Taban (aritmetik)

Konumsal bir sayı sisteminde, taban (veya sayı tabanı, taban sayı); sayıları temsil etmek için kullanılan, sıfır rakamı da dâhil olmak üzere, benzersiz rakamların sayısıdır.
Örneğin, (günümüzde kullanımda olan en yaygın sistem) onlu sistem için taban ondur; çünkü bu sistem 0'dan 9'a kadar olan on rakamı kullanır.

Herhangi bir standart konumsal sayı sisteminde, bir sayı geleneksel olarak  şeklinde yazılır; burada x rakamlardan oluşan dizi, y ise tabandır.
On tabanı için, değeri ifade etmenin en yaygın yolu olduğundan, alt indis (ve kapsayan parantezler) genellikle varsayılır ve yazılmaz.
Örneğin, (100)10, 100'e eşdeğerdir (ikincisinde onlu sistem ima edilir) ve yüz sayısını temsil eder; öte yandan (100)2 (2 tabanına sahip ikili sistemde) dört sayısını temsil eder.

 Rakam sistemlerinde 
Genel olarak, b () tabanına sahip bir sistemde,  şeklindeki bir rakam dizisi,  olmak üzere,  sayısını belirtir. Birler basamağı, onlar basamağı, yüzler basamağı vb. olan onlu sistemin (taban 10) aksine; b tabanının birler basamağı, sonrasında b1ler basamağı, b2ler basamağı vb. olacaktır.

Örneğin, eğer b = 12 ise, 59A ("A" harfinin on değerini temsil ettiği) gibi bir rakam dizisi, 10 tabanında  = 838 değerini temsil eder.

Yaygın olarak kullanılan rakam sistemleri şunlardır:
 Taban İsim Açıklama 2 İkili sayı sistemi Neredeyse tüm bilgisayarlar tarafından dâhili olarak kullanılır. İki rakam "0" ve "1"dir; bunlar sırasıyla KAPALI ve AÇIK durumunu gösteren anahtarlarla ifade edilir. Çoğu elektrikli sayaçta kullanılır. 8 Sekizli (oktal) sistem Bilişimde ara sıra kullanılır. Sekiz rakam "0"–"7" arasındadır ve 3 biti (23) temsil eder. 10 Onlu (desimal) sistem Kültürlerin büyük çoğunluğunda insanlar tarafından kullanılır. On rakamı "0"–"9" arasındadır. Çoğu mekanik sayaçta kullanılır. 12 On ikili (duodesimal) sistem 2, 3, 4 ve 6'ya bölünebilirliği nedeniyle bazen savunulmaktadır. Geleneksel olarak düzineler ve groslar (12 düzine) hâlinde ifade edilen miktarların bir parçası olarak kullanılmıştır. 16 On altılı (heksadesimal) sistem Bilişimde genellikle ikili sistemin daha kompakt bir gösterimi olarak kullanılır (her 4 bit için 1 heks rakam). On altı rakam "0"–"9" ve ardından gelen "A"–"F" veya "a"–"f"dir. 20 Yirmili (vigesimal) sistem Çeşitli kültürlerde geleneksel sayı sistemi olup, bazıları tarafından sayma işlemi için hâlâ kullanılmaktadır. İngilizcede tarihsel olarak score system (yirmili grup sistemi) olarak da bilinir ve günümüzde en çok Gettysburg Konuşması'ndaki "four score and seven years ago" (seksen yedi yıl önce) ifadesiyle ünlüdür.36Base36Base36, ikili veriyi 36 tabanında bir gösterime çevirerek ASCII dizi formatında temsil eden bir ikiliden-metne kodlama şemasıdır. 36'nın seçimi uygundur çünkü rakamlar Arap rakamları 0–9 ve Latin harfleri A–Z (ISO temel Latin alfabesi) kullanılarak temsil edilebilir. Her base36 rakamı, temsil edilmek için 6 bitten az bilgiye ihtiyaç duyar. 60 Altmışlı (seksagesimal) sistem Kökeni antik Sümer'de değiştirilmiş bir biçimde kullanılmış ve Babillilere geçmiştir.  Günümüzde modern dairesel koordinat sisteminin (derece, dakika ve saniye) ve Dünya'nın dönüşüne analojiyle zaman ölçümünün (dakika ve saniye) temeli olarak kullanılır.

Sekizli ve on altılı sistemler, ikili sistemin stenografisi (kısa yolu) olarak kolaylık sağladıkları için bilişimde sıklıkla kullanılır. Her on altılı rakam dört ikili rakam dizisine karşılık gelir, çünkü on altı ikinin dördüncü kuvvetidir; örneğin, on altılı 7816, ikili 2 sayısıdır. Benzer şekilde, her sekizli rakam benzersiz bir üçlü ikili rakam dizisine karşılık gelir, çünkü sekiz ikinin küpüdür. Bu gösterim benzersizdir. b, 1'den büyük bir pozitif tam sayı olsun. O hâlde her a pozitif tam sayısı, şu biçimde benzersiz olarak ifade edilebilir:

burada m negatif olmayan bir tam sayı ve r'''ler şu koşulları sağlayan tam sayılardır:

0 < rm < b ve i = 0, 1, ... , m − 1 için 0 ≤ ri < b.

