Eğri

Matematikte, bir eğri, bir doğruya benzeyen, ancak düz olması gerekmeyen bir unsurdur.

Sezgisel olarak, bir eğri, hareket eden bir noktanın bıraktığı iz olarak düşünülebilir.
Bu, 2000 yıldan daha uzun bir süre önce Öklid'in Elementler'inde ortaya çıkan tanımdır: "[Eğri] çizgi […] yalnızca bir boyuta, yani uzunluğa sahip olan, genişliği ve derinliği olmayan ilk nicelik türüdür ve […] hayali hareketinden uzunlamasına, her türlü genişlikten muaf bir iz bırakacak olan noktanın akışından veya gidişinden başka bir şey değildir."Eski Fransızcada: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, 
sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude."
Sayfa 7 ve 8; Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).

Bir eğrinin bu tanımı modern matematikte şu şekilde resmîleştirilmiştir: Bir eğri, bir aralığın bir sürekli fonksiyon aracılığıyla bir topolojik uzaya giden görüntüsüdür.
Bazı bağlamlarda, eğriyi tanımlayan fonksiyona parametrizasyon, eğriye ise parametrik eğri denir.
Bu maddede, bu tür eğriler, türevlenebilir eğriler gibi daha kısıtlı eğrilerden ayırt edilmek üzere bazen topolojik eğriler olarak adlandırılmıştır.
Bu tanım, matematikte incelenen çoğu eğriyi kapsar;
kayda değer istisnalar düzey eğrileri (eğrilerin ve ayrık noktaların birleşimi olan) ve cebirsel eğrilerdir. Düzey eğrileri ve cebirsel eğriler, genellikle örtük denklemlerle tanımlandıkları için bazen örtük eğriler (implicit curves) olarak adlandırılır.

Yine de, topolojik eğriler sınıfı çok geniştir ve bir eğri için beklenebilecek görünüme sahip olmayan, hatta çizilemeyen bazı eğrileri içerir.
Uzay dolduran eğriler ve fraktal eğrilerin durumu böyledir.
Daha fazla düzenlilik sağlamak için, eğriyi tanımlayan fonksiyonun genellikle türevlenebilir olduğu varsayılır ve bu durumda eğriye türevlenebilir eğri denir.

Bir düzlemsel cebirsel eğri, iki belirsizli bir polinomun sıfır kümesidir.
Daha genel olarak, bir cebirsel eğri, sonlu sayıda polinomun oluşturduğu ve bir boyutlu bir cebirsel varyete olma koşulunu sağlayan sıfır kümesidir.
Polinomların katsayıları bir  cismine aitse, eğrinin  üzerinde tanımlı olduğu söylenir.
'nın gerçel sayılar cismi olduğu yaygın gerçel cebirsel eğri durumunda, bir cebirsel eğri, topolojik eğrilerin sonlu bir birleşimidir.
Karmaşık sıfırlar dikkate alındığında, topolojik açıdan bir eğri değil, bir yüzey olan ve genellikle Riemann yüzeyi olarak adlandırılan bir karmaşık cebirsel eğri elde edilir.
Yaygın anlamda eğri olmamalarına rağmen, diğer cisimler üzerinde tanımlanan cebirsel eğriler geniş çapta incelenmiştir.
Özellikle, bir sonlu cisim üzerindeki cebirsel eğriler modern kriptografide yaygın olarak kullanılmaktadır.

 Tarihçe 
küçükresim|Newgrange'den eğrilere erken dönem bir ilgiyi gösteren megalitik sanat

Eğrilere olan ilgi, matematiksel bir çalışma konusu olmalarından çok önce başlamıştır.
Bu durum, tarih öncesi zamanlara dayanan sanat eserlerinde ve günlük nesnelerdeki dekoratif kullanımlarının sayısız örneğinde görülebilir.Lockwood s.
ix Eğriler veya en azından bunların grafiksel temsilleri, örneğin sahildeki kumun üzerine bir çubukla çizilerek kolayca oluşturulabilir.

