Ewald toplamı

Ewald toplamı, ismini Paul Peter Ewald'dan alır, periyodik sistemlerin, özellikle elektrostatik enerjilerin, etkileşim enerjilerini hesaplayan bir yöntemdir. Ewald toplamı Poisson toplam formülünde gerçek uzaydaki etkileşim enerjilerinin Fourier uzayındaki denk bir toplam ile değiştirilmiş toplam formülünün özel bir halidir. Bu yöntemin avantajı gerçek uzaydaki etkileşimler uzun mesafeli olduğunda Fourier uzayındaki toplamın hızlı yakınsıyor olmasıdır. Elektrostatik enerjiler kısa ve uzun mesafeli etkileşimlerden oluştukları için en verimli hesaplama etkileşim potansiyeli gerçek uzayda kısa mesafeli etkileşim toplamı ve Fourier uzayında uzun mesafeli etkileşim toplamı olarak iki parçaya ayrıldığında gerçekleşir.

 Türetme 

Ewald toplamı etkileşim potansiyelini iki terim halinde yeniden yazar

burada  gerçek uzaydaki kısa mesafe terimine karşılık gelirken  Fourier uzayındaki uzun mesafe terimine karşılık gelir. Uzun mesafe terimi tüm argümanlar için sonlu olmalıdır; ama yine de tutarlı herhangi bir matematiksel yapı da gösterebilir, örneğin Gauss dağılımı. Bu yöntem kısa mesafe teriminin kolayca toplanabileceğini kabul eder; bu yüzden problem doğrudan uzun mesafe teriminin hesaplanması problemine dönüşür. Fourier toplamının faydasından dolayı bu yöntem dolaylı olarak üzerinde çalışıldığı sistemin sonsuz periyodik olduğunu kabul eder. Bu varsayımsal sistemin tekrar eden birimlerine birim hücre denir. Bu hücrelerden bir tanesi referans olarak merkezi hücre olarak, diğerleri de görüntüler olarak adlandırılır.

Uzun mesafe etkileşim enerjisi merkezi hücre yükü ile kafesteki diğer tüm yüklerin arasındaki etkileşim enerjilerinin toplamına eşittir. Dolayısıyla merkezi hücreyi ve kristal ağını

burada birim hücre yük yoğunluğu alanı   yüklerinin   konumları üzerinden bir toplama eşittir.

toplam yük ypğunluğu alanı     birim hücre yükleri ve onların periyodik görüntüleri üzerinden toplamına eşittir.

Burada  Dirac delta fonksionu, ,  ve  ağ vektörleri ve ,  and  tam sayı değeri alan değişkenlerdir. Toplam alan   ağ fonksiyonu ile birlikte  nin bir evrişimi olarak gösterilebilir.

Bu bir evrişim olduğundan,  in Fourier transformu bir çarpımdır

burada ağ fonksiyonlarının Fourier dönüşümleri delta fonksiyonlarının bir başka toplamıdır

Burada karşılıklı uzay vektörleri  olarak tanımlanmıştır. where  merkezi birim hücrenin hacmidir. Daha kısa bir ifade olarak etkin  tek parçacık potansiyeli tanımlayalım

Sadelik açısından, etkin tek-parçacık potansiyeli tanımlayalım

Yukarıdaki durum bunun için de geçerlidir

Burada Fourier dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanmıştır

Bu noktada enerji tek bir alan integrali olarak yazılabilir.

Parseval teoreminden, enerjinin Fourier uzayındaki toplamı

Burada  son toplamdır.

En önemli sonuç budur.  hesaplandığı zaman,  üzerinden toplam/integral bariz olup hızlı bir şekilde yakınsar. Olası bir ıraksaklığın en genel sebebi birim hücrenin iyi tanımlı olmamasından kaynaklanır.

 Parçacık ağ Ewald yöntemi 

Ewald toplamı bilgisayar kullanımının gelişmesinden çok önce teorik fizik aracı olarak geliştirildi. Öte yandan Ewald yönteminin parçacık sistmlerindeki en yaygın kullanımı 1970 yıllarına denk gelir. Uygulama alanları arasında plazma fiziği, galaksiler ve moleküller sayılabilir.

Normal Ewald toplamındaki gibi karakteristik etkilişm potansiyeli iki terime ayrılır
 - kısa mesafe terimi   uzun mesafe terimi  . Bu yöntemin temel mantığı etkileşim enerjilerini parçacıklar arasındakilerle değiştirmesidir

iki toplamla, gerçek uzaydaki potansiyellerin doğrudan toplamı 

Ve Fourier uzayındaki uzun mesafe teriminin toplamı

burada   ve  potansiyel ve yük yoğunluğunun Fourier dönüşümlerini temsil etmektedir. İki toplamda kendi uzaylarında hızlı bir şekilde yakınsadıklarından hesaplamada vakit kazanmak adına baştaki sonlu sayıdaki terimi alınabilir. Yük yoğunluğu alanının Fourier dönüşümünü hesaplamak için Hızlı Fourier transformu kullanılabilir. Bunun yapılabilmesi iin yoğunluk alanının kesikli bir uzayda tanımlanması gerekir.

