Harmonik ortalama

Harmonik ortalama, gözlem sonuçlarının (birim değerlerinin) terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir.

Birim değerleri x1, x2, ..., xn gibi gösterilirse harmonik ortalama aşağıdaki gibi yazılır:

Harmonik ortalama genellikle, ekonomik olaylarda 1 birim ile alınan ortalama miktara veya bir mamülün bir biriminin üretimi için harcanan ortalamaya gereksinim duyulduğunda kullanılır. Harmonik ortalama kısaca H harfi ile gösterilir.

 Tanım 
Pozitif gerçek sayıların harmonik ortalaması; 

Bu, karşıtların aritmetik ortalamasının tersidir.

Aritmetik ortalama şu şekilde tanımlanır: 

Harmonik ortalama,  bir fonksiyondur ve argümanlarının minimum değeri tarafından baskın bir şekilde tanımlanır.  şeklindedir. Bu nedenle, harmonik ortalamanın bazı değerleri daha büyük olanlarla değiştirildiğinde (en az bir değer değiştirilmeden) daha büyük hale getirilemeyeceği söylenebilir.

Harmonik ortalama ayrıca  fonksiyonu olmasından dolayı güçlü bir özelliktir. Ancak, negatif değerler kullanıldığında ortalamanın fonksiyon olma özelliğini kaybettiği için yalnızca pozitif sayıların kullanılması gerektiğine dikkat edilmelidir.

 İki veri için harmonik ortalama 
bağlantı=https://en.wikipedia.org/wiki/File:MathematicalMeans.svg|sağ|küçükresim|İki sayı, a ve b için üç Pythagorean ortalamanın geometrik bir yapısı. Harmonik ortalama mor ile H ile gösterilirken, aritmetik ortalama kırmızı ile A ve geometrik ortalama mavi ile G olarak belirtilmiştir. Q, dördüncü bir ortalama olan kuadratik ortalamayı temsil etmektedir. Bir hipotenüsün her zaman bir dik üçgenin kenarlarından daha uzun olduğunu gösteren diyagram, şunu gösterir ki:.
Yalnız iki tane veri, ( ve ) elde bulunursa, bunlar için harmonik ortalama H şöyle ifade edilebilir.

Bu halde bulunan harmonik ortalama, bu iki sayının aritmetik ortalamasına şöyle ilişkilidir;

ve bu iki verinin geometrik ortalamasi olan G ise

Bu harmonik ortalamaya şöyle ilişkilidir:

Böylece,

 ,

olur. Bu demektir ki geometrik ortalama, aritmetik ortalama ve harmonik ortalama'nın geometrik ortalaması olur.

Ama çok dikkat edilmelidir ki bu sonuç yalnız ve yalnız iki veri için geçerli olur.

 Diğer ortalama türleriyle ilişkisi 
Tüm pozitif veri setlerinde, en az bir eşit olmayan değer çifti bulunan durumlarda, harmonik ortalama her zaman üç Pythagorean ortalamasından en küçüğüdür.Da-Feng Xia, Sen-Lin Xu, and Feng Qi, "A proof of the arithmetic mean-geometric mean-harmonic mean inequalities", RGMIA Research Report Collection, vol. 2, no. 1, 1999, http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v2n1/v2n1-10.pdf  Aritmetik ortalama her zaman en büyüğüdür ve geometrik ortalama ise her zaman bunların ortasında yer alır. (Eğer bir boş olmayan veri setindeki tüm değerler eşitse, bu üç ortalama her zaman birbirine eşit olur; örneğin, {2, 2, 2} kümesinin harmonik, geometrik ve aritmetik ortalamaları hepsi 2'dir.)

Bu, kuvvet ortalamasının M−1 özel durumudur;Harmonik ortalama, bir sayı listesinin en küçük elemanlarına güçlü bir şekilde yöneldiğinden, büyük aşırı değerlerin etkisini azaltma ve küçük olanların etkisini artırma eğilimindedir. Aritmetik ortalama, sıklıkla harmonik ortalamanın gerektiği yerlerde yanlış bir şekilde kullanılmaktadır.

Harmonik ortalama, aşağıdaki eşitlikte görüldüğü gibi diğer Pythagorean ortalamaları ile ilişkilidir. Bu, paydanın, n sayısının her bir terimini hariç tutarak çarpımının aritmetik ortalaması olarak yorumlanmasıyla görülebilir. Yani, birinci terim için, ilk terim hariç tüm n sayısını çarparız; ikinci terim için, ikinci terim hariç tüm n sayısını çarparız; ve bu şekilde devam ederiz. Pay, aritmetik ortalamayla ilişkili n hariç tutulduğunda, n kuvvetine sahip geometrik ortalamadır. Böylece n'inci harmonik ortalama, n'inci geometrik ve aritmetik ortalamalarla ilişkilidir.

Genel formül şöyledir:Eğer birbirine benzemeyen bir sayı kümesi, aritmetik ortalamayı değiştirmeden iki veya daha fazla elemanın birbirinden "yayılmasını" içeren bir ortalama koruyucu yayılmaya tabi tutulursa, harmonik ortalama her zaman azalır.Mitchell, Douglas W., "More on spreads and non-arithmetic means," The Mathematical Gazette 88, March 2004, 142–144.

 Ayrıca bakınız 

 Ağırlıklı harmonik ortalama
 Aritmetik ortalama
 Geometrik ortalama : Verilerin logaritmalarının aritmetik ortalaması.
 Ortalama kare
 Ortalama
 Pisagorik ortalama

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 
 Harmonik Ortalama Hesaplama
 MathWorld'de harmonik ortalama
 Cut-the-Knot sitesinde ortalamalar, aritmetik ve harmonik ortalamalar

Kategori:Ortalama