Determinant

Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır.

Bir A matrisin determinant'ı det(A) ya da det A şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matrix elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir. Örneğin:

  matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir: .

Basit bir örnek olarak,

matrisinin determinantı şudur:

 Determinantın açık tanımı 
Determinantın açık tanımı bir A matrisinin kofaktörü C ya da minörü M cinsinden gösterilebilir:

.

 Determinant ve geometri 

Yukarıda belirtilen 2x2 A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a + c, b + d) ve (c,d) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir.

Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir.

 Determinantın temel özellikleri 

 Birim matrisin determinantı birdir:

 Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir:

.

 det(A) sıfırdan farklı ise, A matrisinin tersi A−1 tanımlıdır. Bu durumda:

.

 A ve B benzer matrisler olsun:  ve dönüşüm matrisi X in tersi  tanımlı olsun. Bu durumda:

.

 Bir matrisin transpozunun determinantı kendi determinantına eşittir:

.

 Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı:

.
 Kalıp Matrisler (Blok matrisler) 
Boyutları n×n, n×m, m×n ve m×m olan A, B, C ve D matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak n+m × n+m boyutunda büyük bir kare matris M oluşturalım. M'yi oluşturan A, B, C ya da D kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, M'nin determinantı kolayca hesaplanabilir:

Bu sonuç M matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda

denkliği yazılabilir ve buradan determinant

şeklinde hesaplanır. B ya da Cnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etmiş oluruz.

Ayrıca,

C ve D'''nin değişme özelliği var ise, yani CD = DC ise, .A ve Cnin değişme özelliği var ise, yani AC = CA ise, .

B ve D'''nin değişme özelliği var ise, yani BD = DB ise, .A ve Bnin değişme özelliği var ise, yani AB = BA ise, .