Gauss-Legendre Algoritması

Gauss-Legendre Algoritması π sayısının basamaklarını hesaplamak için kullanılan bir algoritmadır. Sadece 25 iterasyonda π sayısının 45 milyon basamağını doğru olarak hesaplıyor.

Bu yöntem Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ve Adrien-Marie Legendre (1752-1833) ikilisinin bireysel çalışmalarıyla modern çarpma ve karekök bulma algoritmalarının bir birleşimine dayanmaktadır.

Aşağıda gösterilen çeşidiyse Brent-Salamin(ya da Salamin-Brent) algoritması olarak da bilinir;
1975 yılında Richard Brent ve Eugene Salamin tarafından keşfedilmiştir. Bu algoritma 18-20 Eylül 1999'da π sayısının ilk 206,158,430,000 ondalık basamaklarını hesaplamakta kullanıldı ve sonuçlar Borwein Algoritması'yla kontrol edildi.

 Algoritma 
1. Başlangıç değeri ayarlama:

2. Aşağıdaki talimatları  ve 'nin farkı istenen doğruluk seviyesine gelene kadar uygulamaya devam edin.

3.π yaklaşık olarak şu çıkar:

İlk 3 iterasyonun sonucu:

 Matematiksel arka plan 

 Aritmetik-geometrik ortalamanın sınırları 

İki sayının aritmetik-geometrik ortalaması, a0 ve b0, aşağıdaki dizilerin limitleri alınarak bulunur

Bu iki denklem de aynı limit değerine yakınsar. Eğer  ve  ise limit  değerine yakınsar; öyle ki  birinci tür tam olmayan eliptik integraldir.

Eğer ,  ise

öyle ki  ikinci tür tam olmayan integraldir.

Gauss tüm bu sonuçları biliyordu.
Salamin, Eugene. Computation of pi, Charles Stark Draper Laboratory ISS memo 74–19, 30 January, 1974, Cambridge, Massachusetts

 Legendre’ın özdeşliği 

Öyle bir  ve  sayıları vardır ki  eşitliğini sağlar. Legendre bu ödeşliği kanıtlamıştır:

 Kaynakça 

Kategori:Pi sayısı
Kategori:Bilgisayar aritmetiği algoritmaları