Çokludoğrusal gönderim

Matematiğin bir alt dalı olan çokludoğrusal cebirde veya daha genel olarak doğrusal cebirde, bir çokludoğrusal gönderim  her değişkeni için ayrı ayrı doğrusal olan çok değişkenli, yani birden fazla bağımsız değişkene sahip, bir fonksiyondur. Daha matematiksel bir ifadeyle, çokludoğrusal gönderim  ve   vektör uzayları olmak üzere

biçiminde olan ve sabit tutulan herhangi bir  için diğer  değişkenleri sabit tutulduğunda ortaya çıkan tek değişkenli  fonksiyonunun  bağımsız değişkeninde doğrusal fonksiyon olduğu bir fonksiyondur.

İki değişkenli bir çokludoğrusal gönderime bir çifte doğrusal gönderim denilir ve daha genel durumlarda, k değişkene bağlı bir çokludoğrusal gönderime k-doğrusal gönderim denilir. Eğer bir çokludoğrusal gönderimin değer kümesi bir 
skalerler cismi ise, o zaman bu gönderim çokludoğrusal form olarak adlandırılır. Çokludoğrusal gönderimler ve çokludoğrusal formlar  çokludoğrusal cebrin çalışılmasında temel araçlardır.

Tüm değişkenler aynı cisme ait ise, k-doğrusal gönderim için, bakışımlı,
tersbakışık ve almaşık k-doğrusal kavramlarından bahsedilebilir.

Örnekler

 Her çifte doğrusal gönderim aynı zamanda bir çokludoğrusal gönderimdir. Örneğin, bir vektör uzayındaki herhangi bir iç çarpım uzayı çokludoğrusal bir gönderimdir. Yine, teki vektörler için tanımlı çapraz çarpım yine çokludoğrusal gönderimdir
 Bir matrisin determinantı, bir kare matrisin sütunlarının (veya satırlarının) tersbakışık çokludoğrusal fonksiyonudur.
 Eğer   bir Ck fonksiyonu ise, 'nin her  noktasındaki inci türevi olan  bakışımlı -doğrusal fonksiyon olarak görülebilir.

Koordinat gösterimi
Diyelimki

sonlu boyutlu vektör uzayları arasında bir çokludoğrusal gönderim olsun. Burada  boyutu 'dir ve  boyutu 'dir. Her bir  için  ve  için  taban seçersek,  skalerlerini şöyle ifade edebiliriz:


Ardından    skalerleri,   çokludoğrusal fonksiyonunu tam olarak tanımlar.

Özel olarak eğer,
 için,

oluyorsa, 
 olur.

Tensör çarpımıyla ilişkisi
Burada, çokludoğrusal gönderimler arasında doğal bire-bir karşılaştırma yapılmıştır.

ve doğrusal gönderimler

burada  ifadesi  tensör çarpımıdır.

 ve  fonksiyonlar arası ilişki şu formül ile verilir:

n×n matrislerindeki çokludoğrusal fonksiyonlar

Bir K değişmeli halkasındaki n×n matrisindeki çokludoğrusal fonksiyonlar, matrisin satırları (veya eşdeğer sütunları) olarak ifade edilir. Diyelim ki A gibi bir bir matris ve , Anın 1 ≤ i ≤ n aralığındaki satırları olsun. Bu durumda D çokludoğrusal fonksiyonu şöyle yazılabilir:

Daha geniş bir ifade ile;

 ifadesini, tanım matrisinin j.inci  satırı olarak ele alırsak, her bir  satırını şöyle olur.

Dnin çokludoğrusallığı kullanılarak  D(A) yı yeniden yazalım;

Her  için 1 ≤ i ≤ aralığında sürekli yerine konulursa,

Burada seçtiğimiz  aralığında;

İç içe toplamlar serisi elde edilir.

Burada,  satırlarında  fonksiyonu vasıtasıyla D(A)'nın nasıl elde edildiği görüldü.

Örnekler

2×2 matrisleri şöyle yazılır;

Burada  ve 'dir. D'yi bir alternatif fonksiyon olarak sınırlandırırsak;
 ve  olur.  olursa, 2×2 matrisinde şu determanant fonksiyonunu elde ederiz:

Özellikler
Çokludoğrusal gönderimde bir sıfır değeri varsa, bağımsız değişkenlerden biri sıfır olur.

n>1 için, yalnızca n-doğrusal gönderim ve sıfır fonksiyonudur. Çifte doğrusallık#Örneklere bakınız.

Ayrıca bakınız
 Cebirsel form
 Çokludoğrusal form
 Homojen polinom
 Homojen fonksiyon
 Tensörler
 çoklu doğrusal izdüşüm
 Çokludoğrusal altuzay öğrenimi

Kaynakça

gönderim