Tarihsel olarak, daha modern olan  terimi yerine  (line) terimi kullanılmıştır.
Bu nedenle, bugün doğru (line) olarak adlandırılan nesneleri eğri çizgilerden ayırmak için  ve  (right line) terimleri kullanılıyordu.
Örneğin, Öklid'in Elementleri Kitap I'de, bir çizgi "genişliği olmayan uzunluk" (Tanım 2) olarak tanımlanırken,  bir çizgi "üzerindeki noktalarla bir hizada yatan çizgi" (Tanım 4) olarak tanımlanır.
Öklid'in çizgi fikri belki de "Bir çizginin uçları noktalardır" (Tanım 3) ifadesiyle açıklığa kavuşturulmuştur.Heath s.
153 Daha sonraki yorumcular çizgileri çeşitli şemalara göre sınıflandırmışlardır. Örneğin:Heath s.
160
 Bileşik çizgiler (bir açı oluşturan çizgiler)
 Bileşik olmayan çizgiler
 Belirli (daire gibi sonsuza kadar uzamayan çizgiler)
 Belirsiz (doğru ve parabol gibi sonsuza kadar uzanan çizgiler)

küçükresim|Bir koninin kesilmesiyle oluşturulan eğriler (konik kesitler), antik Yunan matematiğinde incelenen eğriler arasındaydı.
Yunan geometriciler başka birçok eğri türünü de incelemişlerdir.
Bunun bir nedeni, standart pergel ve cetvel inşası kullanılarak çözülemeyen geometrik problemleri çözmeye olan ilgileriydi.
Bu eğriler şunları içerir:
 Pergeli Apollonius tarafından derinlemesine incelenen konik kesitler.
 Diocles tarafından incelenen ve küpü iki katına çıkarma yöntemi olarak kullanılan Diocles sissoidi (sarmaşık eğrisi).Lockwood s.
132
 Nicomedes tarafından hem küpü iki katına çıkarmak hem de açıyı üçe bölmek için bir yöntem olarak incelenen Nicomedes konkoidi (kavkı eğrisi).Lockwood s.
129
 Arşimet tarafından açıyı üçe bölmek ve daireyi kareleştirmek için bir yöntem olarak incelenen Arşimet spirali.
 Apollonius'un koni kesitlerini incelediği gibi, Perseus tarafından torusların kesitleri olarak incelenen spirik kesitler.
küçükresim|sol|Descartes yaprağı gibi eğrilerin geometrik inşa yerine denklemler kullanılarak tanımlanmasına analitik geometri olanak sağlamıştır.
Eğriler teorisindeki temel bir ilerleme, on yedinci yüzyılda René Descartes tarafından analitik geometrinin tanıtılmasıydı.
Bu, bir eğrinin karmaşık bir geometrik inşa yerine bir denklem kullanılarak tanımlanmasını sağladı.
Bu sadece yeni eğrilerin tanımlanmasına ve incelenmesine izin vermekle kalmadı, aynı zamanda polinom denklemleri kullanılarak tanımlanabilen cebirsel eğriler ile tanımlanamayan aşkın eğriler arasında resmi bir ayrım yapılmasını sağladı.
Daha önce eğriler, nasıl oluşturulduklarına veya oluşturulabileceklerine göre "geometrik" veya "mekanik" olarak tanımlanıyordu.

Konik kesitler Kepler tarafından astronomide uygulandı.

Newton da varyasyonlar hesabının erken bir örneği üzerinde çalıştı.
Brakistokron ve totokron soruları gibi varyasyonel problemlere getirilen çözümler, eğrilerin özelliklerini yeni yollarla tanıttı (bu durumda, sikloid).
Zincir eğrisi, adını asılı bir zincir problemine çözüm olmasından alır; bu tür sorular diferansiyel hesap aracılığıyla rutin olarak erişilebilir hale gelmiştir.

On sekizinci yüzyılda, genel olarak düzlemsel cebirsel eğriler teorisinin başlangıcı geldi.
Newton, reel noktaların 'ovaller' halindeki genel tanımında kübik eğrileri incelemişti.
Bézout teoreminin ifadesi, zamanın geometrisiyle doğrudan erişilemeyen, tekil noktalar ve karmaşık çözümlerle ilgili bir dizi yönü gösterdi.

On dokuzuncu yüzyıldan beri, eğri teorisi, manifoldlar ve cebirsel varyeteler teorisinin birinci boyuttaki özel durumu olarak görülmektedir.
Yine de, uzay dolduran eğriler, Jordan eğrisi teoremi ve Hilbert'in on altıncı problemi gibi birçok soru eğrilere özgü kalmaktadır.

 Topolojik eğri 

Bir topolojik eğri, gerçel sayıların bir  aralığından bir  topolojik uzayına giden bir  sürekli fonksiyonu ile belirtilebilir.
Bir başka deyişle, eğri, 'nın görüntüsüdür. Ancak bazı bağlamlarda, 'nın kendisi, özellikle görüntü genel olarak eğri olarak adlandırılan şeye benzemediğinde ve 'yı yeterince karakterize etmediğinde, bir eğri olarak adlandırılır.

