Apéry sabiti

Kullanılan sayılar γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α -  -  - δİkilik sistem 1.001100111011101... Onluk sistem 1.2020569031595942854... Sonsuz kesirolarak yazılışı 
Apéry sabiti, matematiğin gizemli sayılarından biridir. Elektrodinamik alanında elektronun jiromagnetik oranının ikinci ve üçüncü derece terimlerinin yanı sıra birçok fiziksel soruda karşılaşılan bu sabit, paydasında üstel fonksiyon barındıran integrallerin çözümünde de kullanılmaktadır. Debye modelinin iki boyut için hesaplanması buna örnek olarak gösterilebilir.
Sayı, aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.

Burada ζ, Riemann zeta fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu sayının yaklaşık değeri

Bu sayının çarpmaya göre tersi rastgele seçilen üç pozitif tamsayının aralarında asal olma olasılığına eşittir.

 Apéry teoremi 

Bu sabit, onun bir irrasyonel sayı olduğunu 1978 yılında kanıtlayan Roger Apéry (1916–1994)'ye atfedilmiştir. Bu sonuç, Apéry teoremi olarak adlandırılır. Özgün ispatın karmaşık yapısından ötürü anlaşılamaması Legendre polinomlarını kullanan ispatları popüler hale getirmiştir. Apéry sabitinin bir doğaüstü sayı olup olmadığı henüz bilinmemektedir.

Wadim Zudilin ve Tanguy Rivoal'ın yürüttükleri çalışma, sonsuz çoklukta ζ(2n+1) sayısının irrasyonel olduğunu göstermiştir.T. Rivoal, La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 331 (2000), s. 267-270. Ayrıca, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olması gerektiği bulunmuştur.W. Zudilin, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den biri irrasyonel, Uspekhi Mat. Nauk 56:4 (2001), s. 149-150.

 Seri şeklinde yazılışı 
Leonhard Euler  1772 yılında bu sayıyı seri şeklinde ifade etmiştir :

Bu ifade birçok kez yeniden bulunmuştur.

Simon Plouffe her uygulamada farklı doğruluk derecesine sahip birçok seri önermiştir. Bunlar, :

ve

ifadeleridir.

'in farklı değerleri için geçerli eşitlikler zeta sabitleri maddesinde bulunmaktadır.

Bulunan diğer seri ifadeleri şunlardır:

ve

Burada,

Bu ifadelerden bazıları Apéry sabitinin birkaç milyon basamağa kadar hesaplanmasında kullanılmıştır.

'ün sağladığı seri açılımı ikili sayı sisteminde çalışmaktadır. Bu, sabitin doğrusal zamanda hesaplanabilmesine olanak tanımaktadır.

 Diğer formüller 
Apéry sabiti ikinci dereceden bir poligamma fonksiyonu ile de ifade edilebilmektedir.

 Bilinen basamakları 
Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı son yıllarda büyük bir artış göstermiştir. Bu, bilgisayarların gelişen başarımı ve daha verimli algoritmaların üretilmiş olmasının bir sonucudur.

+ Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı Tarih  Basamak sayısı  Hesaplamayı Yapan Kişi Ocak 2007  2,000,000,000  Howard Cheng, Guillaume Hanrot, Emmanuel Thomé, Eugene Zima & Paul Zimmermann Nisan 2006  10,000,000,000  Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo Şubat 2003  1,000,000,000  Patrick Demichel & Xavier Gourdon Şubat 2002  600,001,000  Shigeru Kondo & Xavier Gourdon Eylül 2001  200,001,000  Shigeru Kondo & Xavier Gourdon Aralık 1998  128,000,026  Sebastian Wedeniwski  Şubat 1998  14,000,074  Sebastian Wedeniwski Mayıs 1997  10,536,006  Patrick Demichel 1997  1,000,000  Bruno Haible & Thomas Papanikolaou 1996  520,000  Greg J. Fee & Simon Plouffe 1887  32  Thomas Joannes Stieltjes Bilinmiyor  16  Adrien-Marie Legendre

 Kaynakça 

 Konuyla ilgili yayınlar 
 .
 .
 .
 .

 .





Kategori:Matematiksel sabitler
Kategori:Analitik sayı teorisi
Kategori:Oransız sayılar
Kategori:Zeta ve L-fonksiyonları