Küp (cebir)

Aritmetikte ve cebirde n sayısının küp'ü, o sayının üçüncü kuvvetidir. Yani kendisi ile 3 kere çarpılmasıdır:

.

Ayrıca, kendisinin karesi ile çarpımıdır:

Küp ayrıca, kenar uzunluğu n olan bir küpün hacminin formülüdür(3 ayrıt ölçüsünün çarpımı). Küpü n olan bir sayı bulmak için küp kök ters işlemi uygulanır.

Hem küp hem de küp kök tek fonksiyondur:

ve

Bir sayının veya herhangi bir ifadenin küpü, 3 üst indisi ile ifade edilir. Örneğin: 23 = 8 veya .

Bir geometrik küpün hacmi, kenar uzunluğunun küpüdür; adını da buradan alır. Küpü  olan bir sayıyı bulmaktan oluşan ters işleme, 'nın küp kökünü çıkarma denir. Bu, verilen bir hacme sahip küpün kenarını belirler. Ayrıca 'nın üçte birinci kuvvete yükseltilmesidir.

Küp fonksiyonunun grafiği kübik parabol olarak bilinir. Küp fonksiyonu tek bir fonksiyon olduğundan, bu eğrinin orijinde bir simetri merkezi vardır, ancak bir simetri ekseni yoktur.

Tam sayılar

Küp sayı, ya da tam küp, ya da bazen yalnızca küp, bir tam sayının küpü olan bir sayıdır.

603'e kadar olan negatif olmayan tam küpler  şunlardır:

 03 =  0 13 =  1113 =  1331213 =  9261313 =  29,791413 =  68,921513 =  132,651 23 =  8123 =  1728223 =  10,648323 =  32,768423 =  74,088523 =  140,608 33 =  27133 =  2197233 =  12,167333 =  35,937433 =  79,507533 =  148,877 43 =  64143 =  2744243 =  13,824343 =  39,304443 =  85,184543 =  157,464 53 =  125153 =  3375253 =  15,625353 =  42,875453 =  91,125553 =  166,375 63 =  216163 =  4096263 =  17,576363 =  46,656463 =  97,336563 =  175,616 73 =  343173 =  4913273 =  19,683373 =  50,653473 =  103,823573 =  185,193 83 =  512183 =  5832283 =  21,952383 =  54,872483 =  110,592583 =  195,112 93 =  729193 =  6859293 =  24,389393 =  59,319493 =  117,649593 =  205,379103 =  1000203 =  8000303 =  27,000403 =  64,000503 =  125,000603 =  216,000

Geometrik olarak konuşmak gerekirse, pozitif bir tam sayı , ancak ve ancak  adet birim küp bir araya getirilerek daha büyük, dolu bir küp oluşturulabiliyorsa ancak ve ancak tam küptür. Örneğin, 27 küçük küp, bir Rubik Küpü görünümünde daha büyük bir küp oluşturacak şekilde düzenlenebilir; çünkü 'dir.

Ardışık tam sayıların küplerinin farkı aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

.

veya

.

Negatif bir tam sayının küpü negatif olduğundan, en küçük tam küp yoktur. Örneğin, .

Onluk taban

Tam karelerin aksine, tam küplerin son iki basamağı için az sayıda olasılık söz konusu değildir. Son iki basamak olarak yalnızca 25, 75 ve 00 gelebilen 5 ile bölünebilen küpler dışında, son basamağı tek olan herhangi bir basamak çifti bir tam küpün son basamakları olarak ortaya çıkabilir. Çift küplerde ise önemli bir kısıtlama vardır; çünkü bir tam küpün son iki basamağı yalnızca 00, 2, 4, 6 ve 8 olabilir (burada  herhangi bir tek basamağı ve  herhangi bir çift basamağı temsil eder). Bazı küp sayıları aynı zamanda kare sayılardır; örneğin, 64 bir kare sayıdır  ve bir küp sayıdır . Bu, ancak ve ancak sayı tam bir altıncı kuvvet ise gerçekleşir (bu durumda 2).

