Bergman uzayı

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Bergman uzayı kompleks koordinat uzayının bir D bölgesinde tanımlı holomorf fonksiyonlardan oluşan bir fonksiyon uzayıdır. Uzay, Stefan Bergman'ın adını taşımaktadır. 
Daha matematiksel bir ifadeyle, Bergman uzayı olan ,  üzerinde tanımlı ve p-normu sonlu olan holomorf fonksiyonlardan oluşmaktadır.

 Gösterim hakkında 
Bergman uzaylarının gösterimi hakkında bir uzlaşım yoktur. Karmaşık düzlemdeki analitik fonksiyonlar çalışıldığında  ya da  gösterimi yaygındır; buradaki,  ya da  harfi fonksiyonun analitik (holomorf fonksiyonların analitikliği maddesine bakınız) olduğunu simgelemek için eklenmiştir. Alt ve üst indekslerin başka özellikler için kullanılması gerektiği durumlarda, kullanımının zorluk çıkarmayacağı düşünülerek  veya  de kullanılmaktadır. Yine,  kullanımına paralel olarak  kullanımı da vardır ve  harfi fonksiyonun holomorf olduğunu simgeler.

 Tanımı 
 açık küme,  ise  üzerindeki Öklid hacim formu olsun.  üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonlar uzayı  ile gösterilsin.  için,  ise Lebesgue uzayı olsun. Bu gösterimler altında,

şeklinde tanımlanan ve  uzayının normunu alan uzaya  üzerinde tanımlı Bergman uzayı denir. Diğer deyişle,  fonksiyonunun Bergman uzayında olması için, 
  inin holomorf olması
 Aşağıdaki gibi tanımlı 'de olma koşulunu sağlaması gerekir:

 olmadığı durumlarda, bazen bu duruma vurgu yapmak için p-Bergman uzayı ifadesi de kullanılır.

 Özellikler 
 Yukarıda verilen  tanımı ancak  ise gerçek bir normdur.
 ise, Bergman uzayları Banach uzayıdır. Bu sonuç,  'nin tıkız bir   altkümesi üzerindeki şu kestirimin bir sonucu olarak elde edilebilir:

Bu yüzden, 'deki holomorf fonksiyonlar dizisinin yakınsaklığı ayrıca bu dizinin tıkız yakınsak olduğunu verir. Böylece, limit fonksiyonu da holomorftur.

  olduğu durumlarda uzay üzerinde iç çarpım şu şekilde belirlenebilir:

O zaman  bir doğuran çekirdekli Hilbert uzayıdır ve çekirdeği de Bergman çekirdeği tarafından belirlenir. Gerçekten de,

 Uzay, tanımı gereği yine bir Hilbert uzayı olan nin doğrusal bir altuzayıdır.
 Aynı zamanda, Bergman uzayı,  içinde kapalıdır. Bu yüzden, kendi başına da tam bir metrik uzaydır. Bu uzayın kapalı olmasının sebebi nin her tıkız alt kümesi için  eşitsizliğinin sağlanmasıdır. Bu halde, bir holomorf fonksiyon dizisinin  içindeki yakınsaklığı tıkız kümeler üzerindeki düzgün yakınsaklığa (yani tıkız yakınsaklığa) dönüşür. Böylelikle, bu dizinin limiti de holomorf olur.  zaten tam olduğu için, limitin kare integrallenebilir olduğu bilinmektedir. O yüzden, limit fonksiyonu da   içindedir.

 Bergman çekirdeği 
Daha önceden bahsedilen  eşitsizliğinin nin her tıkız altkümesinde sağlanması, aynı zamanda  içindeki her  noktası için,  gönderiminin bir sürekli doğrusal operatör olduğunu da gösterir. Bir başka deyişle,  içindeki her  noktası için,   uzayında bulunan fonksiyonların  noktasında değerlendirilmesi sürekli doğrusal operatör olur. O zaman, Riesz temsil teoremi kullanılarak bu doğrusal operatör   'deki bir elemanla iç çarpım halinde yazılabilir:

Bergman çekirdeği , 

olarak tanımlanır. Bergman çekirdeği,   değişkeninde holomorf ve  değişkeninde ise tersholomorftur. Aynı zamanda aşağıdaki çekirdek özelliğini sağlar:

Başka bir deyişle,  içindeki her    noktası için,  içindeki her holomorf fonksiyonun bu çekirdekle çarpılıp integralinin alınması fonksiyonun  noktasında değerlendirmesini geri verir.  noktası herhangi bir nokta olabileceği için, fonksiyon çekirdek tarafından yeniden üretilmiş olur; yani, çekirdek üreteç görevi görmektedir.

Özel bölgelerde Bergman çekirdeği
Bergman çekirdeği, karmaşık düzlemdeki ve karmaşık koordinat uzayındaki bazı özel bölgelerde açık bir şekilde bilinmektedir.
 Birim disk:  ise, o zaman 

 (Gerçel kısmı pozitif olan) Yarı düzlem:  ise, o zaman

 Yuvar:  sıfır merkezli ve  yarıçaplı yuvar olsun. O zaman,

 ve  iken yukarıda verilen ifâde buradan tekrar elde edilebilir.
 Disk çarpımı:  sıfır merkezli ve  vektör yarıçaplı disk çarpımı (polidisk) olsun. O zaman,

Ayrıca bakınız
 Bergman metriği
 Szegő çekirdeği

 Kaynakça 

Kategori:Karmaşık analiz
Kategori:Çok değişkenli karmaşık analiz
Kategori:Fonksiyonel analiz
Kategori:Operatör teorisi
Kategori:Banach uzayları