Bohr-Mollerup teoremi

Bohr-Mollerup teoremi, Matematiksel analizde adını Danimarkalı matematikçi Harald Bohr ve Johannes Mollerup'tan almıştır.

Bu teorem x > 0 için
Gama fonksiyonu'nun, karakterizasyonu'nu tanımlar. 

sade fonksiyon ƒ için x > 0 açık aralığında ardı ardına üç özellik

  ve
  ve
   logaritmik konveksdir.

Bu teoremin seçkin açıklaması Artin'in kitabı The Gamma Function'''un yeniden basımı bir AMS koleksiyonudur ve Artin tarafından kaleme alınmıştır.

İlk baskı Karmaşık Analiz içindeydi ve Bohr ve Mollerup'un izniyle basılmıştır.

 Kanıtı 
 Teoremin ifadesi 
 karşılayan tek fonksiyon  ile  
ve ayrıca   .için konvekstir.

 Kanıtı 
 yardımıyla, yukarıda kabul edilen özelliklere bağlı olarak kurulan fonksiyon
 ve konvekstir ve

Aslında  gerçeğinden  şunu kurabiliriz.

ve bu sonuçtan hareketle


ifadesi
 doğal  sonucudur
bu özellikle tam sayılara uygulanarak aşağıdaki sonuca varabiliriz.

 ise  
ve eğer 
 yoksa... yani bizim bağıntımız 
 olmak üzere 

 tüm  değerleri için aşağıdaki  ve  iki noktayı birleştiren doğrunun eğiminin hesabı  olmak üzere  monoton olarak arttığı için konveks fonksiyon ile onun doğal öngörüsüden dolayı  konveks olduğunu biliyoruz

Böyle bir limit varlığı veya yakınsama gibi çeşitli şeyleri kanıtlamak için ortak bir analiz tekniğidir.
Şimdi biz bu fonksiyonu geri çağırıyoruz ve her ikisi monoton artandır.
Bu, iki ifade arasında sıkışmış olan fonksiyon  son satırından bellidir  ve  . biz bu özelliği eşitsizlikte kullanırsak
devamla:

Son satırı güçlü bir ifadedir.
Özelde, bütün  değerler için de geçerlidir.
  nın herhangi bir  değeri seçimi için sağ tarafta daha küçük ve aynı şekilde,  nın herhangi bir  diğer tercihi için sol tarafta daha büyük olmasıdır. 
Her bir eşitsizlik yalnız bir durum ve bağımsız bir ifade olarak yorumlanabilir bir durumdur.
bu nedenle RHS ve LHS'yi farklı -n-değerleri için seçmekte özgürüz.
Özellikle, LHS için  RHS için  seçiminde tutarsak.

Bu son iki ifadeyi birleştirirsek

şimdi olarak alınırsa. 
 sağ yan eşitliğe giderken sol yan eşitsizliğe gider. 
 devamlı sıkıştırılırsa, 
 ifadesinin tek anlamı olabilir,eşitlik 'ya gider. 
Bu ispat bağlamında 'ya ait belirtilen üç özellik idi.
Ayrıca kanıt için belirli bir ifade sağlar
Ve ispatın son kritik bölümünde bir dizinin limiti benzersiz olduğu hatırdan çıkarılmamalıdır
Bu demektir ki  herhangi bir  seçim için, sadece bir sayı 
 bulunabilir
Burada 
 fonksiyonun tüm özelliklerine sahip başka bir fonksiyon yoktur.

ispat sorusunun teorem varsayımı kalan diğer ucudur
 herkes için mantıklı 
burada
  bulunmaktadır. 
Problem bizim ilk çift eşitsizliğimizdedir.

 için kısıtlama konmuştur. öğleyse, monoton artan yapmak isteniyor,  daha sonra eğer  söyleniyorsa,olması isteniyorsa oluşturulan tüm kanıt eşitsizliğin çelişmesi üzerinedir
ama

dikkat edilmelidir.

ilk olarak gösterilen 'ın bütün değerleri için 'ın buradaki limit tanımlıdır.

 Kaynakça 






  (Textbook in Complex Analysis'')

Kategori:Gama ve ilişik fonksiyonlar
Kategori:Karmaşık analiz teoremleri