Vektör hesabı

Vektör hesabı (vektör analizi, yöney hesabı veya yöney analizi de denilir), iki veya daha çok boyutlu (bazı sonuçlar — çapraz çarpımı içeren sonuçlar — sadece üç boyuta uygulanabilir) iç çarpım uzayındaki vektörlerin çok değişkenli gerçel analiziyle uğraşan bir matematik dalıdır. Fizik ve mühendislikte epey faydalı olan formül takımlarından ve problem çözme tekniklerini kapsamaktadır. Vektör hesabı köklerini kuaterniyon analizinden almaktadır ve Amerikan mühendis ve bilim insanı J. Willard Gibbs ve İngiliz mühendis Oliver Heaviside tarafından formüle edilmiştir.

Vektör hesabı bir skaleri uzaydaki her noktaya bağlayan skaler alanlarla ve bir vektörü uzaydaki her noktaya bağlayan vektör alanı ile ilgilidir. Örneğin, bir yüzme havuzunun sıcaklığı bir skaler alandır: Her noktaya skaler sıcaklık değeri verilir. Aynı havuzdaki su akışı ise bir vektör alanıdır: Her noktaya bir hız vektörü verilir.

Vektör cebiri

Cebirsel (türevsel olmayan) vektör işlemlerine vektör cebiri denir. Bu işlemler bir vektör uzayı için tanımlanır ve bir vektör alanının tamamına etki eder. Temel cebirsel işlemler şunlardır:

İşlemGösterimAçıklamaVector toplamıİki vektör alanının toplamı olan bir vektör alanı verir.Skaler çarpımBir skaler alanı ile bir vektör alanının çarpımı olan bir  vektör alanı verir.Nokta çarpımİki vektör alanının çarpımı olan bir vektör alanı verir.Çapraz çarpım uzayında iki vektör alanının çarpımı olan bir (sahte) vektör alanı verir.

Ayrıca aşağıdaki üçlü çarpımlar sıkça kullanılır:
İşlemGösterimAçıklamaSkaler üçlü çarpımÇapraz çarpımın nokta çarpımı.Vektör üçlü çarpımÇapraz çarpımın çapraz çarpımı.

 Vektör işlemleri 
Vektör hesabı genelde del veya nabla operatörü () ile ifade edilen skaler alanlarda veya vektör alanlarında tanımlı diferansiyel operatörleri incelemektedir. Vektör hesabındaki en önemli 4 işlem  ise şunlardır.

İşlem  Gösterim (notasyon)  Açıklama  Tanım/Görüntü kümesiGradyan   Skaler alandaki değişimin oranını ve yönünü ölçer.  Skaler alanları vektör alanlarına gönderir. curl (Rotasyonel)   Bir vektör alanındaki bir nokta etrafındaki dönme meyilini ölçer.  Vektör alanlarını vektör alanlarına gönderir. Diverjans   Bir vektör alanında verilmiş olan bir noktadaki bir kaynağın veya batığın büyüklüğünü ölçer.  Vektör alanlarını skaler alanlara gönderir. Laplasyen   Diverjans ve gradyan işlemlerinin bir bileşkesidir.  Skaler alanları skaler alanlara gönderir.

Jacobi adı verilen bir nicelik ise, fonksiyonların tanım ve değer kümesinin her ikisinin de çok değişkenli olduğu zaman, integral almada değişken değiştirme gibi fonksiyonların incelendiği alanlarda çok yararlıdır.

 Teoremler 
Benzer bir şekilde, bu operatörlere ilişkin, hesabın temel teoremini daha yüksek boyutlara genelleyen çeşitli önemli teoremler mevcuttur:

 Teorem  İfadesi  Açıklama Gradyan teoremi   Bir gradyan (vektör) alanının çizgi integrali, skaler alanındaki eğrinin sonnoktalarının farkına eşittir. Green teoremi   Bir vektör alanının skaler körlünün düzlemdeki bir bölgedeki integrali bu bölgeyi sınırlayan eğri üzerindeki vektör alanının çizgi integraline eşittir. Stokes teoremi   Bir yüzey üzerindeki vektör alanının körlünün integrali, yüzeyi sınırlayan eğri üzerindeki vektör alanının çizgi integraline eşittir. Diverjans teoremi   Bir katı üzerindeki vektör alanının diverjansının integrali, katyı sınırlayan yüzeyinden geçen akımın integraline eşittir.

Vektör hesabının kullanımı koordinat sistemine "eli olma" kuralı getirilmesini gerektirebilir (Çapraz çarpıma bakınız.). Birçok analitik sonuç, genel bağlamda, vektör hesabının bir altkümesini oluşturduğu diferansiyel geometri ile daha kolay bir şekilde anlaşılabilir.

 Ayrıca bakınız 
 Vektör hesabı özdeşlikleri

 Kaynakça 
  (Summary)


 Chen-To Tai (1995). Vektör analizinin tarihsel bir çalışması. Teknik Rapor RL 915, Radyasyon Laboratuvarı, University of Michigan.

 Dış bağlantılar 
 Vektör hesabını dik olmayan bir uzaya genişletmek
 Vektör Hesabı: Matematik ve Fizik öğrencilerinin kullanımı için bir ders kitabı, (Willard Gibbs'in derslerine dayanılmıştır) Edwin Bidwell Wilson tarafından, 1902'de yayınlanmıştır.


Kategori:J. Willard Gibbs