Büyük sayılar

Büyük sayılar, gündelik yaşamda normalde kullanılmayan büyük sayıları ifade eder. Terim genellikle büyük pozitif tam sayıları veya daha genel anlamda büyük pozitif reel sayıları belirtir. Fakat, diğer anlamlar için de kullanılabilir.

Çok büyük sayılar matematik, kozmoloji, kriptografi ve istatistiki mekanik gibi alanlarda kullanılır. Bazı insanlar sayıları "astronomik olarak büyük" şeklinde söyler. Yine de gökbiliminde kullanılan çok büyük sayıları bile matematiksel olarak tanımlamak kolaydır.

 Büyük ve küçük sayıları ifade etmek için bilimsel gösterimi kullanma 

Bilimsel gösterim, bilimsel çalışmalarda karşılaşılan birçok değeri ifade etmek için oluşturuldu. Örneğin 1,0 × 109, bir milyar demektir. 1 rakamından sonra 9 tane sıfır kullanılır ve 1 000 000 000 şeklinde yazılır. Benzer şekilde 1,0 × 10−9, milyarda bir demektir ve 0,000 000 001 şeklinde yazılır. Dokuz tane sıfır yerine 109 yazma, hem okuyucular fazla zahmet çekmemiş olur hem de çok fazla sıfırın bulunduğu uzun serilerdeki sayıların karıştırılma ihtimali azalmış olur.

 Büyük sayılar her an yanımızda 

Her gün gerçek dünyada kullandığımız bazı nesnelerin büyük sayı ile ilişkili örnekleri:
 500-1000 GB'lık bilgisayar sabit diskinin bit sayısı (normal olarak yaklaşık 1013)
 insan vücudundaki hücrelerin sayısı (1014'den fazla)
 insan beynindeki nöronların sayısı (tahmini 1014)
 Avogadro sayısı, bir moldeki "öz varlıklar"ın (genellikle atom veya molekül) sayısı. 12 gram Karbon-12'deki atom sayısı; (yaklaşık olarak 6,022 × 1023 bölü mol)

 Astronomik olarak büyük sayılar 
Uzunluk ve zaman bakımından nitelendirilen diğer büyük sayılar, astronomi ve kozmoloji'de bulundu. Örneğin, Büyük Patlamadan bu yana kainatın 13,7 milyar (4,3 × 1017 saniye) yaşında olduğu öne sürülüyor. Gözlemlenebilir evren 93 milyar ışık yılı, (8,8 × 1026 metre) genişliğindedir ve yaklaşık 125 milyar (1,25 × 1011) galaksi içindeki 5 × 1022 yıldızdan oluşur. Bunlar Hubble Uzay Teleskobu gözlemine göredir. Gözlemlenebilir evrende kabaca 1080 temel parçacık vardır.

Kanada'daki Alberta Üniversitesi fizikçilerinden Don Page'e göre, bir fizikçi tarafından açıkça hesaplanan en uzun zaman, 10101010101.1 yıldır.

Kombinatorik işlemler de hızlıca büyük sayılara doğru gider. Karışık düzendeki nesnelerin permütasyonlarının sayısını açıklayan faktöriyel fonksiyonu, nesne sayısına göre çok hızlı bir şekilde artar. Stirling yaklaşımı, bu şekilde büyümeyi asimtotiktik şekilde ifade ederek bir ipucu verir.

Kombinasyonel işlemler, istatistiki mekanikte çok büyük sayıları üretir. Bu sayıların çok büyük olmalarından dolayı, normalde sadece kendi logaritmalarında kullanılırlar.

Gödel sayıları ve benzer sayılar, algoritmik bilgi teorisinde bit betiklerini ifade etmek için kullanılır.

 Bilgisayarlar ve hesapsal karışıklık 
Moore Yasası, genel olarak bir mikroişlemcinin her bir inçkaresindeki transistör sayısının her 18 ayda iki katına çıkacağı tahminine dayanır. Bu, insanlara, bilgisayarların herhangi bir matematik problemini, ne derece karmaşık olursa olsun, çözebileceği fikrini oluşturdu (Turing Testine bakınız).

