Morera teoremi

Teoremin ifadesi
Morera teoremi: Karmaşık düzlem üzerindeki açık bir D kümesi üzerinde tanımlı, sürekli, karmaşık değerli ve D içindeki her kapalı C eğrisi için  ifadesini sağlayan bir f fonksiyonu D üzerinde holomorftur.Morera teoreminin varsayımı, f 'nin D üzerinde terstürevi olduğuna denktir.

Teoremin tersi genel anlamda doğru değildir. Holomorf bir fonksiyon, ek varsayımlar konulmadıkça, tanım kümesi üzerinde terstüreve sahip olmak zorunda değildir. Örneğin, Cauchy integral teoremi, holomorf bir fonksiyonun kapalı bir eğri üzerindeki çizgi integralinin ancak fonksiyonun tanım kümesinin basit bağlantılı olması durumunda sıfır olacağını ifade eder.

 Kanıt 
küçükresim|sağ|a 'dan b 'ye iki yol boyunca integraller eşittir çünkü farkları kapalı bir döngü boyunca integraldir.

Teoremin göreceli olarak basit bir kanıtı vardır. f için açıkça bir terstürev oluşturulur. Ondan sonra teorem, holomorf fonksiyonların analitikliği gerçeğinden yola çıkılarak kanıtlanır.

Genellemeyi kaybetmeden, D 'nin bağlantılı olduğu varsayılabilir. D içinde bir a noktası sabitlensin ve D üzerinde aşağıdaki gibi karmaşık değerli bir F fonksiyonu tanımlansın:

Yukarıdaki integral, D içinde a 'dan b 'ye herhangi bir yol üzerinden alınabilir. Burada F fonksiyonu iyi tanımlıdır çünkü hipotez gereği f 'nin a 'dan b 'ye giden herhangi iki eğri boyunca integrali eşittir. Hesabın temel teoremi sayesinde F 'nin türevinin f olduğu görülür:

Özellikle, F holomorftur. O zaman f de holomorf bir fonksiyonun türevi olduğu için holomorftur.

 Uygulamalar 
Morera teoremi karmaşık analizde standart bir araçtır. Bir holomorf fonksiyon cebirsel olmayan bir yolla oluşturulacaksa, hemen hemen tüm argümanlarda Morera teoremi kullanılır.

 Düzgün limitler 
Örneğin, f1, f2, ... açık bir küme üzerinde sürekli bir f fonksiyonuna düzgün bir şekilde yakınsayan bir holomorf fonksiyon dizisi olsun. Cauchy integral teoreminden her n  için ve disk içinde kapalı her C eğrisi için

ifadesinin doğru olduğu görülür. Düzügün yakınsaklık sayesinde de her kapalı C eğrisi için

ifadesinin doğruluğu biliniyor. Bu yüzden, Morera teoreminden dolayı f holomorf olmalıdır. Bu gerçek, aynı zamanda, herhangi açık bir Ω ⊆ C kümesi için, u : Ω → C şeklinde tanımlanan sınırlı ve analitik tüm fonksiyonların kümesi A(Ω)'nın supremum norm'a göre bir Banach uzayı olduğunu göstermek için de kullanılabilir.

 Sonsuz toplamlar ve integraller 
Morera teoremi ayrıca Riemann zeta fonksiyonu

veya gama fonksiyonu

gibi toplamlar ve integraller yoluyla tanımlanmış fonksiyonların analitikliğini göstermek için de kullanılabilir.

 Hipotezlerin zayıflatılması 
Morera teoreminin hipotezleri epeyce zayıflatılabilir. Özellikle, D bölgesi içindeki her kapalı T üçgeni için

integralinin sıfır olması yeterlidir. Bu aslında, holomorfiyi ayırıcı bir niteliğe sokar, yani f ancak ve ancak yukarıdaki koşullar sağlanırsa holomorftur.

 Kaynakça 


 G. Morera, "Un teorema fondamentale nella teoria delle funzioni di una variabile complessa", Rend. del R. Instituto Lombardo di Scienze e Lettere'' (2) 19 (1886) 304–307


 Dış bağlantılar 
 MathWorld'deki Morera Teoremi bilgisi
 John H. Mathews'ün Morera Teoremi için yaptığı modül
 EoM makalesi

Kategori:Matematik teoremleri
Kategori:Kanıt içeren maddeler
Kategori:Karmaşık analiz teoremleri