Grup (matematik)

Grup (tutam veya öbek), soyut cebirin en temel matematiksel yapısıdır. Grup, ayrıca bir ikili işlemin tanımlı olduğu bir kümedir. Bir grubun grup olabilmesi için aynı zamanda bu işlemin birleşmeli, birim elemanlı ve ters elemanlı olması gerekir. Soyut cebirin halka, cisim, modül gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.

Gruplar, ilk başta geometrik şekillerin simetrilerini araştırırken keşfedilmiştir. Dolayısıyla bir kübün simetrileri, bir sonlu grup örneği olarak verilebilir. Ama aynı şekilde, tam sayıların kümesi  de toplama işlemiyle birlikte bir grup teşkil eder.

 Tanımlar ve Özellikler 

 Tanım 
Eğer üzerinde bir tane  ikili işlemi tanımlanmış bir  kümesi
 Bileşme: Her  için 
aksiyomunu sağlıyorsa bir yarı gruptur. Eğer bir yarı grup,
 Etkisiz eleman: Öyle bir  mevcuttur ki her  için 
özelliğini sağlıyorsa bu kümeye monoid denir. Eğer bir monoid,
 Ters eleman: Her  için öyle bir   elemanı vardır ki 
özelliğini de sağlıyorsa kümeye grup adı verilir. İşlemi vurgulamak için  gösterimi kullanılır.

Ayrıca bir grup
 Değişme: Her  için  
özelliğini de sağlıyorsa değişmeli grup ya da Abel'in anısına Abelyen grup olarak adlandırılır.

 Özellikler 
Yukarıdaki aksiyomlar sağlandığında bazı özellikler otomatikman geçerli olur:

 Etkisiz Elemanın Biricikliği Bir grupta birden fazla etkisiz eleman  bulunmaz.
 Ters Elemanların Biricikliği Her  elemanının yegâne bir ters elemanı  bulunur. Dolayısıyla elemanların tersini almak bir fonksiyondur ve bu fonksiyon şu özellikleri gösterir:


 Sadeleşme Özelliği  ise 
 Bölme Özelliği Her  elemanları için  özelliğini sağlayan bir ve yegâne bir  mevcuttur.
 Üs n tane 'nın çarpımı kısaca  olarak gösterilir. Bu gösterim, aşağıdaki özellikleri sağlar



 Sadece abelyen gruplar için 

 Temel Kavramlar 

 Homomorfizma 
İki grubun yapısındaki benzerliklere homomorfizma ismi verilir. Resmen tanımlamak gerekirse,  ve  iki grup olsun,  ise bu iki grup arasında tanımlı bir eşleme olsun. Eğer her  için  özelliği sağlanıyorsa 'ye bir homomorfizma denir. Homomorfizmalar bize hem  hem de 'nin yapısı hakkında bilgi verdiği için çok kullanışlıdır.

Bir homomorfizma için,  ile 'nin görüntüsü, yani 'de  ile ulaşılabilen tüm elemanların kümesi kastedilir.  daima 'nin bir altgrubudur.  ile de 'nin çekirdeği, yani  özelliğini sağlayan tüm elemanların kümesi kastedilir.  daima 'nin bir altgrubudur, hatta normal bir altgruptur.

Bir homomorfizma, aynı zamanda birebir ve örten ise bu homomorfizmaya izomorfizma adı verilir. Aralarında bir izomorfizma bulunan iki gruba izomorfik denir ve bu durum  şeklinde gösterilir. İki grubun izomorfik olması demek, iki grubun tanım kümeleri farklı da olsa yapılarının tamamen aynı olması demektir. Grup teoresinde, iki grubun birbiriyle "aynı" olduğu söylendiğinde çoğu zaman aslında izomorfik olduğu kastedilir.

İzomorfizma örneği vermek gerekirse,  fonksiyonu, tam sayılar ve çift tam sayılar arasında bir izomorfizma teşkil eder. Dolayısıyla iki grubun tanım kümesi farklı olsa da belki şaşırtıcı bir şekilde yapılarının aynı olduğu ortaya çıkar.

Eğer , 'nin elemanlarını yine 'ye götüren bir homomorfizma ise 'ye bir endomorfizma denir. Eğer  hem bir endomorfizma, hem de bir izomorfizma ise 'ye bir otomorfizma denir. 'nin tüm otomorfizmalarını alıp bir kümeye koyarsak, bu otomorfizmalar kendi aralarında bir grup teşkil eder, bu grup  ile gösterilir.