1980 ile 2000 yılları arasında sabit disk hacimleri  10 megabayttan (1 × 107 bayt) 100 gigabayt (1011 bayt) üzerine çıktı. 100 gigabaytlık bir disk, tüm dünyadaki 6 milyar insanın isimlerini, herhangi bir sıkıştırma programı kullanmaksızın, depolama kapasitesine sahiptir. Fakat 40 karakter uzunluğundaki olası tüm şifrelerin depolanması konusu oldukça zorludur. Her bir karakterin bir bayta eşit olduğunu düşünürsek, yaklaşık olarak 2320 tane şifre üretilir. Bu da yaklaşık 2 × 1096 eder. Evrenin hesaplama kapasitesi, adlı yazısında Seth Lloyd, eğer evrendeki her bir zerre, büyük bir bilgisayarın parçasıymış gibi kullanılabilseydi, sadece yaklaşık 1090 bit depolayabilirdi ki, bu da gerekli sözlük boyutunun milyonda birinden daha azdır. Bununla beraber sabit diske bilgi depolama ile onları hesaplama çok farklı işlevlerdir. Bir yandan şu an için depolamanın sınırları olsa bile, fakat hesaplama hızı ise farklı bir konudur.

 Örnekler 
Ayrıca aşağıdaki; Sayılara, sıralı örnekler bölümüne bakınız

  (10.000.000.000), "10 milyar"dır (veya uzun ölçeklerde bazen 10.000 milyon olarak da adlandırılır).
 googol = 10100=(10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000)
 sentilyon = 10303 veya 10600, sayı adlandırma sistemine bağlı olarak
 googolplex = 10googol=1010100
 Skewes sayıları: İlki yaklaşık olarak , ikincisi 

Dünyada basılan toplam materyallar kabaca 1,6 × 1018 bittir. Bu sayı şöyle ifade edilebilir 

Karşılaştırma:


Birinci sayı, ikincisinden çok daha büyüktür. Çünkü birinci sayının üs kulesi (3 tane kule), her ne kadar tabanı 1,1 gibi çok küçük bir sayı olsa bile, daha fazladır.

 Sistematik olarak daha hızlı artış sırası oluşturma 
 (n≥1) tam sayı dizisini, fonksiyon bileşimlerine uygun olacak şekilde bir fonksiyon gibi yazarak  ile arttıralım. Sonraki dizilerden biri  ile bulunabilir. Burada  "çapraz dizi" seçebiliriz" 10'un yerine başka bir sayı da kullanılabilir. O 1'den daha büyük olmalıdır ve eğer  ise, artış dizisi elde etmek için o 2'den daha büyük olmalıdır.

Bu, verilen bir sayıdaki yeni dizilimi oluşturma işlemidir. Bu tekrarlanabilir (örn, özyinelemeye uygulayabiliriz) ve tekrar sayı matristeki tek bir diziyi, her birinin 10. elemanını alarak seçebiliriz. Tüm bu işlem aynı şekilde tekrar ve tekrar uygulayabiliriz.

 işlemi bir 10 elemanını n değişkeninden önceki seriye eklemeye denk gelir. Buradaki n serinin sonundadır. Şunu elde ederiz;  ve matristen seçilen yeni dizi k. eleman olan  dir.

Bu işlemi tekrarlayarak şunu elde ederiz;  n nin ardışık değerleri için ve k=10 seçerek tek bir dizi elde ederiz, şöyle ki: .

Bunu tüm işleme uygularsak daha fazla seri elde ederiz. n=10 seçersek (10→10), (10→10→10), (10→10→10→10),... dizilerini elde ederiz. Bu, işlemleri serinin başından itibaren tekrar ve tekrar ederek kullanılabilir. Hatta  değeri, bu seri için zaten 10 milyar artı bir uzunluğunda bir Conway dizisi olsa bile.

