Sıfır (karmaşık analiz)

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir f fonksiyonunun sıfırı veya kökü f(a) = 0 eşitliğini sayılan karmaşık a sayısına verilen bir addır.Kök terimi daha çok polinomlar bahis konusu olduğunda kullanılmaktadır. Başka bir deyişle, holomorf fonksiyonların sıfır değerini aldığı karmaşık sayılara o fonksiyonun sıfırları adı verilir.

 Sıfırın katlılığı
Eğer f holomorf fonksiyonu, a noktasında sıfır değeri almayan holomorf bir g fonksiyonu kullanılarak

şeklinde yazılabiliyorsa, o zaman a 'ya f 'nin basit sıfırı veya katlılığı 1 olan sıfırı adı verilir. Bu tanım genelleştirilebilir: Eğer a noktasında sıfır değeri almayan holomorf bir g fonksiyonu kullanılarak, holomorf bir f fonksiyonu

şeklinde yazılabiliyorsa, o zaman a, f 'nin katlılığı n olan sıfırıdır. 
Bu terimler, bu hâlleriyle kesin bir kullanıma sahip değildirler. Sıfırlarından bahsedilen holomorf bir fonksiyon varsa, a, katlılığı n olan bir sıfırdır demekle f'nin a noktasındaki sıfır katlılığı n'dir demek birbirine denk gelen ifadelerdir.

Bir değişkenli holomorf bir f fonksiyonun sıfırlarının oluşturduğu  kümesine F 'nin sıfır kümesi adı verilir; yani .

 Sıfırların varlığı ve özellikleri 
Karmaşık düzlemdeki holomorf bir polinomun sıfırlarının varlığını kanıtlayan teorem cebirin temel teoremidir. Bu durum, gerçel sıfırlar göz önüne alındığında doğru olmayabilir. Örneğin, f(x) = x2 + 1 fonksiyonu her ne kadar gerçel katsayılara sahipse de, bu fonksiyona sıfır değerini aldıracak gerçel bir kök bulunmamaktadır.

Polinomlar için geçerli bu durum karmaşık düzlemdeki tüm fonksiyonlar için geçerli olmayabilir. Mesela, her tam fonksiyon sıfıra sahip olmayabilir. Buna basit bir örnek olarak karmaşık üstel fonksiyon verilebilir. Üstel fonksiyon, karmaşık düzlemde, 0 değeri hariç her değeri sonsuz kere alır. Ancak, sabit olmayan bir tam fonksiyonun almadığı değer sayısı da Picard teoreminin sayesinde en fazla 1 tane olabilir.

Belli noktalarda, sonlu veya sonsuz sayıda, sıfıra sahip bir fonksiyon oluşturmak içinse Blaschke çarpımları kullanılır.
bir fonksiyonun karmaşık düzlemdeki açık bir alt kümesindeki sıfır sayısını bulmak için ise genelde Rouché teoremi kullanılır.
Karmaşık analizin sıfırları ilgilendiren önemli teoremleri arasında Jensen formülü ve Weierstrass çarpım teoremi de vardır.

Bir değişkenli holomorf fonksiyonların sıfırları hakkındaki önemli bir özellik, bu sıfırların korunmalı yani yalıtık olmasıdır. Yani, f 'yi sıfır yapan bir a karmaşık sayısı etrafında öyle küçük bir daire bulanabilir ki bu daire içindeki tüm noktalar arasından sadece a noktasında f sıfır değeri alır.

Sıfırların korunmalı özellik durumu, tek karmaşık değişkenli holomorf fonksiyonlar için geçerlidir. Çok değişkenli karmaşık analizde incelenen ve birden fazla değişkene sahip holomorf fonksiyonların Hartogs devam teoremi sayesinde böyle bir özelliği yoktur.

 Ayrıca bakınız 

 Kök (karmaşık analiz)
 Kutup (karmaşık analiz)
 Hurwitz teoremi (karmaşık analiz)
 Rouché teoremi

 Notlar 

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 

 Sıfırlar ve Kutuplar modülü, John H. Mathews tarafından

Kategori:Karmaşık analiz
Kategori:Sıfır