Döngüsel artıklık denetimi

Döngüsel artıklık denetimi (CRC: Cyclic Redundancy Check), çoğunlukla sayısal şebekelerde ve depolama cihazlarında kullanılan ve ham veride yapılan hatalı değişimleri algılayan, uygulaması kolay ve güvenliği güçlü bir hata bulma yöntemidir.

CRC'ler, denetim (veri doğrulama) değerinde (enformasyon eklenmeden gönderilen) bir artıklık ve döngüsel kodların temelini oluşturan bir algoritma olduğu için bu adla adlandırılır. İkili  donanımlarda uygulaması basit, matematiksel analizi kolay ve bilhassa iletim kanallarında gürültünün neden olduğu genel hataları algılamada iyi olduğu için CRC'lerin kullanımı yaygındır. Çünkü denetim değeri sabit bir uzunluğa sahiptir. Bunu oluşturan fonksiyon nadiren bir hash fonksiyonu olarak kullanılır.

 Açıklama 
CRC'ler ileri hata düzeltme yöntemindeki döngüsel kodun temelini oluştururlar. Sabit uzunlukta bir denetleme değeri ekleyerek mesajların kodunu çözen sistematik döngüsel kodları kullanarak, telekomünikasyon şebekelerinde hata düzeltme ilk olarak 1961'de W. Wesley Peterson tarafından yapılmıştır. Döngüsel kodların yalnızca uygulaması kolay değil, aynı zamanda özellikle patlama hatasının düzeltilmesi için çok idealdir. Patlama hataları, manyetik ve optik veri depolama cihazlarındaki kanallar gibi çoğu iletişim kanalında yaygın bulunan hatalardır. Bir n bitlik CRC'nin tipik uygulaması, rastgele uzunluklu bir veri bloğunun, n bitten uzun olmayan herhangi tek bir patlama hatasını algılamasıdır. Patlama hatalarının tümünün uzunluğu 1 - 2-n ifadesinin bir kesri olarak algılanır. Gönderici her çerçeveye n bitlik FCS (Frame Check Squence) dizi ekler. CRC veri iletiminde kullanılan en yaygın hata denetimi yöntemidir. Az bir ek bilgi ile daha fazla hata tespiti sağlanır.
Veri iletirken ya da saklarken ilettiğimiz/sakladığımız veri ile alınan verinin aynı olduğundan emin olmamız gerekir. Veriler iletim hattında bozunuma uğrarsa bunun fark edilmesi ve verilerin yeniden iletilmesi gerekir. CRC, bu amaçla kullanılır.

Bir CRC kodunu belirlemek için, sözde polinom kod tanımlamak gerekir. Bu polinomdaki, bölme algoritmasında, bölünen, bölen, bölüm ve kalan bulunur. Burada önemli olan polinom katsayıları, sonlu alanın aritmetiğine uygun olarak hesaplanmasıdır. Böylece toplama işlemi, (dijitler (rakamlar) arasında taşıma olmayan) bitsel paralelliği daima gerçekleştirebilir. Kalanın uzunluğu, polinom kod uzunluğundan daima daha küçüktür. Böylece sonucun hangi uzunlukta olacağı belirlenir.

Pratikte, kullanılan tüm CRC'ler, bilgisayar mimarisi ile eşleşen, 0 ve 1 olarak adlandırılan iki elemanlı GF(2) sonlu alanı ile ilgilidir.

En basit hata düzeltme sistemi, eşlik biti, 1 bitlik CRC'nin durumu ile ilgilidir. CRC-1 olarak adlandırılan ve iki terimli olan  x + 1 polinom kodunu kullanır.

 CRC'ler ve veri tutarlılığı 
CRC'ler, özellikle iletişim kanallarında sıkça rastlanan hata türlerine karşı koruma sağlamak amacıyla tasarlanır. Teslim edilen mesajların tutarlılığını hızlı ve güvenli biçimde gerçekleştirebilirler. Fakat veride istenerek yapılan değişimlere karşı uygun değillerdir.

