Tam fonksiyon

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, tam fonksiyon, karmaşık düzlemin tümünde holomorf olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Tam fonksiyonların örnekleri arasında polinomlar, üstel fonksiyonlar, sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik fonksiyonlar, sinh ve cosh gibi hiperbolik fonksiyonlar ve yine bunların sonlu toplamları, çarpımları, bileşkeleri, türevleri ve integralleri verilebilir.

Doğal logaritma ya da karekök fonksiyonu tam bir fonksiyona analitikliğini koruyacak şekilde devam ettirilemez. 
Polinom olmayan tam fonksiyonlara aşkın tam fonksiyon adı verilir. Meromorf fonksiyonların rasyonel fonksiyonların genellemesi olarak görülebilmesine benzer bir şekilde, tam fonksiyonlar da polinomların genellemesi olarak görülebilir. Özellikle, meromorf fonksiyonların çarpanlara ayrılması Mittag-Leffler teoremi sayesinde basit rasyonel fonksiyonlara indirgenmesine benzer olarak, tam fonksiyonların çarpanlara ayrılmasının yolu Weierstrass çarpım teoreminden geçer.

 Özellikleri 
 Kuvvet serisi temsili 
Her tam fonksiyon tıkız kümeler üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan kuvvet serileri ile temsil edilebilir. Diğer deyişle, bir  fonksiyonu tamsa, 

gibi karmaşık düzlemin her yerinde yakınsayan (ve bu yüzden tıkız altkümelerde de düzgün yakınsayan) bir kuvvet serisi ile temsil edilebilir. Elbette, böyle bir serinin yakınsaklık yarıçapı sonlu olmayacaktır. Daha doğrusu, 

olur ve bu ifade, eşdeğer olarak 

olarak da yazılabilir.Gerekirse, 0 noktasında logaritmanın tanımı  alınabilir. Ters yönde ifade etmek gerekirse, bu yakınsaklık yarıçapı şartlarını sağlayan her kuvvet serisi tam fonksiyon olacaktır.
 Örnekler 






Kuvvet fonksiyonlarındaki terimlerin katsayılarının gerçel olduğu durumlarda, tam fonksiyonlar gerçel sayı değerleri için elbette gerçel değerler alacaktır. Bu durumda, bir  karmaşık değerinde aldığı değerin eşlenik değerini bir nin eşlenik değerinde alacaktır. Diğer deyişle, . Bu tür tam fonksiyonlara kendine eşlenik fonksiyon denir.

Bir tam fonksiyonun gerçel kısmı bir noktanın çevresinde biliniyorsa, hem gerçel hem de sanal kısımları (sanal bir sabit belirsizliğinde) tüm karmaşık düzlem için bilinir. Örneğin, gerçel kısım sıfırın çevresinde biliniyorsa  için katsayıları şu şekilde bulabiliriz:

Benzer şekilde, sanal kısım bir komşulukta biliniyorsa, fonksiyon gerçel bir sabit belirsizliğinde belirlenir. Aslında, gerçel kısım sadece bir çemberin yayı üzerinde biliniyorsa, fonksiyon sanal bir sabit belirsizliğinde bilinir.Örneğin, birim çemberin bir parçası üzerindeki gerçel kısmı biliniyorsa, analitik devamlılık ile birim çemberin tamamı üzerinde bilinir. Bu yüzden, sonsuz serinin katsayıları, birim çemberin üzerindeki gerçel kısım için yazılmış olan için Fourier serilerinin katsayılarından elde edilir. Ancak, gerçel kısmının bilinmesi her bir eğri üzerinde işe yaramaz. Özellikle, bir tam fonksiyonun gerçel kısmının değerleri karmaşık düzlemdeki bir eğride verilmişse ve aynı eğri üzerinde başka bir tam fonksiyonun gerçel kısmı sıfırsa, o zaman bu ikinci tam fonksiyonun herhangi bir katı belirlemeye çalıştığımız tam fonksiyona eklenebilir. Örneğin, 
 gerçel kısmın bilindiği eğri gerçel sayı doğrusuysa, o zaman herhangi bir öz-eşlenik fonksiyonu i ile çarpıp bu fonksiyonun üstüne ekleyebiliriz. 
 eğri bir döngü oluşturuyorsa, o zaman gerçel kısmı eğri üzerinde bilinen fonksiyonun gerçekten de bu değerler ve bir sanal sayı tarafından belirlenir. Çünkü, gerçel kısmı bir döngü üzerinde sıfır olan tam fonksiyonlar aslında sabittirler ve bir sanal sayıya eşittirler.

 Sınırlılık ve büyüme özellikleri 
Tam fonksiyonlar, gerçel sayılarda tanımlanmış sonsuz türevli fonksiyonlar gibi, sınırlı olamazlar ve bu özelliği tam fonksiyonlar için ifade eden Liouville teoremidir. Kısacası, sınırlı her tam fonksiyon sabittir. Sonuç olarak, Riemann küresinin (karmaşık düzlem ve sonsuzdaki karmaşık nokta) tümünde tam olan (karmaşık değerli) bir fonksiyon sabittir. Bu yüzden, tam bir fonksiyonun (eğer sabit değilse) sonsuz noktasında bir tekilliği olmak zorundadır. Bu tekillik ya kutup noktasıdır ya da esaslı tekillik noktasıdır. 
Eğer esaslı tekillik varsa, fonksiyona aşkın tam fonksiyon denilir, öteki türlü fonksiyon bir polinomdur.

