Terim testi

Matematikte terim testi, ıraksaklık testi veya ıraksaklık için n'inci terim testiKaczor sf.336 bir sonsuz serinin ıraksaklığını belirlemenin basit bir yöntemidir:

  ise veya limit yok ise, o zaman  ıraksar.

Çoğu yazar bu teste isim vermez veya verirlerse de kısa bir isim verir.<ref name="Rudin">Mesela, Rudin (sf.60) sadece devrik biçimden bahseder ve isimlendirmez. Brabenec (sf.156) n'inci terim testi olarak adlandırır. Stewart (sf.709) Iraksaklık testi' demektedir.</ref>

 Kullanımı 
Daha güçlü yakınsaklık testlerinin aksine, terim testi kendi başına bir serinin yakınsak seri olduğunu ifade etmez. Bilhassa, testin tersi doğru değildir. Bunun yerine

  ise, o zaman  yakınsayabilir de yakınsamayabilir de.

denilebilir. Harmonik seri, terimleri 0'a giden ancak ıraksak olan bir serinin klasik bir örneğidir.Rudin sf.60 Harmonik serilerin daha genel bir sınıfı olan p-serileri, yani

testin muhtemel sonuçlarını ortaya çıkaran güzel bir örnektir:
 p ≤ 0 ise, o zaman terim testi serinin ıraksak olduğunu söyler. 
 0 < p ≤ 1 ise, o zaman terim testi sonuçsuzdur; ancak seri integral testi ile ıraksaktır.
 1 < p ise, o zaman terim testi sonuçsuzdur; ancak seri yine integral testi ile yakınsaktır.

 Kanıtlar 
Test genelde devrik biçimde kanıtlanır:

  yakınsarsa, o zaman  olur.

 Limit manipülasyonu sn serini kısmi toplamları ise, o zaman serinin yakınsaması varsayımı, belli bir s için 

anlamına gelir. O zaman:Brabenec sf.156; Stewart sf.709

olur.

 Cauchy ölçütü 
Serinin yakınsadığı varsayımı Cauchy yakınsaklık testini sağladığı anlamına gelmektedir:
Her  için bir N sayısı vardır öyle ki

ifadesi n > N ve p ≥ 1 için tutar. p'' = 1 koymak ise tanımın ifadesini,Rudin (sf.59-60) Cauchy ölçütünün başka bir ifadesini kullanarak bu kanıt fikrini kullanır. yani

ifadesini kurtarır.
 Kapsam 
Terim testinin en basit çeşidi gerçel sayıların sonsuz serilerine uygulanır. Üstteki iki kanıt, Cauchy ölçütünü veya limitin doğrusallığını kullanarak, diğer herhangi bir normlu vektör uzayında da geçerlidir.Hansen sf.55; Şuhubi sf.375

 Notlar 

 Kaynakça 







Kategori:Kalkülüs
Kategori:Yakınsaklık testleri
Kategori:Kanıt içeren maddeler