Örneğin, Peano eğrisinin veya daha genel olarak bir uzay dolduran eğrinin görüntüsü bir kareyi tamamen doldurur ve bu nedenle 'nın nasıl tanımlandığına dair herhangi bir bilgi vermez.

Bir  eğrisi, eğer  ve  ise kapalıdır veya bir ilmektir.
Dolayısıyla kapalı bir eğri, bir çemberin sürekli bir eşlemesinin görüntüsüdür.
Kapalı olmayan bir eğriye açık eğri de denebilir.

Bir topolojik eğrinin tanım kümesi, kapalı ve sınırlı bir aralık  ise, eğriye yolak veya topolojik yay (ya da sadece yay) denir.

Bir eğri, bir aralığın veya bir çemberin birebir sürekli bir fonksiyonla görüntüsü ise basittir.
Başka bir deyişle, bir eğri bir aralığı tanım kümesi olarak alan sürekli bir  fonksiyonu ile tanımlanıyorsa, eğrinin basit olması için gerek ve yeter şart, noktaların aralığın uç noktaları olması durumu haricinde, aralığın herhangi iki farklı noktasının farklı görüntülere sahip olmasıdır.
Sezgisel olarak, basit bir eğri "kendisini kesmeyen ve eksik noktası olmayan" (kendisiyle kesişmeyen sürekli bir eğri) bir eğridir.

küçükresim|sol|dik=0.75|Sarmal, bir çarpık eğri örneğidir.
Bir düzlemsel eğri, 'in Öklid düzlemi olduğu (bunlar ilk karşılaşılan örneklerdir) veya bazı durumlarda projektif düzlem olduğu bir eğridir.
Bir , 'in en az üç boyutlu olduğu bir eğridir;
bir , hiçbir düzlemde yatmayan bir uzay eğrisidir (örneğin, bir sarmal).
Düzlem, uzay ve çarpık eğrilerin bu tanımları, yukarıdaki eğri tanımı geçerli olmasa da (bir reel cebirsel eğri bağlantısız olabilir), reel cebirsel eğriler için de geçerlidir.
Uzay eğrisi için daha eski bir terim "çifte eğrilikli eğri"dir, çünkü iki şekilde eğrilir (hem eğrilik hem de burulma ile).
küçükresim|Pozitif alana sahip bir ejderha eğrisi
Düzlemsel basit kapalı eğriye Jordan eğrisi de denir.
Ayrıca düzlemde kendisiyle kesişmeyen sürekli ilmek olarak da tanımlanır. Jordan eğrisi teoremi, bir Jordan eğrisinin düzlemdeki tümleyen kümesinin iki bağlantılı bileşenden oluştuğunu (yani eğrinin düzlemi kesişmeyen iki bölgeye ayırdığını ve her ikisinin de bağlantılı olduğunu) belirtir. Bir Jordan eğrisinin içindeki sınırlı bölge Jordan bölgesi olarak bilinir.

Eğri tanımı, yaygın kullanımda eğri olarak adlandırılması zor olan şekilleri de içerir.
Örneğin, bir eğrinin görüntüsü düzlemdeki bir kareyi kaplayabilir (uzay dolduran eğri) ve basit bir eğri pozitif bir alana sahip olabilir. Fraktal eğriler sağduyuya aykırı özelliklere sahip olabilir.
Örneğin, bir fraktal eğri birden büyük bir Hausdorff boyutuna (bkz. Koch kartanesi) ve hatta pozitif bir alana sahip olabilir.
Bir örnek, birçok başka sıra dışı özelliğe sahip olan ejderha eğrisidir.

 Türevlenebilir eğri 

Kabaca, , yerel olarak gerçel sayıların bir  aralığından genellikle  olan bir türevlenebilir  manifolduna giden birebir türevlenebilir bir  fonksiyonunun görüntüsü olarak tanımlanan bir eğridir.

Daha kesin olarak, türevlenebilir bir eğri, 'nin her noktasının, 'nun gerçel sayıların bir aralığına difeomorfik olduğu bir  komşuluğuna sahip olduğu, 'in bir  alt kümesidir. Başka bir deyişle, türevlenebilir bir eğri, birinci boyuttan türevlenebilir bir manifolddur.

 Türevlenebilir yay 

Öklid geometrisinde, bir yay (sembol: ⌒), türevlenebilir bir eğrinin bağlantılı bir alt kümesidir.
Doğruların yaylarına, nasıl sınırlandıklarına bağlı olarak doğru parçası, ışın veya doğru denir.
Yaygın bir kavisli örnek, bir çemberin yayı olan dairesel yaydır.
Bir kürede (veya bir sferoidde), bir büyük çemberin (veya bir büyük elipsin) yayına büyük yay denir.