Ewald toplamındaki periyodiklik varsayımından dolayı bu yöntemin uygulanabildiği fiziksel sistemlerde bu periyodik özellikle sınırlıdır. Böylece bu yöntem uzaysal dağılımı sonsuza kadar uzandığı varsayılabilecek periyodik sistemlerde en iyi çalışır. Molekül dinamiği simülasyonlarında bu şart sonsuz kere görüntü oluşturabilecek yüksüz birim hücrelerin oluşturulmasıyla sağlanabilir. Düzeltmelerle beraber toplam etkiye periyodik sınır koşulları denir. Bu durum en iyi şu şekilde düşünülebilir. Bir birim küp alalım. Öyle ki karşılıklı yüzeyler birbirleri ile etkili bir biçimde temas halinde olsun. Kübün boyutları öyle seçilmelidir ki küp karşılıklı yüzeylerde oluşabilecek istenmeyen bağıntıları engelleyecek kadar geniş ve hesaplamaya uygun olacak kadar küçük olsun.

Bir yoğunluk alanının ağa sınırlandırılması yoğunluğu sürekli değişen sistemler için bu yöntemi daha kullanışlı hale getirir. Bu durumu sağlamayan sistemler Greengard ve Rokhlin yöntemiyle daha etkili çözümlenebilir.

 Dipol terimi 

Polar kristalin elektrostatik enerji terimi şartlı yakınsak tır, diğer bir deyişle toplamın derecesine bağlıdır. Örneğin eğer  birim hücrenin  sürekli artan bir kübün üzerindeki diğer birim hücrelerle arasındaki dipol-dipol etkileşimleri
Küresel hesaba göre farklı bir değere yakınsar. Kabaca söylemek gerekirse bu şartlı yakınsaklık başlıca üç sebepten kaynaklanır: (1)    yarıçaplı bir küre kabuğu içerisindeki etkileşen dipol sayısı  ile artar, (2)  bir dipol-dipol etkileşimi  ile azalır ve (3)  ıraksaktır.

Bu şarşırtıcı sonuç gerçek kristallerin sonlu enerjisi ile ilgilidir çünkü bu kristaller sonsuz değildir ve belirli bir sınırları vardır. Daha basitçe söylemek gerekirse kutupsal bir kristalin sınırları yüzeyde etkin bir   yük dağılımına sahiptir. Burada  yüzey normal vektörüdür ve   polarizasyona karşılık gelir. Merkezi birim hücredeki dipolün yüzeysel yük yoğunluğu ile earasındaki etkileşim enerjisi etkileşim enerjisi 

where  and  are the net dipole moment and volume of the unit cell,  is an infinitesimal area on the crystal surface and 
is the vector from the central unit cell to the infinitesimal area. This formula results from integrating the energy  where  represents the infinitesimal electric field generated by an infinitesimal surface charge  (Coulomb yasası)
burada  ve   sırasıyla net dipol momentine ve birim hücrenin hacmine,  cristal yüzeyindeki sonsuz küçük alana ve  merkezi birim hücrenin alan vektörüne karşılık gelmektedir. Bu formül  tarafından kaynaklanan  enerjisinin integrasyonundan gelir.

Eksi işareti  nin tanımından gelir.

 Tarihçe 

Ewald toplamı 1921'de Paul Peter Ewald tarafından iyonik kristallerin elektrostatik enerjisini hesaplamak için geliştirilmiştir.

 Ölçeklendirme 

Genel olarak farklı Ewald toplamı teklikleri farklı zaman karışıklıkları verir. Doğrudan hesaplama  değerini verir. Burada  sistemdeki atom sayısıdır. PME yöntemi  J. Chem. Phys. 98, 10089 (1993);  verir.

 Ayrıca bakınız 

 Paul Peter Ewald
 Madelung sabiti
 Poisson toplam formülü
 Moleküler modelleme

 Kaynakça 

 Ewald P. (1921) "Die Berechnung optischer und elektrostatischer Gitterpotentiale", Ann. Phys. 369, 253–287. 
 Darden T, Perera L, Li L and Pedersen L. (1999) "New tricks for modelers from the crystallography toolkit: the particle mesh Ewald algorithm and its use in nucleic acid simulations", Structure 7, R55–R60, .
 Schlick T. (2002). Molecular Modeling and Simulation: An Interdisciplinary Guide Springer-Verlag Interdisciplinary Applied Mathematics, Mathematical Biology, Vol. 21. New York, NY.

Kategori:Elektromanyetizma
Kategori:Potansiyel teorisi
Kategori:Fourier analizi