En küçük ortak kat

Aritmetik ve sayılar teorisinde, iki a ve b tam sayısının en küçük ortak katı (EKOK), genellikle  ile gösterilir ve hem a hem de b ile bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır.Hardy & Wright, § 5.1, s. 48 

Tam sayıların sıfıra bölümü tanımsız olduğundan, bu tanım yalnızca a ve b sıfırdan farklıysa bir anlam taşır. Ancak, bazı yazarlar tüm a değerleri için ekok(a, 0)'ı 0 olarak tanımlar, çünkü 0, a ve 0'ın tek ortak katıdır.

İki kesrin paydalarının en küçük ortak katı "en küçük ortak payda"dır (lowest common denominator) ve kesirleri toplamak, çıkarmak veya karşılaştırmak için kullanılabilir. İkiden fazla a, b, c,... tam sayısının en küçük ortak katı, genellikle  ile gösterilir ve a, b, c,... sayılarının her birine bölünebilen en küçük pozitif tam sayı olarak tanımlanır.

 Genel bakış 
Bir sayının katı (multiple), o sayının ve bir tam sayının çarpımıdır. Örneğin, 10, 5'in bir katıdır çünkü 5 × 2 = 10'dur; yani 10, 5 ve 2'ye bölünebilir. 10, hem 5 hem de 2 ile bölünebilen en küçük pozitif tam sayı olduğu için, 5 ve 2'nin en küçük ortak katıdır. Aynı prensiple, 10 aynı zamanda -5 ve -2'nin de en küçük ortak katıdır.

 Notasyon 
İki a ve b tam sayısının en küçük ortak katı ekok(a, b) olarak gösterilir. Bazı eski ders kitapları [a, b] gösterimini kullanır.

 Örnek 

4'ün katları:

6'nın katları:

4 ve 6'nın ortak katları, her iki listede de bulunan sayılardır:

Bu listedeki en küçük sayı 12'dir. Dolayısıyla, en küçük ortak kat, 12'dir.

 Uygulamalar 
Basit kesirleri toplarken, çıkarırken veya karşılaştırırken, paydaların en küçük ortak katı kullanılır (genellikle en küçük ortak payda olarak adlandırılır), çünkü kesirlerin her biri bu paydaya sahip bir kesir olarak ifade edilebilir. Örneğin,

burada payda olarak 42 kullanılmıştır, çünkü 42, 21 ve 6'nın en küçük ortak katıdır.

 Dişli çark problemi 
Bir makinede sırasıyla m ve n diş sayısına sahip iki kenetlenen dişli olduğunu ve dişlilerin, birinci dişlinin merkezinden ikinci dişlinin merkezine çizilen bir doğru parçasıyla işaretlendiğini varsayalım. Dişliler dönmeye başladığında, birinci dişlinin doğru parçasını yeniden hizalamak için tamamlaması gereken dönüş sayısı  kullanılarak hesaplanabilir. Birinci dişli, yeniden hizalanma için  dönüş tamamlamalıdır. Bu süre zarfında, ikinci dişli  dönüş yapmış olacaktır.

 Gezegen hizalanması 

Bir yıldızın etrafında dönen ve yörüngelerini tamamlamaları sırasıyla l, m ve n birim zaman alan üç gezegen olduğunu varsayalım. l, m ve n değerlerinin tam sayı olduğunu kabul edelim. Gezegenlerin bir başlangıç doğrusal hizalanmasından sonra yıldızın etrafında hareket etmeye başladığını varsayarsak, tüm gezegenler  birim zaman sonra tekrar doğrusal bir hizalanmaya ulaşırlar. Bu zamanda, birinci, ikinci ve üçüncü gezegen yıldızın etrafında sırasıyla ,  ve  yörünge tamamlamış olacaktır.

 Hesaplama 
En küçük ortak katları hesaplamanın birkaç yolu vardır.

