Cisim (cebir)

Cisim, halka ve grup gibi soyut bir cebirsel yapıdır. Kabaca, elemanları arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme (sıfıra bölme hariç) yapılabilen ve bu işlemlerde sayılardan alışık olduğumuz temel aritmetik kurallarının geçerli olduğu bir küme olarak tanımlanabilir.

Her cisim bir halkadır, fakat bunun tersi geçerli değildir. Mesela tam sayılar kümesi  bir halka olduğu halde, içinde bölme yapılamadığı için cisim değildir. Değişmeli bölenler halkasına cisim denir.

Rasyonel sayılar  ve gerçel sayılar , cisimlerin başlıca örneklerindendir. Ancak soyut cebirde toplama ve çarpma işlemlerinin tanımlı olduğu daha başka cisimler hayal etmek de mümkündür.

 Tarihçe 
Cisim kavramını ilk ortaya atan Richard Dedekind olmuştur. Dedekind, bu yapı için Almancada "cisim" ya da "vücut" anlamına gelen Körper kelimesini kullanmıştır.

 Tanımı ve Temel Özellikleri 

 Cisim Aksiyomları 
 boş olmayan bir küme olsun. Bu kümenin bir cisim olması için, elemanları arasında  ile gösterip ve toplama diye adlandıracağımız ve  ile gösterip çarpma diye adlandıracağımız iki tane ikili işlem tanımlanmış olması gereklidir. Ayrıca, bu işlemlerin bazı özellikleri sağlaması gerekmektedir. Toplama işlemi için;

 Birleşme Özelliği Her  üçlüsü için 
 Birim Elemanın Varlığı Öyle bir  mevcuttur ki her  için 
 Ters Elemanların Varlığı Her  için öyle bir  elemanı mevcuttur ki 
 Değişme Özelliği Her  ikilisi için 

özelliklerinin hepsi sağlanmalıdır. Cisimlerde, çarpma işlemi de benzer özellikleri sağlamaktadır:

 Birleşme Özelliği Her  üçlüsü için 
 Birim Elemanın Varlığı Öyle bir  mevcuttur ki her  için 
 Ters Elemanların Varlığı Her  için öyle bir  elemanı mevcuttur ki 
 Değişme Özelliği Her  ikilisi için 

Dikkat edilmesi gereken husus, çarpmada 0'ın ters elemanının bulunmamasıdır. Çarpma ve toplama işlemleri ise, birbirleri ile

 Dağılma Özelliği Her  üçlüsü için 

sayesinde bağlanır. Bu özelliklerin yanı sıra, tek elemandan oluşan trivial cismi cisim olarak saymak bazen problemlere yol açtığından,

 Trivial Olmama 

varsayımı eklenir, çünkü  olduğu durumda cisimdeki tüm elemanların birbirine eşit olduğu istisnai ve düzensiz bir yapı ortaya çıkar.

 Aksiyomlardan çıkan sonuçlar 
Bu aksiyomlar sağlandığı anda bazı kurallar otomatikman kanıtlanır:

 Yutan Eleman Her  için 
 Sıfır Bölenlerinin Yokluğu  ise 
 Sadeleşme Özelliği Eğer  ise veya 'dan farklı 'ler için  ise 
 Çıkarma ve Bölme Verilen iki  için  ve  ise  özelliğini sağlayan bir ve sadece bir  mevcuttur. Bunlar,  ve  şeklinde gösterilir.
  ve dolayısıyla 
 Üs Alma Kısaca,  tane  yerine gösterimi kullanılır. Bu gösterim, aşağıdaki özellikleri sağlar:




 Örnekler 

 Temel Kavramlar 

 Altcisimler ve Cisim Uzatmaları 
Bir cismin içinde daha küçük cisimlerin bulunduğu durumları incelemek çoğu zaman kullanışlıdır. Bu yüzden,  olsun ve hem  hem de  birer cisim olsun. Bu durumda 'ya 'nin bir altcismi ve 'ye de 'nın bir uzantısı denir. Cisim Teorisindeki birçok kuram, cisim uzantıları kullanılarak kanıtlandığından altcisimler ve uzantılar vazgeçilmezdir.

Hiçbir altcismi bulunmayan cisimlere asal cisim denir. İki altcismin kesişimi de yine bir altcisim olduğundan, herhangi bir  cisminin tüm altcisimlerini kesiştirince biricik bir asal cisim  elde edilir. Dolayısıyla her  cisminin içinde bir ve yegâne bir asal cisim  bulunur ve , 'yi karakterize eder.

Mesela rasyonel sayıların kümesi  bir asal cisimdir. Bunun yanında yukarıda bahsedilen  cisimleri de birer asal cisimdir. Hatta bunlar dışında asal cisim bulunmamaktadır.

 Karakteristik 
Eğer bir  cisminin çarpımsal birim elemanı 'in hiçbir tam katı 'a eşit değilse, yani hiçbir zaman  olmuyorsa, 'nin karakteristiğinin 0 olduğu söylenir. Şayet belirli bir n için n tane  oluyorsa, bu özelliği sağlayan en küçük n'e o cismin karakteristiği denir. Bir cismin karakteristiği daima ya 0 ya da bir asal sayı olur.

