Diferansiyel geometri

Diferansiyel geometri türevin tanımlı olduğu Riemann manifoldlarının özellikleriyle uğraşan matematiğin bir alt disiplinidir. Başka bir deyişle, bu manifoldlar üzerindeki metrik kavramlarla uğraşır. Eğrilik, eğriler için burulma ve yüzeyler için değişik eğrilikler, araştırılan özellikler arasındadır.

Diferansiyel geometri, geometrik problemler üzerinde diferansiyel metotlar ve integral hesaplamalarla çalışan matematiksel bir disiplindir. Bundan başka lineer cebir ve çoklu doğrusal cebirdeki, sorunları incelemek için geometride de kullanılır.

 Uygulamalar 
Aşağıda diferansiyel geometrinin, bilim ve matematiğin diğer alanlarında nasıl kullanıldığı hakkında bazı örnekler vardır.
Fizikte, dört kullanımından söz edilecektir: :
Diferansiyel geometri Einstein'ın Genel görelilik teorisinin ifade edildiği dildir. Teoriye göre evren, uzay-zaman eğriliğini açıklayan pseudo-Riemann metriği ile donatılmış, düzgün bir manifolddur. Dünya etrafında yörüngeye uydu konumlandırmak için bu bükülmeyi anlamak esastır. Diferansiyel geometri, kütleçekimsel merceklenme ve kara deliklerin çalışmasını açıklamak içinde vazgeçilmezdir.
Diferansiyel formlar: Diferansiyel formların anlaşılmasında kullanılmıştır; Diferansiyel geometrinin hem Lagrange mekaniği ve hem de Hamilton mekaniğinde uygulamaları vardır. Özellikle Simplektik manifoldlar, Hamilton sistemlerini incelemek için kullanılabilir.
 Riemann geometrisi ve temas geometrisi: geometrotermodinamikler formalizmini oluşturmak için kullanılan klasik termodinamik  denge uygulamaları için bulunmuştur.
Ekonomide, diferansiyel geometrinin ekonometri alanında uygulamaları vardır.Paul Marriott and Mark Salmon (editors), "Applications of Differential Geometry to Econometrics", Cambridge University Press; 1 edition (September 18, 2000).
Diferansiyel geometriden gelen fikirler arasında geometrik modelleme (bilgisayar grafikleri dahil) ve Bilgisayar destekli geometrik tasarım da bulunur.
Mühendislikte, Dijital sinyal işleme sorunlarını çözmek için diferansiyel geometri uygulanabilir.Jonathan H. Manton, "On the role of differential geometry in signal processing" .
Olasılık, istatistik ve bilgi kuramı olarak, özellikle Fisher bilgi metriği üzerinden bilgi geometri alanını verir ki, Riemann manifoldları gibi çeşitli yapıları yorumlayabilir.
Yapısal jeoloji, diferansiyel geometri jeolojik yapılarını analiz etmek ve tanımlamak için kullanılır.
Bilgisayarla görme, diferansiyel geometrik şekilleri analiz etmek için kullanılır.Mario Micheli, "The Differential Geometry of Landmark Shape Manifolds: Metrics, Geodesics, and Curvature", http://www.math.ucla.edu/~micheli/PUBLICATIONS/micheli_phd.pdf 
Görüntü işlemede, düz olmayan yüzeylerde veri işlemek ve analiz etmek için diferansiyel geometri kullanılır.Anand A. Joshi, "Geometric methods for image processing and signal analysis",  
Grigori Perelmanin Poincaré varsayımına kanıtı topolojideki sorulara Ricci akımlarının tekniklerini kullanarak diferansiyel geometrik yaklaşımın gücünü gösterdi ve onun analitik yöntemlerde oynadığı önemli role dikkat çekti.
Kablosuz iletişimde, grassmanniyen manifoldlar çoklu anten sistemlerinde demetleme teknikleri için kullanılmaktadır.David J. Love and Robert W. Heath, Jr. "Grassmannian Beamforming for Multiple-Input Multiple-Output Wireless Systems," IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 49, No. 10, October 2003

Ayrıca bakınız

 İntegral geometri
 Diferansiyel geometri konularının listesi 
 Ayrık diferansiyel geometri

 Kaynakça 

 Konuyla ilgili yayınlar 

 Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis.
 Good classical geometric approach to differential geometry with tensor machinery.

 Dış bağlantılar 

B. Conrad. Differential Geometry handouts, Stanford University 
Michael Murray's online differential geometry course, 1996 
A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003
Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery
Balázs Csikós's Notes on Differential Geometry
N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.
MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008