Tam kare

Matematikte, kare sayı ya da tam kare, bir tamsayının karesi olan bir tamsayıdır;Bazı yazarlar, rasyonel sayıların karelerini de 'tam kare' olarak adlandırmaktadır. başka bir deyişle, bir tamsayının kendisiyle çarpımıdır. Örneğin, 9 bir kare sayıdır, çünkü 'ye eşittir ve  olarak yazılabilir.

Bir sayının  karesi için alışılmış gösterim,  çarpımı değil, buna eşdeğer olan üs alma  olup genellikle "'in karesi" diye okunur. Kare sayı adı şeklin adından gelir. Alanın birimi, bir birim karenin () alanı olarak tanımlanır. Bu nedenle, kenar uzunluğu  olan bir karenin alanı  olur. Bir kare sayı n nokta ile temsil edilirse, noktalar, her bir kenarında n'''nin karekökü kadar nokta bulunan bir kare olacak şekilde satırlar halinde düzenlenebilir; dolayısıyla, kare sayılar bir tür şekilli sayılardır (diğer örnekler küp sayılar ve üçgensel sayılardır).

Reel sayı sisteminde, kare sayılar negatif olmayandır. Negatif olmayan bir tamsayı, karekökü yine bir tamsayı olduğunda kare sayıdır. Örneğin, , dolayısıyla 9 bir kare sayıdır.

1 dışında kare böleni olmayan pozitif bir tamsayıya karekökten arınmış denir.

Negatif olmayan bir tamsayı  için, 'inci kare sayı  olup,  sıfırıncı olandır. Kare kavramı bazı diğer sayı sistemlerine de genişletilebilir. Rasyonel sayılar dahil edilirse, kare, iki kare tamsayının oranıdır ve tersine, iki kare tamsayının oranı bir karedir; örneğin, 

.

1'den başlayarak, 'e kadar ve  dahil olmak üzere  tane kare sayı vardır; burada  ifadesi,   sayısının tabanını temsil eder.

Örnekler

602 = 3600'den küçük kare sayılar  şunlardır:

02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81

102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361

202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841

302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521


402 = 1600 
412 = 1681 
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401


502 = 2500
512 = 2601 
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481

Herhangi bir tam kare ile bir önceki arasındaki fark, özdeşlik  ile verilir. Eşdeğer olarak, kare sayıları; son kareyi, son karenin kökünü ve mevcut kökü, yani  toplayarak saymak mümkündür.

Özelliklerm sayısı ancak ve ancak m noktası bir kare şeklinde düzenlenebiliyorsa bir kare sayıdır:

m = 12 = 1Dosya:Square number 1.pngm = 22 = 4Dosya:Square number 4.pngm = 32 = 9Dosya:Square number 9.pngm = 42 = 16Dosya:Square number 16.png

 kare sayının ifadesi 'dir. Bu, yukarıdaki resimlerde görülebileceği gibi, ilk  tek sayının toplamına da eşittir; burada bir kare, bir öncekine tek sayıda nokta (macenta ile gösterilen) eklenerek elde edilir. Formül şöyledir:Örneğin, .

küçükresim|İlk n tek tamsayının toplamı n2'dir. . Bir tetrahedron üzerinde canlandırılmış 3D görselleştirme.

Kare sayıları hesaplamak için çeşitli özyinelemeli yöntemler vardır. Örneğin,  kare sayı, bir önceki kareden  ile hesaplanabilir. 

Alternatif olarak,  kare sayı, önceki iki kareden aşağıdaki formül ile hesaplanabilir: 

. 

Örneğin:

.

Bir  sayısının karesinin bir eksiği her zaman  ve  çarpımıdır: 

Örneğin: 

 olduğundan  elde edilir. 

Yanı sıra, iki sayının karelerinin farkı, toplamları ile farklarının çarpımıdır: 

Bu, iki karenin farkı formülüdür ve zihinden hesaplamada yararlı olabilir: örneğin, ,  olarak kolayca hesaplanabilir.

Ayrıca, bir kare sayı ardışık iki üçgensel sayının toplamıdır. Ardışık iki kare sayının toplamı bir merkezil kare sayıdır. Her tek kare aynı zamanda bir merkezil sekizgensel sayıdır.