 Bir eğrinin uzunluğu 

Eğer , -boyutlu Öklid uzayı ise ve  birebir ve sürekli türevlenebilir bir fonksiyon ise, 'nın uzunluğu şu miktar olarak tanımlanır:

Bir eğrinin uzunluğu,  parametrizasyonundan bağımsızdır.
Özellikle, kapalı bir  aralığında tanımlanmış sürekli türevlenebilir bir  fonksiyonunun grafiğinin uzunluğu  şöyledir:

bu, sezgisel olarak Pisagor teoreminin eğrinin tam uzunluğu boyunca sürekli olarak sonsuz küçük ölçekte kullanılması olarak düşünülebilir.

Daha genel olarak, eğer ,  metriğine sahip bir metrik uzay ise, o zaman bir  eğrisinin uzunluğunu şu şekilde tanımlayabiliriz:

burada supremum, tüm  ve 'nin tüm  parçalanışları üzerinden alınır.
Rektifiye edilebilir (uzunluğu ölçülebilir) bir eğri, sonlu uzunluğa sahip bir eğridir. Bir  eğrisi,  olan herhangi bir  için şu geçerliyse  (veya birim hızlı veya yay uzunluğu ile parametrize edilmiş) olarak adlandırılır:

Eğer  bir Lipschitz-sürekli fonksiyon ise, o zaman otomatik olarak rektifiye edilebilirdir.
Ayrıca, bu durumda,  noktasında 'nın hızı (veya metrik türevi) şu şekilde tanımlanabilir:

ve ardından şu gösterilebilir:

 Diferansiyel geometri 

Karşılaşılan ilk eğri örnekleri çoğunlukla düzlemsel eğriler (yani günlük kelimelerle, iki boyutlu uzaydaki eğri çizgiler) olsa da, üç boyutta doğal olarak var olan sarmal gibi bariz örnekler de vardır.
Geometrinin ve örneğin klasik mekaniğin ihtiyaçları, herhangi bir sayıdaki boyuta sahip uzayda bir eğri kavramına sahip olmaktır.
Genel görelilikte, bir dünya çizgisi, uzay-zamandaki bir eğridir.
Eğer  bir türevlenebilir manifold ise, o zaman  içinde türevlenebilir eğri kavramını tanımlayabiliriz.
Bu genel fikir, matematikteki eğri uygulamalarının çoğunu kapsamak için yeterlidir.
Yerel bir bakış açısından , Öklid uzayı olarak alınabilir.
Öte yandan, (örneğin) 'e teğet teğet vektörlerini bu eğri kavramı aracılığıyla tanımlamanın mümkün olması bakımından daha genel olmak yararlıdır.
Eğer  düzgün bir manifold ise,  içindeki bir düzgün eğri, bir düzgün tasvirdir (map):

.
Bu temel bir kavramdır. Daha az ve daha çok kısıtlanmış fikirler de vardır.
Eğer  bir  manifoldu ise (yani, haritasının geçiş haritaları  kez sürekli türevlenebilir olan bir manifold), o zaman  içindeki bir  eğrisi, yalnızca  (yani  kez sürekli türevlenebilir) olduğu varsayılan böyle bir eğridir.
Eğer  bir analitik manifold ise (yani sonsuz kez türevlenebilir ve haritaları kuvvet serileri olarak ifade edilebilir) ve  analitik bir tasvir ise, o zaman 'nın bir analitik eğri olduğu söylenir.
Bir türevlenebilir eğri, türevi asla yok olmuyorsa düzenli olarak adlandırılır.
(Kelimelerle ifade edilirse, düzenli bir eğri asla yavaşlayıp durmaz veya kendi üzerinden geri dönmez.) İki  türevlenebilir eğri;

 ve

için, eğer bir birebir örten  tasviri

varsa ve ters tasviri

de  ise ve tüm 'ler için

geçerliyse, bu eğrilerin denk olduğu söylenir.
 tasvirine 'in bir yeniden parametrizasyonu denir; ve bu,  içindeki tüm  türevlenebilir eğriler kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı oluşturur.
Bir  yayı, yeniden parametrizasyon bağıntısı altındaki  eğrilerinin bir denklik sınıfıdır.

 Cebirsel eğri 

Cebirsel eğriler, cebirsel geometride ele alınan eğrilerdir.
Bir düzlemsel cebirsel eğri, 'in bir  cismi üzerinde tanımlı iki değişkenli bir polinom olduğu  olacak şekilde  koordinatlarına sahip noktaların kümesidir.
Eğrinin  üzerinde tanımlı olduğu söylenir. Cebirsel geometri normalde sadece  içindeki koordinatlara sahip noktaları değil, bir cebirsel kapalı cisim  içindeki koordinatlara sahip tüm noktaları dikkate alır.