Karakteristiği 0 olan bir cismin içinde daima rasyonel sayılar  bir altcisim olarak bulunur. Karakteristiği p olan cisimlerin içinde de  cismi bulunur. Bu cisimler asal cisim olduğundan, bir cisim içinde bulunan asal cismi sadece o cismin karakteristiğine bakarak bulmak mümkündür

 Homomorfizmalar ve İzomorfizmalar 
İki cismin arasında bulunan benzerlikler, homomorfizma olarak adlandırılır. Resmen, bir  eşlemesinin bir homomorfizma olması için, aşağıdaki özellikleri sağlaması gerekir:




Kısaca,  eşlemesi, toplama ve çarpmaya saygı göstermelidir.

 Halkalar ile İlişkisi 

 Halkalardan Cisimlerin İnşası 
Halkalar, cisimlerin daha genelleştirilmiş versiyonlarıdır. Halkalarda çarpma işleminin ters elemanlı ve değişmeli olması şartı aranmaz. Bunun bir sonucu olarak yukarıdaki özelliklerin birçoğu kaybolur, mesela bazı halkalarda 0'dan farklı iki sayının çarpımı 0 olabilir.

0'dan farklı iki sayının çarpımının asla 0 olmadığı halkalara tamlık bölgesi denir. Eleman sayısı sonlu olan tüm tamlık bölgeleri aynı zamanda bir cisimdir. Sonsuz elemanlı tamlık bölgelerini kullanarak da bir cisim elde etmek mümkündür. Sonsuz tamlık bölgelerine örnek olarak tam sayıların kümesi 'yi alalım.

 Kesir İnşası 
Bir tamlık bölgesinden cisim elde etmenin bir yolu, ortaokulda gösterilen kesir kavramından esinlenmektir.  bir tamlık bölgesi olsun. O zaman 'dan aldığımız ikililerin kümesi olan 'den ikinci elemanın 0 olduğu ikilileri çıkardıktan sonra bir cisim yapısı, şu şekilde tanımlanabilir:

Öncelikle, iki ikilinin eşitlik şartlarını gevşetip,  ikililerini  özelliği sağlandığı sürece eşdeğer kabul edilen bir ilişki tanımlanır.  olduğu sürece bu ilişkinin bir eşitlik ilişkisi olduğunu göstermek zor değildir. Bu şekilde 'yi birbirine eşdeğer kabul ettiğimiz altkümelere indirgemek mümkündür.

Çarpma işlemini akla gelen şekilde  olarak tanımlamak mümkündür. Bu işlemin birleşmeli, değişmeli, birim elemanlı ve ters elemanlı olduğunu görmek de zor değildir. Aynı zamanda bu ilişki, yukarıda tanımlanan eşdeğerlik kuralıyla da çelişkisizdir. Bu tanım ve bu eşitlik kaidesi altında, verilen bir  ikilisinin tersi  olur. Bu şekilde inşa ettiğimiz yapı, 'da olmayan ters elemanlarla donatılır.

Toplama işlemini ise biraz daha karmaşık bir şekilde tanımlamak gerekir:  kuralıyla. Toplama işlemini ancak bu şekilde tanımlarsak yukarıda sağlanan eşitlik ilişkisi ile çelişkisiz olur. Yine bu tanımdaki toplamanın birleşmeli, değişmeli, sıfırlı ve ters elemanlı olduğu barizdir.

Bu işlemler ve bu eşitlik ilişkisi, nihayetinde bir cisim teşkil eder. Bu noktadan itibaren  olarak alıştığımız şekilde gösterilebilir. Daha önemlisi,  şeklinde olan elemanlar ile  arasında bir bijektif homomorfizma bulunduğundan 'nın bu oluşturduğumuz yeni cismin bir parçası olduğunu söylemek mümkündür. Dolayısıyla bu yöntem ile herhangi bir değişmeli tamlık bölgesini kapsayan bir cisim elde etmek mümkündür.

Tam sayılar  üzerinde bu yapıyı kullanmak, bize rasyonel sayılar cismi 'yu verir.

 Modüler Aritmetik 
Tamlık bölgelerini kullanarak daha küçük cisimler elde etmenin bir yolu ise, bölüm halkalarını kullanmaktır. Şimdi  yine bir tamlık bölgesi olsun ve  ise 'nın bir elemanı olsun. Yeni bir halka elde etmek için öncelikle bir eşitlik ilişkisi tanımlayalım:  diye gösterdiğimiz ilişki, sadece ve sadece , 'in bir katı ise geçerli olsun. Bu eşitlik ilişkisi, toplama ve çarpma altında da bozulmaz, dolayısıyla yeni bir halka tanımlanmış olur ve bu halka  şeklinde gösterilebilir. Eğer  bir asal eleman ise, bu yeni ürettiğimiz halka aynı zamanda bir cisim yapısına sahip olur.

Bu yöntemi kullanarak 'den modülo 7 tam sayıların cismini elde etmek mümkündür. Bu şekilde 'den elde edilen cisimler  ile gösterilir. Mesela 'de her sayının gerçekten bir çarpımsal tersi vardır:
+*012345600000000101234562024613530362514404152635053164260654321

 Kaynakça 

 Ayrıca bakınız 
 Grup
 Halka

Kategori:Soyut cebir