Black-Scholes modeli

Black-Scholes modeli, finansal matematikte bir opsiyon fiyatlama modelidir. İsmini, bu modeli 1973 yılında yayınlayan   (Black ve Scholes'un orijinal makalesi.) Fischer Black ve Myron Scholes'tan almıştır. Bu opsiyon modelinin sonucunda, halen opsiyon fiyatlamada piyasa katılımcılarınca yoğun olarak kullanılmakta olan  Black-Scholes formülü elde edilmiştir. 
Black-Scholes modeli, aslında rassal hareketler izleyen sıvı moleküllerini ortaya koyan Brown hareketinin hisse fiyatlarına ve finansal hareketlere uyarlanması sonucu ortaya çıkmıştır. Daha önce bu uyarlamanın öncüsü sayılabilecek varsayımı Louis Bachelier 1900'de "Théorie de la spéculation" başlığıyla yazdığı doktora tezinde yapmıştır. Yine, benzer uyarlamalar Paul Samuelson, Sheen Kassouf, Edward O. Thorp and Case Sprenkle tarafından da yapılmıştır. Ancak, Black ve Scholes'un zamandaşlarının önüne geçtiği nokta opsiyon fiyatlarına ihtiyaç duyan opsiyon piyasa katılımcılarına piyasada gözlemlenen veri ve değişkenlerle pratik bir şekilde hesaplanabilen analitik bir formül ortaya koymalarıdır.

Robert Merton'un modelde çözülemeyen bir bölümü çözmesinden sonra, model, Black-Scholes-Merton modeli olarak anılmaya da  başlamıştır. Bu çalışmaları sayesinde, Merton ve Scholes, 1997de Ekonomi alanında Nobel Ödülü almışlardır.Fischer Black, 1995 yılında vefat etmiştir. Fischer Black, 1984 yılından gırtlak kanserinden öldüğü 1995 yılına kadar Goldman Sachs'ta çalışmıştır.

Varsayımlar

Black-Scholes modeli ve bunun sonucunda elde edilen Black-Scholes formülü şu varsayımlara dayanmaktadır:

 Söz konusu dayanak varlığın (Black-Scholes özelinde hisse senedinin) fiyatının hareketleri (St) geometrik Brown hareketini izlemektedir. Yani, sabit bir sapma () ve volatilite () olmak üzere;

 Söz konusu hissede açığa satış (short sell) yapılması mümkündür.
 Arbitraj imkânı yoktur.
 Hisselerde el değiştirme süreklidir. 
 Alımsatım maliyeti veya vergi yoktur.
 Bütün yatırım araçları kesirli bir şekilde alınıp satılabilmelidir; örneğin, bir dayanak varlığın yüzde birini almak mümkün olmalıdır.
 Risksiz faiz ile borç alınabilmelidir.
 Hisse temettü dağıtmamalıdır; bu kural sadece basit Black-Scholes modeli için geçerlidir.

 Black-Scholes formülü 

Black-Scholes formülü 1973 yılında Fischer Black ve Myron Scholes tarafından yazılan makalede ilk defa bahsedilen ve Black-Scholes modeline bağlı olarak elde edilmiş bir opsiyon fiyatlama formülüdür. Avrupa tipi ödenişleri olan alım ve satım opsiyonlarının fiyatlanmasında piyasa katılımcılarınca yoğun olarak kullanılmaktadır.

 Formülün ifadesi 
Black–Scholes modelinin varsayımları altında, Avrupa tipi alım opsiyonu (European call option) için, 
 opsiyon kullanma fiyatı K  
 hissenin şu andaki fiyatı S, (yani opsiyonun verdiği hak ile T zaman sonra, hisseyi K fiyatından alma imkânımız var), 
 sabit faiz r ve sabit volatilite  
olmak üzere, opsiyonun bugünkü fiyatı  şu şekilde verilir.

Burada;

Bu formülde  standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonudur.

Bir satım opsiyonunun fiyatı  , yukarıda verilen  formülü ve alım-satım paritesi (put-call parity) kullanılarak hesaplanabilir ve aşağıdaki şekilde düzenlenebilir:

Kanıt
 Black ve Scholes'un orijinal kanıtının fikri
Black-Scholes formülünün kanıtı bugün Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemi olarak bilinen diferansiyel denklemlerin çözümünden geçmektedir. Burada esas ilk fikir, opsiyon ve opsiyon dayanak varlığından oluşan bir portföy yaratmak ve bu portföyü küçük zaman aralıklarında dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız hale getirmektir. Sonucunda, Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemi elde edilir. İkinci esas fikir ise bu diferansiyel denklemi, değişik dönüşümler ve yerine koymalar vasıtasıyla ısı denklemine dönüştürmektir.

 Martingaller yoluyla kanıt
Bu yöntemde Girsanov teoremi aracılığıyla riske duyarsız ölçü olan 'ya geçilir ve iskontolu hisse fiyatı sürecinin martingal olduğu elde edilir. Bu sayede, opsiyonun vadesindeki ödenişin iskontolu halinin beklenen değeri kolaylıkla hesaplanabilir. 
Diyelim ki bir olasılık ölçüsü 'de

verilmiş olsun. Girsanov teoreminde  alırsak, o zaman  yeni ölçüde de bir Brown hareketi olur ve  sağlanır. Bu halde, herhangi bir  için

olur. Elimizde sadece difüzyon terimleri kaldığı için artık iskontolu dayanak varlık spot fiyatı sürecinin riske duyarsız ölçüde martingal olduğu açıktır. Aynı zamanda, 

olur. Diğer deyişle, riske duyarsız ölçüde, dayanak varlık spot fiyatı sürecinin 'deki deterministik terimi , riske duyarsız ölçüde, risksiz faiz  ile yer değiştirir. Öbür taraftan, Ito önsavı sayesinde 

hesaplanır. Her iki tarafta integraller uygun aralıklarda alındıktan sonra 

bulunur. Geriye kalan,  koyup bir alım opsiyonun  zamanındaki fiyatının 
 olduğundan yola çıkarak, beklenen değeri tanımı gereği integrale çevirip hesaplamaktır. Yani,

Integral fonksiyonunu  fonksiyonundan kurtarmak için  olduğu hesaplanır.
Burada 

alınmıştır. Buradan sonra kalkülüs teknikleri kullanılarak integraller ilk önce  tanımlanarak

haline getirilir. Burada  standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonudur.  ve  arasındaki ilişki ve 'nin özellikleri kullanılarak

bulunur. Black-Scholes formülünün orijinal hali  alınarak elde edilir.

Risk hassasiyetleri (Yunanlar)

Black-Scholes formülü üzerinden bir Avrupa tipi opsiyonun risk hassasiyetleri analitik olarak hesaplanabilir. 
  Açıklama  Alım opsiyonu Satım opsiyonu Delta    Dayanak varlığın spot fiyatına göre değişim    Gama   Deltaya göre değişim  Vega    Volatiliteye göre değişim  Thita   Vade gününe kalan zamana göre değişim   Ro     Faiz oranına göre değişim  

 Ayrıca bakınız 
 Black-Scholes denklemi
 Binom opsiyon fiyatlama modeli
 Black modeli
 Sıçramalı difüzyon modeli
 Monte Carlo opsiyon fiyatlama modeli
 Stokastik volatilite

 Kaynakça 

Kategori:Finans
Kategori:Opsiyon (finans)
Kategori:Finansal matematik