İkili işlem

Eğer  bir kümeyse,  kümesinden  kümesine giden bir fonksiyona  kümesi üzerine ikili işlem denir. İkili işlemi  olarak gösterirsek,  yerine genellikle , ,  ya da daha yaygın olarak  yazmak bir gelenek halini almıştır. Burada önemli olan, her  için, işlemin sonucu olan  elemanının yine  kümesinde olmasıdır, yoksa ikili bir işlemden söz edemeyiz. Örneğin,  (doğal sayılar kümesi) ise,  işlemi bu küme üzerinde ikili bir işlem değildir. Örneğin,  bir doğal sayı değildir. Öte yandan  olarak tanımlanan işlem doğal sayılar kümesi üzerine ikili bir işlemdir.

İkili işlem yerine kısaca "işlem" denildiği de olur.

 yazılımı sadece işlem değişmeli olduğunda, yani kümedeki her  için  olduğunda kullanılır.

İşlemlerde genellikle her  elemanı için  eşitliği aranır, örneğin  elemanından rahatça (yani özel bir tanıma gerek kalmadan) söz edebilmek için  eşitliği geçerli olmalıdır. Bu özelliğe birleşme özelliği adı verilir.

Eğer her  için ex = x eşitliğini sağlayan bir  elemanı varsa, e'''ye işlemin soldan etkisiz elemanı adı verilir. Sağdan etkisiz eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan etkisiz elemanlar eşit olmak zorundadırlar, nitekim eğer e soldan, f de sağdan etkisizse  olur. Öte yandan bir işlemde sağdan etkisiz eleman yoksa birden fazla soldan etkisiz eleman olabilir. Örneğin  olarak tanımlanan işlemde her  soldan etkisizdir; ve eğer kümede birden fazla eleman varsa bu işlemin sağdan etkisiz elemanı yoktur. Sağdan ve soldan etkisiz olan elemana kısaca etkisiz eleman denir.

Eğer her  için ax = a ise a'ya soldan yutan eleman denir. Sağdan yutan eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan yutan elemanlar - olduklarında - eşittirler, çünkü eğer a soldan, b de sağdan yutansa, o zaman  olur.

Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşke işlemidir. Eğer X bir kümeyse, Fonk(X, X), X kümesinden X kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer  Fonk(X, X) ise, gene X kümesinden X kümesine giden ve adına "f ile g fonksiyonlarının bileşkesi" denilen f o g fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her  için, (f o g)(x) = f(g(x)) olsun. Bu, Fonk(X, X'') kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşme özelliği vardır ama değişmeli değildir ve ayrıca etkisiz elemanı Id olarak gösterilen özdeşlik fonksiyonudur.

 Ayrıca bakınız 
 İşlem
 Grup (matematik)
 Halka
 Cisim (cebir)
 Soyut cebir