Bézier eğrisi

Bézier eğrisi, özellikle bilgisayar grafikleri ve ilgili alanlarda sıklıkla kullanılan parametrik eğri biçimidir. Eğri, seçilen kontrol noktaları esas alınarak oluşturulur. İlk ve son noktalar eğri ile kesişirken, seçilen diğer noktalar genellikle eğrinin üzerinde yer almaz (interpolasyon eğrisi).

Günümüzde modelleme uygulamalarından, yazı tipi oluşturma tekniklerine kadar sayısız alanda kullanılmaktadır.

 Tarih 
Fikrin temelleri, ilk olarak, 1959 yılında, Paul de Faget de Casteljau  isminde, Citroën'de çalışan bir Fransız otomotiv mühendisi tarafından atılmıştır. Aynı yıllarda, Renault'da silindir parçalarının kesişimi üzerinde incelemeler yapan bir başka Fransız otomotiv mühendisi Pierre Bézier  de benzer bir yaklaşımla araştırmalarını sürdürmüştür.

İki çalışan da birbirlerinden ayrı olarak aynı sonuçları elde etmesine karşın, konu hakkında yayınlanan ilk makale Bézier tarafından yazıldığından, günümüzde bu eğri, Bézier eğrisi olarak bilinmektedir.

 Tanım  
Bézier eğrisi, kontrol noktaları ve onları inşa edecek bir temel fonksiyon ile tanımlanır.Andersson, Fredrik. "Bezier and B-Spline Technology" (Yüksek lisans tezi). Umeâ Universitet. 2003. http://www.cs.umu.se/education/examina/Rapporter/461.pdf  Seçilen ilk ve son kontrol noktası, eğrinin başı ve sonunu oluşturur. Aradaki diğer noktalar ise eğrinin yapısını belirlemek için kullanılır. Bu bağlamda bu noktalar, genellikle eğrinin üzerinde yer almaz.

 Temel fonksiyon 
Bézier eğrisi, matematiksel olarak, genellikle Bernstein polinomu  baz alınarak ifade edilir. Buna göre, 'inci dereceden temel fonksiyon, kontrol noktalari  ile parametrize edilmek üzere, aşağıdaki şekilde gösterilir.

 Genel formül 
Eğri, cebirsel olarak,  'nci kontrol noktası ve  ilgili temel fonksiyon olmak üzere, şu şekilde formulize edilir.

 Türevi 
Genel formülün türevi alınmasıyla aşağıdaki eşitlik elde edilir.

 Yaygın türleri 
 Lineer Bézier eğrileri 
küçükresim|sağ|Lineer Bézier eğrisi örneği

İki nokta ile belirtilen lineer Bézier eğrileri, eğim faktörü içermediğinden, başı ve sonu ilk ve son nokta ile belirtilen bir doğru parçası oluştururlar.

 Karesel Bézier eğrileri 
küçükresim|sağ|Karesel Bézier eğrisi örneği

Üç nokta ile belirtilen karesel Bézier eğrileri, ikinci dereceden denklem meydana getirdiklerinden parabolik bir şekil oluştururlar.

 Kübik Bézier eğrileri 
küçükresim|sağ|Kübik Bézier eğrisi örneği

Kübik Bézier eğrileri, dört nokta ile belirtilir. Basit yapılarına karşın, büküm  özelliğine sahip olmaları dolayısıyla uygulamalarda en yaygın kullanılan Bézier eğrileridir.

Ayrıca bakınız
 Matematiksel şekillerin listesi
 İnterpolasyon
 Spline fonksiyonu

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 


Kategori:Grafik tasarım
Kategori:Enterpolasyon
Kategori:Eğriler
Kategori:Bilgisayar grafikleri