Üreteç fonksiyonu

Matematikte üreteç fonksiyonu ya da üreteç fonksiyon verilen bir dizinin her bir elemanını katsayılarıyla temsil eden biçimsel bir kuvvet serisidir.

Kullanım ve uygulama olanaklarına göre çeşitli üreteç fonksiyonları vardır. En yagın örnekleri arasında, sıradan üreteç fonksiyonu, üstel üreteç fonksiyonu, Lambert serisi, Bell serisi ve Dirichlet serisi vardır.

 Tarihçe 
Üreteç fonksiyonları ilk defa 1730 yılında Abraham de Moivre tarafından genel doğrusal yineleme problemlerini çözmek amacıyla tanımlanmıştır. Bu tip fonksiyonlara ilk defa üreteç fonksiyonları adını veren ise George Polya'ya göre Laplacetır;ancak, Euler Laplace'tan daha önce bu fonksiyonları kullanıp kombinatorik analiz ve saylar teoreisindeki problemlere uygulamıştır.

 Tanım 
Bir an,  dizisine denk düşen (sıradan) üreteç fonksiyonu  şöyle tanımlanır:

Örneğin, tam kare dizisi için üreteç fonksiyonu an = n2 dir ve bu halde
sıradan üreteç fonksiyonu,

olur.

 Yakınsaklık 
Bir üreteç fonksiyonu, yalnızca biçimsel olarak bir kuvvet serisi olduğundan, her x değeri için yakınsak olmak zorunda değildir. Üreteç fonksiyonunun kullanıldığı bağlam ve örneğe göre kimi zaman uygun düşen x değerleri için yakınsaklığı incelenebilir ve bu x değerleri için eşit olduğu fonksiyon yazılabilir. Örneğin,  dizisine karşılık gelen

üreteç fonksiyonu,  için  fonksiyonuna eşittir.

 Üreteç fonksiyon türleri 
 Üstel üreteç fonksiyonu 
Bir an dizisi için üstel üreteç fonksiyonu ise şöyledir:

Örneğin, 

 Olasılık üreteç fonksiyonu 

Bir U olasılık uzayı üzerinde negatif olmayan bir rassal değişken X için (yani her  için )

serisine olasılık üreteç fonksiyonu ya da olasılık çıkaran fonksiyon denir. Burada p gösterimi ile olasılık dağılım fonksiyonudur. Örneğin, 
 olmak üzere, ,  olsun. Bu durumda, düzgün dağılım üreteç fonksiyonu 

olarak elde edilir.

 Bell serisi 
Bir p asal sayısı ve bir an,  dizisine denk düşen Bell serisi

olarak verilir.Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001 ss. 42–43

 Dirichlet serisi üreteç fonksiyonu 
Bir an,  dizisine denk düşen Dirichlet serisi

olarak tanımlanır.Herbert S. Wilf, Generatingfunctionology (Second Edition) (1994) Academic Press. ISBN 0-12-751956-4.

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 
 Generating Functions, Power Indices and Coin Change at Cut-the-Knot
 Generatingfunctionology PDF download page
 1031 Generating Functions 
 Ignacio Larrosa Cañestro, León-Sotelo, Marko Riedel, Georges Zeller, Suma de números equilibrados, newsgroup es.ciencia.matematicas
 Frederick Lecue; Riedel, Marko, et al., Permutation, Les-Mathematiques.net, in French, title somewhat misleading.
 "Generating Functions" by Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project, 2007.