Her 3. kuvvetin son basamakları şunlardır:

 0  1  8  7  4  5  6 3 2 9 

Bununla birlikte, çoğu sayının tam küp olmadığını göstermek kolaydır; çünkü tüm tam küplerin basamak kökü 1, 8 veya 9 olmalıdır. Yani 9'a göre modüler değerleri yalnızca 0, 1 ve 8 olabilir. Ayrıca, herhangi bir sayının küpünün basamak kökü, sayının 3'e bölünmesinden kalan kalana göre belirlenebilir:
 x sayısı 3 ile bölünebiliyorsa, küpünün basamak kökü 9'dur; yani, 

 3'e bölündüğünde 1 kalanını veriyorsa, küpünün basamak kökü 1'dir; yani, 

 3'e bölündüğünde 2 kalanını veriyorsa, küpünün basamak kökü 8'dir; yani, 


İki küpün toplamları

Üç küpün toplamları

 modülüne göre 'ye denk olmayan her tamsayının (pozitif ya da negatif) sonsuz sayıda yolla üç (pozitif ya da negatif) küpün toplamı olarak yazılabileceği varsayılmaktadır. Örneğin, .  modülüne göre 'ye denk olan tamsayılar hariç tutulur; çünkü üç küpün toplamı olarak yazılamazlar.

Böyle bir toplamın bilinmediği en küçük tamsayı 114'tür. Eylül 2019'da, bilinen 3-küp toplamı olmayan önceki en küçük tamsayı olan 42'nin şu denklemi sağladığı bulunmuştur:

Küpler için Fermat'nın Son Teoremi

 denkleminin tamsayılarda apaçık olmayan (yani ) çözümleri yoktur. Aslında, Eisenstein tamsayıları içinde de hiç yoktur.Hardy & Wright, Thm. 227

Bu ifadelerin her ikisi de denklem için de doğrudurHardy & Wright, Thm. 232 .

İlk n küpün toplamı

İlk  küpün toplamı, . Üçgensel sayının karesidir:

küçükresim| =  olduğunu gösteren görsel ispat.

İspatlar

, toplam içindeki her bir küpü ardışık tek sayılardan oluşan bir kümeye açarak özellikle basit bir türetim verir. Şu özdeşliği vererek başlar:

Bu özdeşlik, üçgensel sayılar  ile aşağıdaki şekilde ilişkilidir:

ve böylece 'yi oluşturan terimler, 'ün 'e kadarki tüm önceki değerlerini oluşturan terimlerin hemen ardından başlar.
Bu özelliği, iyi bilinen başka bir özdeşlikle birlikte uygulayarak:

aşağıdaki türetimi elde ederiz:

küçükresim|right|upright=1.6|Bir üçgensel sayının karesinin küpler toplamına eşit olduğunu görsel olarak gösterim.
Daha yakın matematik literatüründe,  bu sayıların dikdörtgen sayımı yorumunu kullanarak özdeşliğin geometrik bir ispatını oluşturur (ayrıca bkz. ); bunun tümevarımla da kolayca (ancak açıklayıcı olmadan) ispatlanabileceğini gözlemler ve 'in "ilginç eski bir Arap ispatı" sağladığını belirtir.  bütünüyle görsel bir ispat sunar,  iki ek ispat sağlar ve  yedi geometrik ispat verir.

Örneğin, ilk 5 küpün toplamı 5. üçgensel sayının karesidir,

İlk  tek küpün toplamı için benzer bir sonuç verilebilir,

ancak ,  negatif Pell denklemi 'i sağlamalıdır. Örneğin,  ve  için, o hâlde,

ve böyle devam eder.  Ayrıca, en küçüğü hariç her çift mükemmel sayı, ilk  tek küpün toplamıdır (p = 3, 5, 7, ...):

Aritmetik dizide sayıların küplerinin toplamı
küçükresim|Platon sayısının bir yorumu, 

Aritmetik dizi oluşturan sayıların küplerinin toplamının, yine bir küp olduğu örnekler vardır:

Yukarıdaki ilk örnek bazen gizemli Plato sayısı olarak tanımlanır.  
sayılarının, ortak farkı  ve başlangıç küpü  olan aritmetik dizideki  toplamını bulma formülü,

şu şekilde verilir:

denkleminin parametrik bir çözümü, Pagliani'nin 1829'da bulduğu , yani ardışık küpler özel durumu için bilinmektedir.

