Cauchy-Schwarz eşitsizliği

Cauchy-Schwarz eşitsizliği (bazen Schwarz eşitsizliği veya Cauchy eşitsizliği veya Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsizliği olarak anılır) matematikte önemli bir eşitsizliktir. 
Özellikle lineer cebir, analiz, istatistik ve olasılık kuramında bu eşitsizlik yoğun bir şekilde kullanılmaktadır.

Toplamlar için bu eşitsizlik ilk defa Augustin Louis Cauchy tarafından 1821'de ve integraller için ise bu eşitsizlik ilk defa Viktor Bunyakovski tarafından 1850'de ve sonra yine Hermann Amandus Schwarz tarafından 1888'de ortaya atılmıştır.Çok kere bu kişinin soyismi Schwarz yerine hatalı olarak Schwartz yazılmaktadır.  Schwartz da ünlü bir matematikçidir ve soyismindeki t harfinin yazılmasına dikkat edilmelidir.

Eşitsizliğin ifadesi
Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre bir iç çarpım uzayında bulunan tüm  ve  öğeleri için şu ifade geçerlidir:


Burada,   iç çarpımı temsil etmektedir. 
Bu ifadenin her iki tarafının karekökü alınırsa  norm tanımı kullanılarak aynı özdeş şekilde yeni bir ifade ile şöyle yazılır:

Buna ek olarak ifadenin iki tarafının birbirine eşit olması ancak ve ancak  ve  öğelerinin birbirlerine lineer olarak bağımlı olmaları halinde gerçekleşir.

Öte yandan aynı eşitsizlik  ve  reel sayıları için    



olarak yazılabilir.  

Eşitlik sadece  



için sağlanır.

Kanıt
İç çarpımın tanımı gereği, herhangi iç çarpım uzayındaki  ve  öğesi için,
  ise, eşitlik vardır: 
  ise, o zaman  alalım. İç çarpımın doğrusallığından, 

olduğu görülür. Yani,  'ye diktir. O zaman, 

yazılıp, iç çarpımda geçerli olan Pisagor teoremi uygulanabilir. Gerçekten de,
Eşitsizliğin diğer formu için ise ispat şöyle yapılabilir:

 reel sayıları için

olduğu görülür. En soldaki ifade ikinci dereceden bir polinom olup negatif değildir. Bu yüzden bu polinomun diskriminantı pozitif olamaz. Yani

 olur ve ispat tamamlanır.

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 

 Bouniakowsky, V. (1859), "Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies" (PDF), Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg 7 (1): 9,    (Erişme:15.12.2009)
 Cauchy, A. (1821), Oeuvres 2, III, s. 373 
 Dragomir, S. S. (2003), "A survey on Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz type discrete inequalities", JIPAM. J. Inequal. Pure Appl. Math. 4 (3): 142 pp,   (Erişme:15.12.2009)
 Paulsen, V. (2003), Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press .
 Schwarz, H. A. (1888), "Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung" (PDF), Acta Societatis scientiarum Fennicae XV: 318,    (Erişme:15.12.2009)
 Solomentsev, E.D. (2001), "Cauchy inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4,    (Erişme:15.12.2009)

Kategori:Olasılık teorisi
Kategori:Lineer cebir
Kategori:Eşitsizlikler