Vektör uzayı

Vektör uzayı veya Yöney uzayı, matematikte ölçeklenebilir ve eklenebilir bir nesnelerin (vektörlerin) uzayına verilen isimdir. Daha resmî bir tanımla, bir vektör uzayı, iki elemanı arasında vektör toplamasının ve skaler denilen sayılarla çarpımın tanımlı olduğu ve bunların bazı aksiyomları sağladığı kümedir. Skalerler, rasyonal veya reel sayılar kümesinden gelebilir, ama herhangi bir cisim üzerinden bir vektör uzayı oluşturmak mümkündür. Vektör uzayları, skalerlerin geldiği cisme göre reel vektör uzayı, kompleks vektör uzayı veya genel bir cisim üzerinden K vektör uzayı şeklinde adlandırılır.

Vektör uzayları, geometride ve fizikte kullanılan ve bir yönü ve büyüklüğü olan Öklid Vektörlerinin bir genelleştirmesidir. Vektör uzayları Lineer Cebrin temelini oluşturur ve sadece yönü ve büyüklüğü olan vektörleri tasvir etmekle kalmayıp lineer denklem sistemlerinin çözümü, fonksiyon analizi, kuantum fiziği, bilgisayar bilimi, rölativite ve iktisat gibi bir sürü alanda kullanımlara sahiptir.

Bir vektör uzayı, boyut denilen bir nicelik ile karakterize edilir. Boyutu ve tanımlandığı cismi aynı olan iki vektör uzayı birbirine izomorftur. Boyutu bir doğal sayı olan vektör uzaylarına sonlu boyutlu denir. Sonsuz boyutlu vektör uzaylarının boyutu ise bir kardinaldir. Sonsuz boyutlu vektör uzayları özellikle fonksiyonal analizde çok kullanılır.

Toplama ve skaler çarpımı dışında yapılara sahip olan genişletilmiş vektör uzayları da mevcuttur. İki vektör arasında çarpımın tanımlı olduğu vektör uzaylarına cebir denir.

 Tanımlar ve Özellikler 
 bir cisim olsun. Boş olmayan bir  kümesi, bir  vektör uzayı ise  üzerinde iki işlemin tanımlı olması gerekir:

 Vektör toplaması işlemi,  kümesinin keyfî iki elemanı olan  ve  vektörlerini alır ve sonuç olarak yine  kümesinin bir elemanı olan 'yi verir.
 Skaler çarpımı işlemi,  cisminden herhangi bir  elemanını,  kümesinden de herhangi bir  elemanını alır ve karşılığında yine  kümesinin bir elemanı olan  elemanını verir.

'nın elemanlarına skaler, 'nin elemanlarına ise vektör denir. Bu iki işlem, aynı zamanda birtakım aksiyomları sağlar:
+AksiyomİfadesiToplamanın Birleşme ÖzelliğiToplamanın Değişme ÖzelliğiToplamada Sıfır Elemanının Varlığı kümesinde bir adet  isimli eleman bulunur
ve her eleman için  özelliği sağlanırToplamsal Ters Elemanların Varlığı kümesindeki her  elemanı için bir  elemanı
bulunur ve bu eleman için  özelliği sağlanırSkaler Çarpımının Cisim Çarpımıyla
UyumuSkaler Çarpımının Birim ElemanıSkaler Çarpımının Vektör Toplaması
üzerinde Dağılma Özelliği Skaler Çarpımının Skaler Toplaması
üzerinde Dağılma Özelliği 
Eğer skalerler reel sayılardan geliyorsa buna bir reel vektör uzayı, kompleks sayılardan geliyorsa da kompleks vektör uzayı denir. Ancak skalerler herhangi bir cisimden gelmesi mümkündür. Bu aksiyomlar doğrudan aşağıdaki özelliklere sebep olur:




