Riemann zeta işlevi

s = 1 noktasındaki beyaz benek zeta işlevinin kutbunu simgelemektedir. Negatif gerçel eksen ve Re(s) = 1/2 doğrusu üzerinde yer alan siyah benekler ise sıfır noktalarıdır. Pozitif gerçel değerler kırmızı renkle gösterilmiştir.
Matematikte Riemann zeta fonksiyonu (ya da; Euler-Riemann zeta fonksiyonu), Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından 1859'da bulunmuş olan ve asal sayıların dağılımıyla olan ilişkisinden ötürü sayı kuramında önemli yeri bulunan önemli bir fonksiyondur. Fonksiyon; fizik, olasılık kuramı ve uygulamalı istatistikte de kullanılmaktadır.

Riemann zeta fonksiyonu, farklı şekillerde de ifade edilse de en yaygın gösterimi; 

şeklindedir. Buradaki "s" karmaşık sayısının gerçel kısmı 1'den büyük olmalıdır.

Gerçel kısmı 1'den küçük s değerleri için Riemann zeta fonksiyonunun analitik devamı kullanılır.

Riemann zeta fonksiyonunun, köklerinin dağılımına ilişkin bir sav olan Riemann hipotezi birçok matematikçi tarafından yalın matematiğin şu ana dek çözülememiş en önemli problemi olarak görülmektedir.

 Özel değerler 
küçükresim|upright=1.36|s > 1 için gerçel Riemann zeta fonksiyonu

Herhangi pozitif 2n çift tamsayısı için:

Burada B2n  (2n)'inci Bernoulli sayısıdır. Pozitif tek tam sayılar için basit bir gösterim bilinmiyor. Fakat bu değerlerin tam sayıların cebirsel K-teorisi (algebraic K-theory) ile ilgili olduğu düşünülüyor;

Negatif tam sayılar 
 için:

Böylece, özel olarak  ζ içinde negatif çift tam sayılar kaybolur çünkü; "1" dışında tüm tek "m"ler için Bm = 0 değerini alır. Bunlara Riemann zeta fonksiyonunun trivial (önemsiz) sıfırları denir.

Analitik devamlılık ile gösterilebileceği üzere:

Bu değer ıraksak olan 1 + 2 + 3 + 4 + · · · serisine sonlu bir sonuç vermek için bir yol verir ki, sicim teorisi gibi bazı alanlarda kullanılmıştır. Benzer olarak özel değer:

Iraksak olan bir seriye () yakınsak bir değer vermek olarak görülebilir.


 Bu doğrusal denklem kinetik sınır tabaka problemlerinin hesaplanmasında kullanılır.A J Kainz and U M Titulaer, An accurate two-stream moment method for kinetic boundary layer problems of linear kinetic equations, pp. 1855-1874, J. Phys. A: Mathem. and General, V 25, No 7, 1992
Buna rağmen:

Iraksar. Fakat bu eşitliğin:

Cauchy principal value (Cauchy temel değeri) vardır ve   Euler-Mascheroni sabiti olan 'ya eşittir.


Bir kutu içindeki periyodik sınır şartları ile bir Bose–Einstein yoğunlaşması ve manyetik sistemlerde spin dalga fiziği için bu kritik sıcaklığın hesaplanmasında gereklidir.


Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak bilinir. Bu sorunun toplam cevabı karşılıklıdır :Rastgele olarak seçilmiş iki sayının aralarında asal olma olasılığı nedir?C. S. Ogilvy & J. T. Anderson Excursions in Number Theory, pp. 29–35, Dover Publications Inc., 1988 ISBN 0-486-25778-9



Bu Apéry'in sabiti'dir.



Fizikteki Stefan–Boltzmann kanununun türevine Planck kanunu bütünleştirilirse belirgin olur.

 Gösterimler 

 Mellin dönüşümü 
Bir fonksiyon ƒ(x)'in, Mellin dönüşümü şu şekilde tanımlanır: 

Bölge içinde burada integral tanımlanıyor. Burada bir Mellin dönüşümü olarak  zeta-fonksiyonu için çeşitli ifadeler vardır. Eğer s'''in gerçek parçası 1'den daha büyük ise,

Burada Γ  Gama fonksiyonunu ifade eder. Riemann, sınır değiştirerek şunu gösterdi:

Her s için, burada C başlangıç ve +∞ da son sınırlarıdır ve başlangıcı çevreler.

Asal sayılara ilişkin bağlantıları ayrıca bulmak gerekebilir ve asal sayı teoremi eğer π(x) Asal-değer fonksiyonu ise  değerleri ile

Bir benzer Mellin dönüşümünü, Riemann asal-değer fonksiyonu J(x) içerir, bu değerler asal kuvvet pn ve 1/nin ağırlığı ile böylece



Şimdi elimizde;

 var

Bu bağıntıda ters Mellin dönüşümünü asal sayı teoreminin anlamını sağlamada kullanılabilir. Riemann'ın asal-deger fonksiyonu ile çalışmak için daha kolaydır ve π(x) Möbius tersi ile bundan kurtulunabilir.

 Teta fonksiyonları 
Riemann zeta fonksiyonu bir ıraksak Mellin dönüşümü ile
Jacobi teta foksiyonunun terimleri içinde resmen verilebilir

 ile

Bununla beraber bu integral s 'in herhangi bir değeri için yakınsak değildir ve böylece düzenlenmesine gerek vardır: bu zeta fonksiyonu için aşağıdaki bağıntı verilir:

 Laurent serileri 
Riemann zeta fonksiyonu   tek  s = 1'de  tek katli bir tek kutup ile meromorfiktir. Bunun için bir Laurent serisi boyutu s = 1 de seriye açılabilir olsun;

γn sabitine Stieltjes sabiti deniliyor ve limit ile tanımlanabilir



Sabit terim γ0 Euler–Mascheroni sabitidir.