Bir kare sayının bir başka özelliği, (0 hariç) pozitif bölen sayısının tek olmasıdır; diğer doğal sayıların pozitif bölen sayısı ise çifttir. Tamsayı bir kök, kare sayıyı vermek üzere kendisiyle eşleşen tek bölen olurken, diğer bölenler çiftler hâlinde gelir.

Lagrange'ın dört-kare teoremi, her pozitif tamsayının dört ya da daha az tam kare toplamı olarak yazılabileceğini söyler. Bir pozitif tamsayı, asal çarpanlara ayrıştırılması  biçimindeki asalların tek kuvvetlerini içermiyorsa ve ancak o zaman iki karenin toplamı olarak temsil edilebilir. Bu, Waring Problemi ile genelleştirilir.

10 tabanında, bir kare sayı yalnızca 0, 1, 4, 5, 6 veya 9 rakamlarıyla bitebilir; şöyle ki:

 bir sayının son rakamı 0 ise, karesi 00 ile biter;
 bir sayının son rakamı 1 veya 9 ise, karesi 1'in önünde bir çift rakamla biter;
 bir sayının son rakamı 2 veya 8 ise, karesi 4'ün önünde bir çift rakamla biter;
 bir sayının son rakamı 3 veya 7 ise, karesi 9'un önünde bir çift rakamla biter;
 bir sayının son rakamı 4 veya 6 ise, karesi 6'nın önünde bir tek rakamla biter; ve
 bir sayının son rakamı 5 ise, karesi 25 ile biter.

12 tabanında, bir kare sayı yalnızca kare rakamlarla bitebilir (12 tabanında bir asal sayının yalnızca asal rakamlarla veya 1 ile bitebilmesine benzer şekilde), yani 0, 1, 4 veya 9 ile; şöyle ki:

 bir sayı hem 2'ye hem 3'e bölünebiliyorsa (yani 6'ya bölünebiliyorsa), karesi 0 ile biter ve bir önceki rakamı 0 veya 3 olmak zorundadır;
 bir sayı ne 2'ye ne 3'e bölünebiliyorsa, karesi 1 ile biter ve bir önceki rakamı çift olmak zorundadır;
 bir sayı 2'ye bölünüp 3'e bölünmüyorsa, karesi 4 ile biter ve bir önceki rakamı 0, 1, 4, 5, 8 veya 9 olmak zorundadır; ve
 bir sayı 2'ye bölünmeyip 3'e bölünüyorsa, karesi 9 ile biter ve bir önceki rakamı 0 veya 6 olmak zorundadır.

Genel olarak, bir asal , bir kare sayı  'i bölüyorsa, 'nin karesi de 'yi bölmek zorundadır; , 'yi bölmüyorsa,  kesinlikle kare değildir. Önceki cümledeki bölmeleri tekrarlayarak, her asalın verilen bir tam kareyi (muhtemelen 0 kez dâhil) çift sayıda böldüğü sonucuna varılır. Dolayısıyla,  sayısı ancak ve ancak kanonik gösteriminde tüm üsler çift ise bir kare sayıdır.

Karelik testi, büyük sayıların çarpanlara ayrılmasında alternatif bir yol olarak kullanılabilir: verilen  ve herhangi bir sayı  için,  bir tamsayı 'nin karesi ise, , 'yi böler. (Bu, iki karenin farkının çarpanlara ayrılmasının bir uygulamasıdır.) Örneğin, , 3'ün karesidir; dolayısıyla , 9991'i böler. Bu test,  ile  aralığındaki tek bölenler için deterministiktir; burada , bazı doğal sayı aralığını kapsar 

Bir kare sayı bir mükemmel sayı olamaz.

küçükresim|n basamaklı 6 kare piramit, boyutları n(n + 1)(2n + 1) olan bir dikdörtgenler prizmasına sığar.

İlk n kare sayının toplamı aşağıdaki gibi ifade edilir:

Bu toplamların ilk değerleri olan kare piramidal sayılar şunlardır: 

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

küçükresim|100px|Tek sayıların toplamı teoremi için sözcüksüz ispat.

