Birim fonksiyon

Matematikte, birim fonksiyon (ayrıca birim bağıntı, birim gönderim veya birim transformasyon olarak da adlandırılır), argüman olarak kullanılan değeri değiştirmeden döndüren bir fonksiyondur.
Yani,  birim fonksiyon olduğunda, 'nin uygulanabileceği tüm  değerleri için  eşitliği sağlanır.

Tanım
Formal olarak, eğer  bir küme ise,  üzerindeki birim fonksiyon , tanım kümesi ve değer kümesi  olan ve aşağıdakini sağlayan bir fonksiyon olarak tanımlanır:

Başka bir deyişle, değer kümesi 'teki fonksiyon değeri , her zaman tanım kümesi 'teki girdi elemanı  ile aynıdır.
 üzerindeki birim fonksiyon açıkça bir birebir fonksiyon ve aynı zamanda bir örten fonksiyondur (değer kümesi aynı zamanda görüntü kümesidir), dolayısıyla birebir örtendir.

 üzerindeki birim fonksiyon genellikle  ile gösterilir.
Fonksiyonların özel bir tür ikili bağıntı olarak tanımlandığı küme teorisinde, birim fonksiyon birim bağıntı veya 'in köşegeni (diagonal) ile verilir.

Cebirsel özellikler
Eğer  herhangi bir fonksiyonsa, 'tir; burada "" fonksiyon bileşkesini gösterir. Özellikle, , 'ten 'e giden tüm fonksiyonların monoidinin (fonksiyon bileşkesi altında) etkisiz elemanıdır.
Bir monoidin etkisiz elemanı biricik olduğundan,  üzerindeki birim fonksiyon alternatif olarak bu etkisiz eleman şeklinde de tanımlanabilir.
Bu tanım, 'nin endomorfizmalarının fonksiyon olmak zorunda olmadığı kategori teorisindeki birim morfizma kavramına genelleştirilir.

Özellikler
 Birim fonksiyon, vektör uzaylarına uygulandığında bir doğrusal operatördür.
 -boyutlu bir vektör uzayında birim fonksiyon, uzay için seçilen tabandan bağımsız olarak birim matris  ile temsil edilir.
 Pozitif tamsayılar üzerindeki birim fonksiyon, sayılar teorisinde ele alındığı üzere tamamen çarpımsal bir fonksiyondur (esasen 1 ile çarpma).
 Bir metrik uzayda birim fonksiyon, trivial (tüm değişkenlerin sıfıra eşit olduğu çözüm) bir şekilde bir izometridir.
 Herhangi bir simetrisi olmayan bir nesnenin simetri grubu, yalnızca bu izometriyi (simetri tipi ) içeren trivial gruptur.
 Bir topolojik uzayda, birim fonksiyon her zaman süreklidir.
 Birim fonksiyon idempotenttir.

Ayrıca bakınız
 Birim matris

Kaynakça

Kategori:Fonksiyonlar
Kategori:Temel matematik
Kategori:Kümeler kuramının temel kavramları