Birincisi, kimlik denetimi olmadığından dolayı saldırgan mesajı değiştirebilir ve bunun fark edilmeyecek şekilde CRC'yi tekrar hesaplayabilir. Veri yan yana saklandığında CRC'ler ve kriptografik hash fonksiyonları
veride istenerek yapılan değişimlere karşı birbirlerini koruyamazlar. Bu tür saldırılara karşı korunmak için, (temelinde kriptografik özet fonksiyonu bulunan) mesaj doğrulama kodu veya dijital imza gibi kriptografik kimlik denetimi mekanizmaları kullanılmalıdır.

İkincisi, kriptografik özet fonksiyonu aksine, CRC kolay terslenebilir fonksiyondur. Bu da dijital imzaların kullanılmasını imkânsız kılar.

Üçüncüsü, CRC aşağıdaki denkleme sahip bir doğrusal fonksiyondur.
;

Sonuçta CRC bir dizi şifresi (veya blok şifreleme kipi) ile şifrelenmiş olsa bile, şifreleme anahtarını bilmeye gerek kalmaksızın hem mesaj hem de ilgili CRC ele geçirilebilir. Bu, WEP iletişim kuralının bilenen bir kusurudur.

 CRC hesaplama 
n bitlik ikili CRC'yi hesaplamak için, bir satırdaki girişi ifade eden bitler ve (polinom olarak adlandırılan) CRC'nin bölenini ifade eden (n+1) bitlik dizinin konumu satırın sol alt köşesindedir.

 İkili sayı sistemine örnek 
Aşağıdaki örnekte 14 bitlik mesajın kodunu 3 bitlik CRC ve x³+x+1 polinomu ile çözeceğiz. 3.dereceden bir polinomdur ve dört katsayıya sahiptir. Bu polinom ikili sayı sisteminde katsayılarla şöyle yazılır; 1x³+0x²+1x+1. Bu durumda katsayılar; 1, 0, 1 ve 1'dir. Hesaplama sonucu 3 bit uzunluğundadır.

Mesaj şu kod çözülerek başlar:

11010011101100

CRC'nin n bit uzunluğuna uygun olarak ilk önce sıfırlar eklenir. 3 bitlik bir CRC'yi hesaplamak için ilk hesaplama adımı şöyledir:

11010011101100 000 <--- 3 bit girişin sağına eklenir
1011               <--- bölen (4 bit) = x³+x+1
------------------
01100011101100 000 <--- sonuç

Her bir adımda bitlere yukarıdaki bölen doğrudan etki eder. Bu yineleme için sonuç, yukarıdaki bitlere sahip bitsel XOR bölen polinomudur. Yukarıda olmayan bitler için bölen basitçe doğrudan bu adımın altına kopyalanır. Bölen sağa bir bit kaydırılır. Bölen, giriş satırının en sağ köşesine ulaşıncaya kadar bu işlem tekrarlanır. İşlemin tamamı şöyledir:

11010011101100 000 <--- 3 bit girişin sağına eklenir
1011               <--- bölen
01100011101100 000 <--- sonuç (ilk dört bitin, altındaki bölen ile aynı ve XOR olduğuna dikkat edin, bitlerin geri kalanı değiştirilmedi)
 1011              <--- bölen ...
00111011101100 000
  1011
00010111101100 000
   1011
00000001101100 000 <--- bölümdeki sonraki 1 ile hizalanması için bölenin taşındığına dikkat edin (çünkü burada bölüm sıfır idi)
       1011             (yani her yinelemede yalnızca bir bit kaydırma gereksizdir)
00000000110100 000
        1011
00000000011000 000
         1011
00000000001110 000
          1011
00000000000101 000 
           101 1
-----------------
00000000000000 100 <--- kalan (3 bit). Bölme algoritması burada durduruldu. Çünkü bölüm sıfıra eşittir.

Bölenin en solundaki bit 1 olduğundan dolayı her bir girişte en soldaki bölüm biti sıfırlanır. Yalnızca giriş satırının (bölümün) en sağındaki n bit sıfırlanamadığında bu işlem sonlandırılır. n bit, bölme adımındaki kalandır. Bunlar aynı zamanda CRC fonksiyonunun değeri olur.

Alınan bir mesajın geçerliliği, yukarıdaki hesaplama tekrar gerçekleştirilerek kolayca doğrulanabilir. Burada sıfırlar yerine denetleme değeri konur. Eğer hata algılanmazsa kalan sıfıra eşitlenir.