Bir ile başlayarak ilk tek tamsayıların toplamı bir tam karedir: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, vb. Bu, Galileo'nun tek sayılar yasasını açıklar: durgunluktan düşen bir cisim, ilk keyfî zaman aralığında bir birim mesafe kat ediyorsa, aynı uzunluktaki sonraki zaman aralıklarında 3, 5, 7, vb. birim mesafe kat eder. 'den,  ve sabit  için (hava direnci olmaksızın yerçekimi ivmesi); dolayısıyla ,  ile orantılıdır ve başlangıç noktasından uzaklıklar, geçen zamanın tamsayı değerleri için ardışık karelerdir.

İlk n küpün toplamı, ilk n pozitif tamsayının toplamının karesidir; bu Nikomakhos teoremidir.

Tüm dördüncü kuvvetler, altıncı kuvvetler, sekizinci kuvvetler vb. tam karedir.

Üçgensel sayılarla benzersiz bir ilişki  için şöyledir:

Tek ve çift kare sayılar 

küçükresim|upright|Tüm merkezli sekizgensel sayıların tek kare olduğuna dair sözcüksüz ispat.

Çift sayıların karesi (2n)2 = 4n2' kuralı ile bulunabilir, çünkü çift sayıların kareleri çifttir ve 4'e bölünür.

Tek sayıların karesi ise (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1' kuralı ile bulunabilir.Çift sayıların kareleri çift, tek sayıların kareleri tek olacak şekilde devam eder.Her tek tam kare bir merkezli sekizgensel sayıdır. Herhangi iki tek tam kare arasındaki fark 8'in katıdır. 1 ile daha büyük herhangi bir tek tam kare arasındaki fark her zaman bir üçgensel sayının sekiz katıdır; 9 ile daha büyük herhangi bir tek tam kare arasındaki fark ise bir üçgensel sayının sekiz katından sekiz eksiktir. Tüm üçgensel sayılar tek bir çarpana sahipken, 'in hiçbir iki değeri tek bir çarpan içeren bir miktar kadar farklı olmadığından,  biçimindeki tek tam kare 1'dir ve  biçimindeki tek tam kare 9'dur.

 Özel durumlar 

 Eğer sayı m5 şeklindeyse bu sayının karesinde n25 olur. Burada n = m × (m + 1) kuralı vardır. Örneğin; 65'in karesi n = 6 × (6 + 1) = 42 ve 5'in karesi 25 olduğundan 4225 olur. 
 Eğer sayı m0 şeklindeyse bu sayının karesi n00 olur. Burada n = m2 kuralı vardır. Örneğin; 70'in karesi 4900'dür.
 Eğer sayı iki rakamlıysa ve 5m şeklindeyse (m sayının birler basamağı olmak koşuluyla, karesi AABBdir. Burada AA = 25 + m ve BB = m2 kuralı vardır. Örneğin: 57'nin karesini hesaplamak için önce 25 + 7 = 32 ve 72 = 49 hesaplanır, buradan da 572 = 3249 bulunur.
 Sayı 5 ile bitiyorsa, karesi de 5 ile biter; benzer biçimde 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625 vb. ile bitiyorsa da böyledir. Sayı 6 ile bitiyorsa, karesi de 6 ile biter; benzer biçimde 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376 ile bitiyorsa da böyledir. Örneğin, 55376'nın karesi 3066501376'dır; her ikisi de 376 ile biter. (5, 6, 25, 76 vb. sayılara otomorfik sayı denir. Bunlar OEIS'te A003226 dizisidir.)
 10 tabanında, kare sayıların son iki basamağı, 25'in katları etrafında aynalı simetri gösteren tekrarlayan bir örüntü izler. 25'ten 1 eksik ve 1 fazla olan 24 ve 26 örneğinde,  ve , her ikisi de 76 ile biter. Genel olarak, . Benzer bir örüntü 250'nin katları etrafında son 3 basamak için de geçerlidir ve bu böyle devam eder. Sonuç olarak, olası 100 son 2 basamaktan yalnızca 22 tanesi kare sayılar arasında görülür (00 ve 25 tekrarlandığından).

Notlar

 İlave kaynaklar 
 Conway, J. H. ve Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, ss. 30–32, 1996. 
 Kiran Parulekar. Amazing Properties of Squares and Their Calculations''. Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC

Kategori:Temel aritmetik
Kategori:Tamsayı dizileri