  ise ya  ya da 

 Terimler 

 Altuzay Eğer , 'nin bir altkümesi ise ve  kendi içinde bir vektör uzayı ise 'ya 'nin bir altuzayı denir.
 Lineer Kombinasyon Birtakım  vektörleri ve  skalerleri için  toplamına, o vektörlerin bir lineer kombinasyonu denir.
 Lineer Bağımsızlık Eğer verilen birtakım  vektörleri arasından birisi, diğerlerinin lineer kombinasyonu olarak yazılabiliyorsa bu vektörlere lineer bağımlı denir. Eğer bu vektörlerin hiçbiri diğerleri cinsinden yazılamıyorsa bu vektörler kümesi lineer bağımsızdır. Lineer bağımsız vektörler lineer cebirde önemlidir, çünkü eğer bir vektörü birtakım lineer bağımsız vektörün lineer kombinasyonu olarak göstermek mümkünse, aynı zamanda bu gösterim biriciktir.
 Span  vektörlerinin span'i, bu vektörleri içeren tüm altuzayların kesişimine denir. Buna eşdeğer bir tanım ise, bu vektörlerin mümkün olan tüm lineer kombinasyonlarından oluşan vektör uzayına da 'nin span'i demektir. Bu,  şeklinde gösterilir.
 Üretici küme  vektörlerinin span'i, tüm vektör uzayı 'yi kapsıyorsa bu vektörler, 'nin üreticileridir.
 Baz  kümesi, hem lineer bağımsız, hem de bir üretici küme ise 'ye bir baz denir. Bir vektör uzayının bazı biricik değildir, ancak  için akla gelebilecek tüm baz kümelerin eleman sayısı eşittir.
 Boyut  bir vektör uzayı olsun.  için bulunabilen tüm baz kümelerinin eleman sayısı eşit olduğundan, bu sayıya vektör uzayının boyutu ismi verilir. Bir vektör uzayında birbirinden lineer bağımsız en fazla o vektör uzayının boyutu kadar vektör bulunabilir. Aynı şekilde, bir vektör uzayını üreten tüm kümelerin eleman sayısı en az o vektör uzayının boyutu kadardır. Dolayısıyla hem lineer bağımsız hem de üretici bir kümede tamı tamına boyut kadar vektör bulunur.

 Örnekler 

 Bir düzlemde bulunan oklar 

Kartezyen düzlemde bulunan oklar üzerinden bir reel vektör uzayı tanımlamak mümkündür. Vektör toplamı, iki oku uç uca yerleştirip, birinin başından diğerinin ucuna çizilmesiyle bulunur. Skaler çarpımı ise, bir vektörü alıp uzunluğunu skaler kadar gererek hesaplanır. Negatif bir sayıyla çarpım ise vektörün yön değiştirip uzunluğunun sayının mutlak değeriyle çarpıması vasıtasıyla tanımlanır. Bu tanımlar altında oklar bir reel vektör uzayı teşkil eder.

Bu vektör uzayının boyutu 2'dir. Aynı doğrultuda bulunmayan herhangi iki vektör ise bir baz teşkil eder. Bu uzayın alt uzayları ise; uzayın kendisi, orijinden geçen doğrular ve sadece orijin noktasından oluşan sıfır uzayıdır.

 Sayı çiftleri 
'den alınan sayı çiftleri üzerinde bir vektör uzayı yapısı tanımlamak mümkündür. İki çiftin toplamı,

şeklinde, skaler çarpımı ise

şeklinde tanımlanabilir. Bu vektör uzayı yine 2 boyutludur. Burada lineer bağımlı iki vektör örneği vermek gerekirse  ve  verilebilir. Baz olarak da standart baz olarak adlandırılan  kümesi örnek verilebilir.

 Sayı n-lileri 
Daha genel olarak, herhangi bir  cismi için 'de bulunan tüm n'li sayı dizileri de yukarıda tanımlanan şekilde n boyutlu bir  vektör uzayı teşkil eder.

Şimdi  bir n boyutlu  vektör uzayı olsun. Eğer  bir baz kümesi ise, 'deki her elemanı  şeklinde yazmak mümkündür ve en önemlisi ise bunu sağlayan  katsayıları biriciktir. Dolayısıyla 'deki herhangi bir vektör,  şeklinde temsil edilebilir. Yani  uzayları, akla gelebilecek tüm soyut vektör uzaylarını somut bir şekilde temsil etmenin bir yoludur.

Kategori:Soyut cebir
Kategori:Fizik terimleri
Kategori:Grup teorisi
Kategori:Lineer cebir
Kategori:Matematiksel yapılar
Kategori:Vektörler