Tüm bu işlemdeki her bir seri, kendi sıralama türü tarafından şu şekilde tanımlanabilir: 
 (10→n→k), n üslü, k - 1 sıralama türüne sahip seri
 (10→10→n→k), n üslü ω + k - 1 sıralama türüne sahip seri
 (10→10→10→n→k), n üslü 2ω + k - 1 sıralama türüne sahip seri
 (10→10), (10→10→10), (10→10→10→10),... ω² sıralama türüne sahip dizi

n = 1 hariç  sağlanır. a < b için, daima  sağlanmayabilir. Örneğin:
 n = 1, 3, 4, 5, 6,.. için  sağlanırken, n = 2 için sadece "=" (eşitlik) vardır..
 n = 1, 4, 5, 6,.. için  iken n = 2 ve 3 için ">" vardır.

Yukarıdaki açıklama, hızlı artma yineleme hiyerarşileri ailesini de benzer şekilde tanımlar.

 Çok büyük sayıların yazım sistemini standartlaştırma 

Çok büyük sayıların yazımı için standart yol, artış sırasına göre onları kolayca sıralamayı sağlar ve bir sayının diğerinden ne kadar büyük olduğu fikrini verebilir.

Bilimsel gösterimde sayıları karşılaştıralım. Örneklerimiz 5×104 ve 2×105 olsun. önce üsleri karşılaştırın. Burada 5 > 4'tür. Bu yüzden 2×105 > 5×104 olur. Eğer üsler eşitse mantis (veya katsayı) karşılaştırılır. 5 > 2 olduğundan dolayı 5×104 > 2×104

10 tabanlı tetrasyon,  serisini verir. 10 sayılarının üs kulesi (tetrasyonu), ,  fonksiyonunun (ayrıca fonksiyon googolplex'de "-plex" öneki ile kısaltılır. Googol ailesine bakınız) bir fonksiyon bileşimini verir.

Bunlar, her ifadenin bir büyüklük sırasına göre genelleştirildiği çok yuvarlak sayılardır. Bir sayının ne kadar büyük olduğunu belirlemenin basit yolu, bu serideki iki sayının ortasındakini belirlemektir.

Daha fazla doğruluk için aradaki sayılar  formunda ifade edilebilir. Örn, 10s'li bir üs kulesi (tetrasyon) ve onun üstündeki bir sayının bilimsel gösterim şöyledir:  sayısı,  ile  arasında bir sayıdır (eğer  ise  olduğuna dikkat edin). (Tetrasyonu gerçek yüksekliklere genişletmeye bakınız.)

Googolplex sayısı: 

Başka bir örnek:
 ( ile  arasında)

Bir sayının "büyüklük sırası", çarpım adedi olan n tarafından belirlenebilir. 1 ile 10 arasındaki bir sayısı belirlemek için  kullanılmalıdır. Sayı  ile  arasındadır.

 olduğuna dikkat edin.
Örn,  ifadesindeki x sayısı eğer çok büyükse, bir tane daha üs kule yapabilir ve x yerine log10x koyulur veya alt kuleden tüm sayının log10 ifadesindeki x bulunur. Eğer üs kule (tetrasyon) 10'dan farklı, bir veya daha fazla sayı içerirse, farklı sonuca sahip iki yaklaşım meydana gelir. Alttaki bir tane 10 ile genişleyen kulenin yerine geçen, üstteki 10 ile genişleyen ile aynı değildir (fakat elbetteki tüm üs kule, 10'dan farklı ve aynı adette sayı içerirse, benzer düşünce uygulanır).

Eğer kulenin yüksekliği büyükse, büyük sayılar için, bunu yerine çeşitli ifadeler uygulanabilir. Eğer yükseklik yaklaşık olarak verilirse, üsttekine bir değer verme mantıklı değildir. Bu yüzden, çift ok gösterimi kullanabiliriz. Örn, . Eğer çift oktan sonraki değerin kendisi çok büyük bir sayı ise, yukarıdaki işlemler bu değere tekrarlanarak uygulanabilir.

