Cauchy integral teoremi

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir.
Teorem, Augustin Louis Cauchy'nin adını taşımaktadır.

Teoremin ifadesi
Cauchy integral teoremi: U, C 'nin basit bağlantılı açık bir altkümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, U içinde başlangıç noktası bitiş noktasıyla aynı olan doğrultulabilir bir yol olsun. O zaman : eşitliği vardır.

Édouard Goursat tarafından gösterildiği gibi, Cauch integral teoremi, U içinde her yerde f 'nin karmaşık türevi olan f '(z) varsa, kanıtlanabilir. Bu önemlidir çünkü bu fonksiyonlar için o zaman Cauchy integral formülü de kanıtlanabilir ve bundan aslında bu fonksiyonların sonsuz kere türevlenebilmesi özelliği çıkar.

U 'nun basit bağlantılı olması koşulu kabaca U 'da "delik" olmaması anlamına gelir veya homotopi kavramlarıyla anlatılacak olursa, U 'nun temel grubunun bariz olması demektir. Örneğin,  açık diski bunlardan biridir. Bu şart teoremde çok önemlidir. Birim çemberi dolaşan

düşünüldüğünde, 

yol integrali sıfır olmayacaktır. Cauchy integral teoremi, f(z) = 1/z fonksiyonu z = 0 noktasında tanımlı olmadığı (ve elbette holomorf olmadığı) için artık burada geçerli değildir.

Teoremin önemli sonuçlarından birisi basit bağlantılı bölgelerdeki holomorf fonksiyonların yol integrallerinin hesabın temel teoremindekine benzer bir şekilde hesaplanabilmesidir: U, C 'nin basit bağlantılı açık bir kümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, başlangıç noktası a, bitiş noktası b olan bir parçalı sürekli türevlenebilir yol olsun. F, f 'nin karmaşık antitürevi ise, o zaman

eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi üstte verilen halinden biraz daha güçlü halde de geçerlidir. U 'nun sınırı doğrultulabilir bir yolun (mesela γ) görüntüsü olsun ve ayrıca U basit bağlantılı açık bir C altkümesi olsun. f, U üzerinde holomorf olan bir fonksiyonsa ve U 'nun kapanışında sürekliyse, o zaman

eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi ayrıca Cauchy integral formülü 'nün ve rezidü (kalıntı) teoreminin kanıtlanmasını da sağlar.

 Kanıt 
Cauchy integral teoremi, Green teoremi ile kanıtlanabilir. Kanıt için Cauchy-Riemann denklemlerini kullanmamız yetecektir.  kontürü saat yönünün tersi şeklinde bir döngü halinde olsun ve U kümesi basit bağlantılı ve   kümesinin alt kümesi olsun.  fonksiyonu U gibi bir basit bağlantılı bölgenin tümünde holomorf olsun.  ise, kompleks diferansiyeli   olur. Fonksiyonu da  gerçel ve sanal kısımlarının toplamı şeklinde yazalım: .

Bu durumda

 olacaktır.

Green teoremi kullanarak

yazılabilir.

Cauchy-Riemann denklemleriyle   teorem kanıtlanacaktır.

Sonuç olarak,

 Ayrıca bakınız 
 Cauchy-Riemann denklemleri
 Cauchy integral formülü
 Morera teoremi
 Kontür integrali metotları
 Kalıntı (karmaşık analiz)

 Dış bağlantılar 
 http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralTheorem.html  MathWorld'deki ilgili sayfa.
 Cauchy-Goursat Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından 

Kategori:Matematik teoremleri
Kategori:Karmaşık analiz teoremleri