Karmaşık sayı

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

Karmaşık sayılar kümesi  C şeklinde gösterilir.  özelliğini sağlayan sanal birime  denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde  yerine,  kullanılır.

Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı  olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de rastlanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.

Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.

Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) fonksiyonlarıyla gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim.
 sayısı gerçel kısmı Re(4-7i)=4, sanal kısmı Im(4-7i)=-7 olan  uzayında bir karmaşık sayıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.

 Tanım 
Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirine eşyapısaldır, yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik, . Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimiz öğeleri içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki tane ikili işlemi olan bir cisimdir. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynı kardinaliteye (öğe sayısına) sahip olduğunu da unutmayalım.

 Kartezyen uzay tanımı 
Gerçek sayılar kümesinde her sayıyı  ile çarparsak elde ettiğimiz  kümesi önceki  kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketle

olarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, Argand düzlemi olarak anılır. Eğer  yerine tam sayılar cismi  alınırsa oluşan karmaşık tam sayılar Gauss düzlemindedir. Bu sayılara da Gauss sayıları denir.

Karmaşık sayılar, bu tanımla aşağıdaki gibi ifade edilir:
 olmak üzere;

Burada açıkça  ve  dir.

 Cisim genişlemesi tanımı 
Karmaşık olmayan sayılar, gerçel sayılar cisminin bir cisim genişlemesidir.  sayısı  polinomunun köklerinden biridir ve diğer kökü de  olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:

Bu durumda

olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasının  polinomuyla üretilen bölüm halkasıdır:

Bu bölüm halkasında X öğesinin görüntüsü  karmaşık birimidir. Bu sayede karmaşık sayılar halkası cebirsel olarak kapalı olur ki bu, gerçel sayıların cebirsel kapanışıdır. Cebirin temel teoremi bunu gerektirir, n dereceli her polinomun tam n kökü vardır. Biz, her karmaşık sayının  olarak ifade edildiği bu tanıma daha âşinâyız.

 Karmaşık düzlem 

küçükresim|sağ|Şekil 1: Karmaşık bir düzlemde nokta (kırmızı) ve konum vektörü (mavi) ile çizilen karmaşık sayı;  (veya  olarak da gösterilir) dikdörtgendir ve noktayı ifade eder.
Karmaşık sayı, iki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde, nokta veya konum vektörü olarak gösterilebilir. Sayılar alışılageldiği gibi yatay bileşen gerçel kısmı ve düşey (dikey) bileşen de sanal kısmı olarak çizildi (Şekil 1'e bakınız). Bu iki kısım karmaşık bir sayıyı ifade etmek için kullanılır ve bu yüzden Kartezyen-, dikdörtgensel- veya cebirsel form olarak adlandırılır.

 İşlemlerin geometrik açıklaması 

Cebirsel olarak ifade edilen işlemler yukarıdaki karmaşık düzlem kullanılarak gösterilebilir.

 200px  X  A + B: Karmaşık düzlemdeki A ve B gibi iki noktanın toplamı, X  A + Bdir ve köşeleri 0, A, B olan bir üçgendir. X, B, A ile benzerdir. Bu iki karmaşık sayı, vektör uzayında aynı katkıya sahiptir. Dosya:Complex numbers multiplication.png X  AB: A ve B gibi iki noktanın çarpımı X  ABdir ve köşeleri 0, 1, A olan bir üçgendir. 0, B, X benzer üçgenlerdir. Dosya:Complex numbers conjugation.png X  A*: A noktasının Karmaşık eşleniği, X  A*'dır ve köşeleri 0, 1, Adır. 0, 1, Xin ayna görüntüsüdür.

Bu geometrik açıklamalar, cebirsel problemleri geometrik biçime dönüştürmeyi sağlar. Ve tam tersi de geçerlidir (geometrik problemler, cebirsel olarak çözülebilir). Örneğin, geometrik şekil olan onyedigen problemi, Gauss tarafından şu şekilde cebirsel denklem analizine dönüştürüldü: x17 = 1  (Çokgene bakınız).

200px|sağ|küçükresim|
 fonksiyonunun alan renklendirme çizimi. 
Ton, fonksiyon değişkenini ifade ederken, doygunluk ve canlılık miktarı ifade eder. 

 Kutupsal form            
sağ|küçükresim|Şekil 2: φ değişkeni ve r mutlak değeri, karmaşık düzlemdeki bir noktanın konumudur. Noktanın kutupsal ifadesi şöyledir:  veya .

Diyagramlar çeşitli özellik gösteriler. Öncelikle Şekil 2'de r ile gösterilen orjin (merkez)den z noktasına olan uzaklık, mutlak değer olarak bilinir. Mutlak değer veya büyüklük  olarak yazılır. Pisagor teoremine göre,

Karmaşık sayılar arasındaki uzaklık genellikle,  fonksiyonu ile gösterilir. Bu fonksiyon, karmaşık sayıların metrik uzayına dönüşüdür. Limit ve süreklilik hakkında fikir verir. İki boyutlu uzayın tüm standart özellikleri karmaşık sayılar için geçerlidir (tüm z ve w için, ).