Örnekler:
 sayısı ( ile  arasındadır)
 sayısı ( ile  arasındadır)

Yukarıdakine benzer şekilde, eğer 'un üssü tam olarak belli değilse, sağa bir değer vermek mantıklı değildir ve  üs gösterimini kullanma yerine, 'un üssüne 1 ekleyebiliriz. Böylece örn,  elde ederiz.

Eğer 'un üssü büyükse, bu üsse çeşitli ifadeler uygulanabilir. Eğer üs tam olarak belli değilse, aynı şekilde  üs gösterimini kullanma yerine üç ok operatörünü kullanılır. Örn,  olur.

Eğer üç oklu operatörün (işlecin) sağdaki argüman büyükse, yukarıdaki işlemler tekrar edilir. Örn,  sayısı ( ile  arasındadır). Bu işlem tekrarlanabilir. Böylece, üç oklu işlecin gücüne sahip olabiliriz.

Operatörleri (işleçleri) daha fazla oklarla devam ettirebilir ve şöyle yazabiliriz: .

Bu gösterimi, hiperişlem ve Conway dizisi ok gösterimi ile karşılaştıralım:
 = ( a → b → n ) = hiper(a, n + 2, b)
İlkinin avantajı, eğer b bir fonksiyon ise, bu fonksiyonun üsleri için doğal bir gösterim vardır (sadece n tane ok yazıldığında): . Örneğin:

 = ( 10 → ( 10 → ( 10 → b → 2 ) → 2 ) → 2 )
ve sadece özel durumlarda uzun iç içe girmiş dizi gösterimi kısaltılır. b = 1 için:
 = ( 10 → 3 → 3 ) elde edilir.

b çok büyük sayı olduğunda genellikle,  şeklinde üslü bir seri nnin değeri azaltılarak yazılır ( tam sayı üsleridir). Sondaki bir sayı gösterimi belirtir.  gibi bir sayı çok büyük olduğunda,  değeri 1 azaltılır ve 'in sağındaki her şey tekrar yazılır.

Sayıları yaklaşık olarak ifade etmek için, n nin değer azalış sıralarındaki sapmalara gerek yoktur. Örneğin,  ve . Beklenenin aksine elde edilen  x sayısı çok büyüktür. x ve 10x "hemen hemen eşittir" (büyük sayıların aritmetiği için).

Artan okun üstindisi büyükse, bunun için özel ifadeler uygulanabilir. Eğer bu üstindis tam olarak belli değilse, işleci belli bir üsse yükseltmek veya netür bir değer olduğunu ayarlamak için hiçbir nokta yoktur. Basitçe sağda standart bir değer kullanabiliriz. 10'u   gibi yaklaşık n ile azaltırız. Daha fazla sayı kullanmanın avantajı için yukarı ok gösterimi artık uygulanmaz ve dizi gösterimini kullanabiliriz

Yukarıdaki işlem bu n için tekrar ve tekrar uygulanabilir. Böylece ilk okun üstindisinde  şeklinde bir gösterim elde edilir. Yoksa iç içe dizi gösterimi olmuş olacak. Örneğin:

(10 → 10 → (10 → 10 → ) ) = 

Eğer derece, elverişlilik için çok büyük ise, bu derece sayısını yazıldığı yere sayısal bir gösterim kullanılır (birçok ok yazmak yerine ok üstindisi kullanma gibi).  = (10 → 10 → n), gibi bir fonksiyonu arttırarak bu derecelerin fnin fonksiyonel kuvveti olması sağlanır.  formunda bir sayı yazmamıza olanak verir. Burada m kesin ifade ve n ise ister kesin olsun ister olmasın tam sayıdır (örneğin: ). Eğer n büyükse, onu kısaltmak için yukarıdakilerden birini kullanabiliriz. Bu sayıların en "uygunu" fm(1) = (10→10→m→2) formundakilerdir. Örneğin, 

Graham sayısı ile karşılaştırma: 10 yerine 3 sayısını kullanır ve 64 ok derecesine sahiptir. En üstte 4 sayısı vardır. Burada 'dir. Ayrıca 'dir.