 En büyük ortak böleni kullanma 
En küçük ortak kat, en büyük ortak bölen (ebob) kullanılarak şu formülle hesaplanabilir:

Sonuçtan daha büyük tam sayılarla işlem yapmaktan kaçınmak için, bölme işleminin sonucunun her zaman bir tam sayı olduğu şu eşdeğer formülleri kullanmak uygundur:

Bu formüller,  ve  sayılarından tam olarak biri  olduğunda da geçerlidir, çünkü . Ancak, hem  hem de   ise, bu formüller sıfıra bölme hatasına neden olur; bu yüzden,  özel bir durum olarak ele alınmalıdır.

Yukarıdaki örneğe dönersek,

Ebob hesaplamak için sayıların çarpanlarına ayrılmasını gerektirmeyen Öklid algoritması gibi hızlı algoritmalar vardır. Çok büyük tam sayılar için, ilgili üç işlem (çarpma, ebob ve bölme) için daha da hızlı algoritmalar mevcuttur; bkz. Hızlı çarpma. Bu algoritmalar benzer büyüklükteki çarpanlarla daha verimli olduğundan, yukarıdaki örnekte olduğu gibi ekok argümanlarının en büyüğünü argümanların ebob'una bölmek daha verimlidir.

 Asal çarpanlara ayırmayı kullanma 
Çarpanlara tek türlü ayırma teoremi, 1'den büyük her pozitif tam sayının asal sayıların çarpımı olarak tek bir şekilde yazılabileceğini belirtir. Asal sayılar, birleştirildiklerinde bir bileşik sayı oluşturan atomik elemanlar olarak düşünülebilir. Örneğin:

Burada, bileşik sayı 90; bir tane 2 asal sayısı atomu, iki tane 3 asal sayısı atomu ve bir tane 5 asal sayısı atomundan oluşur.

Bu gerçek, bir sayı kümesinin ekok'unu bulmak için kullanılabilir.
Örnek, ekok(8,9,21) olursa:

Her sayıyı çarpanlarına ayırın ve asal sayı kuvvetlerinin çarpımı olarak ifade edin.


Ekok, her bir asal sayının en yüksek kuvvetinin birbiriyle çarpılması sonucu elde edilen çarpım olacaktır. 2, 3 ve 7 asal sayılarının en yüksek kuvvetleri sırasıyla 23, 32 ve 71'dir. Böylece,

Bu yöntem, tamsayı çarpanlara ayırma için bilinen genel ve verimli bir algoritma olmadığından, en büyük ortak bölene indirgeme yöntemi kadar verimli değildir.

Aynı yöntem, iki sayının her birinin asal çarpanlarının ilgili dairede ve paylaştıkları tüm ortak çarpanların kesişimde gösterildiği bir Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilebilir. Ekok, şemadaki tüm asal sayıların çarpılmasıyla bulunabilir. İşte bir örnek:

 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3,
 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5,

ortak olarak iki "2" ve bir "3" paylaşırlar:

çerçevesiz

 En küçük ortak kat = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 720
 En büyük ortak bölen = 2 × 2 × 3 = 12
 Çarpım = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 8640

Bu yöntem, Venn şemasındaki tüm sayıları çarpmak yerine yalnızca kesişimdeki asal çarpanların çarpılması farkıyla en büyük ortak bölen (ebob) için de çalışır. Böylece 48 ve 180'in ebob'u 2 × 2 × 3 = 12'dir.

 Formüller 

 Aritmetiğin temel teoremi 
Aritmetiğin temel teoremine göre, 1'den büyük her tam sayı, çarpanların sırasına bakılmaksızın, asal sayıların çarpımı olarak tek bir şekilde gösterilebilir:

burada n2, n3,... üsleri negatif olmayan tam sayılardır; örneğin, 84 = 22 31 50 71 110 130...

