Toplam beklenti yasası

Toplam beklenti yasası, olasılık kuramında, yinelemeli beklenti yasası, kule kuralı, düzleştirme teoremi gibi çeşitli isimlerine de rastlanan öneri.

Bu oneriye gore:
Eğer X; E(| X |) < ∞ koşulunu sağlayan (yani entegrallenebilir) bir rassal değişken ve Y (mutlaka entegrallenebilir olmayan) herhangi bir rassal değişken ise, aynı olasılık uzayında

sağlanır.

Yani, X in Y bilindiğindeki koşullu matematiksel beklentisinin matematiksel beklentisi, X in matematiksel beklentisine eşittir.

Toplam olasılık yasası ile paralel bir önermedir. Bkz. Toplam varyans yasası, varyansın bileşenlerine ayrılması.

(Koşullu matematiksel beklenti E(X | Y) nin kendisi Y nin değerine bağlı bir rassal değişkendir. Y = y olayı bilindiğine göre X in koşullu matematiksel beklenti değeri y nin bir fonksiyonudur. Eğer E(X | Y = y) = g(y) yazarsak, rassal değişken E(X | Y) de; g(Y) olur.)

 Ayrıklı halde kanıt 

E[E[X | Y]] = Σy ( E[X | Y = y]P{Y = y} )
=Σy Σx ( xP{X = x | Y = y}P{Y = y} )
=Σy Σx ( xP{X = x, Y = y} )
=Σx x Σy P{X = x, Y = y}
=Σx xP{X = x}
=E[X]

 Ayrıca bakınız 

 Koşullu beklenti
 Toplam yığımlılık yasası
 Toplam varyans yasası
 Varyansın bileşenlerine ayrılması

 Kaynakça 

Kategori:Olasılık teorisi