Black-Scholes denklemi

Black-Scholes denklemi, 1973 yılında Fischer Black ve Myron Scholes tarafından yazılan makalede   (Black ve Scholes'un orijinal makalesi.) elde edilen Black-Scholes formülünün kanıtında ilk defa elde edilmiş ve daha genel türev ürünleri için de uyarlanabilen bir kısmi diferensiyel denklemdir. 
Black-Scholes formülünün orijinal kanıtındaki esas fikir, opsiyon ve opsiyon dayanak varlığından oluşan bir portföy yaratmak ve bu portföyü küçük zaman aralıklarında dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız hale getirmektir. Sonucunda, Black-Scholes denklemi elde edilir ve elde edilen diferansiyel denklem, değişik dönüşümler ve yerine koymalar vasıtasıyla ısı denklemine dönüştürülür.

Denklemin ifadesi
Kullanma fiyatı K, vadesi T  olan Avrupa tipi bir opsiyonun fiyatı , bu opsiyonun dayanak varlığının spot fiyatı S, oynaklığı (volatilitesi)  ve risksiz-faiz oranı r olsun. Diyelim ki, dayanak varlığın spot fiyat süreci geometrik Brown hareketini izlesin; yani,  Brown hareketini  ile gösterirsek,  sabitse

olsun. O zaman,

Kanıt
Black-Scholes modelinin merkezi varsayımlarından biri söz konusu dayanak varlığın (Black-Scholes özelinde hisse senedinin) fiyatının hareketlerinin (St) geometrik Brown hareketini izlemesidir. Yani, sabit bir sürüklenme () ve volatilite () olmak üzere

Black ve Scholes'un makalesindeki fikirden hareketle portföy () şu şekilde oluşsun:
 -1 tane opsiyon (yani opsiyon satılmıştır)
  sonradan belirlenmek üzere  tane dayanak varlık.

Opsiyonun fiyatı  olsun. O zaman, bu portföyün değeri 

olur. Bu portföyün değerinin kısa bir zaman aralığındaki değişimi   o zaman

olur.  Öbür taraftan, fiyatı iki kere türevlenebilien bir türev ürününün fiyatı  için Ito önsavı kullanılarak 

elde edilir. O zaman,

olur. Bu portföyün dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız halde olması istendiğinden, difüzyon teriminin (rassallığa katkıda bulunan terimlerin) 0 olması gerekir. Yani,   olmalıdır ki bu da  verir. O zaman, 


elde edilir. Diğer taraftan, portföy rassallığa duyarsız hale geldiği için risksiz faiz oranı ile büyüyecektir; yani, 

elde edilir.  için elde edilen bu iki ifade birbirine eşitlenerek Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemi elde edilir:

Bu denklemin çözülmesi için aynı zamanda bir sınır değeri konulması lazım;ancak, zaten opsiyonun vade tarihindeki değeri opsiyonun türüne göre  veya  olacaktır.

 Ayrıca bakınız 
 Feynman-Kac formülü

 Kaynakça 

Kategori:Finans
Kategori:Opsiyon (finans)
Kategori:Finansal matematik
Kategori:Parabolik kısmi diferansiyel denklemler
Kategori:Denklemler