11010011101100 100 <--- denetleme değerli giriş
1011               <--- bölen
01100011101100 100 <--- sonuç
 1011              <--- bölen ...
00111011101100 100

......

00000000001110 100
          1011
00000000000101 100 
           101 1
------------------
                 0 <--- kalan

 Onlu sayı sistemine örnek 
CRC veri bitlerini polinom kodlar olarak ele alır. Veriler gönderici tarafından çerçevenin içeriğine göre her çerçevenin sonuna eklenecek bir denetim seti(check digits) hesaplanarak gönderilir. Alıcı tarafı veri üzerinde aynı denetim işlemlerini gerçekleştirerek aldığı veride hata olup olmadığını kontrol eder. İki sonuç uymuyorsa bu hata olduğunu gösterir. n bitlik FCS için n+1 bit bir P polinomu kullanılır. Amaç FCS'yi Q/P sıfır olacak şekilde elde etmektir.

(M.2n+R)/P=Q+(R/P+R/P)

M: k bitlik asıl veri
R: kalan n bitlik sayı
P: üreteç polinomu n+1 bit
Q: FCS dizisi

CRC oluşturulması ilk olarak veri içeriği 2n ile çarpılır. Bu verinin sonuna n adet 0 ekleme demektir.İkinci adımda P üreteç polinomu ile bölünmesi üçüncü adımda kalanın FCS olarak iletilmesidir.

CRC kontrolü ise ilk olarak veri çerçevesi alınır. İkinci adımda P üreteç polinomuna bölünür. Üçüncü adımda kalan kontrol edilir. Kalan 0 ise veri doğru aksi halde hata oluşmuştur.

                               VERİLER                                CRC

        90     69     66     82     65     79     78     69            3

Yukardaki verilerin rakamsal toplamı 598’dir. Örnekteki P sayımız da 17 olsun.
Toplam=598
P=17
598/17=35, kalan=3
Bu veri alındığında da şu işlem yapılır:
598-3)/17=35, kalan=0 (hatasız iletim)

Eğer iletilen veriler hatalı ise bu verilerin toplamı 598 olmayacaktır, dolayısı ile kalan da 0 olmaz. Buradan verilerde bir bozulma olduğu anlaşılır ve veriler tekrar iletilir/saklanır. CRC'nin kelime anlamı da yapılan işlemi anlatır (dönemsel kalan kontrolü; dönemseldir, çünkü bütün veri bloklara bölünür ve CRC işlemi her bir blok için uygulanır)

CRC yöntemi yüzde yüz güvenilir bir yöntem değildir. Yine örneğimizdeki verilere dönersek altıncı verinin 79 değil de 96 olacak şekilde bozulduğunu varsayalım (yani P kadar). Bu durumda karşı tarafın eline geçen verilerin toplamı 615 olacaktır. CRC işlemini uyguladığımızda:
        (615-3)/17=36, kalan=0

Yani, bir hatalı iletim söz konusu olduğu halde bu hata fark edilememiştir. Ama verilerin P ve P'nin katları kadar bozulma olasılığı hayli düşüktür. Bu yüzden hataların büyük bölümü CRC yöntemi ile saptanabilir.

Matematiksel İfade

1-)Veri katarı P(x) denilen bir polinom ile gösterilir.

P(x)=bn-1.xn-1+ bn-2.xn-2 +...+ b1.x1 + b0.x0

(1010010111) bit dizisine karşılık gelen polinom

P(x)=1.x9 +0.x8 +1.x7 +0.x6 +0.x5 +1.x4+0.x3+1.x2+1.x1+1.x0 
    =x9+X7+X4+X2+X+1

2-)P(x) polinomu XP ile çarpılır.Bu işlem sonucu elde edilir.Önceki bit katarı ile onun sonuna eklenmiş P tane 0 bitinden oluşur.
	1010010111 00...00
		 P tane

3-) XP.P(x) polinomu P. Derecede G(x) üreteç polinomuna bölünür.Üreteç polinom belirli hata sezme özelliğine sahip standart bir polinomdur.

X16+x15+x2+1, x12+x11+x3+x2+x+1, x16+x15+x5+1

4-)XP.P(x)/G(x)

XP.P(x)=Q(x).G(x)+R(x) şeklindedir.

