Açıkorur gönderim

Matematikte açıkorur gönderim ya da açıkorur dönüşüm tanımlı olduğu kümenin her noktasında yerel olarak açıları koruyan bir fonksiyona verilen addır. Bu tanımı haliyle, açıkorur gönderimlerin her zaman uzunlukları koruması ya da yönleri koruması beklenmez.

Açıkorur gönderimlerin hem açı hem de yön koruyanlarına konform dönüşüm adı verilir ve tanımları genelde, bir kere gerçel türevlilik içerir. Bu haliyle, konform dönüşümler hem açıları hem de sonsuz küçüklükteki figürlerin şekillerini korurlar; ancak boyutlarını korumayabilir de.

Açıkorur özelliği bir koordinat dönüşümünün Jakoben türevi matrisiyle de açıklanabilir. Eğer dönüşümün Jakoben matrisi her yerde bir skaler ile rotasyon matrisinin çarpımıysa, o zaman dönüşüm açıkorurdur. Açıkorur gönderimler daha yüksek boyutlu Öklid uzaylarındaki veya daha genel bir şekilde bir Riemann manifoldu üzerindeki bölgeler arasında da tanımlanabilir.

 Karmaşık analiz 
Açıkorur gönderimlerin önemli bir ailesi karmaşık analizden gelmektedir. Eğer U, karmaşık düzlem  'nin açık bir altkümesiyse, o zaman  fonksiyonu ancak ve ancak holomorf ise ve türevi U üzerindeki her yerde sıfırdan farklıysa, açıkorurdur. Eğer f tersholomorf ise (yani, holomorf bir fonksiyona eşlenikse), açıları yine korur ancak bu sefer yönleri tersine çevirir. 
Bunu görmek için daha genel bir varsayımdan başlayalım:  açık bir kümeyse,  fonksiyonu  noktasında gerçel türeve sahipse, o zaman  dönüşümünün standard bazlara göre determinantı

olur. Eğer fonksiyon holomorfsa, Unun her noktasında  olur. Ayrıca, türevi U üzerindeki her yerde sıfırdan farklıysa bu sefer  olur. Yine benzer bir yolla, tersholomorf için determinantın negatif olduğu gösterilebilir.

Karmaşık analizin çok derin sonuçlarından biri olan Riemann dönüşüm teoremi  'nin boş olmayan, açık, basit bağlantılı bir özalt kümesiyle 'deki açık birim disk arasında birebir ve örten bir konform dönüşümün varolduğunu söyler.

Genişletilmiş karmaşık düzlemin (ki bir küreye açıkorur olarak denktir) kendi üzerine örten bir gönderimi ancak ve ancak Möbius dönüşümü ise açıkorurdur. Yine, karmaşık eşlenik için, açılar korunur ancak yönler tersine çevrilir.

Sonuncunun bir örneği ise birim çembere göre "çember tersinmesi"ne karşılıık gelen eşleniğin tersini almaktır. Bu ayrıca açıyı aynı tutan, çembersel koordinatlarda yarıçapsal koordinatın tersini almak olarak da açıklanabilir.

 Riemann geometrisi 

Riemann geometrisinde,  pürüzsüz manifoldunun üzerindeki  ve  Riemann metriklerine,  üzerindeki pozitif bir   fonksiyonu için  eşitliği varsa açıkorur olarak denk denilir.
 fonksiyonuna ise açıkorur çarpan adı verilir.

İki Riemann manifoldu arasındaki diffeomorfizme ise, geri çekilen metrik orijinal metriğe açıkorur olarak denk ise açıkorur gönderim denilir.

Pürüzsüz bir manifold üzerinde aynı zamanda açıkorur olarak denk olan Riemann metrikleri sınıfı cinsinden bir açıkorur yapı' da tanımlanabilir.

Örneğin, sonsuzdaki nokta eklenmiş bir düzleme kürenin stereografik izdüşümü açıkorur bir gönderimdir.

 Daha yüksek boyutlu Öklid uzayı 
Boyutu 2'den fazla olan herhangi bir Öklid uzayının üzerindeki açıkorur bir gönderim 3 çeşit dönüşüm tarafından oluşturulabilir: Homotetik dönüşüm, izometri ve özel bir açıkorur dönüşüm. (Bir "özel açıkorur dönüşüm" yansıma ve küredeki tersini almanın bir bileşkesidir.) Bu yüzden, açıkorur dönüşümlerin boyutu 2'den fazla olan uzaylardaki grubu Riemann gönderim teoreminin geniş bir açıkorur dönüşüm grubu sağladığı düzlemdeki durumdan daha sınırlıdır.

 Kullanımları 
Bir fonksiyon belli bir uzayda harmonikse (yani Laplace denklemi 'ı sağlıyorsa) ve açıkorur gönderimle başka bir uzaya dönüştürülüyorsa, dönüşüm de harmoniktir. Bu nedenle, bir potansiyel tarafından tanımlanmış herhangi bir fonksiyon açıkorur bir gönderim tarafından da dönüştürülebilir ve hala bir potansiyel tarafından hükmedilir durumda kalır. Fizikteki bir potansiyel tarafından tanımlanmış denklemler örnekleri elektromanyetik alanı, yerçekimsel alanı içerir ve akışkanlar dinamiğinde sabit yoğunluk, sıfır akışkanlık ve dönmez akımı varsayan akışkan akımına bir yaklaşım olan potansiyel akımını içerir. Açıkorur gönderimin akışkan dinamiği uygulamasından birisi de Joukowsky dönüşümüdür.

Açıkorur dönüşümlerin elekromanyetizma için önemi ise Harry Bateman tarafından 1910'da açığa çıkarılmıştır.

Açıkorur gönderimler mühendislik ve fizikteki karmaşık değişkenli fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilen ancak uygunsuz geometriler sergileyen problemlerin çözümü için çok değerlidir. Uygun bir gönderim seçilerek, bir analist uygunsuz bir geometriyi çok daha uygun bir geometriye dönüştürebilir. Mesela, belli bir açıyla ayrılmış iki iletken levhanın köşesinin yakınında konuşlanmış bir nokta yükünden kaynaklanan bir elektrik alanı  hesaplanmak istenebilir (burada  noktanın 2-uzaydaki karmaşık koordinatıdır).

Bu problem kendi başına kapalı bir formda çözülmek için bile çok hantaldır. Bununla birlikte, basit bir açıkorur gönderimle, uygunsuz olan açı pi radyan olan bir açıya gönderilir ki bu da iki levhanın köşesinin diz bir doğruya dönüştürüldüğü anlamına gelir. Bu yeni bölgede, problemin çözülmesi oldukça kolaydır. Çözüm  bu bölgede elde edilir ve orijinal bölgesine geri gönderilir. Bu uygulamada açıkorur gönderimlerin açıları koruduğu gerçeğine çelişki yoktur çünkü açıları koruma bölgelerin içi için geçerlidir sınırlar için değil.

Kartografide, harita izdüşümleri adı verilenler ise yine açıkorurdurlar.

 Ayrıca bakınız 
 Açıkorur geometri
 Penrose diyagramı

 Kaynakça 





 Dış bağlantılar 





Kategori:Riemann geometrisi
*
Kategori:Açı