 Altgrup 
Daha büyük bir grubun içinde bulunan gruplara altgrup ismi verilir. Resmen tanımlamak gerekirse, , 'nin bir altkümesi olsun. Eğer , 'nin işlemi ile kendi içinde de bir grupsa bu durumda 'ya 'nin altgrubu denir ve bu durum  şeklinde gösterilir. Bir grubun altgrup olup olmadığını kontrol etmek için üç şeye bakmak gerekir:

 Her  için  de 'nun içinde
 Her  elemanının tersi 'de 'nun içinde
  boşküme değil

Bu iki şart sağlanınca diğer grup aksiyomları otomatikman kanıtlanır. Ayrıca, 'nin eleman sayısı sonlu ise ikinci şart da otomatikman sağlanır.

Örnek vermek gerekirse, tüm çift sayıların kümesi, tüm tam sayıların kümesinin bir altgrubudur. Benzer şekilde, bir karenin tüm rotasyon simetrileri, karenin tüm simetrilerinin grubunun bir altgrubudur.

Şimdi , 'nin herhangi bir alt kümesi olsun. 'i içeren ve 'nin tüm altgrupların kesişimine  tarafından üretilen altgrup denir ve  ile gösterilir. Eşdeğer bir tanım ise,  ve 'deki elemanların toplamları veya tersleri olarak yazılabilen tüm elemanların oluşturduğu altgruba  denmesidir.

 Eşkümeler 
Şimdi  bir grup,  da bir altgrup olsun. Bir  seçip 'nun elemanlarıyla tek tek çarpıp bunları bir kümeye yerleştirirsek bu kümeye bir eşküme denir ve bu  şeklinde gösterilir. Eşkümeleri tanımlamanın başka bir yolu ise;  bir eşküme ise her  için olmasını gerektirmektir.

Meselâ 'yi bir karenin simetrileri olarak alırsak ve karenin rotasyon simetrilerinden oluşan altgrubunu ise  ile gösterirsek,  iki eşkümeye bölünür: 'nun kendisi ve bir yansıtmadan sonra ulaşılabilen simetrilerin kümesi. Veya 'yi alıp 3'ün katlarını içeren altgruba bölersek 3 eşküme elde ederiz: , , 

Grup çarpımı birebir olduğundan bir altgrubun tüm eşkümeleri eşit sayıda eleman içerir. Aynı zamanda, hiçbir eleman iki farklı eşkümenin aynı anda elemanı olamaz ve tüm eşkümelerin birleşimi de grubun tamamını verir. Bütün bunlar, Lagrange Teoremini kanıtlar:  ise ve  sonluysa 'nun eleman sayısı, 'nin eleman sayısının daima bir bölenidir.

Abelyen olmayan gruplarda, hem soldan çarparak  şeklinde, hem de sağdan çarparak  şeklinde eşkümeler elde etmek mümkündür. Bu eşkümelerin birbirinin aynısı olması da zorunlu değildir, ancak aynı olduğu durumlarda 'ya bir normal altgrup denir ve bu durum  şeklinde gösterilir. Abelyen grupların tüm altgrupları normaldir.

 Bölüm Grupları 
Eğer , 'nin normal bir altgrubuysa, 'nun eşkümeleri arasında bir işlem tanımlamak mümkündür. Çünkü sadece  normalse, 'nun iki eşkümesi  ve 'den iki eleman alıp çarpınca yine tek bir eşkümeye ait elemanlar elde ederiz.  normal bir altgrup değilse seçtiğimiz elemana göre farklı eşkümeler elde etmek mümkündür.

'nun eşkümeleri arasında bu şekilde bir işlem tanımlayıp elde ettiğimiz gruba 'nun bölüm grubu denir ve bu  ile gösterilir. Bu şekilde 'yi daha basit olan iki parçaya ayırmış oluruz:  ve .

Örnek vermek gerekirse, 'yi karenin simetri grubu olarak aldığımızda, sadece rotasyon simetrilerini içeren altgrup  normaldir. Bu durumda  iki elemandan oluşan bir altgrup verir ve 8 elemanlı 'yi 4 ve 2 elemanlı iki grup olarak parçalamış oluruz. Aynı şekilde tüm tam sayıları alıp 5'in katlarına bölersek 5 elemanlı bir grup elde etmiş oluruz. Bu bölüm grubu,  sayılarının modülo 5 toplandığı gruba izomorftur.

 Kaynakça 

 Thomas W. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, Chapter I, 1974.
 Nathan Jacobson, Lectures in Abstract Algebra: I. Besic Concepts, Springer-Verlag, Chapter I, 1951.
 Serge Lang, Algebra, Addison-Wesley, 3. baskı, 1993.
 Yarasa Genel Müdürlüğü, Cebir, Hacettepe Üniversitesi FF, 2 cilt, 1987.

 Ayrıca bakınız 
 Cisim
 Halka

Kategori:Soyut cebir