XP.P(x)+R(x)=Q(x).G(x)

XP.P(x)-R(x)=Q(x).G(x)

Gönderi alıcıya P(x) yerine XP.P(x) +R(x) polinomu göndersin.Alıcı kendisine gelen bit dizisini G(x)'e böler.Bölme sonunda kalan olmamaktadır.Alıcı hata yoksa bit dizisinin en sonundaki P adet biti atarak bilgiyi elde eder.

 Karışık örnek 
11100101011 bit dizisini içeren CRC bitini hesaplayalım

1-) P(x) =x10+X9+X8+X5+X3+X+1

2-)Üreteç fonksiyon: G(x)= x4+x2+x+1 => XP = x4 olur.

     x4.P(x)= x4(x10+X9+X8+X5+X3+X+1)
            = x14+x13+X12+X9+X7+X5+X4

3-) x4.P(x)’i üreteç fonksiyona bölme
   Dosya:CRC2.jpg

     XP.P(x)= x14+x13+X12+X9+X7+X5+X4     
        G(x)= x4+x2+x+1   
        Q(x)= x10+x9+X3
        R(x)= X3

4-) Q(x).G(x)= XP.P(x)+ R(x)
            =  x14+x13+X12+X9+X7+X5+X4+X3
            =(11100101011 - 1000)  
                P(x)     - CRC biti

 CRC matematiği 
Bu bölme benzeri işlemde, iyi hata düzeltme özelliklerini garanti altına almak için nasıl bir bölen seçilmesi gerektiğinde matematik analizin önemi açığa çıkar. Bu analizde, bit dizisindeki rakamlar, x—değişkenine sahip bir polinomun katsayılarıdır. Bunlar, bilinen sayılar yerine, daha çok GF(2) sonlu alanının elemanlarıdır. İkili polinomlar kümesi, bir matematik halkasıdır.

 CRC polinomunu tasarlama 
Polinom kodun seçilmesi, CRC algoritmasını uygulamanın en önemli kısmıdır. Hata düzeltme kabiliyetini azami yapacak ve aynı anda çakışma ihtimalini asgari seviyeye indirecek şekilde polinom seçilmelidir.

Polinomun uzunluğu (herhangi bir terimin en büyük derecesi (üssü) +1) en önemli özelliğidir. Çünkü bu hesaplanan denetleme değerinin uzunluğunu doğrudan etkiler.

Sıkça kullanılan polinom uzunlukları şunlardır:
9 bit (CRC-8)
17 bit (CRC-16)
33 bit (CRC-32)
65 bit (CRC-64)

Denetleme değeri n bit olan bir CRC n bitlik CRC olarak adlandırılır. En yüksek derecesi n olan bir polinomun n+1 terimi vardır. Bu polinomun uzunluğu n+1'dir. Kalan 
n uzunluğundadır. CRC, CRC-n-XXX biçimini alır.

Korunacak azami toprak blok uzunluğuna (veri + CRC bitleri), belirlenen hata düzeltme özelliklerine ve CRC uygulamasındaki kaynak türlerine ve hatta istenen performansa göre CRC polinomunu tasarlanır. En büyük yanılgı, "en iyi" CRC polinomlarının ya indirgenemez polinom ya da indirgenemez polinomların 1 + x faktörü ile çarpılmasıyla türetilebileceğidir. Gerçekte, yukarıda bahsedilen tüm faktörler, polinom seçme yöntemi olabilir ve indirgenebilir polinoma yol gösterebilir. Fakat indirgenebilir polinom seçme, bölüm halkasının sıfır böleni bulunduğundan dolayı, hataları azaltmada belirli bir orana sahiptir.

