenti arasında kayda değer bir açı olan astronomik cisimlerden farklılık gösterir.Lang, Kenneth. The Cambridge Guide to the Solar System, page 96 (Cambridge University Press, 2003).

Eğer Kerr-Newman potansiyeli klasik elektron için bir model olarak değerlendirilirse, elektronun sadece manyetik bir dipol momenti olmadığını öngörür ve çok kutuplu model olarak degerlendirir. Örnek olarak dört kutuplu elektron modeli verilebilir.Rosquist, Kjell. "Gravitationally Induced Electromagnetism at the Compton Scale,"  Arxiv.org (2006). Dört kutuplu elektron modeli deneysel olarak henüz kanıtlanmamıştır.

G=0 limitinde, halkanın içinde yüklü disklerde alanı sonsuz şekilde dönen elektromanyetik alanlardır. Toplam alan enerjisi diskler için sonsuzdur bu
yüzden G=0 limitinde sonsuz öz enerji problemini çözemez.Lynden-Bell, D. "Electromagnetic Magic: The Relativistically Rotating Disk,"  Physical Review D, Volume 70, 105017 (2004).

Yüksüz dönen kütlelerdeki Kerr ölçüsü gibi, Kerr-Newman dahilinde bir çözüm matematiksel olarak vardır fakat dönen kara deliklerin stabillik durumundan dolayı gerçek ölçülü bir temsili değildir. Kerr ölçüsünün genelleştirilmesini temsil etse de, astronomik amaçlar bakımından çok önemli olarak kabul edilmemektedir. Sebebi ise kara deliklerin önemli bir elektrik yükü içermesinin beklenemeyeceğidir. Kerr-Newman ölçüsü kara deliğin olay ufkunu ancak şu koşullarda sağlayabilmektedir:

Eğer elektronun ve Q(uygunda belirlenmiş geometrik birimlerde)'nun M kütlesini aşmış olduğu ve ölçünün herhangi bir olay ufku olmadığı durumlarda bu sebepten dolayı kara delik elektronu gibi bir şeyin olamayacağını belirtir-sadece çıplak halka tekilliğinde.Burinskii, Alexander. "The Dirac-Kerr electron,"  Arxiv.org (2005). Böyle bir ölçü fiziksel olmayan bir değer olarak görülebilir ve halkanın kozmik sansürleme hipotezini ihlal ettiği durumlarda ve neden-sonuç görünümünü kapalı zaman kıvrımlarında olduğu gibi halkanın komşu yakınlığı ile ilgilidir.Carter, Brandon. Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields,  Physical Review 174, page 1559 (1968).

Rus teorici Alaxander Burinskii 2007'de ''Bu çalışma esnasında Dirac denkleminin dalga fonskiyonu ve Kerr
gemetrisinin spinor yapısının tam olarak uyuştuğunu elde ettik. Bu bize uzay zamandaki spesifik elektron yapısının Kerr-Newman geometrisini yansıttığı
vaysaydırdı. Ayrıca elektronun Kerr-Newman'ın dairesel dizilimindeki Compton ölçüsünü belirlememize yardım etti.''.Burinskii kağıdı elektronu olay ufku
olmayan yerçekimsel halka tekilliğinde sınırlandırılmış tanımlardı. Biraz da olsa kara delik özelliği vardı tam olarak tahmin edildiği gibi değildi.Burinskii, Alexander. "Kerr Geometry as Space-Time Structure of the Dirac Electron,"  Arxiv.org (2007).

Elektromanyetik alan
Elektrik ve manyetik alanların elde edilmesi için genelde şu yol izlenir:

 Dört potansiyel farklılaştırılarak elektromanyetik alanın düzgün tensorü elde edilir. Bu yolla üç boyutlu vektör geçişinin gösterimi de yapılabilir.

 Statik elektrik ve manyetik alanlar ile vektör potansiyeli ve skaler potansiyelinin elde edilmesinin formule edilmesi şu şekildedir:

 Manyetik alan, Kerr-Newman formülü'de dört potansiyel kullanılarak Kerr-Schild formunda elde edilmesinin formülü aşağıdaki gibidir:Gair, Jonathan. "Boundstates in a Massless Kerr-Newman Potential" .

Omega değeri (), son denklemde Coulomb potansiyaline benzerdir. Bunun dışında yarıçapı vektörü hayali bir miktara kaydırılır. Bu durum 9. yüzyılda Fransız matematikçi Paul Émile Appell tarafından ele alınmıştır.Appell, Math. Ann. xxx (1887) pp. 155–156. Discussed by Whittaker, Edmund and Watson, George. A Course of Modern Analysis, page 400 (Cambridge University Press 1927).

 Kaynakça 

Kategori:Kara delikler
Kategori:Genel görelilik
Kategori:Denklemler
Kategori:Metrik tensörler
Kategori:Metrik geometri