Asal kök

Bir asal kök modülü n sayılar teorisindeki modüler aritmetikten bir kavramdır. Eğer  olan bir tam sayı ise, n formuna göre aralarında asal sayılar mod n'e göre çarpılarak, bir grup oluşturacak şekilde yapılan işlem, veya  olarak gösterilir. 
Bir asal sayı için  ve  ise, bu grup ancak ve ancak  veya  'ya denktir. Bu döngüsel grubun bir üreteci asal kök modülü n veya 'in bir asal elemanı'dır şeklinde tanımlanır.

Bir asal kök modülü n, diğer bir deyişle, mod n'e göre g gibi öyle bir tam sayıdır ki n'le beraber ortak çarpanı olmayan her tam sayı, g 'nin bir kuvvetine denktir.

Örneğin

 alalım. 'in elemanları

 'ün denk sınıflarından oluşur.

mod 14'e göre  olduğundan, 3 mod 14'e göre bir asal köktür. Mod 14 için diğer ve tek asal kök ise 5'tir.

 (mod 14) - (satırlardaki değerler döngüsel şarta bağlı olarak tekrar sonra kesilmiştir)





14'le aralarında asal olan sayılar yalnızca kuvvetlerinden biri 1 (mod 14)'e ulaşan sayılardır. Bu sayıların oluşturduğu küme S = (1, 3, 9, 13, 11, 5)'dir.

Problemi f(n, k) = nk - 1 ≡ 0 (mod 14) gibi ele alırsak, n için tasarlanan köklerin k > 0 olan kuvvetleri için bir polinom sağladığını görürüz. S kümesindeki elemanların tümü, R = {3, 5} kümesindeki sayılardan ve onların kuvvetlerinden elde edilebilir. Ama örneğin 11'den ve onun kuvvetlerinden elde edilemez (mod 14 için). S kümesi tüm kökleri içerir. R kümesi ise asal kökleri içerir. Bunların (mod 14)'e göre tüm kuvvetleri döngüsel olarak tüm kökleri elde eder.

Kategori:Asal sayılar