GF(2)

GF(2) (ayrıca F2, Z/2Z veya Z2 olarak da yazılır), iki ögeli ve en küçük sonlu alandır (Galois field).

 Tanım 
İki öge hemen hemen her zaman 0 ile 1 olarak adlandırılır. Bunlar sırasıyla toplama özdeşliği ve çarpma özdeşliğidir.

Alanda toplama işlemi, mantıksal XOR'a uygun biçimde aşağıdaki tabloda verilmiştir.

 +  0  1 0 0  1 1 1  0

Alanda çarpma işlemi mantıksal VE'e uygun biçimde aşağıda tabloda verilmiştir.

 ×  0  1 0 0  0 1 0  1

GF(2), Z tamsayılar halkasının bölüm halkası olarak da tanımlanabilir. Çünkü tüm çift sayılarda 2Z idealdir: GF(2) = Z/2Z.

 Özellikler 

GF(2) bir alan olduğunda dolayı, rasyonel sayılar ve reel sayılar gibi sayı sistemlerinin özelliklerine çok benzer, şöyle ki:

 toplamada birim öğe (0) ve her öge için tersi vardır;
 çarpmada birim öğe (1) ve her öge için tersi vardır;
 toplama ve çarpma  değişme özelliği ve birleşme özelliğine sahiptir.;
 çarpma, toplama üzerinden dağılma özelliğine sahiptir..

Reel sayılarda benzer olmayan özellikler şunlardır:
 GF(2)'nin her x ögesi, x+x=0 eşitliğini sağlar ve bu yüzden −x = x;
 GF(2)'nin her x ögesi, x2 = x eşitliğini sağlar.

 Uygulamalar 

Yukarıdaki cebirsel özelliklerden dolayı, diğer dallar gibi matematikte de GF(2) sıkça kullanılır. Örneğin, ters matris te dahil matris işlemleri, GF(2) alanında uygulanabilir. (matris halkasına bakın).

Kategori:Sonlu cisimler