Eğer 'deki m bilinemeyecek kadar çok büyükse, (örn, n = 1 ve yukarı doğru tekrar mye kadar giderse) sabit n kullanabiliriz. Örn, yukarı okların derece sayısı, üstindisli yukarı ok gösteriminde kendini ifade eder. f nin fonksiyonel üs gösterimini kullanma, fnin çarpım derecesini verir.  gibi bir fonksiyonu arttırma, bu derecelerin g gibi bir fonksiyonun derecesi olmasını sağlar ve  şeklinde yazılır. Buradaki m tam bilinen ve n de ister tam bilinsin ister bilinmesin bir tam sayıdır. (10→10→m→3) = gm(1). Eğer n büyükse, onu kısaltmak için yukarıdakilerden herhangi birini kullanabiliriz. Benzer şekilde örn, h gibi bir fonksiyonu da arttırabiliriz. Eğer daha çok fonksiyona ihtiyaç duyulursa her seferinde yeni bir harf kullanmak yerine sayı kullanabiliriz. Örn, bir üstindis gibi. Böylece  formunda sayılar elde ederiz. Burada k ve m bilinen ifade ve n ister bilinsin ister bilinmesin bir tam sayıdır. Yukarıdaki f için k=1, g için k=2 kullanarak (10→10→n→k) =  elde edilir. Eğer n büyükse  şeklinde, k nın içe doğru azaldığı iç içe formlar elde edilir. 'nin üs serisinin içindeki argüman, n nin değerleriyle azalır.

k belirlenemeyecek kadar çok büyükse, ilgili sayı =(10→10→10→n) olarak, yaklaşık bir n ile kısaltılır. =(10→n) serisinden =(10→10→n) serisine giden işlemin, sonraki =(10→10→10→n) dizisine çok benzer şekilde gittiğine dikkat edin. Bir 10 elemanını dizi gösteriminde diziye eklemek genel bir işlemdir. Bu işlem tekrarlanabilir (önceki bölüme de bakınız). Bu fonksiyonun sonraki sürümlerini numaralandırmak için  fonksiyonu kullanılarak bir sayı belirlenebilir.

Çok büyük bir sayıyı Conway dizisi ok gösterimine yazmak için, bu dizi uzunluğu için sayının ne kadar büyük olduğunu açıklanmalıdır. Örneğin sadece dizideki 10 elemanını kullanma, başka bir ifadeyle onun 10, 10→10, 10→10→10, .. serisindeki konumunu belirleme. Hatta serideki konumu bile büyük bir sayı ise, bunun için aynı teknikleri uygulayabiliriz.

 Sayılara, sıralı örnekler 
 (1 → Y) = 1 (Her Y alt dizisi için)
 (2 → 2 → Y) = 4 (Her Y alt dizisi için)
  = (2 → 3 → 2) = 16
  = (3 → 2 → 2) = 27
 44 = (4 → 2 → 2) = 256
 55 = (5 → 2 → 2) = 3125
 66 = (6 → 2 → 2) = 46.656
  = (2 → 3 → 3) = (2 → 4 → 2) = 65.536
 77 = (7 → 2 → 2) = 823.543
 88 = (8 → 2 → 2) = 16.777.216
 99 = (9 → 2 → 2) = 387.420.489
 1010 = (10 → 2 → 2) = 10.000.000.000
  = (3 → 3 → 2) = (3 → 2 → 3) = 7.625.597.484.987 
 googol = 
  = (4 → 3 → 2) = 
 Gözlemlenebilir evrenin Planck uzunluğuna göre yaklaşık değeri  = 
 (2 → 5 → 2) = 
 , 47nci ve Nisan 2010 itibarıyla bilinen en büyük Mersenne asalı (sayısı).
  = (10 → 3 → 2)
  = (3 → 4 → 2) = 
 googolplex = 
 (2 → 6 → 2) = 
  = (10 → 4 → 2)
 (2 → 7 → 2) = 
  = (10 → 5 → 2)
  = (10 → 6 → 2)
  = (10 → 7 → 2)
  = (10 → 8 → 2)
  = (10 → 9 → 2)