 Sıkça kullanılan ve standartlaşan CRC'ler 

 Ad Kullanımları İfadeleri Normal Ayrılmış Karşılıklı ayrılmış CRC-1 çoğu donanım; eşlik biti olarak da bilinir 0x1 0x1 0x1 CRC-4-ITU G.704 0x3 0xC 0x9 CRC-5-EPC Gen 2 RFID 0x09 0x12 0x14 CRC-5-ITU G.704 0x15 0x15 0x1A CRC-5-USB USB paketleri 0x05 0x14 0x12 CRC-6-CDMA2000-A hücresel ağlar 0x27 0x39 0x33 CRC-6-CDMA2000-B hücresel ağlar 0x07 0x38 0x23 CRC-6-ITU G.704 0x03 0x30 0x21 CRC-7 telekomünikasyon sistemleri, G.707, G.832, MMC, SD 0x09 0x48 0x44 CRC-7-MVB Tren haberleşme şebekesi, IEC 60870-5 0x65 0x53 0x72 CRC-8  0xD5 0xAB 0xEA CRC-8-ITU-T I.432.1; ATM HEC, ISDN HEC ve hücre betimleme 0x07 0xE0 0x83 CRC-8-Dallas/Maxim 1 kablolu veriyolu 0x31 0x8C 0x98 CRC-8-SAE J1850 AES3 0x1D 0xB8 0x8E CRC-8-WCDMA  hücresel ağlar 0x9B 0xD9 0xCD CRC-10 ATM; I.610 0x233 0x331 0x319 CRC-10-CDMA2000 hücresel ağlar 0x3D9 0x26F 0x3EC CRC-11 FlexRay 0x385 0x50E 0x5C2 CRC-12 telekomünikasyon sistemleri 0x80F 0xF01 0xC07 CRC-12-CDMA2000 hücresel ağlar 0xF13 0xC8F 0xF89 CRC-13-BBC Zaman sinyali 0x1CF5 0x15E7 0x1E7A CRC-15-Denetleyici alan ağı (CAN)  0x4599 0x4CD1 0x62CC CRC-15-MPT-1327  0x6815 0x540B 0x740A Chakravarty yüklere özel ≤64 bit 0x2F15 0xA8F4 0x978A CRC-16-ARINC ACARS uygulamaları 0xA02B 0xD405 0xD015 CRC-16-CCITT X.25, V.41, HDLC FCS, XMODEM, Bluetooth, PACTOR, SD, diğer bir çokları; CRC-CCITT olarak da bilinir 0x1021 0x8408 0x8810 CRC-16-CDMA2000 hücresel ağlar 0xC867 0xE613 0xE433 CRC-16-DECT  0x0589 0x91A0 0x82C4 CRC-16-T10-DIF SCSI DIF  0xEDD1 0xC5DB CRC-16-DNP DNP, IEC 870, M-Bus 0x3D65 0xA6BC 0x9EB2 CRC-16-IBM Bisync, Modbus, USB, ANSI X3.28, SIA DC-07, diğer bir çokları; CRC-16 ve CRC-16-ANSI olarak da bilinir 0x8005 0xA001 0xC002 Fletcher Adler-32 A & B CRC'ler kullanılır Bir CRC değildir CRC-17-CAN CAN FD 0x1685B  0x1B42D 0x1B42D CRC-21-CAN CAN FD 0x102899  0x132281 0x18144C CRC-24 FlexRay 0x5D6DCB 0xD3B6BA 0xAEB6E5 CRC-24-Radix-64 OpenPGP, RTCM104v3 0x864CFB 0xDF3261 0xC3267D CRC-30 CDMA 0x2030B9C7 0x38E74301 0x30185CE3 Adler-32 Zlib Bir CRC değildir CRC-32 HDLC, ANSI X3.66, ITU-T V.42, Ethernet, SATA, MPEG-2, PKZIP, Gzip, Bzip2, PNG, diğer bir çokları 0x04C11DB7 0xEDB88320 0x82608EDB CRC-32C (Castagnoli) iSCSI, SCTP, G.hn yükü, SSE4.2, Btrfs, ext4 0x1EDC6F41 0x82F63B78 0x8F6E37A0 CRC-32K (Koopman)  0x741B8CD7 0xEB31D82E 0xBA0DC66B CRC-32Q havacılık; AIXM 0x814141AB 0xD5828281 0xC0A0A0D5 CRC-40-GSM GSM kontrol kanalı  0x0004820009 0x9000412000 0x8002410004 CRC-64-ECMA ECMA-182, XZ Utils 0x42F0E1EBA9EA3693 0xC96C5795D7870F42 0xA17870F5D4F51B49 CRC-64-ISO HDLC, Swiss-Prot/TrEMBL; bozma için uyarı olarak nitelendirilir  0x000000000000001B 0xD800000000000000 0x800000000000000D

Kategori:İkili sayı aritmetiği
Kategori:Sonlu cisimler
Kategori:Karma işlevleri