Weibull dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Weibull dağılımı (Waloddi Weibull anısına isimlendirilmiş) Weibull, W. (1951) "A statistical distribution function of wide applicability (Genis kullanim alani olan bir istatistiksel dagilim)" J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18(3), 293-297) bir sürekli olasılık dağılımı olup olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:

Burada  ve x < 0  için f(x; k, λ) = 0.   şekil parametresi ve   ölçek parametresi olurlar.

Weibull dağılımı için yığmalı olasılık fonksiyonu bir gerilmiş üstel (stretched) fonksiyondur.

Yaşama, hayatta kalım ve yetmezlikle yıkım süreçlerini inceleyen verilerin analizi alanında Weibull dağılımı çok elastik olup kolayca değiştirilebildiği için çok kullanılmaktadır. Değişik parametre değerleri kullanılarak normal dağılım, üstel dağılım gibi çok popüler diğer istatistiksel dağılımların davranışların Weibull dağılımı kullanarak aynen taklid etme imkânı bulunmaktadır.

Eğer k = 3.4 ise, Weibull dağılımı normal dağılımına benzerlik gösterir.
Eğer k = 1 ise o zaman Weibull dağılımı üstel dağılımına dönüşür.

 Özellikler 

Weibull dağılımı için ninci ham momenti şu ifadeyle verilmiştir:

€

Burada  bir Gamma fonksiyonu olur.

Weibull rassal değişkeni için beklenen değer ve standart sapma şöyle verilir:

ve

Çarpıklık şöyle verilir:

Fazla basıklık ifadesi şudur:

Burada . Fazla basıklık ifadesi şöyle de yazılabilir:

İstatistik kaynakları çok kere biraz değişik olan genelleştirilmiş 3-parametreli Weibull dağılımı bulunduğunu bildirmektedirler. Bu genelleştirilmiş Weibull dağılımı için olasılık dağılımı fonksiyonu şudur:

Burada  ve f(x; k, λ, θ) = 0  eğer x < θ;   şekil parametresi,   ölçek parametresi ve   dağılım için konum parametresisir. Limitte θ=0, olduğu zaman bu ifade 2-parametreli değişime dönüşür.

2-parametreli Weibull dağılımı için yığmalı dağılım fonksiyonu şöyle verilmiştir:

eğer x ≥ 0 ve F(x; k; λ) = 0 eğer x < 0.

3-parametreli Weibull dağılımı için  ise yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

Burada x ≥ θ ve F(x; k, λ, θ) = 0f eğer x < θ.

Kritik yetmezlik hızı h (veya tehlike hızı) şöyle verilmiştir:

 Weibull dağılımı gösteren rassal değişir üretilmesi 

(0, 1) aralığında bulunan bir tekdüze dağılımından elde edilmiş bir rassal değişir olarak U ele alınsın. O zaman şu

parametreleri k ve λ olan bir Weibull dağılımı gösterir. Bu sonuç yığmalı dağılım fonksiyonunun şekilden hemen elde edilir. Ancak (0,1) aralığından rassal değişkenler üretilmekte iken ele geçirilmesi çok az olasılıklı olan 0 değeri bir şans eseri ele geçerse (bu değerin doğal logaritması sonsuz olacağı için) bu çekilimin bir kenara bırakılması ve yeni bir tane daha rassal sayı elde edilmesi gerekir.

 İlişkili dağılımlar 

 Eger 

ise, 

ifadesi bir üstel dağılım olur.

 Eğer

ise  

bir Rayleigh dağılımı olur.

 Eğer

ise 

bir Weibull dağılımı olur.

 Ters Weibull dağılımı için olasılık dağılım fonksiyonu 

olur.
 Genellestirilmis uçsal değer dağılımı maddesine de bakınız.

 Kullanış alanları 


Weibull dağılımı pratikte çok kere normal dağılım yerine kullanılmaktadır. Buna neden Weibull değisebiliri değerlerinin kolay matematik işlemlerle ortaya çıkan ters alma usulu ile üretilebilmekte ve buna karşılık normal değişebilir değerleri rettmek için tipik olarak daha karmaşık işlemler gerektiren (her normal değer için iki tane tekdüze dağılım değişebilir değeri isteyen)  Box-Muller yöntemi ile elde etmek gerekmektedir.

Endüstriyel mühendislik dalında fabrikasyon ve mal teslim zamanlarını temsil etmek için modellemelerde Weibull dağılımı kullanılmaktadır. Ayni bilim ve teknoloji dalında  [[mühendisliği ve failure analizi için istatistiksel modellere baz olamaktadır.

Weibull dağılımı Lucasl değer teorisi ve meteorolojide hava tahmin modellemesinde önemli rol oynamaktadır.

Radar sistemlerinin modelleme alanında 

Weibull dağılımı çok popüler olarak rüzgâr hızı dağılımını tanımlamak için kullanılır çünkü doğasal pratik rüzgâr hızı çizelgelerine teorik Weibull şekli çok uygun olmaktadır.

Kaynakça

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 
 Weibull dağılımı (örnekler, özellikler ve hesaplayıcılar ektedir). 
 Weibull grafiği. 
 Özel Weibull tipi grafik kâğıtıdır. 
 Mathpages - Weibull Analizi
 Weibull Analizi için Excel kullanılması 

  Waloddi Weibull'un biografisi 
 SOCR Bu eğitim kaynağı Weibull dağılımı için etkileşimli gösterim .

Kategori:Sürekli olasılık dağılımları
Kategori:Sağkalım analizi