İki pozitif tam sayı  ve  verildiğinde, bunların en büyük ortak böleni ve en küçük ortak katı şu formüllerle verilir:

ve

olduğundan, bu şu sonucu verir:

Aslında, negatif üslere izin verilirse, her rasyonel sayı asal sayıların çarpımı olarak tek bir şekilde yazılabilir. Bu yapıldığında, yukarıdaki formüller geçerliliğini korur. Örneğin:

 Kafes kuramsalı 
Pozitif tam sayılar bölünebilirlik ile kısmi sıralı hale getirilebilir: eğer , 'yi bölerse (yani, b, a'''nın bir tam sayı katı ise) a ≤ b (veya eşdeğer olarak b ≥ a) yazılır. (Burada ≤ simgesinin olağan büyüklük tabanlı tanımının kullanılmadığına dikkat edin.)

Bu sıralama altında, pozitif tam sayılar, ebob tarafından verilen alt sınır (meet) ve ekok tarafından verilen üst sınır (join) ile bir kafes haline gelir. İspat biraz uzun olsa da basittir; ekok ve ebob'un alt sınır ve üst sınır aksiyomlarını sağladığını kontrol etmekten ibarettir. Ekok ve ebob'u bu daha genel bağlama yerleştirmek, aralarında bir düalite kurar:Tam sayı değişkenlerini, ebob, ekok, ≤ ve ≥ içeren bir formül doğruysa, ebob ile ekok'un ve ≥ ile ≤'nin yer değiştirmesiyle elde edilen formül de doğrudur. (Unutmayın, ≤ böler olarak tanımlanmıştır).

Aşağıdaki ikil formül çiftleri, genel kafes teorik özdeşliklerin özel durumlarıdır.

Değişme yasaları     Birleşme yasaları     Yutma yasaları

Eşkuvvetlilik yasaları (idempotent laws)     Bölmeyi ekok ve ebob cinsinden tanımlama

Ayrıca bu kafesin dağılımlı olduğu da gösterilebilir;Sonraki üç formül şuradandır: Landau, Ex. III.3, s. 254 yani, ekok ebob üzerine dağılır ve ebob ekok üzerine dağılır:

Bu özdeşlik kendi kendine ikildir:

 Diğer 
 D, ω(D) tane farklı asal sayının çarpımı olsun (yani, D karesiz olsun). O haldeCrandall & Pomerance, ex. 2.4, s. 101.

burada || mutlak çubukları bir kümenin kardinalitesini (eleman sayısını) gösterir.

 Eğer  sayılarından hiçbiri sıfır değilse, o zaman

 Değişmeli halkalarda 
En küçük ortak kat, değişmeli halkalar üzerinde genel olarak şu şekilde tanımlanabilir:

 ve , bir  değişmeli halkasının elemanları olsun.  ve 'nin bir ortak katı, hem 'nın hem de 'nin 'yi böldüğü (yani,  ve  olacak şekilde 'nin  ve  elemanlarının var olduğu) bir  elemanı 'dir.  ve 'nin bir en küçük ortak katı'',  ve 'nin başka herhangi bir  ortak katı için 'nin 'yi bölmesi anlamında minimal olan bir ortak kattır.

Genel olarak, değişmeli bir halkadaki iki elemanın en küçük ortak katı olmayabilir veya birden fazla olabilir. Ancak, aynı eleman çiftinin herhangi iki en küçük ortak katı birbirinin ilgilisidir. Bir çarpanlara tek türlü ayırma bölgesinde, herhangi iki elemanın bir en küçük ortak katı vardır. Bir esas ideal bölgesinde,  ve 'nin en küçük ortak katı,  ve  tarafından üretilen ideallerin kesişiminin bir üreteci olarak karakterize edilebilir (bir idealler koleksiyonunun kesişimi her zaman bir idealdir).

 Ayrıca bakınız 

Aralarında asal sayılar

 Notlar 

 Kaynakça 




Kategori:Temel aritmetik
Kategori:Sayılar teorisi