İkinci olarak,  şeklindeki karmaşık sayının argümanı veya fazı, reel eksenle yaptığı açıdır (Şekil 2'de φ olarak gösteriliyor) ve  olarak yazılır. Mutlak değer olarak, argüman dikdörtgensel formdan elde edilebilir; :
 veya  ( olduğunda π ekleyerek,  olur).
φ değeri, 2πnin herhangi çarpanı olarak değiştirilebilir ve yine aynı açıyı verir (burada radyan kullanıldığına dikkat ediniz). Bundan dolayı, arg fonksiyonu bazen çok değerli olarak ifade edilir fakat çoğunlukla değer  veya  aralığında seçilir (Bu asıl değerdir).

Karmaşık sayılar çeşitli formlarda gösterilebilir. Kutupsal form, bir düzlemdeki noktanın tam konumunu belirten mutlak değer ve argüman bileşenleri olarak gösterilebilir, şöyle ki; (r,φ) kutupsal çiftlerinden, özgün dikdörtgenin koordinatları olan  elde edildi. Diğer gösterimi:

buna trigonometrik form denir ve bazen rcisφ olarak kısaltılır. Euler formülü kullanılarak şu şekilde gösterilebilir:

buna da üstel form denir. Elektrik Mühendisliği'nde daha çok açısal gösterim kullanımı yaygındır. Bu gösterim, A genlikli ve θ fazına sahip fazörü ifade eder ve şu şekilde yazılır:

Açısal gösterimde θ, hem radyan hem de derece olabilir. Elektrik akımını ifade eden i ile karıştırmamak için, Elektrik Mühendisliği'nde i yerine daha çok j kullanılır.

 Kutupsal formdaki işlemler 
Çarpma ve bölme kutupsal formda temel formüllere sahiptir:

ve

Bu formda her iki çarpanın (eşitliklerin solundakiler) katsayıları çarpımın özelliğinden dolayı yan yana (çarpma işleminde) veya alt alta (bölme işleminde) getirilebilirler. Diğer yandan üslü sayıların kuralları gereği ifadeler aynı ise (burada ), bunlar aynı ifade altına alınırken çarpma işleminde üsler toplanır, bölme işleminde ise üsler çıkartılır.

Üs tam sayı ise şöyle gösterilir:

{|width=100%
| style="width:70%;"|  || De Moivre formülü
|}

Sonuç olarak kutupsal formlar kökleri bulmak için de kullanılabilir. z herhangi karmaşık sayı olmak üzere ve n pozitif tam sayı için zn=c olarak gösterilebilir. Bu da cnin n. kökü diye okunur. Eğer c sıfır değilse tam n tane farklı cnin kökü vardır  (cebirin temel teoremine göre). r>0 için, c=reiφde cnin n. kökleri:

Burada , pozitif reel sayı olan rnin genellikle pozitif olan n. kökünü ifade eder. Eğer c=0 ise c nin tek bir kökü vardır, o da 0'dır.

 Karmaşık sayılarda işlem 
Karmaşık sayılarda cebirsel işlemler gerçel sayıların genişlemesidir. Öncelikle iki karmaşık sayının eşitliğini verelim.

 Eşitlik 
Bir  ve  karmaşık sayıları için

 ancak  ve  iken geçerlidir.

 Toplama 
Bir  ve  karmaşık sayıları için

 Çarpma 
Bir  ve  karmaşık sayıları için

 Eşlenik 
küçükresim|upright=1.14|Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin karmaşık uzaydaki gösterimi.
Bir  karmaşık sayısı için eşlenik ifadesi  dönüşümüdür ve

ya da matrislerde

olarak tanımlanır.

 Eşleniğin cebirsel özellikleri 




  ancak z gerçel sayı olduğunda geçerlidir.

 Çarpımsal ters 
Bir  karmaşık sayısının tersi ancak

olarak ya da bir matrisin tersine uygun olarak

olduğu görülür.

Karmaşık sayının karekökü

burada  işaret fonksiyonudur.

Karmaşık sayının n dereceden kökü 

Kök derecesi ikiden büyük olan karmaşık sayıların genel denklemi uzundur. n sayısı arttıkça genel denklem de uzar. Trigonometrik ve üstel biçim daha uygundur.

 için tam sayı olmak üzere

Üstel biçim:

Trigonometrik biçim:

 kök derecesinin bir eksiği kadar sıfırdan başlayarak tam sayılar verilebilir. Bu da n dereceden alınan karmaşık sayının köklerini verir.

 Ayrıca bakınız 
 Karmaşık analiz
 Hiperbolik sayılar
 Çifte karmaşık sayılar (bicomplex numbers)
 Dörtlük sayılar (Quaternions)
 Sekizlik sayılar (Octonions)

 Kaynakça 
Özel

Genel
 A. Mostowski & M. Stark, Introduction to Higher Algebra. Pergamon Press. New York: 1964.


*
Kategori:Karmaşık analiz