Geometrik medyan

Geometrik medyan bir Öklid uzayında bulunan aralıklı set halindeki örneklem noktaları, bu noktalar arasındaki uzaklıkların toplamını en küçük (minimum) yapan bir nokta olarak tanımlanır. Tek boyutlu veri serisi içinde veri noktaları arasında uzaklıkları minimum yapma özelliği olan medyanın, çok boyutlu veri uzayında karşıtı olup, bir çokdeğişirli merkezsel konum ölçüsü olur. Geometrik medyan için kullanılan diğer adlar Fermat-Weber noktası veya 1-medyan olur.

Geometrik medyan yöneylem araştırması, Endüstri Mühendisliği alanlarında bulunan ve pratikte çok önemi olan standart üretim ve dağıtım kuruluşu konumlanma problemi için kullanılan yaklaşımlardan en popüleridir; çünkü geometrik medyan noktasında konumlanma taşıma maliyetlerini en küçük yapan bir noktadır.

 Tanınım 

Geometrik medyan için matematik biçimde tanımlama şöyle yapılır:

Her biri  içinde m  tane nokta olan  seti verilmiş olsun. Bu halde geometrik medyan matematiksel olarak şöyle tanımlanır:

Geometrik Medyan 

Burada argmin verilen toplamanın hangi argümanlara göre minimumunun bulunduğunu gösterir. Bu halde bütün  noktalarına giden Euclid-tipi uzaklıklarının toplamını minimum yapacak bir başlangıç noktası olan  noktasıdır.

 Özellikler 

 Tek boyutlu uzayda, geometrik medyan medyan ile çakışır. Buna neden tekdeğişirli medyanın da veri noktalarından medyana uzaklıklarının toplamının minimum olmasıdır.
 Eğer noktalar doğrudaşlık (İngilizce:collinearity) özelliğine sahip değillerse, geometrik medyan tanımına uyan yegane tek bir noktadır.
 Geometrik medyan Euclid tipi (çevirme ve devretme gibi) benzerlik dönüşümlerine eşit değişme gösterir. Bu demektir ki geometrik medyana uygulanan benzerlik dönüşümü ile elde edilen sonuç ile önce veri serisine ayni dönüşümü uygulayıp sonra dönüşümlü serilerin geometrik medyanı alma sonucuyla aynıdır. Bu özellik geometrik medyanın sadece nokta çiftlerine göre tanımlanması nedeninden ve örneklem veri serisinin temsil edildiği ortogonal Kartezyen koordinat sistemine bağlı olmamasından ortaya çıkar. Buna karşılık, birçoklu değişirli veri dizisi kullanılarak elde edilen çoklu-medyan genellikle rotasyon dönüşümünden etkilenmekte ve koordinat sitemi seçimine çok güçlü olarak bağlı olmaktadır.
 Geometrik medyan için çöküntü noktası 0,5 olarak hesaplanmıştır.Lopuhaä, H. P.; Rousseeuw, P. J. (1991). "Breakdown points of affine equivariant estimators of multivariate location and covariance matrices". Annals of Statistics 19 (1): 229–248 Bu demektir ki eğer örneklem veri serisinin yarısı keyfi bir şekilde bozulmuşlarsa, geometrik medyan bu halde bile, bozuk olmayan verilerin ortaya çıkarabileceği merkezsel konum noktasının bir güçlü kestirimi olacaktır.

 Özel haller 

 Üç nokta için: Eğer bir üçgenin herhangi bir açısı 120°den daha büyük ise, geometrik medyan bu açının başlangıç köşe noktasıdır. Eğer tüm açılar 10&geg;den daha az ise, geometrik medyan üçgenin içinde öyle bir noktadır ki tüm üç çift noktaya 120°lik bir açı kurulabilirse, bu nokta üç noktaya kurulmuş olan bir üçgenin Fermat noktası olarak da bilinir.
 Dört aynı-düzeysel noktalar için: Eğer bir nokta diğer üç noktadan kurulmuş olan bir üçgenin içinde ise bu nokta geometrik medyandır. Aksi halde, noktalar bir konveks dörtgen kurarlar ve geometrik medyan bu dörtgenin köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Bu nokta dört köşe noktasının Radon noktası olarak bilinir.

