Beta fonksiyonu

küçükresim|Pozitif gerçel x ve y değerleri için beta fonksiyonunun üç boyutlu bir çizimi.
Matematikte beta fonksiyonu, aynı zamanda birinci türden Euler integrali, karmaşık sayılarda tanımlı özel bir fonksiyondur ve gama fonksiyonu ve binomiyel katsayılarla yakından ilişkilidir. Beta fonksiyonu:

  ve  için



eşitliği ile tanımlanmıştır.

Beta fonksiyonunun sembolü Β bir yunanca harf olan beta harfinin büyük halidir. Fonksiyon Jacques Binet tarafından isimlendirilmiştir ve ilk olarak Leonhard Euler ile Adrien-Marie Legendre tarafından incelenmiştir.

 Özellikleri 
Beta fonksiyonu girdilerinde simetriktir, yani

Beta fonksiyonu başka şekillerde ve başka eşitliklerle de yazılabilir:

Burada  faktöriyelin gerçel ve karmaşık sayılara genelleştirildiği gama fonksiyonu'dur.

Özellikle eşitlikteki ikinci gösterimle beraber elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela bir bölü ikinin çıktıları,

kartezyen koordinatlardaki  n-küre hacminin türevleri'ne uygulanabilir.

Gama fonksiyonu doğal sayılarda sıradan faktöriyele dönüşür:

Dolayısıyla binomiyel katsayılar beta fonksiyonu aracılığıyla da genelleştirilebilir:

Ayrıca her  tam sayısı için, 'nın  sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli:

İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.

 Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki 

Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;

Şimdi, ,  yazalım, böylece

Kutupsal koordinatlara dönüşüm, , :

Dolayısıyla, beta fonksiyonunun gama fonksiyonuyla ilişkisi:

Diğer bir türetim, bir özel durumu için konvolüsyon integrali  alınırsa

 ve , sonuç kolayca:

.

 Türevi 

Beta fonksiyonunun z1 cinsinden parçalı türevi:

Burada , gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olan digama fonksiyonu'dur:

Fonksiyonun girdi bazında simetrik olması dolayısıyla z2 cinsinden alacağımız parçalı türev önceki sonuçla direktmen bağlantılıdır:

Dolayısıyla yapmamız gereken tek şey z1 cinsinden aldığımız parçalı türevde z1 ile z2 değişkenlerinin yerlerini değiştirmektir:

 İntegralleri 

Nörlund-Rice integrali beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir.

 Yaklaşıklıklar 

Stirling yaklaşıklığı kullanılarak beta fonksiyonu için yeni yaklaşıklıklar türetilebilir.

x ve y görece büyük gerçek sayılar ise,

diğer bir yaklaşık gösterim, x'in görece büyük ve y'nin sabit olması durumunda,

 Tamamlanmamış beta fonksiyonu 
Burada tamamlanmamış ifadesi integralin bir sınırının "kapalı" (alt sınır, 0), diğer sınırının ise "açık" olduğunu (üst sınır = x) belirtir. Beta fonksiyonunun daha genel bir versiyonu tamamlanmamış beta fonksiyonu'dur:

x'in bire eşit olduğu durumda tamamlanmamış beta fonksiyonu standart beta fonksiyonuna dönüşür. Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekliyle tamamlanmamış gama fonksiyonu arasında da vardır.

Düzenlenmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu), tamamlanmamış beta fonksiyonu ve standart beta fonksiyonunun aşağıdaki ilişkisiyle oluşur:

a ve b tam sayı değerleri için bilinen integral dışında (parçalanmış integrasyon kullanılabilir):

Binom dağılımı'nın, bir rastgele değişkeni X, "başarı olasılığı" p, örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede düzenlenmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu şu şekilde kullanılabilir:


 Özellikler 

(Listede diğer birçok özellik olabilir.)

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi
 Beta dağılımı
 Binom dağılımı
 Jacobi toplamı, sonlu alanlar üzerinde beta fonksiyonunun analogları.
 Negatif binom dağılımı
 Yule–Simon dağılımı
 Tekdüze dağılım (devamlılık)
 Gama fonksiyonu

 Kaynakça 

 M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See §6.2, 6.6, and 26.5)
 W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)

 Arbitrarily accurate values can be obtained from The Wolfram Functions Site, Evaluate Beta Regularized Incomplete beta 

 Dış bağlantılar 
 Cephes - C and C++ language special functions math library
 Beta Function Calculator
 Incomplete Beta Function Calculator
 Regularized Incomplete Beta Function Calculator

Kategori:Gama ve ilişik fonksiyonlar
Kategori:Özel hipergeometrik fonksiyonlar