Bilineer fonksiyon

Bilineer dönüşümler, matematikte iki vektör uzayından birer eleman alıp üçüncü bir vektör uzayından bir eleman veren ve bunu yaparken her iki girdi için de doğrusallık aksiyomlarına uyan fonksiyonlardır.

Tanım
 ve  aynı  cismi üzerinde tanımlı üç vektör uzayı olsun. O zaman bir  fonksiyonunun bilineer olması için her  için eşlemesinin ve her  için de eşlemesinin ayrı ayrı doğrusal olması gerekir. Diğer bir değişle, bir bilineer eşlemenin iki girdisinden birisini sabitlemek, her zaman bir lineer dönüşüm verir.

Bu tanımla şu özellikler geçerli olur:

 Her  ve her  için 'yı 'nin dışına çekmek mümkündür, yani 
Her  için  dağılma özelliğini gösterir, yani . Aynı özellik ikinci girdi için de geçerlidir, yani her  için  geçerlidir.
Eğer  ve  aynı  vektör uzayıysa ve aynı zamanda her  için  geçerliyse 'ye simetrik denir. Eğer hedef  vektör uzayı  cismiyse de 'ye bir bilineer form denir. Mesela nokta çarpımı simetrik bir bilineer formdur.

 Özellikler 
Doğrusallığın gereği olarak eğer  veya  vektörlerinden birisi  vektörüyse  olur. Tam tersi geçerli değildir;  ve  vektörlerinin ikisi de sıfırdan farklı olsa da  olabilir.  özelliğini sağlayan iki vektöre ortogonal denir.

 ve  vektör uzaylarından 'ye olan tüm bilineer formlar, kendi aralarında bir vektör uzayı teşkil eder ve bu uzay  ile gösterilir. Bu eğer  ve 'un üçü de sonlu boyutluysa, 'in boyutu bu üç vektör uzayının boyutlarının çarpımına eşittir.

 Örnekler 

 Matris çarpımı,  ile  arasında bilineerdir
 Vektör iç çarpımı bilineer bir dönüşümdür. Girdileri aynı  vektör uzayından olup çıktısı 'dadır.
  ile 'nin düal uzayı 'dan iki eleman alıp 'dan bir eleman veren  hesaplama operasyonu bilineerdir.
 Haç çarpımı,  arasında bilineer bir eşleme teşkil eder.

Ayrıca bakınız
 Çokludoğrusal harita

Dış bağlantılar


Kategori:Çokludoğrusal cebir