Eğer C, katsayıları F içinde olan bir f polinomu ile tanımlanan bir eğri ise, eğrinin F üzerinde tanımlı olduğu söylenir.

Gerçel sayılar üzerinde tanımlı bir eğri durumunda, normalde karmaşık koordinatlara sahip noktalar dikkate alınır.
Bu durumda, gerçel koordinatlara sahip bir nokta reel noktadır (gerçel nokta) ve tüm reel noktaların kümesi eğrinin reel kısmıdır.
Bu nedenle, topolojik bir eğri olabilen yalnızca bir cebirsel eğrinin reel kısmıdır (bu her zaman geçerli değildir, çünkü bir cebirsel eğrinin reel kısmı bağlantısız olabilir ve ayrık noktalar içerebilir).
Eğrinin tamamı, yani karmaşık noktalar kümesi, topolojik açıdan bir yüzeydir.

Özellikle, tekil olmayan karmaşık projektif cebirsel eğrilere Riemann yüzeyleri denir.
Bir  cismindeki koordinatlara sahip  eğrisinin noktalarının  üzerinde rasyonel olduğu söylenir ve  şeklinde gösterilebilir.
 rasyonel sayılar cismi olduğunda, basitçe rasyonel noktalardan söz edilir.

Örneğin, Fermat'nın Son Teoremi şu şekilde yeniden ifade edilebilir:  için,  dereceli Fermat eğrisinin her rasyonel noktasının sıfır olan bir koordinatı vardır.
Cebirsel eğriler ayrıca uzay eğrileri veya daha yüksek boyutlu, örneğin , bir uzaydaki eğriler olabilir.
Bunlar, bir boyutlu cebirsel varyeteler olarak tanımlanır.
 değişkendeki en az  polinom denkleminin ortak çözümleri olarak elde edilebilirler.
 boyutlu bir uzayda bir eğriyi tanımlamak için  polinom yeterliyse, eğrinin bir tam kesişim olduğu söylenir.

Değişkenlerin elenmesiyle (herhangi bir eleme teorisi aracıyla), bir cebirsel eğri bir düzlemsel cebirsel eğri üzerine izdüşürülebilir, ancak bu işlem sivri uçlar (cusp) veya çift katlı noktalar gibi yeni tekillikler getirebilir.

Bir düzlemsel eğri, projektif düzlemde bir eğriye de tamamlanabilir: eğer bir eğri toplam derecesi  olan bir  polinomu ile tanımlanıyorsa, ,  dereceli bir homojen polinom olan 'ye sadeleşir.
 olacak şekildeki  değerleri, eğrinin projektif düzlemdeki tamamlanmasının noktalarının homojen koordinatlarıdır ve başlangıç eğrisinin noktaları 'nin sıfır olmadığı noktalardır.

Bir örnek,  afin formuna sahip olan  Fermat eğrisidir.
Benzer bir homojenleştirme işlemi, daha yüksek boyutlu uzaylardaki eğriler için de tanımlanabilir.

Doğrular hariç, cebirsel eğrilerin en basit örnekleri, ikinci dereceden ve cinsi sıfır olan tekil olmayan eğriler olan koniklerdir.
Cinsi bir olan tekil olmayan eğriler olan elliptik eğriler, sayılar teorisinde incelenir ve kriptografide önemli uygulamalara sahiptir.

 Ayrıca bakınız 

 Eğri uydurma
 Eğriler galerisi
 Eğriler listesi

 Notlar 

 Kaynakça 

 Konuyla ilgili yayınlar 


 Öklid, yorum ve çev. T. L. Heath Elements Cilt 1 (1908 Cambridge) Google Kitaplar
 E. H. Lockwood A Book of Curves (1961 Cambridge)

 Dış bağlantılar 

Ünlü Eğriler Dizini, Matematik ve İstatistik Okulu, St Andrews Üniversitesi, İskoçya
Matematiksel eğriler 874 iki boyutlu matematiksel eğrinin koleksiyonu
Çemberlerden Yapılmış Uzay Eğrileri Galerisi, Peter Moses'ın animasyonlarını içerir
Bishop Eğrileri ve Diğer Küresel Eğriler Galerisi, Peter Moses'ın animasyonlarını içerir
 The Encyclopedia of Mathematics'teki doğrular makalesi.
 The Manifold Atlas'taki 1-manifoldlar sayfası.


Kategori:Metrik geometri
Kategori:Topoloji
Kategori:Genel topoloji