 Sıfır değerleri ve kökler 
 Polinomların sonlu sayıda sıfırı varken, aşkın tam fonksiyonların sıfır sayısı sonlu ya da sonsuz olabilir. 
 Liouville teoremi, derecesi  olan bir polinomun  tane kökü olduğunu ifade eden cebirin temel teoremi'nin şık bir kanıtı için de kullanılabilir.
 Picard'ın küçük teoremi, Liouville teoreminin epeyce güçlendirilmiş halidir: Sabit olmayan tam bir fonksiyon, tüm karmaşık değerleri alır veya almadığı karmaşık noktalar en fazla bir tanedir. Bu en son bahsedilen istisnaya örnek olarak 0 değerini hiçbir zaman almayan üstel fonksiyon verilebilir.
 Weierstrass çarpım teoremi sayesinde herhangi bir tam fonksiyonun sıfırlarını (veya "köklerini") içeren bir çarpımla temsil edilebileceğini ifade eder. J. E. Littlewood kitaplarının birinde, Weierstrass sigma fonksiyonunu tipik bir tam fonksiyon olarak seçmiştir.

 Tam bir fonksiyonun büyümesi
Kesin artan herhangi bir gerçel fonksiyonunun büyüme hızından daha hızlı büyümeye sahip tam fonksiyonlar bulunabilir. Daha doğrusu, bir  fonksiyonu artan fonksiyonsa, o zaman tüm gerçel  değerleri için  sağlayacak bir  tam fonksiyonu vardır. Mesela,  bir sabit ve  kesin artan bir pozitif tam sayılar dizisi olmak üzere, böyle bir tam fonksiyon,

tarafından verilir. Böyle verilmiş her pozitif tam sayı dizisi aracılığıyla  tam fonksiyon olur. Eğer kuvvetler dikkatle seçilirse, tüm gerçel  değerleri için  sağlanabilir. Örneğin,  alınıp her  için  eşitsizliğini sağlayacak çift bir  seçilirse, büyüme koşulu sağlanabilir.

 Özellikler 
Bir  tam fonksiyonu verilmiş olsun ve 

tanımlansın.
 Eğer,  ise,  tam fonksiyonu derecesi en fazla  olan bir polinomdur. Tersi ifade de doğrudur ve  dereceli bir polinom için  olacağı barizdir.
 Eğer  aşkın tam fonksiyon ise, o zaman 

olmak zorundadır. 
Gerçekten de, limit sonsuz olmasaydı, yani,  sağlayan bir  olsaydı, o zaman her  için sonsuza kaçan ve  eşitsizliğini her  için sağlayan bir  dizisi olurdu. Cauchy kestirimi kullanılarak 

olurdu.  iken  değerleri sağ taraf sıfır olurdu ki bu yüzden  olurdu. Böylelikle, fonksiyon polinom olurdu ve bu da başlangıçta verilen aşkın tam fonksiyon varsayımıyla çelişki yaratırdı.

 Mertebe ve tip
 Mertebe 
Tam olan bir  fonksiyonunun mertebesi limsup kullanılarak aşağıdaki gibi tanımlanır.

Bu ifadede , 'dan uzaklıktır ve , daha önce tanımlandığı üzere,  olduğunda 'nin maksimum mutlak değeridir. Yani,

Bu yüzden, tam fonksiyonun mertebesi ya negatif olmayan bir gerçel sayıdır ya da sonsuzdur. Başka bir ifadeyle, nin mertebesi,  iken 

sağlayan tüm  değerlerinin en küçüğüdür (infimum).

Eğer tam fonksiyonun mertebesi bir gerçel sayıysa, o zaman, fonksiyona sonlu mertebeli denir.

 Tip 
 ise, ayrıca tip de aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Eğer  ise, fonksiyon  mertebesine göre sonsuz tipte denir.

Örneğin,  fonksiyonunu göz önüne alalım. Her  için  olduğu için,

elde edilir. Aynı zamanda,  için  alınırsa, 

Böylece, fonksiyonun tipi , mertebesi de 1e eşittir. Mertebesi 1den küçük veya 1e eşit sonlu tipli tam fonksiyonlara üstel tipli fonksiyonlar da denilir. Üstel tipe sahip tam fonksiyonlar, üstel tipi 0 olanlar () ve üstel tipi 1 olanlar () diye ikiye ayrılırlar.

 Ayrıca bakınız 
 Üstel tipli fonksiyon
 Liouville teoremi (karmaşık analiz)
 Cebirin temel teoremi
 Weierstrass çarpım teoremi
 Jensen formülü

 Notlar 

 Kaynakça 

 Ralph P. Boas, Entire Functions, Academic Press, 1954

Kategori:Karmaşık analiz
Kategori:Analitik fonksiyonlar
Kategori:Özel fonksiyonlar