 Integral 
 tümü için integral ilişkisi

tutulanlar doğrudur, Zeta-fonksiyonunun bir sayısal evrimi için kullanılabilir.

 Yükselen faktöriyel 
Diğer serileri geliştirmede  tam karmaşık düzlem için yükselen faktöryel değeri kullanılan

'dir

Bu bütün karmaşık sayılara Dirichlet serisi tanımını genişletmek için yinelemeli olarak kullanılabilir.

Riemann zeta fonksiyonu  xs−1; Gauss–Kuzmin–Wirsing işlemcisi hareketi üzerinde bir integral içinde  Mellin dönüşümüne benzer bir formda ayrıca görünür ve yine bu bağlamda düşen faktöriyelin terimleri içinde bir seri açılımına genişletilir.

 Hadamard çarpımı 

Hadamard,Weierstrass'ın çarpanlama teoreminin temelinde
sonsuz çarpım açılımını verdi

burada çarpım  ζ'''nın önemsiz-olmayan sıfırlar ρ dir ve  yine γ harfi  Euler–Mascheroni sabiti ifade eder.Daha basit bir sonsuz çarpım açılımı

dır
Bu form s = 1,de basit kutuplar −2, −4, ... de açıkça görüntülenir önemsiz sıfırlar payda içinde  gamma fonksiyonu terimine gereken ve s = ρda önemsiz olmayan (Ikinci formülde yakınsama sağlamak, çarpım sıfırların "çiftleri eşleştirme"si üzerine alınmalıdır, yani  ρ formunun sıfırlarının bir çifti için faktörleri ve 1 − ρ birleştirilmelidir.)

 Kritik şerit üzerinde logaritmik türev 



burada   kritik şerit 0 < Re(s) < 1 üzerinde ζ nın sıfırının yoğunluğudur.(δ Dirac delta dağılımıdır ve toplam  ζnin üzerinde önemsiz olmayan ρ of dir).

 Küresel yakınsak seriler 
zeta fonksiyonu için bir küresel yakınsak seri, tüm karmaşık sayılar  için s değerleri dışında bazı n tam sayı için,Konrad Knopp 1930 içinde Helmut Hasse ile 1930'da bir varsayım sağlamış idi (bakınız. Euler toplamı):

serisi yalnızca Hasse'nin notlarına bir ek içinde gösterildi ve genel bilgiler kadar olmadı bu  60'lı yıllardan daha sonra yeniden araştırılmış idi (bakınız Sondow, 1994).

Hasse ayrıca küresel yakınsak seriyi kanıtlanmıştır

aynı  baskı içindedir.

Peter Borwein yüksek hassasiyetli sayısal hesaplamalar için uygun çok hızlı yakınsak seriyi göstermişti. 
Algoritma, Chebyshev polinomlarından yararlanarak, Dirichlet eta fonksiyonu üzerine yazılar içinde tanımlanır.

 Uygulamalar 

Zeta fonksiyonu istatistik uygulamaları içinde oluşur (bak Zipf's kanunu ve Zipf–Mandelbrot kanunu).

Zeta fonksiyon düzenlenmesi ıraksak serisinin düzenlenmesi ve kuantum alan teorisi içinde ıraksak integralin bir olasılığı olarak kullanılır. Bir önemli örnekte, Casimir etkisinin hesabı içinde açıkça Riemann zeta-fonksiyonu gösterilir. Zeta fonksiyon dinamik sistemlerin analizi için ayrıca kullanılır.

 Sonsuz seriler 

zeta fonksiyonu pozitif tamsayilarda değerlendirildiğinde sabitlerin bir sayısının sonsuz serisi gösterimi içinde belirir.Unless otherwise noted, the formulas in this section are from  § 4 of J. M. Borwein et al. (2000) Burada daha öte formüller  harmonik sayılar yazısı içindedir
  ve aslında tek ve çift terimlerin iki toplamlarını da verir;      ve   

   burada γ Euler sabitidir.

    burada   bir karmaşık sayının sanal kısmıni gösterilir.

Bazı zeta serileri daha karmaşık bağlantılarda değerlendirilir

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi

 Notlar 

 Kaynakça 


 . Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Yeniden basım: Dover, New York (1953)
 Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) s. 199–220
 Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 s. 458–464. (Globally convergent series expression.)
 E. T. Whittaker & G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, 4. basım, Cambridge University Press (Bölüm XIII)




  10. Bölüm
  6. Bölüm




 Jonathan Sondow, "Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series", Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1994) 421–424.

 Guo Raoh: "The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function", Proceedings of the London Mathematical Society 1996; s. 3–72: 1–27

 Dış bağlantılar 
 Wolfram Mathworld'de Riemann zeta işlevi
 Seçili kökler tablosu
 1.000.000 kök içeren dosya
 Çekiştirilen Asal Sayılar Zeta işlevinin asal sayılar açısından önemine ilişkin genel bir değerlendirme
 Zeta İşlevinin X-Işını zetanın gerçel ve tümüyle karmaşık olduğu bölgelerin görsel sunumu
 Riemann zeta işlevi formül ve özdeşlikleri
 Riemann zeta işlevi ve ters üslerin diğer toplamları

Kategori:Zeta ve L-fonksiyonları
Kategori:Meromorf fonksiyonlar
Zeta işlevi