  = (10 → 2 → 3) = (10 → 10 → 2)
 (2 → 3 → 4) = (2 → 4 → 3) = (2 → 65.536 → 2) 


  = (10 → 3 → 3)


  = (10 → 4 → 3)

  = (10 → 5 → 3)
  = (10 → 6 → 3)
  = (10 → 7 → 3)
  = (10 → 8 → 3) 
  = (10 → 9 → 3)
  = (10 → 2 → 4) = (10 → 10 → 3)
  = (10 → 3 → 4)
  = (4 → 4 → 4) 
  = (10 → 4 → 4)
  = (10 → 5 → 4)
  = (10 → 6 → 4)
  = (10 → 7 → 4)
  = (10 → 8 → 4)
  = (10 → 9 → 4)
  = (10 → 2 → 5) = (10 → 10 → 4)
 (2 → 3 → 2 → 2) = (2 → 3 → 8)
 (3 → 2 → 2 → 2) = (3 → 2 → 9) = (3 → 3 → 8)
 (10 → 10 → 10) = (10 → 2 → 11)
 (10 → 2 → 2 → 2) = (10 → 2 → 100)
 (10 → 10 → 2 → 2) = (10 → 2 → ) = 
 (10 → 10 → )
 (10 → 10 → 3 → 2) = (10 → 10 → (10 → 10 → )) = 
 (10 → 10 → 10 → 2)
 (10 → 10 → 64 → 2)
 Graham sayısıÖnceki değerle karşılaştırma ile ilgili: . Böylece 4 yerine 1, 10 yerine 3 sayılarını koyarak 64 adım başlama, dengeyi daha fazla sağlanmış olur
 (10 → 10 → 65 → 2)
 (10 → 10 → 10 → 3)
 (10 → 10 → 10 → 4)

 Temel değerleri karşılaştırma 
Aşağıdaki anlatımlar 10'dan başka 100 tabanlı değerleri açıklıyor.

, 10 tabanının üssü ikiye katlandı.

, yukarıdaki gibi.

, en yüksekteki üs, ikiye katlanmaktan çok az fazladır.




  (Burada eğer n büyükse, rahatça  "yaklaşık olarak eşittir" ) diyebiliriz.


  (karşılaştırın ; Burada eğer n büyükse,  "yaklaşık olarak eşittir" ) diyebiliriz
  (karşılaştırın )
  (compare )
  (compare ; eğer n büyükse bu "yaklaşık olarak" eşittir)

 Doğruluk 

 sayısı için n deki bir birimlik değişmenin sonucu 10 faktör olarak değiştireceğine dikkat edin.  gibi bir sayıda, 6,2'de belirli şekilleri kullanarak tam yuvarlama, üssün doğruluk değerini 50 daha az veya 50 daha çok yapabilir. Benzer şekilde  faktörü çok büyük ya da çok küçük olabilir.

 Çok büyük sayılarda doğruluk 

Aşırı büyük sayılarda göreceli hata da büyük olabilirken dikkate almak istediğimiz sayıların "büyüklüğüne yakın" bir hassasiyeti olabilir. Örneğin,

 ile 'u göz önüne alalım.

Göreceli hata,

'dır

Bu büyük bir hatadır. Yine de göreceli hatayı logaritmada göz önünde bulundurabiliriz. Bu sebeple 10 tabanındaki logaritmalar 10 ve 9'dur. Böylece logaritmadaki göreceli hata sadece %10 olur.