 Hesaplama 

Kavram olarak anlaşılması oldukça kolay olan geometrik medyan bulmak için kullanabilcek bir matematik formül daha mevcut değildir. Geometrik medyana benzer olan ve her örneklem noktasının uzaklık karelerinin toplamını minimum yapan sentroid veya kütle merkezi için basit bir formül bulunmaktadır. Ama uzaklık toplamını minimize edecek geometrik medyan için bunun imkânsız olduğu, yani sadece aritmetiksel işlemler ve kinci kökler hesapları kullanılmasını öneren bir matematik formülün bulunmasının genel olarak mümkün olamayacağı, ispatlanmıştır.Cockayne,E.J. ve Melzak,Z.A. (1969) "Euclidean constructability in graph minimization problems." Mathematics Magazine C.42 say.206–208Bajaj,C.(1988) "The algebraic degree of geometric optimization problems" Discrete and Computational Geometry C.1 say.177-199 

Cebirsel şekilde bir formülün bulunmasına rağmen, sayısal yaklaşımlar kullanılarak yinelemeli süreçle, her bir yinelemede daha geometrik medyan için çok uygun yaklaşık değerler bulunabilir. Bu tip yordamların kullanılması temelinde bulunan gerçek uzaklıkların toplamının bir konveks fonksiyon olmasıdır çünkü her örneklem veri noktasına uzaklık konveks olduğu için, konveks fonksiyonların toplamının da konveksdir. Böylece her bir çözüm aşamasında uzaklıkların toplamını azaltan bir yordam bir yoresel optimum noktasına takılıp kalmamaktadır.

Geometrik medyan bulmak için kullanılan bir yineleme ile yaklaşık çözüm bulma işlemine Weiszfeld'in algoritması adi verilmektedir.Weiszfeld,E. (1937) "Sur le point pour lequel la somme des distances de n points donnes est minimum", Tohoku Math. Journal C.43 say.355–386Kuhn,H.W. (1973), "A note on Fermat's problem" Mathematical Programming C.4 No.1 say.98–107 ve bu yinelemeli tekrar ağırlıklanmış en küçük kareler yönteminin bir değişik şeklidir.

Bose ve arkadaşları (2003) bu probleme bir yaklaşık optimal çözüm değeri bulmak için daha komplike geometrik optimizasyon yöntemlerinin kullanılmasını önermektedirler.

 Örtük formül 

Eğer y tüm diğer verilmiş noktalar olan xj lerden belirgin olarak farkı ise, ynin geometrik medyan olması ancak ve ancak şu ifadeyi tatmin ederse mümkündür:

Bu ise Weiszfeld'in algoritmasının yakın benzeri olan şu ifadeyle aynıdır:

Eğer y verilmiş olan noktaların bazılarına eşit ise, o halde ynin geometrik medyan olması ancak ve ancak

koşuluna uyan uj vektörlerinin bulunması ile mümkün olur. Burada xj ≠ y için

ve xj = y için
xj = y
olur.

 Ayrıca bakınız 

 Merkezsel konum ölçüleri
 Sentroid, Euclid tipi uzaklıkların karelerinin toplamının minimum değeri bulunur.

 Kaynakça 

 Chandrasekaran, R. ve Tamir, A. (1989) "Open questions concerning Weiszfeld's algorithm for the Fermat-Weber location problem" Mathematical Programming, Series A C.44 say.293–295 
 Fekete, S.P., Mitchell, J.S.B. ve Beurer, K. (2003) On the continuous Fermat-Weber problem

 Weber, Alfred (1909), Über den Standort der Industrien, Erster Teil: Reine Theorie des Standortes, Mohr: Tübingen
 Wesolowsky, G. (1993) "The Weber problem: History and perspective" Location Science C.1 say.5–23
 Weiszfeld, E. (1937). "Sur le point pour lequel la somme des distances de n points donnes est minimum". Tohoku Math. Journal 43: 355–386.

Kategori:Ortalama
Kategori:Optimizasyon
Kategori:Yöneylem araştırması
Kategori:Parametrik olmayan istatistik
Kategori:Betimsel istatistik
Kategori:Geometrik algoritmalar