Ardışık tek tamsayıların toplamı olarak küpler
Tek tamsayılar dizisi 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ... içinde, ilk bir tanesi bir küptür (); sonraki iki tanesinin toplamı bir sonraki küptür (); sonraki üç tanesinin toplamı bir sonraki küptür (); ve bu böyle devam eder.

Küpler için Waring problemi

Her pozitif tamsayı, dokuz (veya daha az) pozitif küpün toplamı olarak yazılabilir. Bu dokuz küplük üst sınır azaltılamaz; çünkü örneğin 23, dokuzdan daha az pozitif küpün toplamı olarak yazılamaz:

23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13.

Rasyonel sayılar

Her pozitif rasyonel sayı, üç pozitif rasyonel küpün toplamıdır,Hardy & Wright, Thm. 234 ve iki rasyonel küpün toplamı olmayan rasyonel sayılar vardır.Hardy & Wright, Thm. 233

Reel sayılarda, diğer cisimlerde ve halkalarda

küçükresim|right|Kartezyen düzlemde  grafiği
Reel sayılarda, küp fonksiyonu sıralamayı korur: daha büyük sayıların küpleri daha büyüktür. Başka bir deyişle, küpler (kesin olarak) monotonik olarak artar. Ayrıca, değer kümesini tüm sayı doğrularıdır:  fonksiyonu bir örtendir (mümkün olan tüm değerleri alır). Yalnızca üç sayı kendi küplerine eşittir: -1,  ve . Eğer  veya  ise, o zaman . Eğer  veya  ise, o zaman . Yukarıda belirtilen tüm özellikler, gerçek sayıların daha yüksek tek kuvvetleri (, , ...) için de geçerlidir. Eşitlikler ve eşitsizlikler herhangi bir sıralı halka içinde de doğrudur.

Benzer Öklidyen katı cisimlerin hacimleri, doğrusal boyutlarının küpleri olarak ilişkilidir.

Karmaşık sayılarda, salt sanal bir sayının küpü de salt sanaldır. Örneğin, .

'ün türevi 'e eşittir.

Küpler,  gibi bazı cisimlerde,  asal  koşulunu sağladığında, bazen örtenlik özelliğine sahiptir,'nin çarpımsal grubu,  mertebeli bir devirli gruptur ve eğer bu mertebe 3 ile bölünemiyorsa, küpler bir grup otomorfizması tanımlar. ancak zorunlu olarak değil: yukarıdaki rasyonellerle karşı örneğe bakın. Ayrıca  içinde toplam yedi elemandan yalnızca üç eleman 0, ±1 tam küptür. −1, 0 ve 1 her yerde tam küptür ve bir cismin kendi küplerine eşit olan tek elemanlarıdır: .

Tarih

Büyük sayıların küplerinin belirlenmesi, birçok antik uygarlıkta çok yaygındı. Mezopotamyalı matematikçiler, Eski Babil döneminde (MÖ 20. ila 16. yüzyıllar) küpleri ve küpkökleri hesaplamaya yönelik tablolar içeren çivi yazılı tabletler oluşturdular. Kübik denklemler, antik Yunan matematikçisi Diofantos tarafından biliniyordu.Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich  1983  İskenderiyeli Heron, MS 1. yüzyılda küpkökleri hesaplamak için bir yöntem geliştirdi. Kübik denklemleri çözmeye ve küpkök çıkarmaya yönelik yöntemler, MÖ 2. yüzyıl civarında derlenen ve MS 3. yüzyılda Liu Hui tarafından şerh edilen Çince matematik metni Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm adlı eserde yer alır.

Ayrıca bakınız

 Kübik denklemler
 Delos problemi
 Sekizinci kuvvet
 Beşinci kuvvet
 Dördüncü kuvvet
 Mükemmel kuvvet
 Yedinci kuvvet
 Altıncı kuvvet
 Kare
 Taksi Sayılar

Kaynakça

Bibliografya









Kategori:Tam sayılar
Kategori:Sayılar teorisi
Kategori:Temel aritmetik
Kategori:Tamsayı dizileri