Hipergeometrik dağılım

Olasılık kuramında ve istatistikte, hipergeometrik dağılım sonlu bir ana kütle içinden tekrar geri koymadan birbiri arkasına n tane nesnenin çekilmesi işlemi için başarı sayısının dağılımını bir ayrık olasılık dağılımı şekilde betimler.

Yaygın bir örnek, hatalı ve hatasız malları sınıflandıran bir ihtimal tablosunda gösterilebilir:

   Çekilmiş  Çekilmemiş  Toplam
   Hatalı  k  m − k  m
   Hatasız  n − k  N + k − n − m  N − m
   Toplam  n  N − n  N


İçinde m sayıdan daha fazla hatalı mal birimi olmadığını kabul ettiğimiz N birimlik bir mal teslimi yapılmıştır. Bu N sayıdaki malların içinden tam n sayıda bir örnek alınıp bunlar kontrolden geçilirse bu örnek içinde tam k tane hatalı mal birimi bulunacağı hipergeometrik dağılım ile açıklanır.

Genel olarak: Eğer bir X rassal değişkeni   N, m ve n parametreleri olan bir hipergeometrik dağılım gösterirse, tam olarak k sayıda başarı elde edilmesi, şu fonksiyonla  bulunur:

k değeri max(0, n+m−N) ile min(m, n) arasındaysa olasılık pozitiftir.

Bu formül şöyle daha da açıklanabilir: (Geri koyulmadan) alınabilmesi mümkün örnek sayısı  'dir. Hatalı nesne sayısının k olması için    sayıda ihtimal bulunur; geride  kalan kısmın hatasız nesnelerle doldurulması için de  ihtimal mevcuttur.

k, 0 ve N arasında her tam sayı değeri alabildiği için ve olasılık değerlerinin toplamı 1 olduğu için, kombinatorik matematikte bu Vandermonde'nin özdeşliğidir.

 Uygulama ve bir örnek 

Hipergeometrik dağılımın klasik uygulaması geri koymadan örnekleme adı verilebilen bir denemedir. Bir küp problemi düşünülsün: bir küpün içinde iki tip küçük top, beyaz ve siyah, bulunduğu düşünülsün. Aynen bir binom dağılımı için yapılan deneme gibi, küpten bir beyaz top çekmeye başarı adı verilsin ve alternatif olan siyah top çekmek başarısızlık sayılsın. N küpte bulunan toplam top sayısı, m küpteki beyaz top sayısı ve böylece N − m ise küpteki siyah top sayısı olsun. Şimdi küpün içinde 5 beyaz ve 45 siyah top olduğu varsayılsın. Gözleri kapalı olarak küpten birer birer 10 tane top çekilsin ve her çekilen top küpe geri konulmasın. Bu deneme geri koyulmadan örnekleme olur.

Araştırmayı ilgilendiren soru: Bu çekişte küpten tam 4 tane beyaz top çekme (yani ima ile 6 tane de siyah top çekme) olasılığı nedir? Buna binom dağılım modeli uygulanamaz; çünkü her çekilişte başarı olasılığı değişmektedir. Bu problem iki kategorik değişkeni sınıflandıran olumsallık tablosunda şöyle özetlenebilir:

Çekilmiş
Çekilmemiş
Toplam
Beyaz toplar
4 (k)
1 = 5 − 4 (m − k)

5 (m)
Siyah toplar
6 = 10 − 4 (n − k)
39  = 50 + 4 − 10 − 5 (N + k − n − m)
45 (N − m)
Toplam
10 (n)

40  (N − n)
50 (N)

Küpten tam olarak k tane beyaz top çekmenin olasılığı şu formül kullanılarak hesaplanir:

Bu problem için k = 4 olduğundan 4 tane beyaz top (ve 6 tane siyah top) çekme olasılığı

çok düşük bir değerde (yaklaşık 0,004) olup, olabilirliği nerede ise sıfıra eşittir. Bu bir değişik ifade ile açıklanırsa bu rassal deneme (yani içinde 50 top bulunan bir küpten 10 tane top çekip hiçbirini geri koyulmamasi denemesini) 1000 defa tekrarlanırsa 4 beyaz (ve 7 siyah) top elde etmek ancak 4 defa ortaya çıkan bir sonuç olacaktır.

Bu sefer küpten 5 tane beyaz (ve 5 tane siyah) top çekme olasılığına göz atılsın. İki kategorik değişkeni sınıflandıran olumsallık tablosu şöyle kurulur:

Çekilmiş
Çekilmemiş
Toplam
Beyaz toplar
5 (k)
0 = 5 − 5 (m − k)

5 (m)
Siyah toplar
5 = 10 − 5 (n − k)
40  = 50 + 5 − 10 − 5 (N + k − n − D)
45 (N − m)
Toplam
10 (n)

40  (N − n)
50 (N)

Olasılık şöyle hesaplanabilir (Dikkat edilirse paydalar hep aynıdır):

Beklendiği gibi 5 beyaz top çekme olasılığı, 4 beyaz top çekme olasılığının çok daha altındadır.

 Simetriler 

Hipergeometrik dağılımda n ve m parametreleri arasında çok önemli simetriler vardır. Bu simetriler verilen küp problemi için önemli değil gibi görünmektedirler. Gerçekten verilen bazı hipergeometrik dağılım gösteren problemlerde n ve m parametreleri hiçbir problem olmadan birbiriyle değiştirilebilir. Ancak hayat/ölüm sorunlarına hipergeometrik dağılım uygulanmaya başlayınca önemleri anlaşılabilir.

Parametreler olan n ve m arasındaki simetriler şöyle sıralanabilirler:

 Bu halde siyah ve beyaz en basitçe rol değiştirmektedirler.
f(k;N,m,n) = f(n − k;N,N − m,n)

Bunu daha kolay anlamak için siyah toplar beyaza; beyaz toplar siyaha boyanınca neyin değiştiğini düşünmek gerektir.

 Bu halde çekilmiş ve çekilmemiş toplar rol değiştirmektedirler.
f(k;N,m,n) = f(m − k;N,m,N − n)

 Bu simetriyi anlamak için topları çekme hareketini unutup, zaten çekilmiş olan toplara dikkat
çekilmektedir ve zaten çekilmiş olan toplara etiket yapıştırma işlemine benzer:
f(k;N,m,n) = f(k;N,n,m)

 İlişkili dağılımlar 

X ~ Hypergeometrik(, , ) ve  olsun.

 Eğer  ise  rassal değişkeni  parametreli bir Bernoulli dağılımı gösterir.
 Eğer 0 veya 1 e eşit olmayan  ve  ile karşılaştırılınca  ve  büyük değerlerde iseler, o halde 

Burada  rassal değişkeni parametreleri  ve  olan bir binom dağılım gösterir.

 Eğer 0 veya 1 e eşit olmayan  ve  ile karşılaştırılınca  ve  büyük değerlerde iseler, o halde 

Burada  bir standart normal dağılım gösterir.

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi
 Binom dağılımı
 Fisher'in kesinlik testi
 Merkezsel olmayan hipergeometrik dağılımlar
 Örnekleme
 Küp problemi
 Kupon toplayicının problemi
 Hipergeometrik fonksiyon

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 
 Hipergeometrik dağılım hesaplayıcısı
 Yazılım (C++ ve Ruby) kaynakları ile hipergeometrik dağılım hesaplayıcısı

Kategori:Ayrık olasılık dağılımları
Kategori:Faktöriyel ve binomi konuları