Açık gönderim teoremi (karmaşık analiz)

Karmaşık analizde açık gönderim teoremi, U, karmaşık düzlem C 'nin bağlantılı açık bir altkümesiyse ve f : U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyonsa, o zaman f 'nin açık gönderim olduğunu ifade eder (yani U 'nun açık altkümelerini C 'nin açık altkümelerine gönderir).

Açık gönderim teoremi, holomorfluk ve gerçel türevlenebilirlik arasındaki keskin farkı ortaya koyar. Mesela, gerçel sayılar üzerinde, f(x) = x2 türevlenebilir fonksiyonu açık bir gönderim değildir çünkü (-1,1) açık aralığının görüntüsü [0,1) yarıaçık aralığıdır.

Teorem, örneğin, sabit olmayan bir holomorf fonksiyonun açık bir diski bir doğrunun parçasına örten bir şekilde gönderemeyeceğini gösterir.

 Kanıt 

f:U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyon olsun ve  karmaşık düzlemin bağlantılı bir açık altkümesi olsun. 'daki her noktanın 'nun bir iç noktası olduğunu göstermeliyiz; yani  içindeki her noktanın  içinde yer alan bir diskin içinde olduğunu göstermeliyiz.

 içinde rastgele bir  noktasını alalım. U açık olduğu için, bir  bulabiliriz öyle ki z0 etrafında, d yarıçaplı  kapalı diski tamamen U içinde yer alır. U bağlantılı olduğu ve f, U üzerinde sabit olmadığı için, f 'nin B üzerinde sabit olmadığını biliyoruz. Görüntü noktası  'ı ele alalım.  olur ve ,  fonksiyonunun kökü olur.

g(z) 'nin sabit olmadığını biliyoruz ve d yi daha da azaltarak g(z) 'nin B içinde tek bir kökü olmasını sağlayabiliriz; çünkü, sabit olmayan holomorf fonksiyonların kökleri izoledir yani yalıktıktır. e, B 'nin sınırındaki z değerleri için |g(z)| 'nin minimum değeri olsun (pozitif sayı). (B 'nin sınırı çemberdir ve bu yüzden tıkız kümedir. |(g(z)| sürekli fonksiyondur. Böylece, ekstremum değer teoremi bu minimumun varlığını kanıtlar.)  etrafındaki  yarıçaplı diski  ile gösterelim. Rouché teoremi,  'a uzaklığı  'den az olan her  için  ve  'nin B içinde aynı sayıda köke sahip olacağını ifade eder. Bu yüzden,  içindeki her  için,  'de  olacak şekilde sadece bir tane  vardır. Bu da, D diskinin  'nun altkümesi olan f(B) 'de yer aldığı anlamına gelir.

 Kaynakça 


Kategori:Karmaşık analiz teoremleri
Kategori:Matematik teoremleri
Kategori:Kanıt içeren maddeler