Eğer a ve b küçük göreceli bir hataya sahipse üstel fonksiyonların göreceli hataları oldukça büyüktür,

 ile 'nin

göreceli hataları büyüktür ve

 ile  de

daha büyük göreceli hataya sahip olacaktır. Sonraki soru şöyle olacaktır: hangi seviyedeki yinelenen logaritmada iki sayıyı karşılaştırabiliriz? Göz önünde bulunduracağımız bir hassasiyet vardır

 ile 

"yakın büüklükte" olur. Bu iki sayı arasındaki göreceli hata büyüktür ve onların logaritmaları arasındaki göreceli hata yine büyüktür. Bununla beraber bunların ikinci yineleme logaritmalarındaki hata küçüktür:

 ile 

Örneğin, analitik sayı teoreminde yineleme logaritmalarını karşılaştırma bunun gibidir.

 Çok büyük sayıların yaklaşık aritmetiği 

Çok büyük sayılarında uygulanan olağan aritmetik işlemlere ait birkaç genel kural vardır:

 İki çok büyük sayıyı toplama ve çarpmanın her ikisinin sonucu da "yaklaşık olarak" sayılardan birine eşittir.

Buradan:
 Çok büyük kuvvete yükselen büyük bir sayı "yaklaşık olarak" aşağıdaki iki değerden birine eşittir: İlk değer ve 10, ikincinin kuvvetine. Örneğin, çok büyük n için  (megayı hesaplamaya bakınız) ve  olur. Burada , Knuth tablolarına bakınız.

 Bazı hesaplanamayan serilerdeki büyük sayılar 

Meşgul kunduz fonksiyonu Σ, herhangi bir hesaplanabilen fonksiyondan daha hızlı büyüyen bir fonksiyondur. Göreceli girdi değeri küçük olsa bile kendisi kocamandır. n = 1, 2, 3, 4 için Σ(n) fonksiyonu 1, 4, 6, 13'dür. Σ(5) bilinmiyor, fakat ≥ 4098 olarak tanımlanıyor. Σ(6), en az 4,6×101439'dur.

Harvey Friedman da, herhangi hesaplanabilir fonksiyonlardan daha hızlı büyüyen serilerle ilgili birkaç çalışma yapmıştır.

 Sonsuz sayılar 

Her ne kadar yukarıdaki tüm sayılar çok büyük olsa bile, yine de tümü sınırlıdır. Matematiğin belirli alanları sonsuz ve sonluötesi sayıları tanımlar. Örneğin elif sayısı, doğal sayıların sonsuz serisinin nicelliğidir ve elif-bir sonraki en büyük nicel sayıdır. , gerçellerin nicelliğidir.  önermesi süreklilik hipotezi olarak bilinir.

 Gösterimler 
Aşırı büyük sayıların bazı gösterimleri:
 Knuth yukarı ok gösterimi / hiperişlemler / tetrasyon içeren Ackermann işlevi
 Conway dizisi ok gösterimi
 Steinhaus-Moser gösterimi; büyük sayıların yapı yöntemi bir yana bu, çokgenli grafiksel gösterimi de içerir. Geleneksel fonksiyon gösterimleri gibi alternatif gösterimler de aynı fonksiyonlarla kullanılabilirler.

Bu gösterimler aslında, tam sayılarla hızlı bir şekilde artar tam sayı değişkenlerinin fonksiyonlarıdır. Fonksiyonlardaki hızlı artma bile, tekrarlı bir şekilde, bu fonksiyonları argüman olarak büyük tam sayılarla uygulayarak kolayca elde edilebilir.

 Ayrıca bakınız 
 Üstel büyüme
 Hızlı artma yineleme hiyerarşisi
 Graham sayısı
 Büyük sayıların tarihi
 İnsan ölçeği
 Büyük sayılar yasası
 Büyük sayıların adları
 Rakam
 Kızak kuralı
 Küçük sayı
 Tetrasyon

 Alıntılar 

Kategori:Matematiksel gösterim
*