Manifold (topoloji)

Manifold, topolojide soyut topolojik bir uzay. Bu uzayın her noktasının çevresi Öklit uzayına benzer. Bununla birlikte, bir manifold bir Öklit uzayı olmak zorunda değildir. Genel yapısı, bu basit yerel yapısından çok daha karmaşık olabilir. Bir manifoldun boyutu, yerel olarak benzediği Öklit uzayının boyutu olarak tanımlanır. Herhangi bir topolojik uzay içinse boyut kavramından söz etmek genelde olası değildir.

n boyutlu Öklit uzayı (Rn), n boyutlu bir manifolddur. Birkaç nokta, 0 boyutlu bir  manifolddur. Düzlemde bir doğru 1 boyutlu bir manifolddur; her noktasının çevresi R1'e benzer. R3'te bir düzlem ya da bir küre, 2 boyutlu manifold örneğidir; her bir noktasının küme içinde çevresi R2'ye benzer.

 Kelimenin kökeni 

Manifold kelimesinin Almanca karşılığı tir (çokyönlülük, çeşitlilik vs.). Bu terim, ilk kez Riemann'ın doçentlik tezinde (Habilitation, 1854) kullanmıştır. Yerel olarak n boyutlu uzaya benzeyen, ama her noktasında farklı eğriliklere sahip olabilecek bir uzay tasarlamış ve bu tür bir uzaya  adını vermiştir. Doçentlik tezinde şu satırlar dikkat çekmektedir:

Görüldüğü gibi Riemann, bu terimi tanımlarken daha sonra Riemann Geometrisi diye anılacak geometriyi kuruyordu. Kullandığı  eki, kat kat hissinden çok eğriliğin değişmesi yüzünden uzamın bükülüp kırışmasına işaret ediyordu. William Kingdon Clifford 1873'te Natureda yayımlanan tercümesinde bu kelime "" olarak karşılamıştır. Türkçeye kavram İngilizce manifold sözünden geçmiştir; her ne kadar çok katlı karşılığı önerilmişse de bu kavramın kullanımı yaygınlaşmamıştır.

Fransızca  terimi ise (İngilizcedeki  terimi gibi) cebirsel geometride analitik çok katlılara işaret eder.

 Matematiksel tanım (Kenarı olmayan) n boyutlu manifold, aşağıdaki koşulları sağlayan bir topolojik uzaydır:
 Hausdorff'tur;
 Herhangi bir noktasının çevresinde öyle bir açık komşuluk bulunabilir ki bu komşuluk Rn'nin açık bir alt kümesine homeomorfiktir;
 (Kimi tanımlarda) İkinci sayılabilirlik özelliğini sağlar;
 (Kimi tanımlarda) Parakompakttır.

Yukarıdaki ikinci koşulda, Rn yerine, üst yarı Öklit uzayını (yani Rn'de  sonuncu koordinatı negatif olmayan noktaların kümesi) temsil etmek üzere Hn konursa, o zaman tanım n (kenarlı) topolojik bir manifold tanımına dönüşür. Bu durumda ikinci koşulda homeomorfizma kelimesinin anlamlı olabilmesi için Hn üzerinde bir topoloji bulunması gerekir. Bu topoloji standart olarak Rn'den tetiklenen topolojidir. M manifoldunun bir noktası x, Hn'de açık V kümesine homeomorfik x 'in açık komşuluğu U olsun. Bu homeomorfizma altında x, V 'nin kenarına gönderiliyorsa, x noktasına manifoldun kenar noktası, tüm kenar noktaların kümesine manifoldun kenarı''' denir.

Örneğin, düzlemde başnoktaya uzaklıkları 1'den büyük olmayan kümeyi ele alalım. Bu kümeye (kapalı) disk denir ve 2 boyutlu bir manifolddur. Kenarı bir çemberdir. Çember 1 boyutlu bir manifolddur. Kenarı yoktur.n boyutlu, kenarlı bir manifoldun kenarı, n-1'' boyutlu bir manifolddur. Bir manifoldun kenarının kenarı yoktur (boşkümedir).

Birçok katlının içinde bir topolojik altuzay aynı zamanda bir manifoldsa, bu altuzaya alt manifold denir. Yukarıda bir manifoldun içinde verilen tüm manifoldlr alt manifold örnekleridir.

 Konuyla ilgili yayınlar 


 Kaynakça