Logaritmik dışbükey fonksiyon

Matematikte logaritma fonksiyonu ile bileşkesi dışbükey olan fonksiyonlara logaritmik dışbükey veya log dışbükey fonksiyon denir;<ref  group="not">TÜBA ''Akademik Bilim Terimleri Sözlüğünde  logaritmik dışbükey fonksiyon sayfası </ref>Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284. daha matematiksel bir ifadeyle, verilmiş bir  fonksiyonu için  dışbükey bir fonksiyonsa, o zaman  logaritmik dışbükey fonksiyondur.

 Tanım 
 gerçel bir vektör uzayınının dışbükey bir altkümesi olsun.  ise negatif olmayan değerler alan bir fonksiyon olsun. O zaman, 
  dışbükeyse,  logaritmik dışbükeydir.
  kesin dışbükeyse,   kesin logaritmik dışbükey'''dir.
Burada,  değeri   olarak alınmıştır.
Daha matematiksel bir ifadeyle açıkça yazmak gerekirse,  fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak  
ve her  için aşağıdaki eşitsizlikleri sağlaması ile mümkündür: 

Benzer bir şekilde,  fonksiyonunun kesin logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak yukarıdaki  eşitsizliklerin bütün  için eşitlik olmadan sağlanması ile mümkündür.

Yukarıdaki tanıma göre,  sıfır değer alabilir. Ancak,  logaritmik dışbükeyse ve  kümesi içindeki herhangi bir noktada 0 değeri alıyorsa, o zaman in içindeki her noktada sıfır değeri almak zorundadır.

Denk koşullar 
Eğer  bir  aralığında tanımlanmış ve türevlenebilir bir fonksiyonsa
 fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak  aşağıdaki eşitsizliğin 'daki her  ve  için sağlanmasıyla mümkündür.

'daki her  ve  için  varsayıldığında yukarıdaki eşitsizlik şuna denktir:

Benzer bir şekilde,  fonksiyonunun kesin logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak yukarıdaki  eşitsizliklerin eşitlik olmadan sağlanması ile mümkündür.

Eğer  bir  aralığında tanımlanmış ve iki kere türevlenebilir bir fonksiyonsa,  fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak 'daki her  için 

olması ile mümkündür. Eğer eşitsizlik kâti ise, o zaman  fonksiyonu kesin logaritmik dışbükeydir. Ancak, bunun tersi doğru değildir; yani,  kesin logaritmik dışbükey olup bir   değeri için,  olabilir. Örneğin,  ise, o zaman,  kesin logaritmik dışbükeydir. Ancak,  olur.

Ayrıca,  fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak   için  fonksiyonunun dışbükey olması ile mümkündür...

 Yeterli koşullar 
  logaritmik dışbükeyse ve  negatif olmayan gerçel sayılarsa  logaritmik dışbükeydir.
  logaritmik dışbükeylerden oluşan bir aile ise, o zaman,  logaritmik dışbükeydir.
  dışbükeyse ve  logaritmik dışbükey ve azalmayan bir fonksiyonsa, o zaman   logaritmik dışbükeydir.

 Özellikler 
Logaritmik dışbükey bir fonksiyon , artan dışbükey fonksiyon  ile tanım gereği dışbükey olan  fonksiyonun bileşkesi olduğundan dışbükey bir fonksiyon olur. Ancak, tersi  durum her zaman geçerli değildir ve logaritmik dışbükeylik olağan dışbükeylikten daha kesin ve güçlü bir özelliktir. Örneğin,  dışbükeydir ama  dışbükey değildir.

 Örnekler 
  fonksiyonu  iken logaritmik dışbükeydir ve  iken kesin logaritmik dışbükeydir.
  fonksiyonu  üzerinde bütün  için  kesin logaritmik dışbükeydir.
 Euler gama fonksiyonu pozitif gerçel sayılar üzerine kısıtlandığında kesin logaritmik dışbükeydir. Aslında, bu özellik, Bohr-Mollerup teoremi ile Euler gama fonksiyonunu karakterize etmek için kullanılan şartlardan biridir.

 Ayrıca bakınız 
 Logaritmik içbükey fonksiyon

 Notlar 

 Kaynakça 

Kategori:Gerçel analiz