Özdeğerler ve özvektörler

Matematikte, bir lineer transformasyon altında yönünü değiştirmeyen vektörlere özvektör denir. Resmen tanımlamak gerekirse,  bir vektörse ve  bir lineer dönüşümse, bir  skaleri için  eşitliğini sağlayan tüm  vektörlerine 'nin özvektörü ve  skalerine de 'nin özdeğeri denir.

Lineer dönüşümler vektörleri döndürerek, yansıtarak veya bükerek etkileyebilirler. Ancak  bu dönüşümün bir özvektörüyse,  bu dönüşümden sadece boyca uzayarak, kısalarak veya doğrultusunu değiştirmeden yönünü değiştirerek etkilenir. Boyca uzama veya kısama miktarı ise bu dönüşümün özdeğerine tekabül eder. Eğer vektör doğrultusunu koruyarak yönünü ters çeviriyorsa, sözkonusu özdeğer negatif demektir.

Lineer dönüşümler özdeğerlerine ve özvektörlerine bakarak sınıflandırıldığından özvektörler ve özdeğerler; jeoloji, finans ve kuantum mekaniği gibi alanlarda kullanılır.

 Tanım 
, 'lik bir matris olsun,  de  uzunluğunda  dışında bir vektör olsun. Eğer 'yi  ile çarpmak, 'nin sadece bir  skaleri kadar uzamasına sebep oluyorsa, 'ye 'nın bir özvektörü ve 'ya da 'nın bir özdeğeri denir. Bu ilişki, matematiksel olarak  şeklinde gösterilebilir.

Bir taban seçimiyle herhangi bir sonlu boyutlu  vektör uzayı 'den 'e bir izomorfizma elde etmek mümkündür, bu durumda her  lineer dönüşümünün de 'lik bir matris tarafından temsilcisi de elde edilir. Dolayısıyla sonlu boyutlu vektör uzaylarında özvektörlerin matris tanımıyla cebirsel tanımı aynı kapıya çıkmaktadır. Ancak sonsuz boyutlu vektör uzaylarının analizinde matrisler anlamlarını yitirdiğinden, özvektörleri cebirsel bir şekilde tanımlamak gerekir.

Bu şekilde, herhangi bir   vektör uzayı  üzerinde tanımlı bir  lineer dönüşümü için,  eşitliğini sağlayan her  vektörüne bir özvektör ve her  skalerine de bir özdeğer denir. Aynı özdeğeri paylaşan iki özvektörün toplamı ve bir özvektörün katları da yine aynı özdeğere sahip bir özvektör oluşturduğundan,  ile birlikte bir özdeğere ait özvektörler 'nin bir altuzayını teşkil eder ve bu altuzaya 'nın özuzayı ismi verilir ve bu altuzay  ile gösterilir.

 Genel bakış 
İngilizce ve birçok kuzey avrupa dilinde özvektör kavramı, Almancadaki Eigenvektor, Eigenwert ve Eigenraum terimlerinin çevirileriyle anılır. İlk katı cisimlerin temel eksenlerini analiz ederken araştırılan bu kavram, daha sonra tüm lineer dönüşümlerin sınıflandırılmasında kullanılacak şekilde genişletilmiş ve bu şekilde dizilerin analizinde, diferansiyel denklemlerde, kuantum fiziğinde ve hatta yüz tanıma ve yapay zekâ gibi bilişim alanlarında kullanım bulmuştur.

Temelinde bir özvektör, bir  lineer dönüşümünde doğrultusunu değiştirmeyen sıfırdan farklı bir vektördür.  denklemine ise özvektör denklemi ismi verilir.  özdeğeri ise pozitif olabilir, negatif olabilir, sıfır olabilir ve hatta  bir karmaşık vektör uzayından geliyorsa karmaşık bir sayı bile olabilir.
küçükresim|Bir makaslama dönüşümü altında kırmızı işaretli olan vektör yönünü değiştirse de mavi vektör yönünü değiştirmemektedir. Bu yüzden mavi vektör bu dönüşümün bir özvektörüdür ve boyutu da değişmediğinden özdeğeri de 1'dir.
Yandaki örnekte Mona Lisa resmi, bir lineer dönüşüme maruz kalmaktadır. Vektörler, dikey y eksenindeki konumlarına oranla x ekseninde hareket etmektedir ve daha uzak vektörler daha da uzağa itilmektedir. Bununla beraber, pozitif y koordinatlarındaki vektörler sağa oynarken negatif y koordinatlarındaki vektörler sola oynatılmaktadır. Bu vektörlerin hiçbiri başlangıçtaki hâlleriyle aynı doğrultuda kalmadığından hiçbiri bir özvektör değildir. Ancak y kordinatı 0 olan, yani doğrudan sağa veya sağa bakan vektörler bu değişim altında hiç kıpırdamadığından bu değişimin özvektörlerini teşkil eder ve özdeğerleri de 1'dir. Bu şekilde bu lineer değişimin yegâne özdeğeri 1'dir ve bu değere ait özuzay ise x eksenidir.

