Rahatlatma metodu

Sayısal analizde rahatlatma  metodu, eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin belirli biçimlerini, özel Laplace denklemini ve onun genelleştirilmesini, Poisson denklemini kapsayan denklem çözümlerine nümerik yaklaşımlar elde etmek için kullanılan metottur. Fonksiyonun şeklinin sınırlarının üzerinde verildiği kabul edilir ve de içinde hesaplanmasını gerektirir.

Bu rahatlatma  metodu matematiksel optimizasyonda kullanılan alakasız rahatlatma teknikleri ile karıştırılmamalıdır.

 Taslak 
φ düzgün gerçek sayılar üzerinde gerçek değerli fonksiyon olarak tanımlandığı zaman, onun ikinci türevine yaklaşım şu şekilde yapılabilir:

Bunu iki argümanlı ve de (x,y) noktalarında tanımlanmış φ fonksiyonu içinher iki boyutta da φ(x, y) için çözersek:

Poisson denklemine yakınsama yapmak için :

İki boyutlu karesel boşluğun h olarak belirtildiği karesel sistemde, rahatlama  metodu öncelikle karesel sistemin sınırlarına fonksiyonun verilmiş değerlerini ve karesel sistemin iç noktalarına rastgele değerler atar, daha sonra iç noktalarda sürekli φ := φ* görevini yürütür, burada φ* yakınsama olana kadar şöyle gösterilir:

Burada iki boyutlu olarak taslağı yapılmış olan bu metot halihazırda bütün boyutlar için genelleştirilmiştir.

 Yakınsama ve ivme 

Metot sürekli yakınsar iken, bu genellikle yavaşça meydana gelir. Çoklu karesel sistem yöntemi hesaplamayı hızlandırmak için kullanılabilir. Öncelikle büyük bir karesel sistemde—genellikle 2h lık bir karesel boşluk ile—bir yaklaşım hesaplanır ve interpolasyon ile karesel sistemin diğer noktaları için bulunmuş değerleri bu çözüm ile kullanılır. Daha sonra bu metot daha büyük karesel sistemler için tekrarlanarak kullanılabilir.

 Ayrıca bakınız 
 Jacobi metodu basit bir rahatlatma  metodudur..
 Gauss–Seidel metodu Jacobi  metodunun gelişmiş halidir.
 Başarılı aşırı rahatlatma  metodu Jacobi veya Gauss–Seidel metotlarına yakınsamanın hızlandırılması için kullanılabilir.
 Çoklu karesel sistem yöntemi

 Kaynakça ve dış bağlantılalar 
 Southwell, R.V. (1940) Relaxation Methods in Engineering Science. Oxford University Press, Oxford.
 Southwell, R.V. (1946) Relaxation Methods in Theoretical Physics. Oxford University Press, Oxford.




Kategori:Sayısal analiz
Kategori:Lineer cebir
Kategori:Sayısal diferansiyel denklemler