Tabanlar genellikle doğal sayılardır. Ancak, başka konumsal sistemler de mümkündür; örneğin, altın-oran tabanı (tabanı tam sayı olmayan bir cebirsel sayıdır) ve negatif taban (tabanı negatiftir).
Negatif bir taban, eksi işareti kullanmadan negatif sayıların temsil edilmesine olanak tanır. Örneğin, b = −10 olsun. O hâlde 19 gibi bir rakam dizisi, (onlu)  = −1 sayısını belirtir.

 Tabanlar tablosu 
Farklı tabanlar özellikle bilgisayarlarla bağlantılı olarak kullanılır. Yaygın olarak kullanılan tabanlar 10 (onlu), 2 (ikili), 8 (sekizli) ve 16'dır (on altılı). 8 bitlik bir bayt, 0 ile 255 arasındaki değerleri temsil edebilir; bu değerler genellikle aynı uzunluğu sağlamak için 2, 8 veya 16 tabanında baştaki sıfırlarla (leading zero'') ifade edilir.

Tablolardaki ilk satır, tabanın onlu sistemde yazılmış hâlidir.

+ 0–15 10  2  8  160000000000000010000000100101200000010002023000000110030340000010000404500000101005056000001100060670000011100707800001000010089000010010110910000010100120a11000010110130b12000011000140c13000011010150d14000011100160e15000011110170f
+ 16–31 10  2  8  1616000100000201017000100010211118000100100221219000100110231320000101000241421000101010251522000101100261623000101110271724000110000301825000110010311926000110100321a27000110110331b28000111000341c29000111010351d30000111100361e31000111110371f
+ 32–47 10  2  8  1632001000000402033001000010412134001000100422235001000110432336001001000442437001001010452538001001100462639001001110472740001010000502841001010010512942001010100522a43001010110532b44001011000542c45001011010552d46001011100562e47001011110572f
+ 48–63 10  2  8  1648001100000603049001100010613150001100100623251001100110633352001101000643453001101010653554001101100663655001101110673756001110000703857001110010713958001110100723a59001110110733b60001111000743c61001111010753d62001111100763e63001111110773f
+ 64–79 10  2  8  1664010000001004065010000011014166010000101024267010000111034368010001001044469010001011054570010001101064671010001111074772010010001104873010010011114974010010101124a75010010111134b76010011001144c77010011011154d78010011101164e79010011111174f
+ 80–95 10  2  8  1680010100001205081010100011215182010100101225283010100111235384010101001245485010101011255586010101101265687010101111275788010110001305889010110011315990010110101325a91010110111335b92010111001345c93010111011355d94010111101365e95010111111375f
+ 96–111 10  2  8  16960110000014060970110000114161980110001014262990110001114363100011001001446410101100101145651020110011014666103011001111476710401101000150681050110100115169106011010101526a107011010111536b108011011001546c109011011011556d110011011101566e111011011111576f
+ 112–127 10  2  8  161120111000016070113011100011617111401110010162721150111001116373116011101001647411701110101165751180111011016676119011101111677712001111000170781210111100117179122011110101727a123011110111737b124011111001747c125011111011757d126011111101767e127011111111777f
+ 128–143 10  2  8  161281000000020080129100000012018113010000010202821311000001120383132100001002048413310000101205851341000011020686135100001112078713610001000210881371000100121189138100010102128a139100010112138b140100011002148c141100011012158d142100011102168e143100011112178f
+ 144–159 10  2  8  161441001000022090145100100012219114610010010222921471001001122393148100101002249414910010101225951501001011022696151100101112279715210011000230981531001100123199154100110102329a155100110112339b156100111002349c157100111012359d158100111102369e159100111112379f
+ 160–175 10  2  8  1616010100000240a016110100001241a116210100010242a216310100011243a316410100100244a416510100101245a516610100110246a616710100111247a716810101000250a816910101001251a917010101010252aa17110101011253ab17210101100254ac17310101101255ad17410101110256ae17510101111257af
+ 176–191 10  2  8  1617610110000260b017710110001261b117810110010262b217910110011263b318010110100264b418110110101265b518210110110266b618310110111267b718410111000270b818510111001271b918610111010272ba18710111011273bb18810111100274bc18910111101275bd19010111110276be19110111111277bf
+ 192–207 10  2  8  1619211000000300c019311000001301c119411000010302c219511000011303c319611000100304c419711000101305c519811000110306c619911000111307c720011001000310c820111001001311c920211001010312ca20311001011313cb20411001100314cc20511001101315cd20611001110316ce20711001111317cf
+ 208–223 10  2  8  1620811010000320d020911010001321d121011010010322d221111010011323d321211010100324d421311010101325d521411010110326d621511010111327d721611011000330d821711011001331d921811011010332da21911011011333db22011011100334dc22111011101335dd22211011110336de22311011111337df
+ 224–239 10  2  8  1622411100000340e022511100001341e122611100010342e222711100011343e322811100100344e422911100101345e523011100110346e623111100111347e723211101000350e823311101001351e923411101010352ea23511101011353eb23611101100354ec23711101101355ed23811101110356ee23911101111357ef
+ 240–255 10  2  8  1624011110000360f024111110001361f124211110010362f224311110011363f324411110100364f424511110101365f524611110110366f624711110111367f724811111000370f824911111001371f925011111010372fa25111111011373fb25211111100374fc25311111101375fd25411111110376fe25511111111377ff

 Ayrıca bakınız 
 Kayan noktalı aritmetik
 Polinom
 Rakam sistemleri listesi

 Notlar 

 Kaynakça 


 Dış bağlantılar 

 Taban üzerine MathWorld girdisi

Kategori:Temel matematik
Kategori:Sayı sistemleri