Sözde dışbükeylik

Sözde dışbükey bölgeler, matematikte  karmaşık analizin ve çok değişkenli karmaşık analizin merkezinde yer alan holomorf fonksiyonların doğal tanım kümeleridir.

Daha açık bir şekilde ifade edilecek olursa, bir değişkenli veya çok değişkenli karmaşık analizde esas araç olarak kullanılan holomorf fonksiyonlar kullanılarak tanımlanan holomorfluk bölgeleri sözde dışbükey kümelerdir.
Tersi ifade, yani sözde dışbükey kümelerin holomorfluk bölgeleri olduğu Levi problemi olarak bilinmektedir.

Karmaşık düzlemdeki her açık küme bazı fonksiyonların holomorfluk bölgesidir; yani, sözde dışbükeydir. Ancak, bu durum yüksek boyutlu karmaşık koordinat uzayındaki bölgeler için her zaman geçerli değildir. Bu yüzden, sözde dışbükeylik birden fazla karmaşık boyutlu uzaylarda daha çok çalışılır.

Tanım
Sözde dışbükey bölgfeler için birden fazla tanım vermek mümkündür:

 Hartogs sözde dışbükeyliği 
 bağlantılı ve açık bir küme olsun.  üzerinde tanımlı sürekli, çoklualtharmonik bir   fonksiyonu varsa ve bütün gerçel  sayıları için  kümesi  nın göreceli tıkız bir alt kümesi ise, o zaman  ya "sözde dışbükey" bölge adı verilir.

 Levi sözde dışbükeyliği 

 bağlantılı ve açık bir küme,  nın sınırı olan  ise  olsun.Yani,  etrafında yerel olarak iki kere türevlenebilen ve ikinci türevi sürekli olan bir fonksiyon vardır. Ayrıca, bu fonksiyon nın noktalarında 0 değeri alır ve gradyanının büyüklüğü de nın hiçbir noktasında sıfır değildir.  nın tanımlayıcı fonksiyonunu  ile gösterelim. Eğer  iken

koşulunu sağlayan her  için

ise, o zaman  ya sözde dışbükey bölge adı verilir. Bu eşitsizlik, için, nın noktalarında dan daima büyükse, o zaman bölgeye kesin (kati) sözde dışbükey bölge adı verilir.  nın  olmadığı durumda, ,  nın altkümesi olan kesin sözde dışbükey bölgeler dizisinin en küçük üst sınırı (supremum) olarak elde edilebiliyorsa,  ya yine sözde dışbükey bölge adı verilir.

 Notlar 
 Verilen bu iki sözde dışbükeylik tanımı birbirine denktir.
 Bütün dışbükey bölgelerler aynı zamanda sözde dışbükeydir.
  iken, bütün açık kümeler sözde dışbükeydir.
  iken, bölgeler sözde dışbükey olmak zorunda değildir (Hartogs devam teoremi).

 Notlar

 Kaynakça 
Lars Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland, 1990. (ISBN 0-444-88446-7).
 Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

Ayrıca bakınız
 Levi problemi
 Holomorf dışbükey zarf
 Stein çokkatlısı
 Analitik çokyüzlü

Kategori:Karmaşık analiz
Kategori:Çok değişkenli karmaşık analiz