Lineer dönüşümler bir sürü ayrı şekil alabildiğinden özvektörler ve özuzaylar da bir sürü farklı şekil alabilir. Mesela türev alma işlemini de bir lineer dönüşüm olarak incelemek mümkündür, çünkü türev de toplama ve skaler çarpma işlemine saygı gösterir. Bu durumda söz konusu vektör uzayı,  ile gösterdiğimiz sonsuz kere türevlenebilir fonksiyonların uzayı olup, sonsuz boyutlu bir vektör uzayı teşkil eder. Bu durumda  operatörünün özvektörleri, bir  skaleri ile çarpılan fonksiyonlardır, meselafonksiyonu.

Matris dilinde örnek vermek gerekirse de, mesela  ve  şu şekilde tanımlanmış olsun:O zaman,  'nın bir özvektörüdür çünkü ilişkisi geçerlidir ve 2 de 'nın bir özdeğeridir. Matrisler, özvektörler sayesinde incelenebilir, mesela çaprazlayarak.

Özvektörler ile oluşturulan birtakım yapı, yine öz- takısını kullanarak anılır:

 0 ve bir değere ait özvektörlerden oluşan altuzaya, o özdeğerin özuzayı ismi verilir.
 Özvektörlerden oluşan bir tabana öztaban ismi verilir. Bir lineer dönüşüme öztabanda tekabül eden bir matris, her zaman çapraz bir formda olur.

 Matrislerin özvektörleri 

 Özvektör denklemi 
Verilen bir matrisin özvektörleri ve özdeğerleri,özelliğinin sağlanmasını isteyerek bulunuyordu. Bunu yazmanın başka bir yolu şudur:Burada  ile kasıt, birim matristir. Kısaca beklenilen şey,  ile verilen bir matris ile sıfır olmayan bir vektörün çarpımının sıfır olmasıdır. Bunun olmasının tek yolu  matrisinin tersinir olmaması olduğundan,  matrisinin determinantı 0 olmak zorundadır. Yani, bir matrisin özdeğerlerinişartını kullanarak bulabiliriz.

 Karakteristik polinom 
 bize  cinsinden bir polinom verir ve bu polinoma karakteristik polinom ismi verilir. 'nın boyutu  ise  de 'inci dereceden olcağından bu polinomun en fazla  kökü bulunabilir. Bunun sonucunda 'lik bir matrisin en fazla  özdeğeri olabilir. Bu makalede  matrisinin karakteristik polinomu  şeklinde gösterilecektir.

, 'nın bir özdeğeri olsun. Eğer , 'nın  katlı bir köküyse 'ya 'nın cebirsel katı denir. Eğer , karmaşık sayılar gibi cebirsel kapalı bir cisim üzerinde tanımlıysa  doğrusal terimlerin çarpımı şeklinde yazılabilir ve şu şekli alır:ve 'lerin toplamı 'i verir.

 Özuzay 
 şartının sağlanması için  olması yetmez. Aynı zamanda , 'in çekirdeğinde olmalıdır. O zaman 'nın  özdeğerli özvektörlerinin, aynı zamanda 'in içinde olmalıdır. Bu durumda  şartı sağlanır ve özuzay ,denkleminden hesaplanabilir. 'nın boyutuna 'nın geometrik katı denir. Bir özdeğerin geometrik katı hiçbir zaman cebirsel katından büyük olamaz, ancak eşit olmak zorunda değildir, küçük de olabilir. Eğer bir matrisin tüm özdeğerlerin geometrik katı, cebirsel katına eşitse, bu matrise çaprazlanabilir bir matris denir ve tüm özuzaylara bir taban bularak matris, çapraz bir forma getirilebilir.

 Diğer özellikler 
, karmaşık sayılar üzerinde tanımlı ̈lik bir matris olsun ve özdeğerleri  olsun. Bu listede her özdeğeri cebirsel katı kadar yazmış olalım, yani   katlı bir kökse  şeklinde yazalım.

  ile gösterilen 'nın izi,  şeklinde özdeğerlerin toplamına eşittir.
  ile gösterilen 'nın determinantı,  şeklinde özdeğerlerin çarpımına eşittir.
 Tersinir bir matrisin tüm özdeğerleri 0'dan farklıdır. Tersinir olmayan bir matrisin özdeğerlerinden birisi 0'a eşittir.
 'nın özdeğerleri,  olur.
 Daha genel olarak  bir polinomsa, 'nın özdeğerleri  olur.
 Eğer  tersinirse 'in özdeğerleri  olur ve özdeğerlerinin hem cebirsel hem de geometrik katı 'nınkilerle aynı olur.
 'nın girdilerinin eşleniğinden oluşan 'ın özdeğerleri  olur. 
 'nın transpozu 'nin özdeğerleri,  ile aynıdır.
 Eğer , transpozunun eşleniğine eşitse  özdeğerlerinin hepsi reeldir.
 Eğer  üniterse, yani 'nın eşleniğinin transpozu 'e eşitse her özdeğerin mutlak değeri 1'e eşittir.

 Örnekler 

 2 boyutlu matris 
Mesela şeklinde verilmiş olsun. O zaman ,şeklinde bulunur ve kökleri 4 ve 2'den oluşur. Yani 'nın özdeğerleri 4 ve 2 olarak tespit edilebilir. Eğer 'nın mesela 2'ye ait özuzayını da bulmak istiyorsak, şeklinde bulunabilir. 4'ün özuzayı da benzer şekilde hesaplanır. İki özuzayın da hem cebirsel, hem de geometrik katı 1'dir.

Kategori:Lineer cebir